江苏省苏州中学校园区校2023—2024学年八年级上学期10月份月考数学试卷

2023—2024学年苏州中学园区校初二年级10月份月考数学试卷 一、选择题(每小题2分，共20分) 1.下列图形是几家电信公司的标志，其中是轴对称图形的是( ) 2.下列四个数中，属于无理数的是( ) A. B. 0.2 C. D. 3.1415 3.下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是( ) A. a2=1，b2=2，c2=3 B. a:b:c=5:12:13 C. ∠A+∠B=∠C D. ∠A:∠B:∠C =3:4:5 4.如图是一个平分角的仪器，其中AB = AD，BC = DC。将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线。此仪器的原理是( ) A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 5.如图，，经过点，，则的度数为( ) A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 6.如图，中，，AD平分，交于点，AB=10，CD=3，则 的面积为( ) A. 60 B. 30 C. 15 D. 10 7.在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的( ) A.三边垂直平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条高所在直线的交点 8.如图，在等腰中，AB = AC，AD是BC边上的高，点E是高AD上任意一点，点F是边AB上任意一点，AB=5，BD=3，AD=4，则BE + EF的最小值是( ) A. 3 B. 5 C. D. 9.如图，△ABC中，AC= 8，点D，E分别在BC，AC上，F是BD的中点。若AB =AD，EF = EC，则EF的长( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120º，M是BC的中点，MN⊥AB，垂足为点N，D是BM的中点，连接AD，过点B作BC的垂线交AD的延长线于点E，若BE=6，则BN的长为( ) A. 6 B. 9 C. D. 二、填空题(本大题共8小题，每小题2分，共24分) 11. 2的平方根是 。 12.比较大小：3 (填写“<”或“>”) 13.己知实数，满足，则 。 14.如图，在中，，AB = 10，分别以AC，BC为底边向外作等腰直角三角形，等腰直角三角形的面积分别记为，，则的值为 。 15.如图，若圆柱的底面周长是16 cm，高是12 cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰(点B在点A的正上方)，则这条丝线的最小长度是 。 16.如图，在锐角△ABC中，∠A = 75º，DE和DF分别垂直平分边AB、AC，则∠DBC的度数为 °。 17.如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到的位置。若AE = 1，BE=2 ，CE=3，则 度。 18.如图，中，BC=10，。过C作∠BAC的角平分线的垂线，垂足为D，点E为DC边的中点，连结BD、CD，则的最大值为 。 三、解答题(本大题共9小题，共64分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明) 19. 计算下列各题. (1) (2) 20.求下列各式中的值 (1) (2) 21.己知某正数的两个平方根分别是和，的立方根是，是的整数部分。求的平方根。 22.如图，，AB=AD，AE=AC，CE经过点D。 (1)求证：； (2)若AC=6，求四边形ABCD的面积。 23.利用网格作图。要求：只能用无刻度的直尺，保留作图痕迹。 (1)在图①中找一点P，使点P到AB和AC的距离相等且PB=PC； (2)在图②中，的顶点均在正方形网格格点上，作出的角平分线BD。 24.如图，在中，过点A作AD⊥BC于点D，点E在线段BD上，且EA = EB。己知BD=16，AD=12，AC=15。 (1)求线段DE的长； (2)求证：。 25.己知在中，AB = AC，点D是边AB上一点，。 (1)如图1，试说明的理由； (2)如图2，过点B作，垂足为点，BE与CD相交于点F。 ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数。 