3.1 不等式性质课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

3.1不等式的性质 学习目标 1.理解不等式的性质 2.掌握不等式性质的应用 1 导入新课 问题1 从下列图片中我们可以得出什么信息？　 2 导入新课 与生活息息相关的不等式词汇 不超过、不大于、限速、限重 低于、小于 相等、一样 不小于、不低于、 超过、高于、大于 < > 3 在初中数学中，可以利用数轴比较任意两个实数a,b的大小。关于实数a,b的大小比较，有以下基本事实： 如果a-b是正数，那么a>b; 如果a-b等于0，那么a=b; 如果a-b是负数，那么a<b; 导入新课 a>b a-b>0; a=b a-b=0; a<b a-b<0. 4 导入新课 性质1：如果a＞b，b＞c，那么a＞c. 证明：∵a－b＞0，b－c＞0 根据两个正数的和还是正数，得（a－b）＋（b－c）＞0， ∴a－c＞0， ∴a＞c． 作差法 5 导入新课 性质2：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c. 证明：∵a－b＞0 ∴（a＋c）－（b－c）＝a－b＞0， ∴a－b＞0， ∴a＋c＞b＋c． 不等式两边加上同一个数，不等号方向不改变。 6 导入新课 性质3: (1)如果a＞b，c>0,那么ac＞bc； (2)如果a＞b，c<0,那么ac<bc. 不等式两边乘上上同一个正数，不等号方向不改变。 不等式两边乘上上同一个负数，不等号方向相反。 证明:(1) 要证ac>bc,只要证ac-bc>0 ∵a>b ∴a-b>0 又∵ c>0 ∴ ac-bc=(a-b)c>0 ∴ ac＞bc 7 导入新课 性质4：如果a＞b，c>d,那么a＋c＞b＋d. 由性质1，得a＋c＞b＋d． 证明：由性质2，∵a>b ∴a＋c＞b＋c ∵c>d ∴ c＋b＞d＋b； 大数加大数，大于小数加小数 8 导入新课 性质5: (1)如果a＞b>0，c>d>0,那么ac＞bd； (2)如果a＞b>0，c<d<0,那么ac<bd. 证明：由性质2，∵a>b ∴a＋c＞b＋c ∵c>d ∴ c＋b＞d＋b； 特别地，如果a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N*，n≥2）． 9 导入新课 性质6：如果a＞b>0时，,其中,n. 大于0的数中，大数的n次方根大于小数 证明：假设，即或． 根据性质5和根式的性质，得 a＜b或a＝b． 这都与a＞b矛盾，因此假设不成立，从而． 10 反证法 不等式开方性质证明方法的实质是：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立． 这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法． 反证法的一般步骤： 假设 假设命题结论不 成立． 推理得出 的结论 与已知条件矛盾 与定理，定义，公理矛盾 假设不成立 所证命题成立 11 例题精讲 例1　试比较(x＋1)(x＋5)与(x＋3)2的大小． ∴（x＋1）（x＋5）＜（x＋3）2． 解答：作差比较，（x＋1）（x＋5）－（x＋3）2＝－4＜0 ． 12 例题精讲 例2　试证明：若0＜a＜b，m＞0，则 　　　． 证明： 作差比较， 因为a＜b，所以b－a＞0， 又因a＞0，b＞0，m＞0，所以 所以 13 例题精讲 例3 (1）已知a＞b，ab＞0，求证： ； （2）已知a＞b，c＜d，求证：a－c＞b－d． （2）因c＜d． 由不等式的性质3，－c＞－d 再由a＞b，利用不等式的性质4，同向不等式相加，得a－c＞b－d． 证明(1)因ab＞0，则 ＞0， 由不等式的性质3，a · ＞b · ，即 14 练习巩固 1 用“>”或“<”填空 (1)x+3_________x-3 (2)x+3_________y+3 (x<y) (3) 5a_________3a (a<0) (4)ma__________mb (a<b,m<0) (5) (6) > > < > < < 特殊值法 15 练习巩固 2 试比较下面各组中两式的大小 （1）(x-2)2 与(x-1)(x-3)． （2） x2 +2x与3x-1 16 方法总结 [方法总结]　利用作差法比较两个实数(或代数式)大小的步骤及变形方法 (1)利用作差法比较两个实数(或代数式)大小的步骤：作差→ 变形→ 定号→结论． (2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论． (3)在遇到无理数(式)比较大小时，可将分子或分母有理化再作比较，如果比较大小的两个数(式子)都是正数，那么可先乘方再作比较． （4）对于小题，可取特殊值代入进行比较 17 课堂小结 性质 内容 备注 性质1 性质2 性质3 性质4 如果a＞b，且b＞c，那么a＞c 传递性 如果a＞b，那么a＋c＞b＋c 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc 加（减）乘（除）运算 如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d 同向不等式相加 性质5 性质6 如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd 如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac＜bd 特别地，如果a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N*，n≥2）． 不等式相乘 不等式的乘方性质 如果a＞b＞0，那么（n∈N*，n≥2）． 不等式的开方性质 18 $$