精品解析：上海市南洋模范中学2024-2025学年高一上学期新生综合素质摸底数学试卷

2027届南洋模范中学高一新生综合素质摸底试卷 数学 试卷 9.11 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1．带2B铅笔、黑色签字笔、考试中途不得传借文具． 2．考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分． 3．不得携带任何手机，电子手表等通讯设备，开考后一经发现，直接以作弊论处． 4．请将答案写在答题纸上，保持字迹清晰 一．填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 祖冲之，中国南北朝时期南朝的数学家、天文学家，他推算出圆周率π的值在3.1415926和3.1415927之间，并提出了π的约率和密率，密率值要比欧洲早1000多年．π________R．（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】直接根据元素与集合之间的关系即可得解. 【详解】因为属于实数里的无理数，当然也属于实数，所以. 故答案为：. 2. 若集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的定义域、值域、并集等知识确定正确答案. 【详解】， ， 所以 故答案为： 3. 若集合，，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用列举法求出集合，再由交集的定义求出结果. 【详解】依题意，，而， 所以. 故答案为： 4. 若集合中至少有2个整数元素，则实数a的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】由集合的元素特征可得，再由至少有2个整数元素可得，列出不等式求解即得. 【详解】依题意，，解得，又，即集合的两个端点值关于1对称， 则，而集合中至少有2个整数元素，于是，因此，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 5. 已知集合，，若，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】利用集合相等求出，再代入计算即得. 【详解】由集合，得，又，， 则或，解得，此时 解得与矛盾， 所以. 故答案为： 6. 设全集，集合，，则_______（用，的交，并，补的运算表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据交集、并集、补集的知识求得正确答案. 【详解】依题意， 所以. 故答案为： 7. 已知集合，集合，若，则实数a的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定交集的结果，分类求解即得. 【详解】依题意，，当，即时，，因此； 当时，由，得，而恒成立，因此， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 8. 若集合，，，，则______ 【答案】80 【解析】 【分析】利用交集的结果求出及集合，再结合并集的结果求出即可得解. 【详解】由，得，即，解得， 由，得，而，则， 因此是方程的等根，则，即， 所以. 故答案为：80 9. 2024届欧洲杯以西班牙夺冠圆满结束，小明统计了其所在班级50名同学中支持德国，西班牙，英格兰的人数，每人都至少支持其中一个队伍，有15人这三支队伍都支持，18人不支持德国，20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，则同时支持两支队伍的同学的人数为_________ 【答案】16 【解析】 【分析】不妨设支持德国与西班牙的有人，支持德国与英格兰的有人，支持西班牙与英格兰的有人，只支持德国、西班牙、英格兰的人数分别为，，，结合图列式计算即得. 【详解】不妨设支持德国与西班牙的有人，支持德国与英格兰的有人，支持西班牙与英格兰的有人， 只支持德国、西班牙、英格兰的人数分别为，，，如图， 则，由18人不支持德国，得， 由20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，得，， 则，因此， 所以同时支持两支队伍的同学的人数为16人. 故答案为：16 10. 设、是两个非空集合，定义与的“差集”为且，若}，，则集合________ 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的定义域化简集合，再利用给定的定义求得结果. 【详解】由有意义得，解得或，即，而， 所以. 故答案为： 11. 对于任意两个正整数m、n，定义运算“*”：当m、n都是偶数或奇数时，；当m、n中一个为偶数、另一个为奇数时，.在此定义下，集合中的元素个数是______ 【答案】17 【解析】 【分析】从定义出发，抓住a，b的奇偶性对16进行分拆，当a，b同是奇数或偶时，将16分拆为两个同奇偶数的和；若a，b一奇一偶时，将16分拆为一个奇数与一个偶数的积，再计算组数即可. 【详解】当a，b都是偶数或奇数时，因为1+15=16，2+14=16，3+13=16，4+12=16，5+11=16，6+10=16，7+9=16，8+8=16； 当a，b一奇一偶时，1×16=16； 集合M中的元素是有序数对，所以集合M中的元素共有8×2+1=17个. 故答案为：17. 12. 设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有________种． 【答案】 【解析】 【分析】讨论A中最大的数，分别求出A和B的非空子集，从而求得正确答案. 【详解】当A中最大的数为1时，B可以是的非空子集， 有（种）选择方法； 当A中最大的数为2时，A可以是或， B可以是的非空子集，有（种）选择方法； 当A中最大的数为3时，A可以是，，或， B可以是的非空子集，有（种）选择方法； 当A中最大的数为时，A可以是，，，，，，, 或，B可以是的非空子集，有（种）选择方法. 