26.我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点。 · 特例感知 ①等腰直角三角形 勾股高三角形(请填写“是”或者“不是”)； ②如图1，己知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高。若，试求线段CD的长度。 · 深入探究 如图2，己知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且，CD是AB边上的高。试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明； · 推广应用 如图3，等腰为勾股高三角形，其中，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E。若，试求线段DE的长度。 27.如图①，在长方形ABCD中，己知，，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为秒，连接AP，把沿着AP翻折得到。(注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角) (1)如图②，射线PE恰好经过点B，求出此时的值； (2)当射线PE与边AB交于点F时，是否存在这样的的值，使得？若存在，请求出所有符合题意的的值；若不存在，请说明理由； (3)在动点P从点D到点C的整个运动过程中，若点E到直线AB的距离等于3，则此时 。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2023- 2024学 苏州中学园 二 级 10月份月 数学试 与解析 一、 择题（每 题 2 ，共 20 ） 1.下 图 几家电信公司 志，其中 轴对称图 ( ) A. B. C. D. 【 】C 【解 】解：A、不 轴对称图 ，也不 中 对称图 ．故错误； B、不 轴对称图 ，也不 中 对称图 ．故错误； C、 轴对称图 ，也 中 对称图 ．故正 ； D、不 轴对称图 ， 中 对称图 ．故错误． 故 ：C． 2.下 四个数中， 于无理数 ( ) A. 16 B. 0.2 C. 3 2 D. 3.1415 【 】C 【解 】解：有理数有： 16= 4，0.2，3.1415； 无理数有：3 2； 故 ：C． 3.下 条件中，不能 断ΔABC为直角三角 ( ) A. a2= 1，b2= 2，c2= 3 B. a:b:c= 5:12:13 C. ∠A+∠B=∠C D. ∠A:∠B:∠C= 3:4:5 【 】D 【解 】解：A、由 a2= 1，b2= 2，c2= 3，可 a2+ b2= c2，故ΔABC为直角三角 ； B、由 a:b:c= 5:12:13，可 a2+ b2= c2，故ΔABC为直角三角 ； C、由∠A+∠B=∠C且∠A+∠B+∠C= 180°，可 ∠C= 90°，故ΔABC为直角三角 ； D、由∠A:∠B:∠C= 3:4:5，可 ∠C< 90°，故ΔABC不为直角三角 ； 故 ：D． 4.如图 一个 角 仪器，其中AB=AD，BC=DC． 点A放 角 顶点，AB AD 角 两边放下， AC画一条 线AE，AE 这个角 线．此仪器 理 ( ) A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 【 】A 【解 】解： ΔADC ΔABC中， 二数学 1页 共 13页 AD=AB DC=BC AC=AC  ， ∴ΔADC≅ΔABC(SSS)， ∴∠DAC=∠BAC， AE ∠DAE 线， 故 ：A． 5.如图，ΔACB≅△A′CB′，A′B′经过点A，∠BAC= 70°， ∠ACA′ 数为 ( ) A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 【 】C 【解 】解：∵ΔACB≅△A′CB′， ∴∠A′ =∠BAC= 70°，AC=A′C， ∴∠A′AC=∠A′ = 70°， ∴∠ACA′ = 180° -∠A′ -∠A′AC= 40°， 故 ：C． 6.如图，RtΔABC中，∠C= 90°，AD ∠BAC，交BC于点D，AB= 10，CD= 3， ΔABD 面积为 ( ) A. 60 B. 30 C. 15 D. 10 【 】C 【解 】解：过点D DE⊥AB， 足为E， ∵AD ∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DE=DC= 3， ∵AB= 10， ∴ΔABD 面积= 12 AB ⋅DE = 12 × 10× 3 = 15， 故 ：C． 