3.1　代数式 课件 2024—2025学年北师大版数学七年级上册

第三章　整式及其加减 1　代数式 第1课时　代数式 1. 用字母表示数 用字母表示事物的关系、性质和规律。例如，用字母表 示减法法则：a－b＝a＋（－b）。 知识导航 2. 代数式的概念 用 把 ⁠连接而成的式子叫作代 数式，单独一个 或一个 也是代数式。 注意：（1）运算符号指的是加、减、乘、除、乘方； （2）式子中如果含有“＝”“＞”“＜”“≥”“≤” “≠”等表示相等或不等关系的符号，那么这个式子就不是代数式； （3）代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可 以含有括号。 运算符号　 数和字母　 数　 字母　 知识导航 3. 代数式的书写要求 （1）数与字母、字母与字母相乘，乘号可以省略不写，或用“·”来代替；数和字母相乘，在省略乘号时，要把数写在字母的前面。如n×2写成2n，又如v×t应写成v·t或vt。 注意：数与数相乘不能省略乘号“×”。 （2）在除法算式中，要写成分数的形式，被除数作分子，除数作分母，“÷”号转化为分数线。如4÷（a－1）应写成 ，又如s÷t应写成 。 知识导航 （3）字母与字母相乘时一般按英文字母顺序书写。如b·a通常写成ab。 （4）带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式。如1 ·b不能写成1 b，要写成 b。 （5）当1或－1与字母相乘时，“1”省略不写。如1·a直接写成a。 （6）后面接“单位”的“相加代数式”或“相减代数式”要用括号括起来。如（x＋y）元，（a－5）千米。 （7）字母与字母相乘时，相同字母写成幂的形式。如a·a·a应写成a3。 知识导航 题型一　用字母表示数 用含字母的式子表示： （1）把温度是t ℃的水加热到100 ℃，水温升高 了 ℃； （2）一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，则这 个两位数可表示为 ⁠； （3）用字母n（n为整数）表示两个连续奇数为 ⁠ ， ⁠； （100－t）　 10b＋a　 2n－ 1 2n＋1　 典例导思 （4）如图所示，外圆半径为R，内圆半径为r，则圆环 的面积为 ⁠； （5）甲、乙两地相距s km，一辆汽车每小时行驶80 km，则它从甲地到乙地行驶的时间为 h。 πR2－πr2　 　 典例导思 1. 填空： （1）比a大3的数为 ⁠； （2）一本故事书有a页，已看了b页，还剩下 ⁠ 页没看； （3）七年级（2）班共有48人，教室里的桶装纯净水 一桶重a kg，纯净水桶本身重0.3 kg，如果将一桶纯 净水平均分给每个人，则每人可以分到 kg 纯净水。 a＋3　 （a－ b） 　 典例导思 题型二　用字母表示规律 （1）（2024·青海）如图是由火柴棒摆成的图案， 按此规律摆放，第⑦个图案中有 个火柴棒； 15　 典例导思 （2）按一定规律排列的一列数依次为 ，－ ， ，－ ， ，－ ，…，按此规律排列下去，这列数中第8 个数是 　－ 　，第n个数是 　（－1）n＋1 　（n为 正整数）。 － 　 （－1）n＋1 　 典例导思 2. 黑白两种颜色的纸片，按如图所示的规律拼成若干 个图案，则第n个图案中有白纸片 张。 （第2题） （3n＋1）　 典例导思 3. 下列图形都是用同样大小的•按一定规律组成的，其 中第①个图形中共有3个•，第②个图形中共有8个•，第 ③个图形中共有15个•，…，则第⑧个图形中•的个数 为 ⁠。 （第3题） 80　 典例导思 题型三　识别代数式 （1）下列各式中，是代数式的有（　B　） ①－2x2；②x＋y＝0；③4x2－1；④0；⑤x－1＞0；⑥ 。 