第三单元倍数与因数（讲义）-2024-2025学年五年级上册数学北师大版

倍数与因数 板块一：典例精讲 1．奇数与偶数的初步认识 【知识点解释】 偶数：是2的倍数的数叫做偶数，又叫做双数，如：2、4、6、8等 奇数：不是2的倍数的数叫做奇数，又叫做单数，如：1、3、5、7等． 【知识点归纳】 奇数和偶数的性质： 奇数+奇数＝偶数，奇数﹣奇数＝偶数 奇数+偶数＝奇数，奇数﹣偶数＝奇数 奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数 2．找一个数的因数的方法 【知识点归纳】 1．分解质因数．例如：24的质因数有：2、2、2、3，那么，24的因数就有：1、2、3、4、6、8、12、24． 2．找配对．例如：24＝1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24的因数就有：1、24、2、12、3、8、4、6． 3．末尾是偶数的数就是2的倍数． 4．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样． 5．最后两位数能被4整除的数是4的倍数． 6．最后一位是5或0的数是5的倍数． 7．最后3位数能被8整除的数是8的倍数． 8．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除． 3．找一个数的倍数的方法 【知识点归纳】 找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限的． 1．末尾是偶数的数就是2的倍数． 2．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样． 3．最后两位数能被4整除的数是4的倍数． 4．最后一位是5或0的数是5的倍数． 5．最后3位数能被8整除的数是8的倍数． 6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除． 4．合数与质数的初步认识 【知识点解释】 合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数．“0”“1”既不是质数也不是合数． 质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数） 5．2的倍数特征 【知识点归纳】 （1）2 的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2 的倍数。 （2）偶数与奇数： ①自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数（俗称双数），习惯用2n表示。；最小的偶数是 0。 ②不是 2 的倍数的数叫做奇数（俗称单数），习惯用2n﹣1表示；最小的奇数是 1。 【方法总结】 奇数+奇数＝偶数 偶数+偶数＝偶数 奇数+偶数＝奇数 6．5的倍数特征 【知识点归纳】 （1）5 的倍数的特征：个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。 （2）如果一个数同时是 2 和 5 的倍数，那它的个位上的数字一定是 0。 【方法总结】 如果一个数是5的倍数，它的个位一定是0或5； 如果一个奇数是5的倍数，它的个位一定是5； 如果一个偶数是5的倍数，它的个位一定是0。 7．3的倍数特征 【知识点归纳】 3 的倍数的特征：一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 举例子：判断127是不是3的倍数，可以将它的各个数字相加，1+2+7＝10，10不是3的倍数，所以127不是3的倍数。 【方法总结】 1、3的倍数既有奇数，也有偶数； 每相邻的3个自然数中，就会有一个是3的倍数。 板块二：高频考点 一、选择题 1．23是（　　） A．质数 B．合数 C．倍数 D．因数 2．妈妈买了5瓶同样的洗衣液，每瓶x元（x为自然数），妈妈可能花了（    ）元。 A．103 B．104 C．105 D．106 3．下列各数中不是24的倍数的是（    ）。 A．24 B．48 C．96 D．100 4．既是6的倍数又是48的因数的数有（    ）个。 A．4 B．5 C．6 D．8 5．30的因数一共有（　　）个． A．8 B．7 C．6 D．5 6．