《密铺》（教案）-2023-2024学年北师大版四年级下册数学

《密铺》教学设计 【教学目标】 1、经历探索平面图形密铺的活动，复习学过的图形知识，初步认识密铺的技巧，初步了解一些平面图形可以密铺的道理。 2、能进行简单的密铺设计，积累相关活动经验，培养初步的空间观念，提高解决问题的能力。 3、结合密铺活动感受数学在生活中的广泛应用，发展学生对数学学习的兴趣。 【教学重点】 在活动过程中，学生能够有意识地运用已有知识解决问题，探索出密铺的道理。 【教学难点】 在动手操作的基础上，根据已有知识推理出平面图形可以密铺的道理。 【教学过程】 一、直观导入 这节综合实践课，我们一起来研究的主题是密铺，你知道什么是密铺吗？让我们一起来看一看。 （播放动态ppt，最后定格五幅静态图,类型：1、正方形的密铺；2、错位长方形的密铺；3、有空隙的圆形；4、重叠的椭圆形；5、墙面图/组合图形的密铺） 设计意图：看到密铺二字时，学生自然地会根据已有经验生成他心中的密铺图。此时出示生活中学生认为的种种可能性，对比与筛选就更加强烈了。而用动图的方式呈现，则是为了向学生呈现密铺的形成过程，既对图形之间无空隙，不重叠的两个特征进行了深入的体会，而且还为后续的设计方案环节进行了经验的累积。 （出示虚化图，标号）这五副图，哪些是密铺？ A：看来同学们有了不同的想法，让我们来看一下什么是密铺？（出定义PPT） 那现在你认为哪些是密铺呢？这会你得说说理由了。 B：看来大家的想法一致，那你觉得什么是密铺？ 让我们听听看，是不是这样的。（出定义PPT） 看来跟你们想的一样，了不起！ 图3和图4为什么不是密铺了呢？ 小结：所以，像这样图形之间无空隙，不重叠的就是密铺。（板书：无空隙、不重叠） 设计意图：在定义的基础上，再次判断，初步认识密铺。 二、活动探究 （一）确定活动目标 我们先来研究下像图1.图2这样的，由相同图形组成的密铺。从图1我们可以知道谁可以密铺？（正方形），从图2我们知道了长方形可以密铺。那关于密铺，你还想知道什么？或者还想研究什么呢？ 我们来梳理一下，刚刚你们提的问题。第一个问题是，什么图形可以密铺，密铺有什么技巧？为什么图形可以密铺?密铺有什么用？ 我们先从第一个问题开始研究把。刚刚有同学提到了想研究三角形和四边形，那我们就从这两种我们熟悉的图形研究起吧。我们现在确定本次活动的目标：四边形能不能密铺？三角形能不能密铺？ 设计意图：研究源于问题，梳理问题不仅是为了明确本节课的学习目标，更能激发学生探索与研究的欲望。复杂问题简单化，抽象问题具体化，研究刚刚学完的三角形和四边形再合适不过了。 （二）设计方案 1、确定了活动目标后，我们不妨先设计一下活动方案，这样我们的研究就更有序，更高效了。 想想看，要研究三角形和四边形能否密铺，需要哪些步骤？ 引导：我看到大家都很困惑，那么我们可以想想，密铺之前，密铺的过程中，密铺之后，我们都需要做些什么？请你把步骤写在任务单上，并标上序号。 小结：经过讨论，我们的思路基本一致了。首先，我们选择要研究的图形，接着就可以开始着手准备了。图形准备完毕后，我们先猜测一下，再尝试密铺。最后观察结果，获得结论。这份方案大家都同意吗？ 设计意图：设计方案，对于综合实践课来说，必不可少。综合实践课是所有课型中学生自主性和生成性最高的课型。学生在解决问题的过程中，因为学习路径的不同，所采取的方式也有区别。其中最明显的区别在于有序与无序，而无序的结果就是迷茫低效。所以，在活动开始前，方案的设计是必不可少的。 （三）选择目标图形 1、确认了方案，那我们就开始实验吧，第一步选择研究的三角形和四边形，你想研究什么三角形和四边形呢？ ①平行四边形 ②梯形 …… 2、我们所有组是只选择同一种图形进行研究，还是每个组研究不同的图形呢？后者有什么好处？ 小结：这样显然更加高效，结论也更加全面。 设计意图：如果说方案设计给综合实践提供了探索的路径，那么分工就是综合实践高效的保证。学生在自主选择使用分组研究的方式，更意识到了分组研究更有利于本次研究。 （四）动手实验 1、猜测：我们已经学过了三角形和四边形的分类，猜猜看，哪些图形可以密铺？（板书图形名称并根据学生生成作记号。） ①普通四边形除外，其他都可以密铺。 ②都可以密铺。 。。。。。。 设计意图：每一次的猜测都是一次有价值的应用与思考。学生在动手前，提取已有知识进行一次出判断，这个判断实际上也是对已有知识的一次应用于加工。这一次的应用，实际上也是学生对图形密铺的初步感知。猜测一般四边形和梯形不可以密铺，因为没有相同的边，这是觉得图形的密铺与边有关的初感知。猜测三角形中只有直角三角形可以密铺，因为直角三角形可以拼成长方形，这其实是对直角的一种敏感，也是觉得图形的密铺与角有关的初感知。而这个感知不一定准确，但在这样初感知的基础上再去研究，思维才更容易形成冲击，真实的研究学习才更容易形成。 2、那就来动手实验看看吧。一会儿，我们每个小组选择一种图形进行研究，我们用图形在小黑板上尝试，研究完了就把图形和小黑板一起展示在黑板的相应位置，明白了吗？上课前，我们就对小组进行了分工，那现在请领道具的组员上来领道具吧 研究完后，直接贴上黑板。 3、作品整理 为了方便研究，我们给他们标上编号 4、分类研究 观察一下，那些图密铺了？ （1）平行四边形： 我們先來看四边形。平行四变形，都能密铺吗？说说理由？和我们的猜想一样吗？ 梯形： 梯形呢，能密铺吗？说说理由。不能密铺嗎？说说你的理由。 A：你的观点呢？有沒有想和他对话的？ B、这有那么大的空隙，还是密铺吗？ 小结：看来如果有足够多图形，这幅图可以向四周继续延展，只要它无缝隙不重叠，就是密铺。 看來梯形也可以密铺，和我们的猜想一样吗？ 拼成规则图形才是密设计意图：在提供图形的时候，故意少给一块梯形，让最后的成图并不规则。经过讨论意识到只要有足够多的图形就能继续铺下去，那也是密铺，打破了密铺图形必须铺的观点。其实也是对密铺的进一步认识。经过实际教学发现，仅仅是通过一次概念认识，学生是无法清晰地理解密铺的。所以才设计这样的情况，让学生自主生成并暴露这样的困惑。 一般四边形： 接着我們看看一般四边形 A：都不能 两组一般四边形都沒有密铺，那是不是一般四边形真的不能密鋪了呢？你能給大家说说你的方法吗？（如果沒学生发现方法的话：我們能不能从已经密铺的图形中，找找看，密铺有沒有技巧？谁找到了方法，你們來給大家说说，尝试一下） B：部分能 那难道一般四边形有的能密鋪，有的不能嗎？看來密铺是有技巧的，能說說你們的方法嗎？ C：都能 刚刚，我們猜想一般四边形不能密铺，没想到现在两组都成功密铺了？看來密铺是有技巧的，能说说你们的方法嗎？ 那你们组要不要也试一试这种方式，看能不能把你们组也完成密铺？ 小结：在面对图形时，我们把相同的边拼在一起会更容易形成密铺，但如果无序的随意摆放，原本本能密铺的图形也有可能像这样不能密铺。所以，下次同学们在遇到密铺的时候，有方法了吗？ 设计意图：关于密铺角的提炼，是教材中没有提出来的内容，但却是学生必然会生成的思考。