7. 欢 上，有A、B、C三 手站 一个三角 三个顶点 上，他们 玩“抢凳子” 戏，要 他们中 间放一个木凳， 先抢 凳子 胜，为 戏公 ， 凳子 放 最 ΔABC ( ) A.三边 直 线 交点 B.三条中线 交点 C.三条角 线 交点 D.三条高所 直线 交点 【 】A 【解 】解： 题意 ： 木凳所 A、B、C三个顶点 距离相 时， 戏公 ， ∵线段 直 线上 线段两端 距离相 ， ∴凳子 放 最 ΔABC 三边 直 线 交点． 故 ：A． 8.如图， ΔABC中，AB=AC，AD BC边上 高，点 E 高AD上任意一点，点 F 边AB上任意一 二数学 2页 共 13页 点，AB= 5，BD= 3，AD= 4， BE+EF 最 ( ) A. 3 B. 5 C. 72 D. 24 5 【 】D 【解 】解：连 CE，过点C CF′⊥AB于点F′，交AD于点E′， ∵ΔABC 三角 ，AB=AC，AD BC边上 高， ∴AD所 直线 ΔABC 对称轴，点B，点C关于直线AD对称， ∴BE=CE， ∴BE+EF=CE+EF≥CF′， ∴BE+EF 最 为CF′ 长，此时点E 于点E′处，点F 于点F′处， ∵AD BC边上 高，CF′⊥AB， ∴  SΔABC= 1 2 BC ⋅AD= 1 2 AB ⋅CF′， ∴CF′ = BC ⋅AD AB ， ∵AB=AC，AD BC边上 高，BD= 3， ∴BC= 2BD= 6， ∵AB= 5，AD= 4， ∴CF′ = 6× 45 = 24 5 ， 故 ：D． 9.如图，ΔABC中，AC= 8，点D，E BC，AC上，F BD 中点．若AB=AD，EF= EC， EF 长 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【 】B 【解 】解：连 AF， ∵AB=AD，F BD 中点， ∴AF⊥BD， ∴∠AFD= 90°， ∴∠EAF+∠C= 90°，∠AFE+∠EFC= 90°， ∵EF=EC， ∴∠EFC=∠C， ∴∠EAF=∠AFE， ∴EA=EF， ∴EF=EA=EC= 12 AC= 4， 故 ：B． 二数学 3页 共 13页 10.如图，ΔABC中，AB=AC，∠BAC= 120°，M BC 中点，MN⊥AB， 足为点N，D BM 中点，连 AD，过点B BC 线交AD 延长线于点E，若BE= 6， BN 长为 ( ) A. 6 B. 9 C. 6 3 D. 9 3 【 】B 【解 】解：连 AM， ∵AB=AC，∠BAC= 120°， ∴∠ABC=∠C= 30°， ∵M为BC 中点， ∴AM⊥BC， ∴AB= 2AM， ∵BE⊥BC， ∴∠AMD=∠EBD= 90°， ∵D为BM 中点， ∴DM=DB， ΔAMD ΔEBD中， ∠AMD=∠EBD DM=DB ∠ADM=∠EDB  ， ∴ΔAMD≅ΔEBD(ASA)， ∴AM=BE= 6， ∴AB= 12， ∴BM= AB2?AM 2= 6 3， ∵MN⊥AB，∠ABC= 30°， ∴MN= 12 BM= 3 3， ∴BN= BM 2-MN 2= 9． 故 ：B． 二、填 题（本大题共 8 题，每 题 2 ，共 24 ） 11. 2 方 ± 2 . 【 】± 2 【解 】解： ∴ 2 方 ：± 2； 故 为：± 2． 12.比较大 ：3 >　 7 (填写“<”或“>”)． 【解 】解：∵ 3= 9，且 9> 7， ∴ 3> 7， 故 为：>． 13.已知实数 x，y满足 x- 2+ (y+ 1)2= 0， yx= 1 ． 【 】1． 【解 】解：由题意 ，x- 2= 0，y+ 1= 0， 二数学 4页 共 13页 解 x= 2，y=-1， 所以，yx= (-1)2= 1． 故 为：1． 14.如图， RtΔABC中，∠ACB= 90°，AB= 10， 以AC，BC为 边 外 直角三角 ， 直角三角 面积 记为S1，S2， S1+S2 为 25 ． 【 】25． 【解 】解： RtΔABC中，由勾 定理 ， AB2=AC2+BC2= 102= 100， ∵ 以AC，BC为 边 外 直角三角 ， 直角三角 面积 记为S1，S2， ∴S1+S2= 12 × 1 2 AC 2+ 12 × 1 2 BC 2= 14 × 100= 25， 故 为：25． 15.如图，若 柱 面 长 16cm，高 12cm从 柱 部A处 面 绕一 丝线 顶部B处 装饰， 这条 丝线 最 长 20 cm． 