A. 6个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 B 典例导思 （2）下列各式：ab·2，m÷2n， xy，1 a， ，其中 符合代数式书写规范的有 个。 [分析] 注意代数式的书写规则：数字应在字母前面，分 数与字母相乘不能为带分数，不能出现除号等等。 2　 典例导思 4. 下列各式：①1 xy2；②3（a＋b）；③20％x；④－ b÷c；⑤ ；⑥m－3 ℃。其中符合代数式书写要求 的有（　C　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 C 典例导思 5. 判断下列各式中哪些是代数式，哪些不是代数式。 （1） x＋1；（2）a＝2；（3）π；（4） ；（5） ＞ ；（6） 。 解：（1）（3）（4）（6）是代数式；（2）（5）不是 代数式。 典例导思 $$第三章　整式及其加减 1　代数式 第2课时　代数式的值 1. 列代数式的方法 列代数式一般遵循“先读先写、后读后写”的原则，如用代数式表示“x，y两数的平方和”中“平方和”是先平方，后求和，所以应写成 ⁠。 x2＋y2　 知识导航 注意：（1）抓关键词，如“大”“小”“和”“差” “积”“商”“倍”等； （2）明确运算和运算顺序； （3）理清题意，分段处理，通过对关键词的判断恰当使用括号； （4）书写代数式时要符合书写格式。 知识导航 2. 代数式的值 用具体数值代替代数式中的字母，就可以求出代数式的值。 3. 求代数式的值的步骤 （1）“代入”：用具体数值代替代数式中的字母； （2）“计算”：按照代数式中给出的运算关系计算出结果。 知识导航 ④如果字母取值是分数、负数，作乘方运算时要加括 号；如果字母取值是带分数时，要先化为假分数，再代 入计算。 注意：①一次性代入，杜绝边代边算； ②注意书写格式：当……时，原式＝……； ③如果代数式中省略乘号，代入数字后需添上乘号； 知识导航 4. “数值转换机”的应用 按照设定好的运算程序，转化为代数式，再代值计算。 知识导航 题型一　根据题意列代数式 用代数式表示： （1） x与y的差； 解：（1）x－y。 （2）a除以b的商与c的和； 解：（2） ＋c。 典例导思 （3）一个三位数，百位数字为x，十位数字是y，个位 数字为z，表示这个三位数； 解：（3）100x＋10y＋z。 （4）比a，b和的平方的倒数小5的数。 解：（4） －5。 典例导思 1. 代数式 的意义是（　C　） A. x与y的一半的差 B. x减去y除以2的差 C. x与y的差的一半 D. x与y的 的差 C 典例导思 2. 在下列各题的横线上填上适当的代数式。 （1）设甲数为a，乙数比甲数的1 倍少3，则乙数为 　 ⁠； （2）被4除，其商为m，余数是3的数用代数式表示 为 ⁠； （3）a的2倍与b的 的差的平方，用代数式表示 为 ⁠。 a－3　 4m＋3　 　 典例导思 题型二　直接代入求代数式的值 （1）当x＝1，y＝－6时，求下列代数式的值： ①x2＋y2；②（x＋y）2；③x2－2xy＋y2。 解：当x＝1，y＝－6时， ①x2＋y2＝12＋（－6）2＝1＋36＝37。 ②（x＋y）2＝（1－6）2＝（－5）2＝25。 ③x2－2xy＋y2＝12－2×1×（－6）＋（－6）2＝1＋12 ＋36＝49。 典例导思 （2）已知a，b是有理数，且ab＜0，若x＝ ＋ ＋ ，则代数式x2＋2x＋1的值为 ⁠。 0　 典例导思 3. 如图，当输入x的值为－1时，输出的结果为（　B　） A. －1 B. 11 C. 21 D. 43 （第3题） B 典例导思 4. 如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为 3 125，则第2 024次输出的结果为 ⁠。 （第4题） 5　 典例导思 题型三　整体代入求代数式的值 （1）如果代数式x2－2x＋5的值等于7，则代数式 3x2－6x－1的值为（　A　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 A 典例导思 （2）当 ＝3时，求代数式 － 的值。 解：由 ＝3可知， ＝ ， 所以 － ＝3－2× ＝2 。 典例导思 5. 已知a＋b＝4，则代数式1＋ ＋ 的值为（　A　） A. 3 B. 1 C. 0 D. －1 A 典例导思 6. （1）若x－3y＝3，则5＋2x－6y＝ ，y－ x＋ ＝ 　－ 　； （2）若 ＋（ab－4）2＝0，则代数式3a＋ 2ab－3b的值为 ⁠； （3）当x＝2时，代数式ax3＋bx＋1的值为6，那么当x ＝－2时，代数式ax3＋bx＋1的值是 ⁠。 11　 － 　 －1　 －4　 典例导思 题型四　在实际问题中求代数式的值 书店卖课本和笔记本，课本每本定价20元，笔记本 每本定价2元。书店开展促销活动，向客户提供两种优 惠方案：①买一本课本送一本笔记本；②课本和笔记本 都按定价的95％付款。现某班要到该书店购买课本50 本，笔记本x本（x＞50）。 （1）若该班按方案①购买，需付 　　　　元；若该班 按方案②购买，需付 　　　　元； 解：（1）（900＋2x）；（950＋1.9x）。 典例导思 （2）若x＝300，通过计算说明此时按哪种方案购买较 为合算。 解：（2）当x＝300时， 按方案①购买： 900＋2x＝900＋2×300＝1 500（元）； 按方案②购买： 950＋1.9x＝950＋1.9×300＝1 520（元）。 因为1 500＜1 520， 所以当x＝300时，按方案①购买较为合算。 典例导思 7. 人在运动时的心跳速率通常与人的年龄有关，若用m 表示一个人的年龄，则这个人在运动时所能承受的每分 钟心跳的最高次数为0.8（220－m）。 （1）正常情况下，一个16岁的少年在运动时所能承受 的每分钟心跳的最高次数是多少？ 解：（1）把m＝16代入0.8（220－m），得 0.8×（220－16）≈163（次）。 典例导思 （2）一个50岁的人运动时，30秒心跳的次数为70次， 他有危险吗？ 解：（2）把m＝50代入0.8（220－m），得 0.8×（220－50）＝136（次）。 70×2＝140（次）。 因为140＞136，所以他有危险。 典例导思 $$第三章　整式及其加减 1　代数式 第3课时　整　式 1. 单项式的有关概念 （1）数与 的乘积组成的代数式叫作单项式。 单独一个数或一个字母也是单项式。 （2）单项式中的 ⁠叫作这个单项式的系 数。 （3） 的指数和叫作这个单项式的次数， 单独一个非零数的次数是 ⁠。 字母　 数字因数　 所有字母　 0　 知识导航 ②单项式中，只含有乘法或乘方运算，例如 不是单式； ③π是数而非字母，例如－ πab3的系数为－ π，次数为4；单项式的系数包含它前面的符号； ④单独的一个字母的系数为1或－1，次数为1，例如a的系数为1，次数为1；单独的一个非零数的系数为它本身，次数为0，例如－2的系数为－2，次数为0。 注意：①单项式中，分母不含字母，但可以是数字，例如a2b是单项式，而 不是单项式； 知识导航 2. 多项式的有关概念 （1）几个 的和叫作多项式。在多项式中， 每个单项式叫作多项式的 ，其中不含字母的项叫 作常数项。 （2）一个多项式中， 的次数，叫作 这个多项式的次数。 （3）多项式的降幂排列：把一个多项式的各项按某个 字母的指数从大到小排列起来，叫作按这个字母的降幂 排列。 单项式　 项　 次数最高的项　 知识导航 注意：①多项式的每一项都包含它前面的符号； ②多项式的次数不是所有项的次数和； ③多项式计算的最后结果一般按照降幂排列。 例：把多项式x4－y4＋3x3y－2xy2－5x2y3用适当的方式排列。 （1）按字母x的降幂排列： ⁠； （2）按字母y的降幂排列： ⁠ ⁠。 3. 整式 和 统称整式。 x4＋3x3y－5x2y3－2xy2－y4　 －y4－5x2y3－2xy2＋3x3y＋　 单项式　 多项式　 x4　 知识导航 题型一　单项式及有关概念 下列代数式：2a2b，－y，－ ，9πa2， ， ，－42a2b4c，x3＋1，2 024，单项式有哪些，并 指出它们的系数和次数。 典例导思 解：如下表所示： 单项式 2a2b －y － 9πa2 － 42a2b4c 2 024 系数 2 －1 － 9π －16 2 024 次数 3 1 6 2 7 0 典例导思 [方法点拨] 单项式的判断方法：（1）不含加减运算， 单项式只含有乘积运算；（2）单项式数字因数与字母 可能一个或多个；（3）可以含有除以数的运算，不能 含有除以字母的运算。 典例导思 1. 下列说法中正确的是（　B　） A. 0不是单项式 B. － 的系数是－ C. －42a4b3c3的次数是4 D. 2πx2y的系数是2 B 典例导思 2. （1）单项式－22x2y3的系数是 ，次数是 ⁠； （2）单项式－ 的系数是 　－ 　，次数是 ⁠； （3）若－ axym是关于x，y的单项式，且系数为－4， 次数为4，则am＋6的值为 ⁠。 －4　 5　 － 　 3　 30　 典例导思 题型二　多项式及有关概念 指出下列多项式的项和次数，并说明它们是几次 几项式。 （1）x5－2x2－1； 解：（1）x5－2x2－1的项是x5，－2x2，－1，次数是 5，是五次三项式。 典例导思 （2）－3a3－3b3＋3； 解：（2）－3a3－3b3＋3的项是－3a3，－3b3，3，次 数是3，是三次三项式。 （3）－x6＋2x5y－x3y4＋2xy3－1。 解：（3）－x6＋2x5y－x3y4＋2xy3－1的项是－x6， 2x5y，－x3y4，2xy3，－1，次数是7，是七次五项式。 典例导思 [方法提炼] （1）求多项式的次数：比较多项式中各项 次数的大小，最大的即为多项式的次数。（2）多项式 的命名：多项式有几项，就叫作几项式，多项式的次数 是几，就叫作几次多项式，合称为几次几项式。（3） 多项式中某一项的次数是几，这一项就叫作几次项，不 含字母的项叫作常数项。 典例导思 3. 关于式子3x2－y＋3xy3＋x3－1，理解错误的是（　B　） A. 它属于多项式 B. 它是三次五项式 C. 它的常数项是－1 D. 它的最高次项的系数是3 B 典例导思 4. （1）已知多项式x4－（a－1）x3＋5x2＋（b＋3）x －1不含x3和x项，则3a＋b＝ ⁠； （2）多项式 －（m－3）x＋6是关于x的三次三项 式，则m＝ ⁠。 0　 －3　 典例导思 题型三　整式及有关概念 把下列各式分别填在相应的大括号里： 5， ， ＋b，π（R2－r2）， x2，3x＋2，－ x2＋yz，a2＋ －2。 单项式：{ 5， x2…}； 多项式：{ ＋b，π（R2－r2），3x＋2，－ x2＋ …}； 5， x2 ＋b，π（R2－r2），3x＋2，－ x2＋yz 整式：{5， ＋b，π（R2－r2）， x2，3x＋2，－ x2 …}。 5， ＋b，π（R2－r2）， x2，3x＋2，－ x2 ＋yz 典例导思 [知识点拨] （1）分母中含有字母的式子不是整式； （2）单项式和多项式都是整式；（3）单项式不含加、 减运算，多项式必含加、减运算。 典例导思 5. 在代数式－2ab，0， －22x3y， ， 中，整式 的个数有（　C　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6. 有下列代数式： ①－1；②－ ；③ ab3；④ ；⑤2x＋ ；⑥x2y2－ 2x3y＋y3，其中是单项式的是 ，是多项式的 是 。（填序号） C ①②③　 ④⑥　 典例导思 $$