2.1　认识有理数 课件 　 2024—2025学年北师大版数学七年级上册

第二章　有理数及其运算 1　认识有理数 第1课时　有理数 1. 正、负数的概念及表示方法 大于0的数叫作正数，在正数前面加上“－”的数叫作 ，正数前面的“＋”往往省略不写，负数前 面的“－”不能省略。一个数前面的“＋”“－”叫作 它的性质符号。 注意：（1）0既不是正数，也不是负数，0是正数和负 数的分界点； （2）带“＋”号的数不一定是正数，如＋a，带“－” 号的数不一定是负数，如－a； 负数　 （3）a≥0⇔a是非负数，a≤0⇔a是非正数。 知识导航 2. 具有相反意义的量 为了表示具有相反意义的量，我们可以把其中一个量规 定为正的，把与这个量意义相反的量规定为负的，并分 别用“＋”“－”来表示。 注意：（1）具有相反意义的量包含两个要素：①它们 的意义相反；②它们都是数量，且是同类的量。 知识导航 （2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，把其中 一种意义的量规定为正，那么与它意义相反的量就用负 来表示，哪种意义为正，是可以任意规定的，但习惯上 把“前进”“上升”“收入”“零上温度”等规定为 正，而把“后退”“下降”“支出”“零下温度”等规 定为负。 知识导航 3. 整数和分数 （1）整数：整数包含 整数， ⁠整数和 ⁠。 非负整数包含 整数和 ，即自然数； 非正整数包含 整数和 ⁠。 （2）分数：分数包含 分数和 分数。 4. 有理数的概念 与 统称有理数。 正　 负　 零　 正　 零　 负　 零　 正　 负　 整数　 分数　 知识导航 5. 有理数的分类 （1）按定义分：　　 （2）按性质符号分： 有理数 有理数 知识导航 注意：（1）百分数、有限小数、无限循环小数均可化 为分数，如0. ＝ ； （2）无限不循环小数不是有理数，如π。 知识导航 题型一　正数和负数的概念 下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ －15，－0.02， ，－ ，4，－2 ，1.3，0，3.14，π。 解：正数： ，4，1.3，3.14，π； 负数：－15，－0.02，－ ，－2 。 典例导思 1. 在－125％， ，25，0，－0.3，0.67，－4，－5 中，非负数有（　C　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 C 典例导思 题型二　具有相反意义的量 （1）下列四组量中，不具有相反意义的是 （　D　） A. 海拔“上升200米”与“下降400米” B. 温度计上“零上15 ℃”与“零下5 ℃” C. 盈利100元与亏本25元 D. 长3米与重10千克 D 典例导思 （2）在跳远测验中，陈老师把合格的标准定为4.00 米，小王跳了4.12米，陈老师登记为＋0.12米。如果小 张跳了3.85米，那么陈老师应登记为（　C　） A. ＋0.15米 B. －3.85米 C. －0.15米 D. ＋3.85米 C 典例导思 2. 刘徽在《九章算术注》对负数做了很自然的解释： “两算得失相反，要令正、负以名之”。若收入100元 记作＋100元，那么支出30元应记作（　B　） A. ＋30元 B. －30元 C. ＋70元 D. －70元 B 典例导思 3. 如果以学校为起点，沿龙腾大道向东走记为正，向 西走记为负。小江放学后从学校出发，先走了－50米去 公交站，又走了＋60米离开公交站去的士招呼点，此时 小江离学校的距离是（　A　） A. 10米 B. 20米 C. 30米 D. 50米 A 4. 如果“盈利5％”记作＋5％，那么－3％表示 ⁠ ⁠。 亏损 3％　 典例导思 题型三　有理数的概念 下列说法：①0是整数，也是偶数；②－0.6是负分 数，也是有理数；③一个有理数不是正数，就是负数； ④有理数不是整数就是分数。