【 】20． 【解 】解：如图，把 柱 面 ， 矩 ACBD， 从 柱 部A处 面 绕一 丝线 顶部B处 装饰，这条丝线 最 长 长方 对角线AB 长． ∵ 柱 面 长 16cm，高 12cm， ∴AB2= 162+ 122= 256+ 144= 400， ∴AB= 20(cm)． 故 为：20． 16.如图， 锐角ΔABC中，∠A= 75°，DE DF 直 边AB、AC， ∠DBC 数为 15 °． 二数学 5页 共 13页 【 】15． 【解 】解：连 DA、DC， ∵∠BAC= 75°， ∴∠ABC+∠ACB= 180° -75° = 105°， ∵DE DF 直 边AB、AC， ∴DA=DB，DA=DC， ∴DB=DC，∠DBA=∠DAB，∠DAC=∠DCA， ∴∠DBA+∠DCA=∠DAB+∠DAC= 75°， ∴∠DBC=∠DBC= 12 × (105° -75°) = 15°， 故 为：15． 17.如图，点E 正方 ABCD内 一点，连 AE、BE、CE， ΔABE绕点B顺时针旋转 90° ΔCBE′ ． 若AE= 1，BE= 2，CE= 3， ∠BE′C= 135 ． 【解 】解：连 EE′ ∵ΔABE绕点B顺时针旋转 90° ΔCBE′ ∴∠EBE′ 直角，∴ΔEBE′ 直角三角 ， ∵ΔABE与△CE′B全 ∴BE=BE′ = 2，∠AEB=∠BE′C ∴∠BEE′ =∠BE′E= 45°， ∵EE′2= 22+ 22= 8，AE=CE′ = 1，EC= 3， ∴EC2=E′C2+EE′2， ∴△EE′C 直角三角 ， ∴∠EE′C= 90°， ∴∠AEB= 135°． 故 为：135． 18.如图，ΔABC中，BC= 10，AC-AB= 6．过C ∠BAC 角 线 线， 足为D，点E为DC边 中点 连结BD，CD， SΔBEC 最大 为 7.5 . 【 】7.5 【解 】解：如图：延长AB，CD交点于F， ∵AD ∠BAC， ∴∠CAD=∠EAD， ∵CD⊥AD， 二数学 6页 共 13页 ∴∠ADC=∠ADE= 90°， ΔADF ΔADC中， ∠ADF=∠ADC AD=AD ∠FAD=∠CAD  ， ∴ΔADE≅ΔADC(ASA)， ∴AC=AF，DF=CD； ∵AC-AB= 6， ∴AF-AB= 6， BF= 6； ∵DF=DC， ∵E CD 中点， ∴SΔBEC= 1 4 SΔBFC， ∴ BF⊥BC时，SΔBFC面积最大， SΔBEC最大面积= 1 4 × 1 2 × 10× 6= 7.5． 三、解 题（本大题共 9 题，共 64 ，解 写出 要 计 过 、 步骤或文字说 ） 19.计 下 题． (1) 4- (π- 3)0+ ( 13 ) -1 (2) (-3)2+ 3 -64- 1- 3  【 】4，- 3 【解 】（1）2- 1+ 3= 4 （2）= 3- 4—（ 3- 1） =-1- 3+ 1 =- 3 20. 下 中 x (1)9x2- 25= 0； (2) (x- 1)3= 27； 【 】x1= 53 ,x2=- 5 3 【解 】（1）x2= 259 x1= 53 ,x2=- 5 3 （2）x- 1= 3 x= 4 21.已知某正数 x 两个 方 a- 3 2a+ 15，y 方 -3． z 13 整数部 ． x+ y- 2z 方 ． 【 】±4． 【解 】解：由题可知：a- 3+ 2a+ 15= 0， 解 ：a=-4， ∴ x= (a- 3)2= 49， ∴ y= (-3)3=-27， ∵ 3< 13< 4， ∴ z= 3， ∴ x+ y- 2z= 16， ∴ x+ y- 2z 方 ±4． 二数学 7页 共 13页 22.如图，∠BAD=∠CAE= 90°，AB=AD，AE=AC，CE经过点D． (1) 证：ΔABC≅ΔADE； (2)若AC= 6， 四边 ABCD 面积． 【 】(1)证 过 见解 ； (2)18． 【解 】(1)证 ：∵∠BAD=∠CAE= 90°， ∴∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD， ∴∠BAC=∠EAD， ΔABC ΔADE中， AB=AD ∠BAC=∠DAE AC=AE  ， ∴ΔABC≌ΔADE(SAS)； (2)解：∵ΔABC≌ΔADE， ∴SΔABC=SΔADE， ∴S四边 ABCD=SΔABC+SΔACD=SΔADE+SΔACD=SΔACE= 1 2 AC 2= 12 × 6 2= 18． 23. 用 图．