当中最大的数为时，可以是：，， ，， ，是，有（种）选择方法. 所以满足条件的集合共有（种）不同的选择方法. 故答案为： 【点睛】思路点睛：解题的突破口在于“中最小的数大于中最大的数”，解题的思想方法是分类讨论的数学思想方法，根据集合中最大的数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏. 二．选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 疫情封控期间，天山小区发放的物资构成集合{生菜，鸡蛋，面包，猪肉}，光华小区发放的物资构成集合{西兰花，卷心菜，土豆，鸡蛋}，集合，则C的实际含义是（ ） A. 天山小区和光华小区发放的所有物资构成的集合 B. 天山小区和光华小区发放的相同的物资构成的集合 C. 天山小区发放而光华小区没有发放的物资构成的集合 D. 光华小区发放而天山小区没有发放的物资构成的集合 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，结合交集的定义直接判断即可. 【详解】由交集的定义知，集合表示集合和集合的所有公共元素形成的集合， 因此集合的实际含义是：天山小区和光华小区发放的相同的物资构成的集合. 故选：B 14. 命题为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出命题为真命题时a的值，再结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】若命题“”为真命题， 则，恒成立. 令，则函数在上单调递增，所以在当时，取得最大值4， 可得， 所以各选项中只有是的真子集， 即是“”为真命题的一个充分不必要条件. 故选：B 15. 对任意，，，给出下列命题： ①“”是“”的充要条件； ②“是无理数”是“是无理数”的充要条件； ③“”是“”的必要条件， ④“”是“”的充分条件． 其中真命题的个数为． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】对于①,考虑 时,不是必要条件,所以命题不正确; 对于②,根据无理数加有理数是无理数,有理数加有理数是有理数可知,命题正确; 对于③ ,小于4的数不一定小于3,但小于3的数一定小于4,说以命题正确; 对于④,时,说明不是充分条件,所以命题不正确. 【详解】对于①, ;所以“”是“”的充分条件, 在时,,此时与大小关系不确定,所以“”不是“”的必要条件,故①不正确; 对于②,因为是无理数,5是有理数,所以必是无理数,所以“是无理数”是“是无理数”的充分条件;因为是无理数,5是有理数,所以是无理数,所以“是无理数”是“是无理数”的必要条件,因此是充要条件,故②正确; 对于③,因为时,必有,所以“”是“”的必要条件,故③正确; 对于④,因为1>-2,但,所以 “”不是“”的充分条件,故④不正确. 故选B. 【点睛】本题考查了命题真假的判断, 充分必要条件的判断,属于基础题. 16. 非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，错误的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，结合元素与集合的关系，逐项判断即得. 【详解】对于A，由①知，，由②知，，即，因此，A正确； 对于B，由①知，，，由②知，，，依此类推得正整数， 因此，则，B正确； 对于C，由选项B知，，，由①知，，则当时，，C正确； 对于D，若，则，D错误. 故选：D 三．解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. ⑴当时，求证：； ⑵已知，．试证明至少有一个不小于． 【答案】(1) ∵ ∴ ∴ (2) 假设都小于，即 则有 ① 而 ② ①与②矛盾 故至少有一个不小于． 【解析】 【分析】⑴由， 当时，可得，即可证明结论； ⑵可用反证法：假设都小于，即，可得， 进而，即可得到矛盾，即可作出证明． 【详解】⑴略 ⑵略 18. 不等式的解集为，关于的不等式的解集为. （1）当时，用列举法表示； （2）若集合中有2021个元素，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求解一元二次不等式，再求集合的交集即可； （2）求解含参一元二次不等式，根据集合中元素个数的要求，列出不等式求解即可. 【小问1详解】 ，即，解得或，故或； 当时，不等式等价于， 即，解得，故， 则或，故. 【小问2详解】 即， 当，即时，， 要满足题意，需，解得； 当，即时，集合为空集，不满足题意； 当，即时，， 要满足题意，需，且，解得， 综上，. 19. 对于四个正数、、、，如果，那么称是的“下位序对”， （1）对于、、、，试求的“下位序对”； （2）设、、、均为正数，且是的“下位序对”，试判断，，之间的大小关系． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据下位序对的概念直接求解； （2）根据下位序对的概念及不等性质可比较大小. 【小问1详解】 由，可得的下位序对为； 【小问2详解】 因为是的“下位序对”， 所以， 因为、、、均为正数， 故， 所以， 同理，即， 综上所述：． 20. 已知数集具有性质P；对任意的i，，与两数中至少有一个属于A． （1）请直接写出一个具有性质P的数集 （2）求证：． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）写出数集，再由性质的定义判断即可. （2）构造一个新的集合，证明与集合相等，再求和即可. 【小问1详解】 数集. 显然，，，，，，，，，都属于数集， 所以具有性质的一个数集为. 【小问2详解】 数集具有性质，则与中至少有一个属于，且， 由，得，则，即，因此， 又，则，由数集具有性质，得， 又，则， 因此， 从而， 即， 所以. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 21. 