每当有小组不能顺利完成密铺时，必然会有学生提出他们能完成密铺的愿望，那方法的分享其实也是一种水到渠成。那方法的提炼有什么意义呢？①更有利于提高研究的效率；②充分感知图形的密铺。方法的提炼让学生产生或者说加深图形的密铺与边有关的感知，这为后期研究密铺的原因做了一次深层次的反向铺垫。 5、四边形小结： 刚刚我们研究的是四边形，发现了平行四边形，能不能密铺？梯形？一般四边形？所以四边形能密铺吗？ 6、三角形的密铺 那我们接着三角形的密铺。 刚才我们通过动手操作，认为X三角形可以密铺，而X三角形不能密铺。那现在研究完了四边形的密铺，你的观点有发生改变吗？小组之间讨论讨论 生1：我认为三角形可以密铺，把相同的边拼在一起就好了。 师：他想用相同边对齐的方法试一试。还有其它想法吗？ 生2:两个三角形可以拼成一个四边形，四边形可以密铺，三角形也可以。 师：你是把三角形转化成了我们刚刚研究完的四边形，因为四边形可以密铺，所以你认为三角形也能密铺。还有其它的想法吗？ 刚刚两位同学想法不同，但都认为三角形能够密铺。真的是这样吗？ 我们不妨让第一位同学，用他的方法来铺铺看 看来三角形，真的都能密铺。第二位同学说三角形可以转化成四边形进行密铺，这些密铺里面有你的想法吗？你上来给大家指指看。 小结： 看来除了用动手拼的方式知道三角形能密铺以外，还可以通过四边形的密铺推理出三角形也能密铺。同学们看两个一样的锐角三角形，拼成了一个平行四边形，然后就能用平行四边形的方法去密铺了。由此，我们也能知道直角三角形能密铺吗？钝角三角形？看来三角形能密铺吗？ 最后，我们就要给本次的研究下个结论了，三角形和四边形都能密铺。 设计意图：在处理三角形密铺的时候，同样也要让学生有一次猜测的过程。但这次的猜测与第一次不同的是，这次是在研究完四边形的基础上猜测的。此时的学生有了密铺的技巧，也知道了四边形可以密铺，已有知识经验的更新，让他们的猜测更有依据。他们会顺理成章的运用刚刚的收获来进行猜测。特别是用四边形的密铺推理出三角形能密铺，更是由合情推理向演绎推理的转变，学生再次在猜想中应用了已有知识，加深了对密铺的感知。 （五）交流反思 1、不是所有图形都能密铺 是不是所有的图形都能密铺呢？同学们还想研究什么图形？老师这里还有一个正五边形和正六边形，你觉得他们能密铺吗？ 预设：他边相等，能用我们的技巧进行密铺对吧。 预设：用三角形的密铺也能预测出五边形的情况对吧。 大家猜的对不对呢 现在打开老师事先给你们准备的信封，开始研究吧。（拿起信封示意） 展示学生不同作品 先问六边形：你们小组的结论是？同意吗？ 五边形：有X种不同的拼法，说说你们的结论。 不能密铺的，说说你的理由。 能密铺的，说说你的想法？对于他的想法，你有什么想说的吗？ 小结：看来图形的密铺，不能只是往一个方向延伸，而是能够往四周延展，并且无空隙不重叠的才是密铺。 设计意图：按教材，此时应该呈现的是探索密铺的原因，但经过实践发现，此时的学生是没有想探索的欲望的，此前他们研究的所有图形都密铺了。人只有在面对不同结果时，才有探索的需求不是吗？所以我选择把“不是所有的图形都能密铺”这个环节放在前面。同样是边相等的图形，按照以往的经验，正六边形和正五边形应该都能密铺，但在每个人都经历尝试密铺的过程后，实际的结果让他们意识到原来正五边形真的不能密铺，让他们意识到原来图形的密铺单纯从边的角度去思考是不够的，这时，学生才有了继续深入探究密铺的需求。