要 ：只能用无 直 ，保留 图痕迹． (1) 图①中找一点P， 点P AB AC 距离相 且PB=PC； (2) 图②中，ΔABC 顶点 正方 点上， 出ΔABC 角 线BD． 【 】(1) (2) 图见解析部 ． 【解 】解：(1)如图①中，点P 为所 ； (2)如图②中，线段BD 为所 ； 24.如图， ΔABC中，过点A AD⊥ BC于点D，点 E 线段 BD上，且 EA= EB．已知 BD= 16，AD= 12， AC= 15． (1) 线段DE 长； (2) 证：∠BAC= 90°． 二数学 8页 共 13页 【 】(1)DE 长为 3.5； (2)证 过 见解 ． 【解 】(1)解：设BE=AE= x， ∵BD= 16， ∴ED=BD-BE= 16- x， ∵AD⊥BC， ∴∠ADE=∠ADC= 90°， RtΔADE中，AE 2=AD2+DE 2， ∴ x2= 122+ (16- x)2， 解 ：x= 12.5， ∴DE= 16- x= 3.5， ∴DE 长为 3.5； (2)证 ： RtΔABD中，AD= 12，BD= 16， ∴AB= BD2+AD2= 162+ 122= 20， RtΔADC中，AC= 15，AD= 12， ∴CD= AC2-AD2= 152- 122= 9， ∴BC=BD+CD= 25， ∵AB2+AC2= 202+ 152= 625，BC2= 252= 625， ∴AB2+AC2=BC2， ∴ΔABC 直角三角 ， ∴∠BAC= 90°． 25.已知 ΔABC中，AB=AC，点D 边AB上一点，∠BCD=∠A． (1)如图 1，试说 CD=CB 理由； (2)如图 2，过点B BE⊥AC， 足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说 ∠BCD= 2∠CBE 理由； ②如果ΔBDF 三角 ， ∠A 数． 【 】(1)说 过 见解 ； (2)①说 过 见解 ； ②如果ΔBDF 三角 ，∠A 数为 45°或 36°． 【解 】解：(1) ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵∠BDC ΔADC 一个外角， ∴∠BDC=∠A+∠ACD， ∵∠ACB=∠BCD+∠ACD，∠BCD=∠A， ∴∠BDC=∠ACB， ∴∠ABC=∠BDC． ∴CD=CB； 二数学 9页 共 13页 (2)①∵BE⊥AC， ∴∠BEC= 90°， ∴∠CBE+∠ACB= 90°， 设∠CBE= α， ∠ACB= 90° -α， ∴∠ACB=∠ABC=∠BDC= 90° -α， ∴∠BCD= 180° -∠BDC-∠ABC= 180° - (90° -α) - (90° -α) = 2α， ∴∠BCD= 2∠CBE； ②∵∠BFD ΔCBF 一个外角， ∴∠BFD=∠CBE+∠BCD= α+ 2α= 3α， 三种 况： BD=BF时， ∴∠BDC=∠BFD= 3α， ∵∠ACB=∠ABC=∠BDC= 90° -α， ∴ 90° -α= 3α， ∴ α= 22.5°， ∴∠A=∠BCD= 2α= 45°； DB=DF时， ∴∠DBE=∠BFD= 3α， ∵∠DBE=∠ABC-∠CBE= 90° -α- α= 90° -2α， ∴ 90° -2α= 3α， ∴ α= 18°， ∴∠A=∠BCD= 2α= 36°； FB=FD时， ∴∠DBE=∠BDF， ∵∠BDF=∠ABC>∠DBF， ∴不存 FB=FD， 综上所述：如果ΔBDF 三角 ，∠A 数为 45°或 36°． 26.我们新定义一种三角 ：若一个三角 中存 两边 方差 于 三边上高 方， 称这个三角 为勾 高 三角 ，两边交点为勾 顶点． ●特 感知 ① 直角三角 勾 高三角 (请填写“ ”或 “不 ”)； ②如图 1，已知 ΔABC为勾 高三角 ，其中C为勾 顶点，CD AB边上 高．若BD= 2AD= 2，试 线 段CD 长 ． ●深入 如图 2，已知 ΔABC为勾 高三角 ，其中C为勾 顶点且CA>CB，CD AB边上 高．试 线段AD 与CB 数 关系， 给予证 ； ● 用 如图 3， ΔABC为勾 高三角 ，其中AB=AC>BC，CD为AB边上 高，过点D BC边 行线与 二数学 10页 共 13页 AC边交于点E．若CE= a，试 线段DE 长 ． 【解 】解：●特 感知： ① 直角三角 勾 高三角 ． 