精品解析：安徽省池州市第一中学2025届高三上学期第一次检测数学试题

数学试题（一） 一、单选题：（每题5分，共25分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 2. 已知实数满足，则下列不等式恒成立的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件取特殊值或者作差法比较大小，依次判断各选项即可得出结果. 【详解】令，则，即.所以A选项错误； 令，则，即，所以B选项错误； 令，则，所以C选项错误； 因为，由得，所以D选项正确. 故选:D. 3. 已知正实数，满足，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式以及一元二次不等式求解. 【详解】因为，所以, 所以， 即 所以，解得， 当且仅当 ，解得 或时等号成立， 所以当时有最大值为9. 故选:D. 4. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】，构造函数， 利用作差法比较函数的大小确定函数值的大小. 【详解】 构造函数， 令，， 则所以在单增， 所以，所以，所以，所以. 令,，， 所以在为减函数，所以， 所以，所以，所以， 所以. 故选：D. 【点睛】方法点睛：比较几个数值的大小可以将这些数值看作几个函数的函数值，通过比较函数在某个区间内的大小确定函数值的大小.函数比较大小可以用导数研究单调性来确定，还可以借助于函数不等式、切线不等式放缩等手段比大小. 5. 已知函数的定义域为R，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出． 【详解】[方法一]：赋值加性质 因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以 一个周期内的．由于22除以6余4， 所以．故选：A． [方法二]：【最优解】构造特殊函数 由，联想到余弦函数和差化积公式 ，可设，则由方法一中知，解得，取， 所以，则 ，所以符合条件，因此的周期，，且，所以， 由于22除以6余4， 所以．故选：A． 【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法； 法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解. 二、多选题：（每题5分，共15分） 6. 已知a，，则使“”成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，举例如结合充分条件和必要条件定义即可判断；对于B，举例如结合充分定义即可得是的不充分条件，接着由和得是的必要条件；对于C，举例如得是的不充分条件，接着由结合基本不等式和指数运算法则得是的必要条件；对于D，举例如结合充分条件和必要条件定义即可判断. 【详解】对于A，当时，满足，但不满足， 所以是的不充分条件，是的不必要条件，故A错误； 对于B，当时，满足，但不满足， 所以是的不充分条件； 当时，， 所以，所以， 所以是的充分条件，是的必要条件，故B正确； 对于C，当时，满足，但不满足， 所以是的不充分条件； 当时，，所以， 所以是的充分条件，是的必要条件，故C正确； 对于D，当时，满足时，但即不满足， 所以是的不充分条件，是的不必要条件，故D错误； 故选：BC. 7. 若，其中为自然对数的底数，则下列命题正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点中心对称 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性判断A、B，根据奇偶性的定义判断函数为偶函数，即可判断C、D. 【详解】因为在上单调递减，在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增，故A错误，B正确； 又，所以为偶函数，函数图象关于轴对称，即关于直线对称，故C正确，D错误； 故选：BC 8. 若函数既有极大值也有极小值，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答. 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 三、填空题.（每题5分，共20分） 9. 不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】将移项变形为，转化为一元二次不等式，即可求得答案. 【详解】原不等式可化为， 即， 即，即， 解得， ∴原不等式的解集为， 故答案为： 10. 已知函数的图象在处的切线与直线x＋ay－1＝0垂直，则实数a＝______． 【答案】1 【解析】 【分析】求导，得切线的斜率，根据两直线垂直满足斜率相乘为-1即可求解. 【详解】由得，所以，由于在处的切线与直线x＋ay－1＝0垂直， 所以， 故答案为：1 11. 函数的最小值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值. 【详解】由题设知：定义域为， ∴当时，，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递增； 又在各分段的界点处连续， ∴综上有：时，单调递减，时，单调递增； ∴ 故答案为：1. 12. 已知函数，函数，若对任意，存在，使得，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，利用导数求函数的最值问题即得. 【详解】由题意得 由题可得，时， 故上单调递增，， 由题可得，时，时， 故在上单调递增，在上单调递减，， ，即， 解得 故答案为：. 四、解答题：（每题10分，共40分） 13. 已知函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）是否存在实数a，使函数的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）存在，实数 【解析】 【分析】（1）利用求得，结合复合函数单调性同增异减求得的单调区间. （2）根据的最小值为列方程，从而求得的值. 【小问1详解】 ∵，∴，即， ，由， 解得，∴函数的定义域为， ∵函数在上单调递增，在上单调递减， 又∵在上为增函数， ∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 设存在实数a，使函数的最小值为0，， ∵函数的最小值为0，∴函数的最小值为1，所以①，且②， 联立①②解得：， ∴存在实数，使函数的最小值为0. 