其中正确的有 ⁠ 。（填序号） [误区点拨] 注意0的特殊性，0既不是正数，也不是负 数，是整数，当然也是有理数。 ①② ④　 典例导思 5. 下面结论错误的是（　C　） A. 负分数都是有理数 B. 分数中除了正分数就是负分数 C. 有理数中除了正数就是负数 D. 0是有理数但不是正数 C 典例导思 6. 下列说法：①在有理数中，0的意义仅表示没有；② 0既不是正数，也不是负数，但它是有理数；③自然数 包括0和正整数；④3.14是小数，也是分数。其中正确 的个数为（　C　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 C 典例导思 题型四　有理数的分类 （1）把下列数分别填在相应的集合里。 3，－2， ，－1.2，0，0. ，13，－4 ， 。 正数集合：{3， ，0. ，13， …}； 负数集合：{－2，－1.2，－4 …}； 整数集合：{3，－2，0，13…}； 分数集合：{ ，－1.2，0. ，－4 …}； 3， ，0. ，13， －2，－1.2，－4 3，－2，0，13 ，－1.2，0. ，－4 典例导思 正整数集合：{3，13…}； 负分数集合：{－1.2，－4 …}； 非负有理数集合：{3， ，0，0. ，13…}。 3，13 －1.2，－4 3， ，0，0. ，13 3，－2， ，－1.2，0，0. ，13，－4 ， 。 典例导思 （2）在0，π， ，－0.1，3.14，－4，2.787 878… 中，非负有理数有（　B　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 B 典例导思 7. 在下列各数中：0， ，－ ，0.101 001，－10％， 5.2 ，分数有（　C　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 C 典例导思 8. 把下列各数填入相应的集合内： ＋8.5，－3 ，0.3，0，－3.4，12，－9，4 。 非负整数集合：{0，12，…}； 正分数集合：{＋8.5，0.3，4 ，…}； 非正有理数集合：{－3 ，0，－3.4，－9，…}。 0，12， ＋8.5，0.3，4 ， －3 ，0，－3.4，－9， 典例导思 $$第二章　有理数及其运算 1　认识有理数 第2课时　相反数和绝对值 1. 相反数的概念 如果两个数的 不同， 相等，我们称其 中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反 数。特别地，0的相反数是0。 注意：在一个数的前面加上“ ”即得到这个数的 相反数，即a的相反数为 ⁠。 符号　 数量　 －　 －a　 知识导航 3. 绝对值的概念 一个数的 叫作这个数的绝对值，记作 。 数量大小　 2. 相反数的性质 一对相反数的和为 ⁠。 即：a与b互为相反数，则 ⁠。 零　 a＋b＝0　 知识导航 4. 绝对值的性质 正数的绝对值是 ，负数的绝对值是 ⁠ ，0的绝对值是 ⁠。 即 ＝ 它本身　 它的相 反数　 0　 ＝ 知识导航 注意：（1）任何一个数a的绝对值总是非负数，即 ≥0； （2）绝对值等于本身的数是非负数，绝对值等于它的 相反数的数是非正数。 即 ＝a ⇒ ⁠； ＝－a ⇒ ⁠； （3）求绝对值应“先定再去”。 a≥0　 a≤0　 知识导航 题型一　相反数 （1）求下列各数的相反数： 6，－1.2，3 ，0，－ 。 解：相反数分别是：－6，1.2，－3 ，0， 。 典例导思 ④－ ＝ 　－ 　。 － 　 （2）化简下列各数： ①＋（－0.2）＝ ⁠； ②－（－10）＝ ⁠； ③－[＋（－a）]＝ ⁠； －0.2　 10　 a　 典例导思 1. （2024·雅安）2 024的相反数是（　B　） A. 2 024 B. －2 024 C. D. － 2. 下面两个数互为相反数的是（　C　） A. 