已知是R的非空真子集，如果对任意，都有，则称是封闭集． （1）判断集合是否为封闭集，并说明理由； （2）判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题：非空集合是封闭集，则是是封闭集的充要条件； （3）若非空集合是封闭集合，设全集为R，求证：A的补集不是封闭集 【答案】（1）集合B是，集合C不是，理由见解析； （2）p假q真，理由见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据封闭集的定义判断即可. （2）举反例说明判断命题；利用封闭集的定义，结合充要条件的定义推理判断命题. （3）按和分类，结合反证法推理即可. 【小问1详解】 对于集合 因为， 所以是封闭集； 对于集合，因为， 所以集合不是封闭集. 【小问2详解】 对命题：令， 令，则， 因此集合是封闭集，同理集合也是封闭集， 取，则，而， 因此集合不是封闭集，命题是假命题； 对于命题：若，不妨令，则有，又集合是封闭集， 则，同理，因此， 所以是封闭集； 反之，若是封闭集，则是非空集合，即， 所以是是封闭集的充要条件，命题是真命题. 【小问3详解】 非空集合是封闭集合，当时，，因此不是封闭集合； 当时，假设是封闭集合， 设，在中任取一个，则， 否则，此时，与矛盾， 因此，而，与矛盾， 则当时，则不是封闭集合，同理当时，不是封闭集合， 所以A的补集不是封闭集. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届南洋模范中学高一新生综合素质摸底试卷 数学 试卷 9.11 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1．带2B铅笔、黑色签字笔、考试中途不得传借文具． 2．考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分． 3．不得携带任何手机，电子手表等通讯设备，开考后一经发现，直接以作弊论处． 4．请将答案写在答题纸上，保持字迹清晰 一．填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 祖冲之，中国南北朝时期南朝的数学家、天文学家，他推算出圆周率π的值在3.1415926和3.1415927之间，并提出了π的约率和密率，密率值要比欧洲早1000多年．π________R．（填“”或“”） 2. 若集合，，则______． 3. 若集合，，则___________ 4. 若集合中至少有2个整数元素，则实数a的取值范围为________ 5. 已知集合，，若，则__________ 6. 设全集，集合，，则_______（用，的交，并，补的运算表示） 7. 已知集合，集合，若，则实数a的取值范围为________ 8. 若集合，，，，则______ 9. 2024届欧洲杯以西班牙夺冠圆满结束，小明统计了其所在班级50名同学中支持德国，西班牙，英格兰的人数，每人都至少支持其中一个队伍，有15人这三支队伍都支持，18人不支持德国，20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，则同时支持两支队伍的同学的人数为_________ 10. 设、是两个非空集合，定义与的“差集”为且，若}，，则集合________ 11. 对于任意两个正整数m、n，定义运算“*”：当m、n都是偶数或奇数时，；当m、n中一个为偶数、另一个为奇数时，.在此定义下，集合中的元素个数是______ 12. 设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有________种． 二．选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 疫情封控期间，天山小区发放的物资构成集合{生菜，鸡蛋，面包，猪肉}，光华小区发放的物资构成集合{西兰花，卷心菜，土豆，鸡蛋}，集合，则C的实际含义是（ ） A. 天山小区和光华小区发放的所有物资构成的集合 B. 天山小区和光华小区发放的相同的物资构成的集合 C. 天山小区发放而光华小区没有发放的物资构成的集合 D. 光华小区发放而天山小区没有发放的物资构成的集合 14. 命题为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 15. 对任意，，，给出下列命题： ①“”是“”的充要条件； ②“是无理数”是“是无理数”的充要条件； ③“”是“”的必要条件， ④“”是“”的充分条件． 其中真命题的个数为． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 16. 非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，错误的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 三．解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. ⑴当时，求证：； ⑵已知，．试证明至少有一个不小于． 18. 不等式的解集为，关于的不等式的解集为. （1）当时，用列举法表示； （2）若集合中有2021个元素，求实数的取值范围. 19. 对于四个正数、、、，如果，那么称是的“下位序对”， （1）对于、、、，试求的“下位序对”； （2）设、、、均为正数，且是的“下位序对”，试判断，，之间的大小关系． 20. 已知数集具有性质P；对任意的i，，与两数中至少有一个属于A． （1）请直接写出一个具有性质P的数集 （2）求证：． 21. 已知是R的非空真子集，如果对任意，都有，则称是封闭集． （1）判断集合是否为封闭集，并说明理由； （2）判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题：非空集合是封闭集，则是是封闭集的充要条件； （3）若非空集合是封闭集合，设全集为R，求证：A的补集不是封闭集 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $