湖南省长沙市周南中学2025届高三第二阶段考试数学模拟试卷

湖南省长沙市周南中学2025届高三第二阶段考试模拟试卷 一、单选题 1．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 4．水果店有一批大小不一的橘子，某顾客从中选购了个头大且均匀的橘子若干个，设原有橘子的重量的平均数和方差分别是，，该顾客选购的橘子的重量的平均数和方差分别是，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．直线被圆所截得的弦长为，则（    ） A． B． C． D．2 6．将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，所得函数图象的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 7．一个高为的直三棱柱容器内装有水，将侧面水平放置如图（1），水面恰好经过棱，，，的中点，现将底面水平放置如图（2），则容器中水面的高度是（    ）. A． B． C． D． 8．给定函数，用表示中的最大者，记作，若，则实数的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 二、多选题 9．在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．若，则是钝角三角形 D．（为外接圆的半径） 10．已知拋物线上的动点到焦点的距离最小值是2，经过点的直线与有且仅有一个公共点，直线与交于两点，则（   ） A． B．抛物线的准线方程为 C． D．满足条件的直线有2条 11．已知函数及其导函数的定义域为，若与均为偶函数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．4是的一个周期 C． D．的图象关于点对称 三、填空题 12．在数列中，，，若，则 ． 13．甲、乙、丙、丁四支足球队进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为 ． 14．已知，，其中，则 . 四、解答题 15．已知分别为三个内角的对边，且，． (1)求及的面积S； (2)若为边上一点，且，求的正弦值． 16．如图，多面体中，直角梯形所在平面与正三角形所在平面垂直，，． (1)求该多面体的体积V； (2)在棱上是否存在点P，使得直线和平面所成的角大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17．已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：. 18．某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人棋型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人棋型的开发主要采用（人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为. (1)在某次测试中输入了7个问题，聊天机器人棋型的回答有5个被采纳，现从这7个问题中抽取4个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望； (2)设输入的问题出现语法错误的概率为，若聊天机器人棋型的回答被采纳的概率为，求的值． 19．如图，双曲线的离心率为，实轴长为，，分别为双曲线的左右焦点，过右焦点的直线与双曲线右支交于A，B两点，其中点A在第一象限.连接与双曲线左支交于点C，连接分别与x，y轴交于D，E两点. (1)求该双曲线的标准方程； (2)求面积的最小值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省长沙市周南中学2025届高三第二阶段考试模拟试卷参考答案： 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 D A A A B C B ABD BC 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】首先根据复数的除法运算化简复数，再代入模的公式，即可求解. 【详解】由题知，，所以. 故选：D. 2．A 【分析】利用充分、必要条件的概念计算即可. 【详解】由可以得出，满足充分性， 而可得，不满足必要性，即A正确. 故选：A 3．A 【分析】由平面向量数量积的运算律可得，，即可求解. 【详解】由，得， 又， 所以. 故选：A 4．C 【分析】根据方差和平均数的意义，结合题设的实际场景即可判断. 【详解】水果店有一批大小不一的橘子，某顾客从中选购了个头大且均匀的橘子若干个， 所以该顾客选购橘子的质量平均数>原有橘子的质量的平均数， 该顾客选购的橘子的质量的方差<原有橘子的质量的方差. 故选：C 5．A 【分析】先求出圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，即可得出的值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 由垂径定理，得点到直线距离为， 根据点到直线距离公式，知圆心到直线的距离， 化简可得，解得. 故选：A. 6．B 【分析】求出变换后的图象对应的函数式，再利用验证法求得结果. 【详解】依题意，所得图象对应的函数为， 对于A，，A不是； 对于B，，B是； 对于C，，C不是； 对于D，，D不是. 故选：B 7．C 【分析】设直三棱柱的底面面积为，在图中，设水面的高度为，根据图和图中水的体积相等可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】记棱，，，的中点依次为， 设直三棱柱的底面面积为， 在图中，设水面的高度为，则水的体积为， 在图中，几何体为直四棱柱， 因为分别为棱，，，的中点，所以， 则水的体积为，解得. 故选：C. 8．B 【分析】根据题干条件，得出恒成立，作差构造函数，结合导数的知识求构造函数的最小值即可得解. 【详解】由题意可得，，等价于恒成立， 设恒成立，设， 令，则，解得， 单调递减， 时，单调递增，. ， 则 时，单调递减，时，单调递增， ，解得，所以实数的最大值为1. 故选：B. 9．ABD 【分析】根据正弦定理可判断A，由三角形内角和及诱导公式可判断B，由余弦定理可判断C，根据面积公式及正弦定理可判断D. 【详解】由正弦定理，可得，故A正确； ，故B正确； 因为，只能说明C为锐角，不一定是钝角三角形，故C错误； 由正弦定理得，（为外接圆的半径），所以， 所以，故D正确. 故选：ABD 10．BC 【分析】根据题意求出p的值，判断A；根据准线方程，判断B；设直线方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，结合应用弦长公式计算判断C；设直线联立方程组根据判别式判断直线个数及特殊斜率不存在直线结合即可判断D. 