2.3　有理数的乘除运算 课件　 2024—2025学年北师大版数学七年级上册

第二章　有理数及其运算 3　有理数的乘除运算 第1课时　有理数的乘法法则 1. 有理数乘法法则 （1）两数相乘，同号得 ，异号得 ，并 把 相乘。 （2）任何数与0相乘，积仍为 ⁠。 正　 负　 绝对值　 0　 知识导航 2. 倒数 如果两个有理数的乘积为 ，那么称其中一个数是 另一个数的 ，也称这两个有理数 ⁠ 。若ab＝1，则a，b互为倒数。反之，若a，b互为倒数，则ab＝1。 注意：（1）0没有倒数； （2）互为倒数的两个数符号相同； （3）倒数等于它本身的数是±1。 1　 倒数　 互为倒数 知识导航 3. 多个有理数相乘 （1）几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积是负数；当负因数的个数为偶数时，积是正数。 （2）几个数相乘，有一个因数为0，积就为 ⁠。 注意：①先定 ，再相乘； ②a·b＞0⇔a，b ⁠； a·b＜0⇔a，b ⁠； a·b＞0，且a＋b＞0⇒a＞0，b＞0； a·b＞0，且a＋b＜0⇒a＜0，b＜0。 0　 符号　 同号　 异号　 知识导航 题型一　有理数乘法法则 计算： （1）（＋4）×（－5）； 解：原式＝－（4×5）＝－20。 （2） × ； 解：原式＝＋ ＝ × ＝1。 典例导思 （4）（－3.25）× 。 解：原式＝－ ＝－（ × ）＝－ 。 [方法总结] 计算两个有理数相乘的步骤：（1）定符号 （同号为正，异号为负）；（2）绝对值相乘。 （3）0×（－2 025）； 解：原式＝0。 典例导思 1. 若两数的乘积为正数，则这两个数一定（　D　） A. 都是正数 B. 都是负数 C. 一正一负 D. 同号 D 典例导思 2. 计算： （1）－4× ＝ ⁠； （2）8×（－9）＝ ⁠； （3） × ＝ 　 　； （4） ×（＋1.2）＝ 　－ 　。 2　 －72　 　 － 　 典例导思 题型二　倒数 写出下列各数的倒数： －6，1，－ ，－2 ，0.5。 解：倒数分别是－ ，1，－5，－ ，2。 [方法点拨] 求带分数的倒数，先把带分数化为假分数， 再颠倒分子、分母的位置；求小数的倒数，先把小数化 成分数，再颠倒分子、分母的位置。 典例导思 3. 填空：（1）＋3的倒数是 ⁠； （2）－1的倒数是 ⁠； （3）0.2的倒数是 ⁠； （4）－1.2的倒数是 ⁠； （5）－ 的倒数是 　－ 　； （6）－1 的倒数是 　－ 　。 　 －1　 5　 － 　 － 　 － 　 典例导思 4. （1）－ 的倒数的绝对值是 ⁠； （2）－ 的倒数的相反数是 　 　。 2 024　 　 典例导思 题型三　多个有理数相乘 计算： （1）（－6）× × ； 解：原式＝6× × ＝2。 （2）（－2）×（－1）×0×1×2； 解：原式＝0。 （3）1.25× × × 。 解：原式＝－ × ＝－ 。 典例导思 5. 下列说法正确的是（　B　） A. 5个有理数相乘，当负因数有3个时，积为正 B. －1乘任何有理数等于这个数的相反数 C. 3个有理数的积为负数，则这3个有理数都为负数 D. 绝对值大于1的两个数相乘，积比这两个数都大 B 典例导思 6. 计算： （1）（－4）×7×（－1）×（－0.25）； 解：原式＝－（4×7×1×0.25）＝－7。 （2） × × × ； 解：原式＝ × × × ＝ 。 （3）（－1.2）×0.75×（－1.25）； 解：原式＝ × × ＝ 。 典例导思 （4）－ × ×1.25× ×（－1.8）。 解：原式＝ × × × × ＝1。 典例导思 $$第二章　有理数及其运算 3　有理数的乘除运算 第2课时　有理数的乘法运算律 有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位 置， 相等，即ab＝ ⁠； （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘， 或者先把 两个数相乘，积相等，即（ab）c＝a （bc）； 积　 ba　 后　 知识导航 （3）乘法对加法的分配律：一个数同两个数的和相 乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积 ⁠ ，即a（b＋c）＝ ⁠。 注意：灵活运用乘法运算律可以简化计算。 相 加　 ab＋ac　 知识导航 题型一　有理数的乘法运算律 计算： （1）4×（－96）×（－0.25）× ； 解：原式＝[4×（－0.25）]×［（－96）× ］ ＝（－1）×（－2） ＝2。 典例导思 （2）99 ×（－36）； 解：原式＝ ×（－36） ＝－3 600＋ ＝－3 599 。 典例导思 （3） ×（－12）； 解：原式＝ ×（－12）－ ×（－12）＋ ×（－12） ＝－3＋6－8 ＝－5。 典例导思 （4）3.14×1 ＋0.314× －31.4×0.2。 解：原式＝3.14× ＋3.14× －3.14×2 ＝3.14× ＝0。 [方法点拨] 运用乘法的交换律和结合律时，能约分的、 凑整的、互为倒数的数要尽可能地结合在一起。运用乘 法对加法的分配律时，要避免漏乘。 典例导思 1. 指出下列变化中所运用的运算律： （1）3×（－2）×（－5）＝3×[（－2）×（－5）] ⁠； （2）48× ＝48× －48× ⁠ ⁠。 乘法结合律　 乘法对加法的 分配律　 典例导思 2. 利用简便方法计算： （1） × × × ； 解：原式＝ × ＝1× ＝ 。 典例导思 （2） ×（－24）； 解：原式＝ ×（－24）＋ ×（－24）＋ × （－24） ＝6－8＋10 ＝8。 典例导思 （3）－6× ＋4× －5× ； 解：原式＝（－6＋4－5）× ＝－7× ＝－3。 典例导思 （4）－2 ×7。 解：原式＝－ ×7 ＝－ ＝－ ＝－20 。 典例导思 题型二　定义新运算 已知x，y为有理数，现规定一种新运算※，满足 x※y＝xy＋1，如1※2＝1×2＋1＝3。 （1）求2※4的值； 解：（1）2※4＝2×4＋1＝8＋1＝9。 （2）求（1※4）※（－2）的值。 解：（2）（1※4）※（－2）＝（1×4＋1）※（－2） ＝5※（－2）＝5×（－2）＋1＝－10＋1＝－9。 典例导思 3. 若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab， 如2*3＝4×2×3＝24。则（－2）*（6*3）＝ ⁠ ⁠。 － 576 典例导思 （1）求1△（－3）的值； 解：（1）1△（－3）＝1×（－3）＋ －2 ＝－3＋4－2 ＝－1。 4. 已知x，y均为有理数，现规定一种新运算“△”，满 足x△y＝xy＋ －2。例如1△2＝1×2＋ －2 ＝1。 典例导思 （2）求[3△（－2）]△4的值； 解：（2）[3△（－2）]△4＝（－6＋ －2）△4 ＝（－6＋5－2）△4 ＝（－3）△4 ＝（－3）×4＋ －2 ＝－12＋7－2 ＝－7。 典例导思 （3）计算2△5和5△2的值，并根据计算结果判断这种新 定义是否满足交换律。 解：（3）2△5＝2×5＋ －2＝10＋3－2＝11， 5△2＝5×2＋ －2＝10＋3－2＝11， ∴2△5＝5△2， 根据计算结果判断这种新定义满足交换律。 典例导思 $$第二章　有理数及其运算 3　有理数的乘除运算 第3课时　有理数的除法 1. 有理数除法法则 两数相除，同号得 ，异号得 ，并把绝对 值 ，0除以任何非0的数都得 ⁠。 注意：①先定 ，再相除； 正　 负　 相除　 0　 符号　 ② 不能作除数； ③有理数的除法与有理数的 互为逆运算。 0　 乘法　 2. 除法可以转化成乘法，除以一个不为0的数等于乘这 个数的 。即：a÷b＝a× （b≠0，其中a是被 除数，b是除数）。 倒数　 知识导航 3. 几个非0的有理数相除，商的符号由 ⁠的个数 决定，当负数的个数为奇数时，商为 ；当负数 的个数为偶数时，商为 ，简称为“奇负偶正”。 4. 有理数的乘除混合运算，一般先将除法转化成 ⁠ ，将带分数化成 ，再进行计算。 负数　 负数　 正数　 乘 法　 假分数　 知识导航 题型一　有理数除法法则 计算： （1）6÷（－3）； 解：原式＝－（6÷3）＝－2。 （2）－24÷（－8）； 解：原式＝＋（24÷8）＝3。 （3）1 ÷ ； 解：原式＝ × ＝－ 。 典例导思 （4）（－1）÷ ÷ 。 解：原式＝（－1）÷ ÷ ＝（－1）× × ＝－ × ＝－ 。 典例导思 1. 两个数的商为正数，则这两个数（　C　） A. 都为正 B. 都为负 C. 同号 D. 异号 C 典例导思 2. 计算： （1）（－6.5）÷（－0.5）； 解：原式＝13。 （2）0÷（－1 000）； 解：原式＝0。 （3） ÷5 ； 解：原式＝－ 。 典例导思 （4）9÷ ÷ 。 解：原式＝－4。 典例导思 题型二　有理数的乘除混合运算 计算： （1）－ ÷ × ； 解：原式＝－ × × ＝ 。 （2）1 ÷（－10）× ÷ ； 解：原式＝ × × × ＝－ 。 典例导思 （3） ÷ 。 解：原式＝ ×（－36） ＝ ×（－36）－ ×（－36）＋ ×（－36） ＝（－9）－（－1）＋（－4） ＝（－9）＋1＋（－4） ＝－12。 典例导思 3. 计算： （1） ÷（－3）× ； 解：原式＝ × × ＝－ 。 （2）（－81）÷2 × ÷（－15）； 解：原式＝81× × × ＝ 。 典例导思 （3） ÷9； 解：原式＝ × ＝－4－ ＝－4 。 （4）（－36）÷ 。 解：原式＝（－36）× ＝－48。 典例导思 题型三　有理数除法的综合运用 已知a，b为有理数，且ab＞0，则 ＋ ＋ 的 值是 ⁠。 [分析] 先根据ab＞0，可得a，b同号，分a，b都大于 零，a，b都小于零进行讨论，再利用绝对值的性质去掉 绝对值符号，最后进行计算即可得出答案。 3或－1　 典例导思 4. 若a＋b＞0，a－b＜0， ＜0，则下列结论正确的是 （　C　） A. a＞0，b＞0 B. a＜0，b＜0 C. a＜0，b＞0且 ＜ D. a＞0，b＜0且 ＞ C 5. 若abc＞0，a＋b＋c＜0，则 ＋ ＋ ＝ ⁠。 －1　 典例导思 $$