3.2　整式的加减 课件 　 2024—2025学年北师大版数学七年级上册

第三章　整式及其加减 2　整式的加减 第1课时　合并同类项 1. 同类项的概念 所含字母 ，并且相同字母的指数也 ⁠的 项，叫作同类项。 注意：①所有的常数项都是同类项； 相同　 相同　 ②同类项与系数无关； ③同类项与字母排列顺序无关。 知识导航 2. 合并同类项 （1）把同类项合并成一项叫作 ⁠。 （2）合并同类项的理论依据是逆用乘法对加法的分 配律。 （3）合并同类项时，把同类项的 相加， ⁠ 不变。 注意：系数相加时，一定要带上前面的符号。 合并同类项　 系数　 字 母和字母的指数　 知识导航 题型一　同类项的概念 （1）下列各组为同类项的是 ；（填 序号） ①0.2x2y与0.2xy2； ②4abc与4ac； ③－130与15； ④－5m3n2与4n2m3； ⑤－（a＋b）3与2（a＋b）3；　⑥7pn＋1qn与3pn＋1qn。 ③④⑤⑥　 （2）如果单项式 xa＋3y与－2xyb是同类项，那么（a＋ b）2 025＝ ⁠。 －1　 典例导思 1. 下列各组单项式中，是同类项的是（　B　） A. 2x和2y B. 3x2y和 yx2 C. m2n和mn2 D. 3和3x 2. 若－3a2bn＋1和 a2mb3是同类项，则2m＋n的值为 ⁠。 B 4　 典例导思 题型二　合并同类项 合并下列各式中的同类项： （1） mn2－ n2m； 解：原式＝ mn2＝mn2。 （2）4xy－3y2－3x2＋xy－3xy－2x2－4y2； 解：原式＝（4＋1－3）xy＋（－3－4）y2＋（－3－2）x2 ＝－5x2＋2xy－7y2。 典例导思 （3）3（x＋y）4－7（x－y）3－2（x＋y）4＋5（x－y）3＋2。 解：原式＝（3－2）（x＋y）4＋（－7＋5）（x－y）3＋2 ＝（x＋y）4－2（x－y）3＋2。 典例导思 [方法点拨] 在合并同类项时，要注意以下几点：（1）只有同类项才能合并；（2）合并同类项的实质是系数的合并，其他不变；（3）合并后的系数为带分数的一定要化成假分数；（4）合并同类项后，结果的系数为1或－1时，数“1”省略不写。 典例导思 3. 合并下列各式中的同类项： （1）2a＋6a－10a； 解：原式＝－2a。 （2）2x2－ xy＋3y2－7x2＋ xy； 解：原式＝－5x2＋ xy＋3y2。 （3） a2b－ab2＋ a2－ a2b＋7ab2－b2。 解：原式＝－a2b＋ a2＋6ab2－b2。 典例导思 题型三　求代数式的值 求代数式－3x2＋2x＋ x2－5x＋2的值，其中x＝－2。 解：原式＝ x2＋（2－5）x＋2 ＝－ x2－3x＋2。 当x＝－2时， 原式＝－ ×（－2）2－3×（－2）＋2 ＝－3。 典例导思 4. 若x4＋y4＝25，x2y－xy2＝6，则x4－y4＋3xy2－x2y－ 2xy2＋2y4＝ ⁠。 19　 典例导思 解：原式＝（－2a2b＋5a2b）＋（3ab2－3ab2） ＝3a2b。 由已知，得a－1＝0，b＋2＝0， 解得a＝1，b＝－2。 当a＝1，b＝－2时， 原式＝3×12×（－2）＝－6。 5. 若（a－1）2＋ ＝0，求多项式－2a2b＋3ab2－ 3ab2＋5a2b的值。 典例导思 题型四　含参问题 （1）多项式x2－2kxy－3y2＋6xy－8化简后不含xy 项，则k＝ ⁠； （2）若关于字母x的代数式－3x2＋mx＋nx2－x＋10的 值与x的取值无关，则m＝ ，n＝ ⁠。 6. 若关于x的多项式3x2－2x－bx2＋（2a－2）x＋1的值 与字母x的取值无关，则2a－b＝ ⁠。 3　 1　 3　 1　 典例导思 $$第三章　整式及其加减 2　整式的加减 第2课时　去括号法则 1. 去括号法则 （1）括号前是“＋”，把括号和它前面的“＋”去掉 后，原括号里各项的符号都 ⁠； （2）括号前是“－”，把括号和它前面的“－”去掉 后，原括号里各项的符号都 ⁠。 不改变　 要改变　 知识导航 注意：①可把去括号看成是乘法对加法的分配律的特 例； ②去括号法则只改变代数式的形式，不改变代数式的值，是恒等变形； ③多重括号，一般先去小括号，再去中括号，每去掉一 层括号后，若有同类项则先合并同类项，这样可使下一 步的项减少，减少差错； ④若括号前面有乘数，则把该乘数与括号里的每一项相 乘，不要漏乘，再去括号。 