和2 B. －（＋3）和＋（－3） C. －2.75和 D. ＋（＋9）和－（－9） B C 典例导思 4. x＋3的相反数是 ；－（x－1）的相 反数是 ⁠。 －（x＋3）　 x－1　 3. （1）－a＝9，那么a的相反数是 ⁠； （2）－x＝6，那么－x的相反数是 ⁠。 9　 －6　 典例导思 题型二　绝对值 求下面各数的绝对值： 5，－5，0，3 ，－3 ，－（－2）。 解： ＝5， ＝5， ＝0， ＝3 ， ＝3 ， ＝2。 典例导思 5. 若一个数的绝对值是 ，则这个数是（　C　） A. B. － C. 或－ D. 或－ C 典例导思 6. 填空： （1） ＝ ⁠； （2）－ ＝ ⁠； （3） 的相反数是 ⁠。 2.5　 －5　 －3　 典例导思 $$第二章　有理数及其运算 1　认识有理数 第3课时　有理数的大小比较 1. 绝对值的性质 （1）绝对值的非负性：绝对值是 数，即 ≥0。 （2）互为相反数的两个数的绝对值 ，即 ＝ 。 （3）绝对值相等的两个数，相等或互为相反数，即 ＝ ⇒ ，若 ＝ ，则 ⁠。 非负　 相等　 a＝±b　 a＝±b　 知识导航 （4）绝对值等于本身的数是 ，绝对值等于 它的相反数的数是 ，即：若 ＝a，则 a≥0；若 ＝－a，则a≤0。 （5）几个数的绝对值的和为零，则几个数同时为零， 即 ＋ ＝0⇔ ⁠。 非负数　 非正数　 a＝b＝0　 知识导航 2. 有理数的大小比较 （1）正数大于 ，负数小于 ，正数 ⁠ 负数。 （2）两个负数，绝对值大的 ⁠。 注意：（1）最大的负整数是 ，最小的正整数 是 ⁠； （2）0是最大的非正数，0也是最小的非负数。 0　 0　 大于　 反而小　 －1　 1　 知识导航 题型一　有理数的大小比较 把下列各数用“＞”连接起来。 （1）－11，1； （2）0，－0.01； 解：（1）因为正数大于负数，所以1＞－11。 （2）因为负数小于0，所以0＞－0.01。 典例导思 解：（3）因为 ＝ ， ＝2.3， 2.3＞ ，所以－ ＞－2.3。 （4）因为 ＝1 ， ＝ ， 1 ＞ ，所以－ ＞－1 。 （3）－ ，－2.3； （4）－1 ，－ ； 典例导思 解：（5）因为 ＝ ，－ ＝－ ， ＝ ， ＞ ，所以－ ＞－ 。 （6）因为－ ＝－ ，－ ＝ ， ＞－ ，所以－ ＞－ 。 （5）－ ，－ ； （6）－ ，－ 。 典例导思 1. （2024·重庆）下列四个数中，最小的数是（　A　） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 2. 比较大小： （1）－3 2； （2）－2.3 0； （3）－ － ； （4） － ； （5）－（－3） ； （6）－ －[－（－5.6）]。 A ＜　 ＜　 ＜　 ＞　 ＞　 ＞　 典例导思 题型二　绝对值概念的运用 （1）若 ＝2，则x＝ ；若 ＝ ， 则x＝ ⁠； （2）若 ＝6，且 m＞0，则 ＝ ⁠； （3）绝对值不大于3的整数有 ⁠； （4）绝对值小于π的非负整数有 ⁠； （5）当3＜x＜5时， ＋ ＝ ⁠。 ±2　 ±2.8　 3　 0，±1，±2，±3　 0，1，2，3　 2　 典例导思 3. （1）已知 ＝4，则x＝ ⁠； （2）已知 ＝ ，则a＝ 　± 　； （3）已知 ＝2，且m＞0，则 ＝ ⁠。 ±4　 ± 　 0　 典例导思 4. 已知 ＝3， ＝4，且a＞0，b＜0，求a，b的 值。 解：∵ ＝3，∴a＝±3。 ∵ ＝4，∴b＝±4。 ∵a＞0，b＜0， ∴a＝3，b＝－4。 典例导思 题型三　绝对值的性质的应用 （1）已知 ＋ ＝0，则x＝ ，y ＝ ⁠； （2）当x＝ 时，式子3＋ 有最小值，最小值 是 ⁠； （3）当x＝ 时，式子2 025－ 有 最大值，最大值是 ⁠。 2　 4　 4　 3　 －2 024　 2 025　 典例导思 5. 