精品解析：北师大版2023-2024学年七年级数学下册期末考试卷

2023-2024学年度七年级下册数学期末考试卷 考试时间：100分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 下列图形不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 计算正确是（ ） A B. C. D. 4. 下列算式结果为的是（　　） A. B. C. D. 5. 若4x2﹣kxy+9y2是完全平方式，则k的值是（　　） A. ±6 B. ±12 C. ±36 D. ±72 6. 如图，在四边形中，.不能判定的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠a的度数是（　　） A. 105° B. 75° C. 110° D. 120° 8. 从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，能构成三角形的概率是（　　） A B. C. D. 1 9. 工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，是一个任意角，在边，上分别取（，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．你认为工人师傅在此过程中用到的三角形全等的判定方法是这种作法的道理是（　　） A. B. C. D. 10. 如图一个五边形木架，要保证它不变形，至少要再钉上几根木条（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第II卷（非选择题） 二、填空题 11. 在一个不透明布袋中装有4个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则n＝_____． 12. 在一次实验中，同学把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧长度随所挂物体的质量变化关系如下表： 根据表格中数据写出与关系式：_______． 13. 在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角的倍还多，则较小的锐角度数是_______． 14. 对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下表所示： 随机抽取的乒乓球数 优等品数 优等品率 当越大时，优等品率趋近于概率______．（精确到） 15. 如图，在中，，，是的平分线，折叠使得点落在边上的处，连接、.下列结论：①；②是等腰三角形；③；④.其中正确的结论是______．（填写序号） 三、解答题 16. 计算： 17. 先化简，再求值：，其中， 18 如图， 中，． （1）用尺规作图法作 ，与边 交于点 （保留作图痕迹，不用写做法）． （2）在（）的条件下，当 时，求 的度数． 19. ，，．与平行吗？为什么？ 解：． ， 　 　， 即　 　． 又， 且， ∴　 　　 　． 理由是：　 　． ． 理由是：　 　． 20. 为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 　 　，自变量x的取值范围为 　 　；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为 　 　． （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过 　 　分钟后，员工才能回到办公室； （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 21. 已知A＝x3÷x2+x•x2，B＝（x+1）2﹣（x﹣1）2 （1）求A•B； （2）若变量y满足4A÷B﹣2y＝0，用x表示变量y，并求出x＝﹣2时y的值； （3）若A＝B+1，求x5﹣x2﹣9x+5的值． 22. 如图，与相交于点，，，. （1）试说明； （2）连接，判断与的位置关系，并说明理由. 23. 如图，在中，，是中线，作关于的轴对称图形. （1）直接写出和的位置关系； （2）连接，写出和的数量关系，并说明理由； （3）当，时，在上找一点，使得点到点与到点的距离之和最下小，求的面积. 24. 如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动， （1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB＝MC． （2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系． （3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度七年级下册数学期末考试卷 考试时间：100分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 下列图形不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，逐一判断即可． 【详解】解：A选项图形是轴对称图形，故不符合题意； B选项图形是轴对称图形，故不符合题意； C选项图形不是轴对称图形，故符合题意； D选项图形是轴对称图形，故不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查的是轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题关键． 2. 数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10－ｎ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定. 【详解】解：0.000075=7.5×10－5. 故选Ｃ. 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为ax10－ｎ，其中1≤lal<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定. 3. 计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方等于乘方的积，幂的乘方底数不变指数相乘，同底数幂、指数不同不能相加减，即可得到答案. 【详解】解：A、，故A符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、和不是同类项不能合并，故D不符合题意； 故选A. 【点睛】本题考查了同底数幂的运算，熟记计算法则并根据计算法则进行计算是解题的关键. 4. 