14. 近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完. （1）求出2020年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）； （2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元. 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数模型，直接计算作答. （2）利用（1）中函数，借助二次函数最值及均值不等式求出最大值，再比较大小作答. 【小问1详解】 依题意，销售收入万元，固定成本250万元，另投入成本万元， 因此， 所以2020年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式是. 【小问2详解】 由（1）知，当时，，当且仅当时取等号， 当时，，当且仅当，即时取等号， 而，因此当时，， 所以2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元. 15. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）若方程＝0有两个不相等实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1）的单调递增区间是，单调递减区间是.（2） 【解析】 【分析】（1）首先求出函数的导函数，再解不等式即可得到函数的单调区间； （2）由得， 将此方程的根看作函数与的图象交点的横坐标，结合（1）中相关性质得到函数的图象，数形结合即可得到参数的取值范围； 详解】解：（1）∵ 所以 ∴当时，，当时，； 即的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）由得， 将此方程的根看作函数与的图象交点的横坐标， 由（1）知函数在时有极大值，作出其大致图象， ∴实数取值范围是. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的零点问题，属于基础题. 16. 已知函数． （1）当时，若在上恒成立，求实数的取值范围； （2）设为的两个不同零点，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分离参数求解参数的取值范围，构造函数，利用导数求解函数的最大值即可； （2），将证明不等式转化为证明和，根据（1）的结果可证，代入零点，得，，两式相减，化简得，令，即证明，通过构造函数，利用导数求解函数在区间上的最值，即可证明. 【小问1详解】 解：当时，， 因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，即在上恒成立，则， 令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减. 故， 所以实数的取值范围是． 【小问2详解】 证明：要证明， 即证， 只需证和． 由（1）知，当，时，，即， 所以． 要证，即证． 因为为的两个不同零点，不妨设， 所以，， 则， 两边同时乘以，可得， 即． 令，则． 即证，即证， 即证． 令函数，，则， 所以在上单调递增，所以． 所以．故． 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． （2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． （3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． （4）考查数形结合思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学试题（一） 一、单选题：（每题5分，共25分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知实数满足，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知正实数，满足，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 9 4. 已知，则的大小关系为（ ） A B. C. D. 5. 已知函数的定义域为R，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 二、多选题：（每题5分，共15分） 6. 已知a，，则使“”成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 7. 若，其中为自然对数底数，则下列命题正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点中心对称 8. 若函数既有极大值也有极小值，则（ ）． A B. C. D. 三、填空题.（每题5分，共20分） 9. 不等式的解集为________. 10. 已知函数的图象在处的切线与直线x＋ay－1＝0垂直，则实数a＝______． 11. 函数的最小值为______. 12. 已知函数，函数，若对任意，存在，使得，则实数m的取值范围为______． 四、解答题：（每题10分，共40分） 13. 已知函数. （1）若，求函数单调区间； （2）是否存在实数a，使函数的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 14. 近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完. （1）求出2020年利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）； （2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 15. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）若方程＝0有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 16. 已知函数． （1）当时，若在上恒成立，求实数的取值范围； （2）设为的两个不同零点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$