若 ＋ ＝0，则 ＋ 的值是 （　A　） A. 5 B. 1 C. 2 D. 0 6. （1）已知 ＝－ ，则2x＋5y ＝ ⁠； （2）当x＝ 时，5＋ 有最小值。 A 16　 2　 典例导思 $$第二章　有理数及其运算 1　认识有理数 第4课时　数　轴 1. 数轴的定义 规定了 、 和 ⁠的直线称 为数轴。 注意：任何一个有理数都可以用数轴上的一个 ⁠来 表示，但反过来，不能说数轴上所有点都表示有理数。 2. 数轴的画法 ①画 ；②取 ；③统一 ⁠ ；④定 ；⑤标数。 原点　 单位长度　 正方向　 点　 直线　 原点0　 单位长 度　 正方向　 知识导航 3. 相反数与绝对值的几何意义 （1）相反数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数 的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等。 （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是这个数 所对应的点到原点的距离。 4. 用数轴比较有理数的大小 数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边的数大。 知识导航 题型一　数轴及数轴上点的表示 （1）如图，在数轴上有A，B，C，D四个点，请 写出A，B，C，D分别表示什么数？ 解：（1）点A表示6，点B表示－4，点C表示4，点D 表示－1。 典例导思 （2）画一个数轴，并在这个数轴上表示出－5，0，＋ 3，－2的点。 [分析] 画数轴时，数轴的三要素缺一不可，但是单位长 度的选取要切合实际问题，以方便为佳。 解：（2）如答案图所示。 （答案图） 典例导思 1. 下面四位同学画的数轴中正确的是（　D　） A B C D D 典例导思 2. 指出下列数轴上A，B，C，D各点表示的有理数。 （第2题） 解：点A表示0，点B表示1.5，点C表示－1，点D表 示3。 典例导思 在单位长度为1的数轴上表示＋1的点在原点的 侧，与原点的距离是 个单位长度；表示 －1的点在原点的 侧，与原点的距离是 ⁠个单 位长度；数轴上一个点到原点的距离是4，那么该点表 示的数是 ⁠。 右　 1　 左　 1　 4或－4　 典例导思 3. 如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是－ 1，那么点B表示的数是（　D　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 （第3题） D 4. 在数轴上与－2所对应的点相距4个单位长度的点表 示的数是 ⁠。 2或－6　 典例导思 题型二　用数轴比较有理数的大小 （1）在数轴上把下列各数表示出来，并用“＜” 把它们连接起来： 1.5，－4，－2 ，2，－0.5。 解：在数轴上表示如下： （答案图） 所以－4＜－2 ＜－0.5＜1.5＜2。 典例导思 （2）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示： 比较大小： ① ； ② ； ③－a －b； ④－ ； ⑤b －c； ⑥－a 。 ＞　 ＞　 ＞　 ＜　 ＜　 ＞　 典例导思 5. 下列说法中正确的是（　D　） A. 在数轴上表示的两个有理数，大的在左边 B. 在数轴上表示的两个有理数，离原点近的大 C. 在数轴上表示的两个有理数，离原点远的小 D. 在数轴上表示的两个负有理数，离原点近的大 D 典例导思 6. 如图，数轴上点P表示的有理数可能是（　A　） A. －1.6 B. 2.4 C. －0.6 D. －0.4 （第6题） A 典例导思 7. 在数轴上把下列各数表示出来，并用“＞”把它们 连接起来： －2，3.5，－1 ，2.75，2 ，－ 。 解：在数轴上表示如下： （答案图） 所以3.5＞2.75＞2 ＞－1 ＞－2＞－ 。 典例导思 $$