故 为 ． ②如图 1中， 勾 定理可 ：CB2=CD2+ 4，CA2=CD2+ 1， 于 CD2= (CD2+ 4) - (CD2+ 1) = 3， ∴CD= 3． ●深入 ： 如图 2中，由CA2-CB2=CD2可 ：CA2-CD2=CB2， CA2-CD2=AD2， ∴AD2=CB2， AD=CB； ● 用： 过点A ED 线， 足为G， ∵“勾 高三角 ”ΔABC为 三角 ，且AB=AC>BC， ∴只能 AC2-BC2=CD2，由上问可知AD=BC⋯⋯①． ED⎳BC，∴∠1=∠B⋯⋯②． ∠AGD=∠CDB= 90°⋯⋯③， ∴ΔAGD≅ΔCDB(AAS)， ∴DG=BD． 知ΔADE与ΔABC 为 三角 ， 三线 一 理可知ED= 2DG= 2BD． AB=AC，AD=AE， ∴BD=EC= a， ∴ED= 2a． 27.如图①， 长方 ABCD中，已知AB= 13，AD= 5， 点P从点D出发，以每秒 2个 线段DC 终点C运 ，运 时间为 t秒，连 AP，把ΔADP AP翻折 ΔAEP． (注：长方 对边 行且相 ， 四个角都 直角) (1)如图②， 线PE 好经过点B， 出此时 t ； (2) 线PE与边AB交于点F时， 存 这 t ， FE=FB？若存 ，请 出所有 题意 t ；若不存 ，请说 理由； (3) 点P从点D 点C 整个运 过 中，若点E 直线AB 距离 于 3， 此时 t= 5 4 或 5 . 二数学 11页 共 13页 【 】(1) 12 ； (2) 2526 或 13 2 ； (3) 54 或 5． 【解 】解：(1) ∵四边 ABCD 长方 ， ∴∠D=∠C= 90°，AB=CD= 13，BC=AD= 5，AB⎳CD， ∴∠DPA=∠PAB， 由翻折 质 ：∠DPA=∠EPA， ∴∠BPA=∠PAB， ∴BP=AB= 13， RtΔBCP中，由勾 定理 ：CP= BP2-BC2= 132- 52= 12， ∴DP=CD-CP= 13- 12= 1， ∵DP= 2t， ∴ t= 12 ； (2)存 ， 两种 况： ① 点E 矩 ABCD内部时，过点P PM⊥AB于M，过点F FN⊥CD于N，如图③所示： 四边 CBFN、四边 NFAD、四边 ADPM都 矩 ， ∴NF=PM=AD= 5，AF=DN， RtΔPNF中，由勾 定理 ：PF 2=NF 2+NP2= 52+NP2 = 25+NP2， 由 (1) ：∠DPA=∠PAB， 由翻折 质 ：DP=PE，∠DPA=∠FPA， ∴∠FPA=∠PAB， ∴PF=AF 设DP= 2t,EF=BF=m,AF= 13-m Rt△AEF中，AE 2+EF 2=AF 2⇒ 52+m2= (13-m)2⇒m= 14426 PE=PF-EF=AF-BF⇒ 2t= 13- 14426 - 144 26 解 ：t= 2526； ② 点E 矩 ABCD 外部时，如图④所示： ① ：PF=AF， ∵FE=PE-PF=DP-AF= 2t-AF，FE=FB， ∴FB= 2t-AF， ∴AB-AF= 2t-AF， ∴AB= 2t， ∴ 2t=AB= 13(此时P与C )， 综上，存 这 t ， FE=FB，t 为 2526 或 13 2 ； (3) ∵四边 ABCD 长方 ， ∴CD=AB= 5， 两种 况： ①点E AB 上方时，过点E GH⊥AB，交CD于G，交AB于H，如图⑤所示： GH⊥CD，EH= 3，四边 ADGH时矩 ， ∴GH=AD= 5，DG=AH， ∴GE=GH-EH= 5- 3= 2， 二数学 12页 共 13页 由翻折 质 ：AE=AD= 5，DP=EP， RtΔAHE中，由勾 定理 ：AH= AE 2-EH 2 = 52- 32 = 4， ∴PG=DG-DP=AH-DP= 4-DP， RtΔPGE中，由勾 定理 ：PE 2=GE 2+PG2， PD2= 22+ (4-PD)2， 解 ：PD= 54 ， ∴ t= 54 ； ②点E AB 下方时，过点 E EK⊥DA交DA 延长线于K，连 DE交AP于R，如图⑥所示： ∵点E 直线AB 距离 于 3， ∴KA= 3，∴DK=AD+KC= 5+ 3= 8， 由翻折 质 ：AE=AD= 5，DE⊥AP，DR= 12 DE， ∴EK= AE 2-AK 2= 52- 33= 4， ∴DE= DK 2+EK 2= 82+ 42= 4 5， ∴DR= 2 5， ∵AP2=AD2+DP2，SΔADP= 1 2 AD ⋅DP= 1 2 AP ⋅DR， ∴AD2 ⋅DP2= (AD2+DP2) ⋅DR2， 52×DP2= (52+DP2) × (2 5 )2， 解 ：DP= 10(负 已舍 )， ∴ t= 5； 综上所述， 点P从点D 点C 整个运 过 中，若点 E 直线AB 距离 于 3， 此时 t 为 5 4 或 5， 故 为： 5 4 或 5． 二数学 13页 共 13页