2.2　有理数的加减运算 课件 　 2024—2025学年北师大版数学七年级上册

第二章　有理数及其运算 2　有理数的加减运算 第1课时　有理数的加法法则 有理数加法法则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值 ⁠ ⁠。 （2）异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等 时，取绝对值 的数的符号，并用较大的绝对 值 较小的绝对值。 （3）一个数同0相加，仍得 ⁠。 相 加　 较大　 减　 这个数　 （4）互为相反数的两数相加得 ⁠。 0　 知识导航 注意：两个有理数相加，一是辨别加数是同号还是异 号；二是确定和的符号；三是计算，要么把两数的绝对 值相加，要么把两数的绝对值相减。简称“一辨、二 定、三算”。 知识导航 题型一　运用有理数的加法法则进行计算 计算： （1）（－13）＋（－2）； 解：原式＝－（13＋2）＝－15。 （2）（－4.5）＋1.5； 解：原式＝－（4.5－1.5）＝－3。 （3）14 ＋ ； 解：原式＝0。 典例导思 （4）1 ＋（－0.6）； 解：原式＝ ＋ ＝＋ ＝ 。 （5）0＋（－4.6）。 解：原式＝－4.6。 典例导思 1. 下列各式的值的符号为负的是（　B　） A. （－15）＋25 B. （－3.3）＋（－1） C. ＋ D. （＋5）＋0 B 典例导思 2. 计算： （1）（＋9.5）＋（－8.1）； 解：原式＝1.4。 （2） ＋ ； 解：原式＝－ 。 （3）（－25.1）＋ ； 解：原式＝0。 （4）（－1.8）＋2.5＋（－0.7）。 解：原式＝0。 典例导思 3. 已知 ＝7， ＝3，且 ＝a＋b，求a＋b 的值。 解：∵ ＝7， ＝3，∴a＝±7，b＝±3。 又∵ ＝a＋b，∴a＋b≥0， ∴a＝7，b＝±3， ∴当a＝7，b＝3时，a＋b＝7＋3＝10； 当a＝7，b＝－3时，a＋b＝7＋（－3）＝4。 综上所述，a＋b＝10或4。 典例导思 题型二　有理数加法法则的应用 某特技飞行队进行特技表演，其中一架飞机起飞 后的高度变化如下表： 高度变化 记作 上升4.5 km ＋4.5 km 下降3.2 km 上升1.1 km 下降1.4 km 典例导思 （1）完成上表； 解：（1）从上到下依次填入：－3.2 km，＋1.1 km， －1.4 km。 （2）飞机完成上述四个表演动作后，飞机飞行的高度 是多少千米？ 解：（2）（＋4.5）＋（－3.2）＋（＋1.1）＋（－ 1.4）＝1（km）。 答：飞机飞行的高度是1 km。 典例导思 （3）如果飞机每上升或下降1 km需消耗2升燃油，那么 这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升 燃油？ 解：（3）2×（ ＋ ＋ ＋ ）＝ 2×10.2＝20.4（升）。 答：一共消耗了20.4升燃油。 典例导思 4. 某市1月份某一天早晨的气温是－3 ℃，中午上升了8 ℃，则中午的气温是（　B　） A. －5 ℃ B. 5 ℃ C. 3 ℃ D. －3 ℃ B 5. 某班3名学生在一次数学测验中的成绩以90分为标 准，超过的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录 如下：－3，＋9，0，则他们的平均成绩是 分。 92　 典例导思 $$第二章　有理数及其运算 2　有理数的加减运算 第2课时　有理数的加法运算律 1. 有理数的加法运算律 （1）交换律：两数相加，交换 的位置， 和 ，即：a＋b＝b＋a； （2）结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者 先把 相加，和 ，即：（a＋b）＋ c＝a＋（b＋c）。 加数　 不变　 后两个数　 不变　 知识导航 2. 有理数加法的运算技巧 （1）凑零：把互为相反数的两个数结合相加； （2）凑整：把和为整数的数结合相加； （3）同号相加：把符号相同的数结合相加； （4）分数相加：把分母相同的数结合相加； （5）带分数相加：化为整数部分＋分数部分（拆项 法）； （6）分小互化：分数⇔小数。 知识导航 题型一　有理数的加法运算律 计算： （1）（－3）＋40＋（－32）＋（－8）； 解：原式＝（－3）＋[40＋（－32）＋（－8）] ＝（－3）＋0＝－3。 （2）5 ＋ ＋ ＋（－8.25）； 解：原式＝［5 ＋ ］＋［ ＋（－8.25）］ ＝7＋（－9）＝－2。 典例导思 （3）5.6＋（－0.9）＋4.4＋（－8.1）＋（－1）； 解：原式＝（5.6＋4.4）＋[（－0.9）＋（－8.1）＋ （－1）] ＝10＋（－10）＝0。 （4）（－0.5）＋3 ＋2.75＋ 。 解：原式＝[（－0.5）＋（－5.5）]＋（3.25＋2.75） ＝－6＋6＝0。 典例导思 1. 运用加法运算律计算 ＋（－18）＋ ＋（－6.8）＋18＋（－3.2）最适当的是（　D　） D A. ＋[（－18）＋（－6.8）＋（－3.2）] B. ［ ＋（－6.8）＋ ］＋[（－18）＋18＋（－3.2）] C. ＋［ ＋（－6.8）］＋[18＋（－3.2）] D. ＋[（－18）＋18]＋[（－6.8）＋（－3.2）] 典例导思 2. 计算： （1）（－14）＋（－12）＋12＋34； 解：原式＝20。 （2）－2 ＋ ＋ ； 解：原式＝－4 。 典例导思 （3）4.1＋ ＋ ＋（－10.1）＋7； 解：原式＝1 。 （4）（－30.1）＋12.5＋ ＋30.1＋ （－7.25）。 解：原式＝5。 典例导思 题型二　有理数加法运算律的应用 快递配送员王叔叔一直在一条南北走向的街道上 送快递，如果规定向北为正，向南为负，某天他从出发 点开始所行走的路程记录为（长度单位：km）：＋3， －4，＋2，＋3，－1，－1，－3。 典例导思 （1）这天送完最后一个快递时，王叔叔在出发点的什 么方向，距离是多少？ 解：（1）由题意，得（＋3）＋（－4）＋（＋2）＋ （＋3）＋（－1）＋（－1）＋（－3）＝[（－4）＋ （－1）＋（－1）＋（－3）]＋[（＋3）＋2＋3]＝－1 （km）。 答：王叔叔送完最后一个快递时，在出发点的南方，距 离出发点1 km。 典例导思 （2）如果王叔叔送完快递后，需立即返回出发点，那 么他这天送快递（含返回）共耗油多少升？（已知每千 米耗油0.2升） 解：（2）设王叔叔总的行驶路程为s，则 s＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝18（km）。 因为每千米耗油0.2升， 所以耗油量为18×0.2＝3.6（升）。 答：王叔叔这天送快递（含返回）共耗油3.6升。 典例导思 [易错点拨] 这里的负数不是代表路程为负数，而是代表 方向，路程是所有数的绝对值的和。 典例导思 3. 小明的爸爸买了一种股票，每股10元，下表记录了 在一周内该股票的涨跌的情况（用正数记股价比前一日 的上涨数，用负数记股价比前一日的下跌数），该股票 这五天中的最高价是 元。 星期 一 二 三 四 五 股票涨跌 （元） 0.2 0.35 －0.15 0.2 －0.3 10.6　 典例导思 4. 有一批食品罐头，标准质量为每听454 g，现抽取10 听样品进行检测，结果如下表（单位：g）： 听 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 质 量 444 459 454 459 454 454 449 454 459 464 这10听罐头的总质量是多少？ 典例导思 解：解法一： 444＋459＋454＋459＋454＋454＋449＋454＋459＋464 ＝444＋459×3＋454×4＋449＋464＝4 550（g）。 答：这10听罐头的总质量是4 550 g。 典例导思 解法二： 把超过标准质量的克数用正数表示，不足标准质量的克数用负数表示，列出10听罐头的质量与标准质量的差值表如下（单位：g）： 听号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 质量 －10 ＋5 0 ＋5 0 0 －5 0 ＋5 ＋10 这10听罐头的质量与标准质量的差值和为 （－10）＋5＋0＋5＋0＋0＋（－5）＋0＋5＋10＝ [（－10）＋10]＋[（－5）＋5]＋（5＋5）＝10（g）。 因此，这10听罐头的总质量为454×10＋10＝4 540＋10＝4 550（g）。 典例导思 $$第二章　有理数及其运算 2　有理数的加减运算 第3课时　有理数的减法法则 1. 有理数减法法则 减一个数，等于加这个数的 ，即a－b＝a＋ （－b）。 2. 将减法转化为加法时，注意“两变” 一是减号变加号，二是把减数变成它的相反数。 相反数　 知识导航 题型一　有理数减法法则 计算： （1）－3－（＋7）； 解：原式＝（－3）＋（－7）＝－10。 （2）0－（－3）； 解：原式＝0＋3＝3。 （3） － ； 解：原式＝ ＋ ＝ 。 典例导思 （4）－2 － ； 解：原式＝－2 ＋ ＝－2。 （5）1.8－（＋2.5）； 解：原式＝1.8＋（－2.5）＝－0.7。 （6）（＋9）－（－10）－（＋20）。 解：原式＝9＋10＋（－20）＝－1。 典例导思 1. 下列计算正确的是（　D　） A. 7＋（－5）＝12 B. 0－2 024＝2 024 C. 10－（－10）＝0 D. －2.1－2.9＝－5 2. 若 ＝7， ＝5， ＝－x－y，则x－y的值 为 ⁠。 D －12或－2　 典例导思 （1）（－6）－9； 解：原式＝－15。 （2）（－6）－（－9）； 解：原式＝3。 （3）1.8－（－2.6）； 解：原式＝4.4。 （4） －4 ； 解：原式＝－7。 3. 计算： （5）1－2＋3－4＋5－6＋…＋101－102。 解：原式＝－51。 典例导思 题型二　有理数减法的简单应用 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段AB＝0－（－1）＝1；线段BC＝2－0＝2；线段AC＝2－（－1）＝3。则： （1）数轴上点M，N代表的数分别为－9和1，则线段 MN＝ ⁠； 10　 典例导思 （3）数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示 的数为2，则另一个点表示的数为 ⁠。 7或－3　 （2）数轴上点E，F代表的数分别为－6和－3，则线段 EF＝ ⁠； 3　 典例导思 4. （2024·成都七中）圆圆同学想了解成都某天的天气 情况，在某气象网站查询到成都这天的最低气温为－7 ℃，最高气温为4 ℃，则成都这天的温差（最高气温与 最低气温的差）为（　D　） A. －7 ℃ B. －11 ℃ C. 4 ℃ D. 11 ℃ D 典例导思 6. 点A，B，C在同一条数轴上，其中点A，B表示的数 分别为－2，4。若BC＝7，则AC＝ ⁠。 1或13　 5. 已知M是6的相反数，N比M的绝对值小2，则M－N 等于（　C　） A. 1 B. 8 C. －10 D. 2 C 典例导思 7. 根据题意列式计算： （1）一个加数是1.8，和是－0.81，求另一个加数； 解：（1）－0.81－1.8＝－0.81＋（－1.8）＝－2.61。 （2）求－ 的绝对值与 的相反数的差。 解：（2） － ＝ ＋ ＝1。 典例导思 $$第二章　有理数及其运算 2　有理数的加减运算 第4课时　有理数的加减混合运算 1. 有理数的加减混合运算 （1）有理数的减法可以转化为加法，所以有理数的加 减混合运算可以统一成加法运算。 （2）我们把省略了括号及括号前面的加号的几个有理 数的和的式子叫作这几个数的代数和。 2. 代数和的两种读法 一是看成几个有理数的和，二是按运算来读。 知识导航 3. 有理数的加减混合运算的步骤 （1）将减法统一转化成 ⁠； （2）省略 和加数前的括号； （3）利用加法法则、运算律简化运算。 注意：使用交换律时一定要连同前面的符号一起交换。 加法　 加号　 知识导航 题型一　有理数的代数和 把（－5）＋（－6）－（－9）－2写成省略括号的代数和形式，并说出代数和的读法。 解：原式＝（－5）＋（－6）＋（＋9）＋（－2） ＝－5－6＋9－2。 读法一：负5、负6、正9、负2的和。 读法二：负5减6加9减2。 [方法点拨] 加减混合运算写成代数和的形式：先统一成加法，再省略括号和括号前的加号。注意减号不能省略。 典例导思 1. 把式子＋（－12）－（－8）－（＋7）＋（－9）写 成省略括号的代数和形式是（　D　） A. －12－8＋7－9 B. ＋12＋8－7＋9 C. ＋12＋8－7－9 D. －12＋8－7－9 D 典例导思 2. 把下列各式写成省略括号的代数和形式，并说出它 们的读法。 （1）－20－（＋8）－（＋6）－（－19）； 解：原式＝－20－8－6＋19。 读法一：负20、负8、负6、正19的和； 读法二：负20减8减6加19。 典例导思 （2） － － ＋ ＋ 。 解：原式＝ ＋ ＋ ＋ － 。 读法一：正 、正 、正 、正 、负 的和； 读法二： 加 加 加 减 。 典例导思 题型二　有理数的加减混合运算 计算： （1）－20＋（－14）－（－18）－13； 解：原式＝－20－14＋18－13 ＝（－20－14－13）＋18 ＝－47＋18 ＝－29。 