五(1)班有17人参加舞蹈排练，如果每5人排成一队，至少再来(    )人能正好使每队人数一样多． A．2 B．3 C．4 D．5 7．一个两位数，它的个位是最小的质数，十位是最小的合数，这个数是（    ）。 A．42 B．91 C．93 D．91 8．20以内的自然数中，相邻两个自然数都是合数的有（    ）组。 A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 9．在28÷14＝2中，( )是( )的因数，( )是( )的倍数。 10．把下面各数填写到对应的框里。 37　42　53　45　61　78　97　51　83　64　58　91 11．□27是3的倍数，□里可以填的数字有( )个。 12．有一个算式4×8=32，那么可以说（ ）和（ ）是（ ）的因数，（ ）是（ ）和（ ）的倍数． 13．要使25□既是2的倍数，又是3的倍数，□里最大能填( )；要使5□0既是3的倍数，又含有因数5，□里最小能填( )。 14．在18、45、63、72、90和130中，是2的倍数的数是( )，是5的倍数的数是( )，是3的倍数的数是( )，同时是2、3和5的倍数的数是( )。 15．1-9的自然数中，奇数有( )个，偶数有( )个，既是偶数又是质数的是( )． 16．用6，0，9这三个数字组成的三位数中，能同时有因数2，3，5的数是( )和( )。 三、判断题 17．10的最大因数和最小倍数都是它本身。( ) 18．一个非0自然数的最小因数、最大倍数都是自身。( ) 19．任何一个奇数加上1以后，一定能被2整除。( ) 20．要使两位数6□同时是2和3的倍数，则□里只可以填0。( ) 21．在3.2÷0.8＝4中，4是3.2的因数，3.2是0.8的倍数。( ) 22．最小的自然数是0，最小的偶数也是0。( ) 23．一个数除了1和他本身以外还有别的因数，这个数叫作合数．( ) 24．因为3×5＝15，所以15是倍数，3和5是因数。（     ） 四、解答题 25．学校买来65盆鲜花，每5盆摆一个圆圈，能整好摆完吗？如果每3盆摆一个圆圈，至少需要拿走几盆花？如果每9盆摆一个圆圈，至少需要再买多少盆花？ 26．张阿姨买回来18个水果，让乐乐把水果放入水果篮中，不可以一次放完，也不可以一个一个地放，并且每次放的个数要相同，放到最后正好一个不剩。乐乐有几种放法？每种放法每次各放几个水果？ 27．40个同学平均分组做游戏，每组必须在4人或4人以上，应该怎样分组？ 28．用一根32厘米长的铁丝围成一个长方形，长和宽都是质数。这个长方形的面积最大是多少平方厘米？ 29．水果店运来50个苹果，至少要分成2堆，要求每堆的苹果个数相同，有几种分法？ 30．五（1）班学生人数在40至50之间，已知总人数同时是3和5的倍数，五（1）班有学生多少人？ 31．妈妈买了30根小布丁，往电冰箱放时，不是一次全部放进的，也不是一根一根往里放，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，一共有几种放法？每次分别放几个？ 32．有一堆苹果，如果3个3个的数，最后余2个，如果5个5个的数，最后余4个，如果7个7个的数，最后余6个，这堆苹果最少有多少个？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D A A B A C 1．A 【详解】试题分析：一个非0的自然数，除了1和它本身外没有别的因数的数叫质数，还有其它因数的数叫合数； 非0自然数a除以非0自然数b，得到的商是整数而且没有余数，那么数a叫做数b的倍数，数b叫做数a的约数或因数，据此解答． 解：23除了1和它本身外没有别的因数的数，所以是质数， 而选项C、D，都不能单独的说23是倍数或因数； 故选A． 点评：解答本题要明确因数、倍数、质数、合数的意义，注意倍数和因数是相互依存的，不能单独的说某数是倍数或因数． 2．C 【分析】由题可知，每瓶洗衣液x元，（x为自然数），妈妈买了5瓶，共花了5x元；根据5的倍数特点，尾数是“0”或“5”的自然数是5的倍数，据此解答即可。 【详解】由分析可知： 5×x＝5x 根据5的倍数特征，5x的尾数只能是“0”或“5”。 故答案为：C 【点睛】本题主要考查5的倍数特点。 3．D 【详解】A．24÷24＝1； B．48÷24＝2； C．96÷24＝4； D．100÷24≈4.2； 所以，100不是24的倍数。 故答案为：D 4．