知识导航 2. 添括号法则 （1）所添括号前是“＋”，括进括号里的各项都 ⁠ 符号； （2）所添括号前是“－”，括进括号里的各项都 ⁠ 符号。 不 改变　 改 变　 知识导航 题型一　去括号法则 去括号： （1）－（3x＋2）；　　（2）－2（－2x－7）； （3）－[－（b－2）]； （4）－{－[－（2m－n）]}。 解：（1）原式＝－3x－2。 （2）原式＝－（－4x－14）＝4x＋14。 （3）原式＝－（－b＋2）＝b－2。 （4）原式＝－（2m－n）＝－2m＋n。 典例导思 [易错点拨] 去括号时，首先弄清括号前的符号是 “＋”，还是“－”，去括号时，应将括号前的符号连 同括号一起去掉。注意括号内的每一项都要乘系数，不 要漏项。 典例导思 1. 下列去括号变形正确的是（　D　） A. 2a－（3b－c）＝2a－3b－c B. 3a＋2（2b－1）＝3a＋4b－1 C. m－（n＋a－b）＝m－n＋a－b D. a＋（2b－3c）＝a＋2b－3c D 2. 去括号： （1）a－（b－c＋d）＝ ⁠； （2）－[＋（x－2y）]＝ ⁠。 a－b＋c－d　 －x＋2y　 典例导思 题型二　添括号法则 不改变3a－2b＋c的值： （1）使它放在前面带有“＋”的括号内： ＋（　 　）； （2）使它放在前面带有“－”的括号内： －（　 　）。 3a－2b＋c　 －3a＋2b－c　 典例导思 3. 在等号右边的括号里，填上适当的项： （1）a＋b＋c－d＝a＋（　 　）； （2）a－b＋c－d＝a－（　 　）； （3）x2－xy＋y－1＝x2＋（　 　）＝x2－ （　 　）。 b＋c－d　 b－c＋d　 －xy＋y－1　 xy－y＋1　 典例导思 题型三　去括号，合并同类项 先去括号，再合并同类项： （1）5a－（a＋3b）； 解：原式＝5a－a－3b＝4a－3b。 （2）（2a2－b2）－3（a2－2b2）； 解：原式＝2a2－b2－3a2＋6b2＝－a2＋5b2。 典例导思 （3）3a2b－2[ab2－2（a2b－2ab2）]。 解：原式＝3a2b－2（ab2－2a2b＋4ab2） ＝3a2b－10ab2＋4a2b ＝7a2b－10ab2。 典例导思 4. 化简下列各式： （1）3a－（4b－2a＋1）； 解：原式＝3a－4b＋2a－1 ＝（3a＋2a）－4b－1 ＝5a－4b－1。 典例导思 （3）7xy－[2（3xy－2x2y）－13xy]。 解：原式＝7xy－（6xy－4x2y－13xy） ＝7xy－6xy＋4x2y＋13xy ＝14xy＋4x2y。 （2）（x2－y2）－4（2x2－3y2）； 解：原式＝x2－y2－8x2＋12y2 ＝（x2－8x2）＋（12y2－y2） ＝－7x2＋11y2。 典例导思 题型四　先化简，再求值 先化简，再求值：5（3a2b－ab2）－（ab2＋3a2b），其中a＝ ，b＝ 。 解：原式＝15a2b－5ab2－ab2－3a2b ＝12a2b－6ab2。 当a＝ ，b＝ 时， 原式＝12× × －6× × ＝ 。 典例导思 5. 先化简，再求值：5x2－［2xy－3 ＋5x2］，其中x，y满足 ＋（3y＋2）2＝0。 解：原式＝5x2－（2xy－xy－6＋5x2） ＝5x2－xy＋6－5x2 ＝－xy＋6。 ∵ ＋（3y＋2）2＝0， ∴2x－1＝0，3y＋2＝0， ∴x＝ ，y＝－ ， ∴原式＝－ × ＋6＝ 。 典例导思 题型五　代数式在实际生活中的应用 已知一个三角形铁框的周长为48，第一边的长为3a＋2b，第二边的长的2倍比第一边少a－2b＋2，求第三边的长。 解：第二边的长为 [（3a＋2b）－（a－2b＋2）]＝a＋2b－1， 因此第三边的长为 48－（3a＋2b）－（a＋2b－1）＝49－4a－4b。 答：第三边的长为49－4a－4b。 典例导思 6. 已知小明的年龄是m岁，小红的年龄比小明的年龄的2倍少4岁，小华的年龄比小红的年龄的 还多1岁，求这三名同学的年龄和。 解：由题意，可知小红的年龄为（2m－4）岁，小华的年龄为［ （2m－4）＋1］岁， 则这三名同学的年龄和为 m＋2m－4＋ （2m－4）＋1＝（4m－5）岁。 