典例导思 （2） ＋ － － ＋1； 解：原式＝－ ＋ － ＋ ＋1 ＝ ＋ ＋1 ＝ ＋0＋1 ＝1 。 典例导思 （3）－0.5－ ＋2.75－ ； 解：原式＝－0.5＋3.25＋2.75－7.5 ＝（－0.5－7.5）＋（3.25＋2.75） ＝－8＋6 ＝－2。 典例导思 （4）2 ＋ －｜ －（＋0.25）｜。 解：原式＝2 －3 －3 ＝（2－3－3）＋ ＝－4 。 典例导思 [思维点拨] 在进行有理数的加减混合运算时，统一成加 法后，应根据题目特点，适当运用加法运算律，如：把 同号的、同分母的或互为相反数的数分别结合，以简化 计算，提高运算的速度及准确性。 典例导思 3. 对－2＋3－4＋5交换加数的位置的变形中，正确的 是（　B　） A. －2＋4－3＋5 B. －2－4＋3＋5 C. －2－4－3＋5 D. －2＋3＋5＋4 B 典例导思 4. 如图是一个运算程序，若输入－1，按如图所示的程 序运算，则输出的结果为（　A　） A. 3 B. －5 C. 0 D. 5 （第4题） A 5. d是最大的负整数，e是最小的正整数，f的相反数等 于它本身，则d＋e－f的值为 ⁠。 0　 典例导思 6. 计算： （1）（＋9）－（＋10）＋（－2）－（－8）＋（＋3）； 解：原式＝9－10－2＋8＋3 ＝（9＋8＋3）＋（－10－2） ＝20－12 ＝8。 典例导思 （2）（－5.13）＋（＋4.62）＋（－8.47）－（－2.38）； 解：原式＝－5.13＋4.62－8.47＋2.38 ＝（－5.13－8.47）＋（4.62＋2.38） ＝－13.6＋7 ＝－6.6。 典例导思 （3） ＋ ＋ － －（＋1）； 解：原式＝－2 ＋ ＋ ＋ －1 ＝ ＋ ＝－ 。 典例导思 （4） － 。 解：原式＝ ＋ － ＝ ＋ － ＝0。 典例导思 $$第二章　有理数及其运算 2　有理数的加减运算 第5课时　有理数的加减混合运算的应用 数学来源于生活，在学习了有理数的加减法后，我 们可以从有理数的角度去观察描述如水位变化、海拔高 低变化、盈亏变化、卡片游戏等实际问题。 解决实际问题，先用数学语言表示实际问题，然后 选择适当的算法，从而用数学思想方法解决实际问题。 知识导航 1. 水位的变化问题是典型的利用有理数的加减混合运 算解决的实际问题。 （1）“正号表示水位比前一天 ，负号表示水 位比前一天 ”中，参考对象是前一天的水位； （2）“正号表示比某一参考水位 ，负号表示 比某一参考水位 ”中，参考对象是某一具体水 位值。 2. 用折线统计图表示变化情况时，注意所描的点是变 化后的数据，而不是变化的数据。 上升　 下降　 上升　 下降　 知识导航 题型一　有理数加减混合运算的实际应用 318国道道路检修小组某天乘一辆汽车沿公路东西 方向检修线路。他们从泗安出发到收工，所走路程是： 向东22 km，向西49 km，向东4 km，向西15 km，向东 17 km，又向西7 km，最后向东19 km。 典例导思 （1）请计算收工时，检修小组在泗安的哪一边，距泗 安多远？ 解：（1）根据题意，设向东为正，则 22－49＋4－15＋17－7＋19＝－9（km）， 所以收工时，检修小组在泗安的西边，距泗安9 km。 典例导思 （2）若每千米汽车耗油量为0.06 L，则从出发到收工 该检修小组耗油多少升？ 解：（2）（22＋49＋4＋15＋17＋7＋19）×0.06＝ 7.98（L）， 所以从出发到收工该检修小组耗油7.98 L。 [误区点拨] 解题时要注意正负号与方向的关系。总路程 与方向无关，即与正负号无关。 典例导思 1. 在班级元旦联欢会上，主持人邀请李强、张华两位 同学参加一个游戏。游戏规则是每人每次抽取4张卡 片，游戏开始时数字都为0，如果抽到白色卡片，那么 加上卡片上的数字；如果抽到灰色卡片，那么减去卡片 上的数字。比较两人所抽4张卡片的计算结果，结果小 的为同学们唱歌。 典例导思 张华同学抽到了下面4张卡片： 李强、张华谁会为同学们唱歌呢？ 李强同学抽到了下面4张卡片： 典例导思 解：李强抽取的卡片的计算结果是： ＋ －（－5）＋4＝－ － ＋5＋4＝7。 张华抽取的卡片的计算结果是： ＋ － ＋5－0＝－ ＋ ＋5＝4 。 ∵7＞4 ， 所以张华会为同学们唱歌。 典例导思 2. 某冷库一周内水果进、出库吨数如下（ “＋”表示 进库，“－”表示出库）： ＋16，－22，＋34，－28，－15，－20 （1）通过计算说明，这一周冷库里的水果是增加了还 是减少了？ 