A 【分析】找一个数因数的方法，可以利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组一组地找；据此求出48的因数，再在48的因数中找出6的倍数即可。 【详解】48÷1＝48 48÷2＝24 48÷3＝16 48÷4＝12 48÷6＝8 则48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，其中是6的倍数有：6、12、24、48共4个。 故答案为：A 5．A 【详解】试题分析：根据找一个数的因数的方法，进行列举即可． 解：30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30，共8个； 故选A． 点评：解答此题应根据找一个数的因数的方法进行解答，注意写因数时要两个两个的写防止遗漏． 6．B 7．A 【分析】最小的合数是4，最小的质数是2，据此解答。 【详解】由分析可得：一个两位数，它的个位是最小的质数，十位是最小的合数，这个数是42。 故答案为：A 【点睛】本题考查质数和合数，明确质数和合数的定义是解题的关键。 8．C 【分析】在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数；除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数，公因数只有1的两个数为互质数；写出20以内的合数，找出相邻的即可。 【详解】20以内的合数有：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20，相邻的有：8和9、9和10、14和15、15和16，共4组。 故答案为：C 【点睛】此题根据质数、合数的含义进行解答，熟记20以内的质数、合数可以快速解题。 9． 14 28 28 14 【分析】如果数a能被b（b不等于0）整除，a叫做b的倍数，b叫做a的约数或a的因数，据此解答。 【详解】在28÷14＝2中，14是28的因数，28是12的倍数。 【点睛】解答此题的关键是掌握因数和倍数的意义，倍数和因数是相互依存的。 10． 【分析】自然数中，是2的倍数的数是偶数，不是2的倍数的数是奇数；一个大于1的自然数，除了1和它自身外，没有其它因数的数叫质数；除了1和它自身外，还有其它因数的数叫合数；据此解答。 【详解】在37、42、53、45、61、78、97、51、83、64、58、91中，奇数有37、53、45、61、97、51、83、91，偶数有： 42、78、64、58，质数有：37、53、61、97、83，合数有：42、45、78、51、64、58、91 【点睛】本题主要考查奇数偶数、质数合数的识别。 11．3 【分析】3的倍数特征：各个数位上的数加起来能被3整除，据此解答。 【详解】个位和十位上的数字之和：2＋7＝9 9＋0＝9（0不能写在首位） 9＋3＝12 9＋6＝15 9＋9＝18 12、15、18都能被3整除，则□里可以填的数字有3、6、9，共有3个。 【点睛】本题考查了3的倍数特征，要熟练掌握并运用。 12．4，8，32，32，4，8 【详解】试题分析：根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可． 解：因为4×8=32，所以32÷4=8，32÷8=4， 那么可以说4和8是32的因数，32是4和8的倍数； 故答案为4，8，32，32，4，8． 点评：此题考查了因数和倍数的意义． 13． 8 1 【分析】根据2的倍数特征：末尾是0、2、4、6、8的数是2的倍数，3的倍数特征是：各个数位上的数的数字和是3的倍数，则这个数是3的倍数，由于这个三位数是25□，2＋5＝7，由于7＋8＝15，15是3的倍数，所以□里最大填8；要使5□0是3的倍数，还是5的倍数，5＋0＝5，5＋1＝6，所以□最小能填1。 【详解】由分析可知：要使25□既是2的倍数，又是3的倍数，□里最大能填8；要使5□0既是3的倍数，又含有因数5，□里最小能填1。 【点睛】本题主要考查2、3、5的倍数特征，熟练掌握它们的特征并灵活运用。 14． 18、72、90、130 45、90、130 18、45、63、72、90 90 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 3的倍数特征：各个数位上的数字相加，和要能被3整除。 【详解】在18、45、63、72、90和130中， 是2的倍数的数是18、72、90、130； 是5的倍数的数是45、90、130； 是3的倍数的数是18、45、63、72、90； 同时是2、3和5的倍数的数是90。 【点睛】掌握2、3、5的倍数特征是解题的关键。注意既是2的倍数又是5的倍数的数，个位上是0。 15． 5 4 2 16． 690 960 【分析】能同时有因数2，3，5的数，也就是2，3，5的倍数，个位上是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数的数，据此解答。 【详解】用6，0，9这三个数字组成的三位数中，能同时有因数2，3，5的数是690和960。 【点睛】此题主要考查了2，3，5的倍数特征，需牢记并能灵活运用。 17．√ 【分析】一个非0自然数，它的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，即一个数的最小倍数和它的最大因数都是它本身；据此解答。 【详解】根据分析可知，一个非0自然数的最小倍数和它的最大因数都是它本身，所以10的最大因数和最小倍数都是它本身。 原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题主要是考查因数和倍数的意义，要记住一个数的最大因数和最小倍数都等于它本身。 18．× 【分析】一个非0自然数，它的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身；可以举例说明。 【详解】例如：5的因数有：1和5；最小因数是1，最大因数是5； 5的倍数有：5，10，15，…，最小倍数是5，没有最大倍数。 一个非0自然数的最大因数、最小倍数都是自身。 原题干说法错误。 故答案为：× 19．√ 【详解】任何一个奇数加上1以后变为与之相邻的偶数，故能被2整除。 如：3＋1＝4，4能被2整除； 21＋1＝22，22能被2整除； 故答案为√。 20．× 【分析】个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。根据2的倍数的特征可知：这个两位数可能是60、62、64、66、68。 一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。再根据3的倍数的特征，从60、62、64、66、68找出3的倍数。6＋0＝6，6是3的倍数，即60是3的倍数；6＋2＝8，8不是3的倍数，即62不是3的倍数；6＋4＝10，10不是3的倍数，即64不是3的倍数；6＋6＝12，12是3的倍数，即66是3的倍数；6＋8＝14，14不是3的倍数，即68不是3的倍数。即□里可以填0或6。 【详解】根据2、3的倍数的特征可知：要使两位数6□同时是2和3的倍数，则□里可以填0或6。原题说法错误。 故答案为：× 21．× 【分析】倍数相对应整数来说的，是在整数的基础上定义的，据此解答。 【详解】3.2和0.8都是小数，因此4不是3.2的因数，3.2不是0.8的倍数。 原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】一个整数能够被另一个整数整除，这个数就是另一个整数的倍数。 22．√ 【分析】最小的自然数是0；能被2整除的数叫做偶数，0能被2整除，0是最小的偶数。 【详解】根据自然数和偶数的定义，最小的自然数是0，最小的偶数也是0。 故答案为：√ 【点睛】本题考查了自然数和偶数的认识。 23．√ 24．× 【分析】因数和倍数是相互依存的，离开了因数也就无所谓倍数，离开了倍数也就无所谓因数，应当说哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数，依此判断。 【详解】因为3×5＝15，所以15是3和5的倍数，3和5是15的因数。 故答案为：× 25．见详解 【分析】根据是5的倍数的特征，即可判断每5盆摆一个圆圈，能否正好摆完；用花盆的数量除以3，可得余数是2，所以如果每3盆摆一圈，至少要拿走2盆花；最后65不能被9整除，而大于65且是9的整数倍的最小数是72，所以每9盆摆一个圆圈，至少需要再买（72－65）盆花，据此解答即可。 【详解】（1）因为65是5的13倍，所以每5盆摆一个圈，能正好摆完； （2）因为65÷3＝21……2（盆）， 所以如果每3盆摆一圈，至少需要拿走2盆花； （3）因为大于65且是9的整数倍的最小数是72，72－65＝7（盆） 所以如果每9盆摆一圈，至少需要再买7盆花。 