答：这三名同学的年龄和是（4m－5）岁。 典例导思 $$第三章　整式及其加减 2　整式的加减 第3课时　整式的加减 整式的加减 进行整式的加减运算时，如果遇到括号要先 ⁠ ， 再 ⁠。 注意：（1）两个整式相减时，减数一定先要用括号括 起来。 （2）整式加减的最后结果的要求：①不能含有同类 项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母 的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成 假分数。 去括号 合并同类项　 知识导航 题型一　整式的加减 已知多项式A＝4a2－2ab＋2b2，B＝2a2－ab－b2， 求2B－A的值。 解：2B－A＝2（2a2－ab－b2）－（4a2－2ab＋2b2） ＝4a2－2ab－2b2－4a2＋2ab－2b2＝－4b2。 1. 一个多项式与x2－2x＋1的和是3x－2，则这个多项式 为 ⁠。 －x2＋5x－3　 典例导思 2. 小黄做一道题：已知两个多项式A，B，计算A－B。 小黄误将A－B看作A＋B，求得结果是9x2－2x＋7。若 B＝x2＋3x－2，请你帮助小黄求出A－B的正确答案。 解：A＝9x2－2x＋7－（x2＋3x－2） ＝9x2－2x＋7－x2－3x＋2 ＝8x2－5x＋9， 所以A－B＝8x2－5x＋9－（x2＋3x－2） ＝8x2－5x＋9－x2－3x＋2 ＝7x2－8x＋11。 典例导思 题型二　化简求值 （1）先化简，再求值：2mn－[3mn2－2（mn2＋ mn）]＋mn2，其中m＝－3，n＝ ； 解：原式＝2mn－（3mn2－2mn2－2mn）＋mn2 ＝2mn－mn2＋2mn＋mn2 ＝4mn。 当m＝－3，n＝ 时，原式＝4×（－3）× ＝－6。 典例导思 （2）已知m－n＝4，mn＝－1，求（9－2mn＋2m＋ 3n）－（3mn＋2n－2m）－（m＋4n＋mn）的值。 解：原式＝9－2mn＋2m＋3n－3mn－2n＋2m－m－ 4n－mn ＝3（m－n）－6mn＋9。 因为m－n＝4，mn＝－1， 所以，原式＝3×4－6×（－1）＋9＝27。 典例导思 3. （1）若 ＋（xy－1）2＝0，则（3x－xy＋ 1）－（xy－3y－2）＝ ⁠； （2）若a2＋2ab＝－10，b2＋2ab＝16，则多项式a2＋ 4ab＋b2 ＝ ，a2－b2＝ ⁠。 －5　 6　 －26　 典例导思 4. 先化简，再求值：2（x2y＋xy）－3（x2y－xy）－ 4x2y，其中x＝－3，y＝1。 解：原式＝2x2y＋2xy－3x2y＋3xy－4x2y ＝－5x2y＋5xy。 当x＝－3，y＝1时， 原式＝－5×（－3）2×1＋5×（－3）×1 ＝－45－15 ＝－60。 典例导思 题型三　整式加减的拓展应用 （1）若多项式2bx2＋3x－5y－1与多项式2x2－ax ＋y＋4的差不含x2项和x项，则（　D　） A. a＝3，b＝－1 B. a＝3，b＝1 C. a＝－3，b＝－1 D. a＝－3，b＝1 （2）有理数a，b，c在数轴上的对应点如图，化简代数 式： ＋ －2 ＝ ⁠。 D －2c　 典例导思 [分析] （1）根据题意列出关系式，去括号、合并同类 项后，根据结果不含x2项和x项，求出a与b的值即可； （2）根据数轴可以得到a，b，c的关系，从而可以将题 目中绝对值符号去掉，转化为整式的加减问题。 典例导思 5. 已知有理数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如 图所示，化简： ＋ － 的结果 为 ⁠。 （第5题） －a－2c＋d　 典例导思 6. 若多项式2mx2－x2＋5x＋8－（7x2－3y＋5x）的值与x无关，求m2－[2m2－（5m－4）＋m]的值。 解：原式＝2mx2－x2＋5x＋8－7x2＋3y－5x ＝（2m－8）x2＋3y＋8。 因为此多项式的值与x无关， 所以2m－8＝0，解得m＝4。 所以m2－[2m2－（5m－4）＋m] ＝m2－（2m2－5m＋4＋m） ＝－m2＋4m－4 ＝－42＋4×4－4 ＝－4。 典例导思 $$