下列算式结果为的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查负整数指数幂、零指数幂，根据负整数指数幂和零指数幂及乘方的运算法则逐一计算即可得，解题的关键是掌握负整数指数幂和零指数幂及乘方的运算法则． 【详解】A.、，不符合题意； B.、，不符合题意； C.、，符合题意； D、，不符合题意， 故选：C． 5. 若4x2﹣kxy+9y2是完全平方式，则k的值是（　　） A. ±6 B. ±12 C. ±36 D. ±72 【答案】B 【解析】 【分析】根据中间项等于两平方项底数和或差的两倍求解即可. 【详解】∵4x2-kxy+9y2是完全平方式， ∴-kxy=±2×2x×3y， ∴k=±12. 故选B. 【点睛】本题考查了完全平方公式:a2±2ab+b2,其特点是首平方，尾平方，首尾积的两倍在中央，这里首末两项是2x和3y的平方，那么中间项为加上或减去2x和3y的乘积的2倍． 6. 如图，在四边形中，.不能判定的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，分别添加选项进行排查，即可完成解答；注意BD是公用边这个条件. 【详解】解：A.若添加AB=CD,根据AB∥CD，则∠ABD=∠CDB，依据SAS可得△ABD≌△CDB，故A选项正确； B.若添加AD=BC,根据AB∥CD，则∠ADB=∠CBD，不能判定△ABD≌△CDB，故B选项错误； C.若添加，则四边形ABCD是平行四边形，能判定△ABD≌△CDB，故C选项正确； D.若添加∠A=∠C，根据AB∥CD，则∠ABD=∠CDB，且BD公用，能判定△ABD≌△CDB，故D选项正确； 故选B. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边. 7. 一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠a的度数是（　　） A. 105° B. 75° C. 110° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的两锐角互余求出的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算，再根据对顶角相等即可得解． 【详解】解：如图，， 所以，． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，对顶角相等、直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 8. 从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，能构成三角形的概率是（　　） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，所有等可能情况有：3，5，7；3，5，10；3，7，10；5，7，10，共4种， 其中能构成三角形的情况有：3，5，7；5，7，10，共2种， 则P（能构成三角形）==， 故选B． 9. 工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，是一个任意角，在边，上分别取（，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．你认为工人师傅在此过程中用到的三角形全等的判定方法是这种作法的道理是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定及性质．熟练掌握确定三角形的判定方法是解题的关键． 由三边对应相等得，即由判定两个三角形全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证． 【详解】解：依题意知， 在与中， ， ， ， 即即是的平分线． 故选：D． 10. 如图一个五边形木架，要保证它不变形，至少要再钉上几根木条（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 分析】根据三角形具有稳定性，钉上木条后把五边形分成三角形即可． 【详解】如图，要保证它不变形，至少还要再钉上2根木条． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 第II卷（非选择题） 二、填空题 11. 在一个不透明的布袋中装有4个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则n＝_____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据白球的概率公式=列出方程求解即可． 【详解】解：不透明的布袋中的球除颜色不同外，其余均相同，共有n+4个球，其中白球4个， 根据古典型概率公式知：P（白球）=， 解得：n=8， 经检验n=8为原方程的解， 故答案为：8． 【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 12. 在一次实验中，同学把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧长度随所挂物体的质量变化关系如下表： 根据表格中数据写出与关系式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】任取两对对应值，用待定系数法，即可求得与关系式. 【详解】解：设与关系式y=kx+b 则有 解得：k=2，b=8 所以与关系式为； 故答案为. 【点睛】本题考查了一次函数解析式的确定，正确应用待定系数法以及选择合适的对应值是解答本题的关键. 13. 在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角的倍还多，则较小的锐角度数是_______． 【答案】20°. 【解析】 【分析】设另一个锐角为x°，表示出一个锐角，然后根据直角三角形两锐角互余列方程求解即可. 【详解】解：设另较小一个锐角为x°，则一个锐角为（3x+10）°， 由题意得，x+（3x+10）=90，解得x=20， 故答案为20°. 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并列出方程是解题的关键. 14. 对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下表所示： 随机抽取的乒乓球数 优等品数 优等品率 当越大时，优等品率趋近于概率______．（精确到） 【答案】0.82. 【解析】 【分析】由表中数据可判断频率在0.82左右摆动，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一只乒乓球是优等品的概率为0.82. 