答：每5盆摆一个圈，能正好摆完；如果每3盆摆一圈，至少需要拿走2盆花；如果每9盆摆一圈，至少需要再买7盆花。 【点睛】此题主要考查了公倍数应用题，解答此题的关键是熟练掌握是6、5、9的倍数的特征。 26．4种；每次放2个或每次放3个或每次放6个或每次放9个 【分析】要使每次拿的个数相同，拿到最后正好一个也不剩，说明每次拿出的个数都是18的因数（除了1和18），由此求解。 【详解】18＝2×9＝3×6 那么18的因数（除了1和18）为：2、3、6、9，所以共有4个因数，不可以一次放完，也不可以一个一个地放，并且每次放的个数要相同，放到最后正好一个不剩的方法共有4种：每次放2个或每次放3个或每次放6个或每次放9个。 答：4种。每次放2个或每次放3个或每次放6个或每次放9个。 【点睛】本题先把实际问题转化成数学问题，正好拿完，就没有余数，每次拿的个数就是18的因数（除了1和18），再根据求因数的方法求解。 27．每组4人或每组5人或每组8人或每组10人或每组20人 【分析】根据题意，找出哪些大于或等于4的数可以整除40即可。 【详解】每组4人：40÷4＝10（组）     每组5人：40÷5＝8（组）     每组8人：40÷8＝5（组）     每组10人：40÷10＝4（组）    每组20人：40÷20＝2（组） 答：每组4人或每组5人或每组8人或每组10人或每组20人。 【点睛】本题主要考查整数除法的实际应用，解题的关键是找出哪些数可以被40整除。 28．55平方厘米 【分析】根据长方形的长与宽的和＝周长÷2，即32÷2＝16（厘米），根据一个数只有1和它本身这两个因数，那么这个数就是质数，可知满足条件的有：长为13厘米，宽为3厘米，面积为13×3＝39（平方厘米），长为11厘米，宽为5厘米，面积为11×5＝55（平方厘米），比较后即可得解。 【详解】32÷2＝16（厘米） 长、宽都为质数的有： 13＋3＝16（厘米） 13×3＝39（平方厘米） 11＋5＝16（厘米） 11×5＝55（平方厘米） 55平方厘米＞39平方厘米 答：这个长方形的面积最大是55平方厘米。 【点睛】本题考查质数的应用，掌握质数的概念是关键。 29．5种 【分析】根据题意，要求每堆的苹果个数相同，即是把50个苹果平均分，那么分成的堆数是50的因数（1除外），据此用列乘法算式的方法找出50的因数即可解答。 【详解】50＝1×50＝2×25＝5×10 50个苹果可以平均分成2堆、5堆、10堆、25堆、50堆，共有5种分法。 答：有5种分法。 【点睛】本题考查因数的应用。理解题意，明确“平均分成的堆数是50的因数”并求出符合的50的因数是解题的关键。 30．45人 【分析】由已知条件可知，这个班的学生人数必须是3和5的倍数，又要符合人数在40和50之间，那就先求出3和5的倍数，然后再扩大几倍，在40至50之间的即是答案。 【详解】因为总人数同时是3和5的倍数，所以总人数是3×5＝15的倍数；15的倍数有15、30、45、60… 又知总人数在40至50之间，而在40至50之间15的倍数只有45，所以五（1）班有学生45人。 答：五（1）班有学生45人。 【点睛】掌握3的倍数与5的倍数的特征是解答此题的关键。 31．6种；2个、3个、5个、6个、10个、15个 【分析】每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，说明每次放的根数是总根数的因数，据此求出总根数的所有因数，因为不是一次全部放进的，也不是一根一根往里放，排除1和本身两个因数即可。 列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6 30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30 排除1和30，还有2、3、5、6、10、15。 答：一共有6种放法，每次分别放2个、3个、5个、6个、10个、15个。 32．104个 【分析】3个3个的数余2个，5个5个的数余4个，7个7个的数余6个可以理解为：3个3个地数差1个；5个5个地数差1个；7个7个地数也是差1个．这样就可以转化为求出3、5、7的最小公倍数减去1即可． 【详解】因为3、5、7都是质数，所以它们的最小公倍数是：3×5×7=105 105﹣1=104（个） 答：这堆苹果最少有104个． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$