【详解】对于A，由题意拋物线的动点到焦点的距离最小值是2，即，A错误； 对于B，抛物线的准线方程为，B正确； 对于C，由题设, 为，联立，可得， 则，故，    C正确. 对于D，因为在外，令过P的直线与相切， 所以，若，， 可得有两个根 故与相切直线有两条，又与只有一个交点， 所以过与有且仅有一个公共点的直线共有三条，D错误； 故选：BC 11．ABD 【分析】注意到为偶函数则，由两边求导，令可判断A；结合导函数的奇偶性可判断B；利用的周期性和奇偶性可判断C；根据和可判断D. 【详解】因为为偶函数，所以，即， 而，故，故， 又为偶函数，所以，即， 所以，故即， ，所以4是的周期，故B正确. 对A，由两边求导得， 令得，解得，A正确； 对C，由上知，所以， 所以，C错误； 对D，因为，， 故，故的图象关于对称， 故选：ABD 【点睛】关键点睛：本题解答关键在于原函数与导数数的奇偶性关系，以及对两边求导，通过代换求导函数的周期. 12．506 【分析】由题意可得到数列是等差数列，求得其通项公式，即可求得答案. 【详解】由题意可得，故数列为等差数列，4为公差， 则，故令，解得. 故答案为：. 13． 【分析】不妨先考虑甲输丙，再就甲与乙丁的输赢分类讨论后可得所求的概率. 【详解】甲队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分， 三队中选一队与甲比赛，甲输，，例如是丙甲， 若甲与乙、丁两场比赛都输，则乙、丁、丙积分都大于甲，不合题意； 若甲与乙、丁的两场比赛一赢一平，则甲只得4分， 这时，丙乙、丙丁两场比赛中丙只能输，否则丙的分数不小于4分，不合题意， 在丙输的情况下，乙、丁已有3分， 那个它们之间的比赛无论什么情况， 乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意； 若甲全赢（概率是）时，甲得6分，其他3人分数最高为5分， 这时丙乙，丙丁两场比赛中丙不能赢， 否则丙的分数不小于6分，只有全平或全输或一输一平， ①若丙一平一输，概率，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率； ②若丙两场均平，概率是，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意； ③若两场丙都输，概率是，乙丁这场比赛只能平，概率是； 综上概率为． 故答案为：. 【点睛】思路点睛：对于比较复杂的概率的计算，注意根据问题的特征合理分类，尽量不重不漏，必要时利用表格或枚举等方法. 14． 【分析】利用两角差的余弦可求的值，故可求的值. 【详解】因为，故，而，故， 而，故，而， 故，故， 故， 而，故， 故答案为： 15．(1)， (2) 【分析】（1）由余弦定理得到方程，求出，进而由三角形面积公式求出答案； （2）先得到，故，由余弦定理求出，得到答案. 【详解】（1）由余弦定理得，即， 故，解得或（舍去）， ； （2）因为，， 所以， 故， 在中，由余弦定理得，， 故. 16．(1) (2)存在，. 【分析】（1）取中点，连接，求证平面，即可由求出该多面体的体积. （2）先求证两两垂直，建立空间直角坐标系，设，依据已知条件求出和平面的法向量，再依据即可计算求解，进而得解. 【详解】（1）取中点，连接，则由为正三角形得， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又由题意， 所以该多面体的体积. （2）连接，由题意以及（1）可知且， 所以四边形是平行四边形，所以，所以， 所以由平面可知两两垂直， 所以可建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 所以，， 设，则， 所以， 设是平面的一个法向量，则， 所以，即，取，则， 所以直线和平面所成的角的正弦值为 ， 整理得，解得（舍去）或， 所以在棱上存在点P，使得直线和平面所成的角大小为，此时. 17．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数的公式及运算法则求出在时的导数，即得切线斜率，点斜式写出切线方程即可. （2）要证明的不等式含参时，且规定了参数的范围时，可以考虑先使用满参放缩，将含参的不等式转化为不含参的不等式来证明. 【详解】（1）当时，，， 则，又因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）当时，有，所以， 因为， 所以. 令， 则， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以. 故. 18．(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）求出随机变量的所有取值以及每一个值发生的概率即可得的分布列，再根据数学期望的公式即可计算得解的数学期望. （2）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“输入的问题有语法错误”为事件B，“回答被采纳”为事件，进而由已知以及全概率公式即可求解. 【详解】（1）由题可知的所有取值为2，3，4，且服从超几何分布， ，，， 故的分布列为： 2 3 4 则． （2）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，记“输入的问题有语法错误”为事件B，记“回答被采纳”为事件， 由已知得，，，，，， 所以由全概率公式得， 解得． 19．(1) (2) 【分析】（1）根据已知求出，然后根据离心率得出，根据的关系求出的值，即可得出答案； （2）根据已知可得，，设，，求出直线的方程.与双曲线方程联立，根据韦达定理表示出点B坐标，同理得出点C的坐标.表示出直线的方程，求出的坐标，得出直线的方程.进而表示出面积，换元，结合二次函数的性质，即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，，所以. 又，所以，. 所以，双曲线方程是 . （2）由（1）可知，，设，， 则直线的方程为. 将直线的方程与双曲线方程联立， 消x，整理可得， 恒成立. 由韦达定理可得，， 所以，，. 根据已知可知，， 所以，. 同理解得， 所以，， 直线的方程为. 由可得，；由可得，. 由A、D坐标可得直线的方程为， 则直线与y轴交点坐标为，所以. 所以，. 令， 则. 设，则， 当，即时有最小值，此时，（舍去负值）. 所以，. 当且仅当即时取到最小值，此时. 【点睛】关键点点睛：设点，将该点看做已知点，然后表示出直线方程，与圆锥曲线方程联立，消元，得到一元二次方程.根据韦达定理，表示出交点坐标之间的关系式.进而得出与点A相关的点的坐标. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$