【详解】解：由表可知，随着乒乓球数量的增多，其优等品的频率逐渐稳定在0.82附近，在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是0.82，故答案为0.82. 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确. 15. 如图，在中，，，是的平分线，折叠使得点落在边上的处，连接、.下列结论：①；②是等腰三角形；③；④.其中正确的结论是______．（填写序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据角平分线的定义及定理、折叠的性质，等腰三角形的性质即可完成解答. 【详解】解：∵是的平分线 ∴，即①正确； ∵折叠使得点落在边上的处 ∴△ACD≌△AED ∴CD=DE, ∴△CDE是等腰三角形，即②正确 ∵△ACE是等腰三角形，是的平分线 ∴，即③正确； ∵， ∴∠B=45° ∵ ∴∠EDB=45° ∴∠EDB=∠B=45° ∴ED=EB ∴CD= ED=EB ∴AB=AE+EB=AC+CD，即④正确； 故答案为①②③④. 【点睛】本题考查了角平分线的定义及定理、折叠的性质，等腰三角形的性质等知识点，考查知识点比较综合，牢固掌握并灵活应用知识是解答本题的关键. 三、解答题 16. 计算： 【答案】4. 【解析】 【分析】先对原式中的各项进行化简，然后进行计算即可. 【详解】 【点睛】本题考查幂的运算、绝对值的运算，解题的关键在于对幂的运算规则的灵活运用. 17. 先化简，再求值：，其中， 【答案】-4. 【解析】 【分析】先运用完全平方公式和平方差公式对原式进行化简，然后代入x，y得值即可完成解答. 【详解】解：原式 将，代入得. 原式 【点睛】本题主要考查了代数式的化简求值，解题的关键在于对原式的化简；切勿直接代入计算. 18. 如图， 中，． （1）用尺规作图法作 ，与边 交于点 （保留作图痕迹，不用写做法）． （2）在（）的条件下，当 时，求 的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本作图作； （2）先根据三角形内角和得到，再利用（1）的结论得到，接着计算∠BDC的度数，然后的度数． 【小问1详解】 解：如图，为所作； 【小问2详解】 解：∵∠ABC+∠C+∠A=180°，，， ∴ ， ， ∴． 【点睛】本题考查了基本作图，三角形内角和定理，熟练掌握基本作图－作一个角等于已知角和三角形内角和定理是解题的关键． 19. ，，．与平行吗？为什么？ 解：． ， 　 　， 即　 　． 又， 且， ∴　 　　 　． 理由是：　 　． ． 理由是：　 　． 【答案】90；90；，；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】由垂直于，利用垂直的定义得到为直角，进而得到与互余，再由与互余，根据，利用等角的余角相等得到，利用同位角相等两直线平行即可得证． 【详解】解： ． ， ， 即． 又， 且， ． 理由是：等角的余角相等． ． 理由是：同位角相等，两直线平行． 故答案为：90；90；，；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行． 【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键 20. 为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 　 　，自变量x的取值范围为 　 　；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为 　 　． （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过 　 　分钟后，员工才能回到办公室； （3）研究表明，当空气中每立方米含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 【答案】（1）yx，0≤x≤8；y（x＞8） （2）30 （3）有效，理由见解析 【解析】 【分析】（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y＝k1x，把点（8，6）代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式y，把点（8，6）代入即可； （2）把y＝1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x； （3）把y＝3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于等于10就有效． 【小问1详解】 解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x（k1＞0）代入（8，6）为6＝8k1， ∴k1设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y（k2＞0）代入（8，6）为6， ∴k2＝48， ∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为yx（0≤x≤8）药物燃烧后y关于x的函数关系式为y（x＞8）； 【小问2详解】 （2）结合实际，令y中y≤1.6得x≥30， 即从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室． 【小问3详解】 （3）把y＝3代入yx，得：x＝4， 把y＝3代入y，得：x＝16， ∵16﹣4＝12， 所以这次消毒是有效的． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 21. 已知A＝x3÷x2+x•x2，B＝（x+1）2﹣（x﹣1）2 （1）求A•B； （2）若变量y满足4A÷B﹣2y＝0，用x表示变量y，并求出x＝﹣2时y的值； （3）若A＝B+1，求x5﹣x2﹣9x+5的值． 【答案】（1）4x2+4x4；（2）y＝，；（3）8 【解析】 【分析】（1）先把A、B化简，再代入到A•B中计算即可； （2）将A、B化简的结果代入4A÷B﹣2y＝0得y＝，再把x＝﹣2代入计算即可； （3）将A、B化简的结果代入A＝B+1，得x3﹣3x＝1，x3﹣1＝﹣3x，然后代入所给代数式计算即可． 【详解】解：（1）∵A＝x3÷x2+x•x2＝x+x3， B＝(x+1)2﹣(x﹣1)2＝4x， ∴A•B＝(x+x3)×4x＝4x2+4x4； （2）由4A÷B﹣2y＝0得4(x+x3)÷4x﹣2y＝0， 则y＝， 当x＝﹣2时，y＝； （3）∵A＝B+1， ∴x+x3＝4x+1， 即x3﹣3x＝1，x3﹣1＝3x， ∴x5﹣x2﹣9x+5＝x2(x3﹣1)﹣9x+5 ＝x2×3x﹣9x+5 ＝3x3﹣9x+5 ＝3(x3﹣3x)+5 ＝3+5 ＝8， ∴x5﹣x2﹣9x+5的值为8． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，涉及到的知识有：完全平方公式，多项式除以单项式，多项式乘以单项式，因式分解，合并同类项等知识．在求代数式的值时，一般先化简，再把各字母的取值代入求值．有时题目并未给出各个字母的取值，而是给出一个或几个式子的值，这时可以把这一个或几个式子看作一个整体，将待求式化为含有这一个或几个式子的形式，再代入求值．运用整体代换，往往能使问题得到简化． 22. 如图，与相交于点，，，. （1）试说明； （2）连接，判断与的位置关系，并说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）.理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由AB=CD, 再结合对顶角∠AEB=∠CED,运用AAS即可证明；（2）连接.可得.理由：由（1）得得AE=DE,BE=CE，在运用等腰三角形的性质，得到，即可说明. 【详解】（1）在和中. （2）如图所示，连接.可得.理由如下： ， ， 又 （内错角相等，两直线平行） 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定，考查知识点比较多，解答的关键是对知识的灵活应用. 23. 如图，在中，，是中线，作关于的轴对称图形. （1）直接写出和的位置关系； （2）连接，写出和的数量关系，并说明理由； （3）当，时，在上找一点，使得点到点与到点的距离之和最下小，求的面积. 【答案】（1）垂直；（2）.理由见解析；（3）. 【解析】 【分析】(1)根据对称点连线垂直于对称轴，即可确定AC⊥DE;(2)连接CE,证明四边形AECD是正方形，在结合三角形ABC是等腰三角形，即可说明;(3)先证明.△ACD≌△ABD，得到点B和点C关于AD成轴对称；连接，交于点，且当，，三点在同一条直线上，点到点与到点的距离之和最小，然后结合（1）的结论，运用三角形的面积公式即可求得. 【详解】解：（1）垂直 （2）.理由如下： 关于的轴对称图形为. ， 在和中， 又是边上的中线 . . （3）在和中 点和点关于成轴对称 连接，交于点，如图所示 且当，，三点在同一条直线上，点到点与到点的距离之和最小 在中，. 由（1）知，， 【点睛】本题是一道几何综合题，考查了轴对称、全等三角形、正方形的相关知识，考查知识点比较综合，灵活应用所学知识是解答本题的关键. 24. 如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动， （1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB＝MC． （2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系． （3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）MB=MC．理由见解析；（3）MB=MC还成立，见解析． 【解析】 【分析】（1）连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得AD=AE，AB=AC，全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD=∠MAE，然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证； （2）延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD=BE′，然后求出MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MBC=∠CAE，同理求出MC∥AD，根据两直线平行，同位角相等求出∠BCM=∠BAD，然后求出∠MBC=∠BCM，再根据等角对等边即可得证； （3）延长BM交CE于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，然后利用“角角边”证明△MDB和△MEF全等，根据全等三角形对应边相等可得MB=MF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可． 【详解】（1）如图（2），连接AM，由已知得△ABD≌△ACE， ∴AD=AE，AB=AC，∠BAD=∠CAE. ∵MD=ME， ∴∠MAD=∠MAE， ∴∠MAD-∠BAD=∠MAE-∠CAE， 即∠BAM=∠CAM. 在△ABM和△ACM中， AB=AC， ∠BAM=∠CAM， AM=AM， ∴△ABM≌△ACM（SAS）， ∴MB=MC. （2）MB=MC． 理由如下：如图（3），延长CM交DB于F，延长BM到G，使得MG=BM，连接CG. ∵CE∥BD， ∴∠MEC=∠MDF，∠MCE=∠MFD. ∵M是ED的中点， ∴MD=ME. 在△MCE和△MFD中， ∠MCE=∠MFD， ∠MEC=∠MDF， MD=ME， ∴△MCE≌△MFD（AAS）. ∴MF=MC. ∴在△MFB和△MCG中， MF=MC， ∠FMB=∠CMG， BM=MG， ∴△MFB≌△MCG（SAS） ∴FB=GC，∠MFB=∠MCG， ∴CG∥BD，即G、C、E在同一条直线上. ∴∠GCB=90°. 在△FBC和△GCB中， FB=GC， ∠FBC=∠GCB， BC=CB， ∴△FBC≌△GCB（SAS）. ∴FC=GB. ∴MB=GB=FC=MC. （3）MB=MC还成立． 如图（4），延长BM交CE于F，延长CM到G，使得MG=CM，连接BG. ∵CE∥BD， ∴∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE. 又∵M是DE的中点， ∴MD=ME. 在△MDB和△MEF中， ∠MDB=∠MEF， ∠MBD=∠MFE， MD=ME， ∴△MDB≌△MEF（AAS）， ∴MB=MF. ∵CE∥BD， ∴∠FCM=∠BGM. 在△FCM和△BGM中， CM=MG， ∠CMF=∠GMB， MF=MB， ∴△FCM≌△BGM（SAS）. ∴CF=BG，∠FCM=∠BGM. ∴CF//BG，即D、B、G在同一条直线上. 在△CFB和△BGC中， CF=BG， ∠FCB=∠GBC， CB=BC， ∴△CFB≌△BGC（SAS）. ∴BF=CG. ∴MC=CG=BF=MB． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等角对等边的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及三角形的中位线定理，综合性较强，但难度不大，作辅助线构造出等腰三角形或全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$