解：（1）（＋16）＋（－22）＋（＋34）＋（－28） ＋（－15）＋（－20）＝－35（吨）。 ∴这一周冷库里的水果减少了。 典例导思 （2）经过这一周，冷库管理员结算时发现冷库里还存有90吨水果，那么一周前冷库里存有水果多少吨？ 解：（2）90＋ ＝125（吨）。 答：一周前冷库里存有水果125吨。 （3）如果进、出库的装卸费都是每吨12元，那么这一周需付多少装卸费？ 解：（3）（ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ）×12＝135×12＝1 620（元）。 答：这一周需付1 620元装卸费。 典例导思 题型二　已知表格信息解决实际问题 随着手机的普及，微信的兴起，许多人抓住这种 机会，做起了“微商”，很多农产品改变原来的销售模 式，实行网上销售。刚大学毕业的小明把自家的冬枣产 品放到网上，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种 原因，实际每天的销售量相比有出入，下表是某周的销 售情况（超额记为正，不足记为负。单位：斤）： 典例导思 星期 一 二 三 四 五 六 日 计划量 的差额 ＋4 －3 －5 ＋14 －8 ＋21 －6 （1）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量 最少的一天多销售 　　　　斤； 解：（1）21－（－8）＝29（斤）。 典例导思 （2）此前的上个周日小明卖了100斤冬枣，现在用正数 表示比前一天多的销售量，负数表示比前一天少的销售 量。完成下面的销量变化表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际销售量比 前一天的变化 量 典例导思 解：（2）星期一实际销售100＋4＝104（斤）， 星期二实际销售100－3＝97（斤）， 星期三实际销售100－5＝95（斤）， 星期四实际销售100＋14＝114（斤）， 星期五实际销售100－8＝92（斤）， 星期六实际销售100＋21＝121（斤）， 星期日实际销售100－6＝94（斤）， 本周每天实际销售量比前一天的变化量分别为：＋4， －7，－2，＋19，－22，＋29，－27，填表如下： 典例导思 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际销售量比 前一天的变化 量 ＋4 －7 －2 ＋19 －22 ＋29 －27 典例导思 （3）求本周实际销售总量与计划总量相比，具体增加 或减少了多少斤？ 解：（3）＋4－3－5＋14－8＋21－6＝17（斤）， 所以本周实际销售总量与计划总量相比，具体增加了 17斤。 典例导思 3. “十·一”国庆期间，初一某班同学自发组织了一个 读好书打卡活动，要求国庆七天每天读书30分钟，连续 成功打卡7天的同学将在国庆后得到一份班级神秘大 奖。小艾同学由于种种原因，实际每天读书时间与要求 相比有些出入，如表是小艾同学国庆七天的读书情况 （比前一天多读的分钟数记为正，比前一天少读的分钟 数记为负），10月1日在30分钟基础上计时的，请根据 表格当中的数据回答下列问题： 典例导思 日期 10月 1日 10月 2日 10月 3日 10月 4日 10月 5日 10月 6日 10月 7日 时间 变化 （分 钟） ＋8 －2 －4 ＋7 －10 ＋7 －9 （1）10月2日小艾同学的实际读书时间为 分钟； （2）七天内小艾同学读书时长最长的是10月 日； 36　 4　 典例导思 （3）小艾同学在此次读书打卡活动中 （填 “能”或“不能”）连续七天打卡成功，同时请求出小 艾同学国庆七天实际读书多长时间？ 解：（3）10月1日读书：30＋8＝38（分钟）， 10月2日读书：38－2＝36（分钟）， 10月3日读书：36－4＝32（分钟）， 10月4日读书：32＋7＝39（分钟）， 10月5日读书：39－10＝29（分钟）， 10月6日读书：29＋7＝36（分钟）， 不能　 典例导思 10月7日读书：36－9＝27（分钟）。 ∵10月5日读书只有29分钟，10月7日读书只有27分钟， 不满足每天读书30分钟的要求， ∴小艾同学不能连续7天打卡成功。 7天实际读书时间为38＋36＋32＋39＋29＋36＋27＝237 （分钟）。 答：小艾同学国庆七天实际读书237分钟。 典例导思 $$