这种巨大的反差是通过两步完成的，第一步密铺方法的提炼，让学生误以为只考虑图形的边就能判断是否能 密铺了；第二步，是对正五边形误判。 3、密铺的奥秘 没想到同样是边相等的图形，正六边形可以密铺，正五边形却不能密铺，看来图形的密铺不只，和边有关。还可能，和什么有关呢？ 和角有什么关系？为了方便研究，我们再次观察研究过的图形，看看能不能从中发现图形的密铺和角有什么关系？ 小组内讨论讨论 （去引导：每个拼接点处有几个角？它们与这三种三角形的三个内角有什么关系？） 通过三角形和四边形的密铺，我们知道了图形密铺时，拼接点周围的角是360°的。根据这个，你能解释正五边形为什么不能密铺了吗？ 和360°比怎么样？小了，小于360°，他们就有空隙了。那如果加一个正五边形呢？大于360°就重叠了。 那正六边形呢？为什么能密铺？ 那你觉得图形的密铺和角有什么关系呢？ 拼接点周围的角之和是360°，那么图形就能密铺。 设计意图：把三角形、四边形、正五边形和正六边形同时呈现，第二次观察研究过的图形，从中寻找新问题的答案。这是我们上一次研究的延续，更是相同资源的再利用。此时的呈现不仅是合理的，更是适时的，学生要研究密铺的原因，可以有且只能从刚刚的研究结果入手，这样也更显得刚刚的研究是有价值的。因为关注点在研究密铺和角的关系，所以比起教材原本的呈现顺序，此时把图形的角标记出来也变得合情合理了。 4、生活中的密铺 同学们想想，我们研究了那么久密铺，那密铺在我们生活中常见吗？其中最常见的就是我们的地面和墙面上铺砖了。这个是什么图形的密铺呀？准确的说，是正六边形的密铺。密铺其实也是美术创作的一种特殊手法，我们现场用密铺做一副画怎么样？ 这幅大鱼吃小鱼图也是密铺，他和我们刚刚研究的密铺有什么区别？ 小结：看来不只规则图形可以密铺，不规则图形同样也能密铺，只要图形之间无空隙不重叠，就可以密铺。 设计意图：比起直接出示不规则图形的密铺，生动的演绎出来，学生可能更感兴趣，也更能激发学生尝试的欲望。关键是，让学生意识到只要图形之间无空隙不重叠，无论是什么图形之间，那都是密铺的。 那接下来，我们一起欣赏一些有密铺绘制而成的美术作品。看出来骑士图是什么图形密铺出来的吗？ 红色的骑士和马与白色的骑士和马。谁看到了白。谁看到了红 你还想欣赏埃舍尔其它的密铺美术作品吗？ 欣赏了那么多 ，你想不想自己也设计一副密铺作品呢？ 同学们设计了那么多精美的作品，你有什么发现和收获吗？ 同学们收获了那么多，那我们上课时提的问题都解决了吗？ 设计意图：给予学生图形，让学生自主尝试组合密铺，让学生自己经历一次真实的创造。请问还有什么其他活动更能让学生体会到这次研究的价值的嘛？其实在课前问卷中，有不少同学问密铺有什么用？在这里，学生就能感受到除了实用性以外，美本身就是一种价值。学生在这个过程中的每一次尝试，每一次惊叹，每一次欢呼，都是一次次体会数学之美的过程。在这个过程中，学生的研究有了价值，学生的应用有了价值，学生的创造有了价值。 （六）自我评价 这节课就要结束了，同学们觉得自己表现怎么样呢？老师这里有份评价表，共有五个维度，你们看看，有不理解的选项吗？ 设计意图：自我评价是本次综合实践活动的终止，也是下次的开始。每一次的总结收获与反思，都是一次升华与提升，都在为下一次的精彩而蓄力。 这节课你有什么收获？ 这一次我们以密铺为主题，进行了一次数学综合实践活动，同学们在探究的过程中，不仅学会了方法，还享受到这个过程带来的快乐。像这样的综合实践课，不仅可以解决密铺问题，还能帮助解决很多生活中的数学问题。 学科网（北京）股份有限公司 $$