追梦专项总结突破卷(二)线段与角的相关计算&(三)整式的加减-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年新教材七年级上册数学（冀教版2024）

追梦专项总结突破卷(二) 线段与角的相关计算　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 题型 1　 线段的运算 1. (石家庄期末)已知:点 M,N,P 在同一条直线上,线段 MN = 6, 且线段 PN= 2,画图并计算: (1)若点 P 在线段 MN 上,求 MP 的长; (2)若点 P 在射线 MN 上,点 A 是 MP 的中点,求线段 AP 的长. 2. 如图,M,N 为线段 AB 上两点,且 AM ∶MB= 1 ∶3,AN ∶NB= 5 ∶7. 若 MN= 2,求 AB 的长. 3. 如图,延长线段 AB 到 C,使 BC = 3AB,点 D 是线段 BC 的中点, 如果 CD= 3 cm, (1)求 AC 的长度; (2)若点 E 是线段 AC 的中点,求 ED 的长度. 4. 如图,已知直线 l 上有两条可以左右移动的线段:AB=m,CD=n, 且 m,n 满足 |m-4 | +(n-8) 2 = 0,点 M,N 分别为 AB,CD 中点. (1)求线段 AB,CD 的长; (2)线段 AB 以每秒 4 个单位长度向右运动,线段 CD 以每秒 1 个单位长度也向右运动. 若运动 6 秒后,MN= 4,求移动前线 段 BC 的长. 题型 2　 角的运算 5. 如图 1 所示,将一副三角板重叠放在一起,使直角的顶点重合于 点 O. 图 1 　 　 图 2 (1)请从图 1 中找出以点 O 为顶点且相等的两个角(小于 180° 的角),并说明相等依据;(找出一对即可) (2)如图 1,若∠BOC= 33°,试求∠AOD 的度数; (3)如图 1,当三角板 AOB 绕点 O 适当旋转(保持两三角板有重 合部分)时,∠AOD 与∠BOC 之间具有什么样的数量关系? 请直接写出答案; (4)当三角板 AOB 绕点 O 适当旋转(保持两三角板无重合部 分)时,如图 2 所示,那么∠AOD 与∠BOC 之间又有什么样 的数量关系? 请直接写出答案. 6. (张家口期末)已知∠AOB= 120°,∠COD= 60°,OE 平分∠BOC. (1) 如图 1,当∠COD 在∠AOB 的内部时,若∠AOC = 40°,则 ∠COE= 　 　 　 　 ,∠DOE= 　 　 　 　 ; (2)如图 2,当∠COD 在∠AOB 的外部时, ①请写出∠AOC 与∠DOE 的度数之间的关系,并说明理由; ②在∠AOC 内部有一条射线 OF,满足∠AOC+ 2 ∠BOE = 4∠AOF,写出∠AOF 与∠DOE 的度数之间的关系,并说 明理由. 图 1 　 　 图 2 ·72· 追梦专项总结突破卷(三) 整式的加减　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 题型 1　 数字方面的规律 1. (云南中考)按一定规律排列的单项式:a2,- 4a3,9a4,- 16a5, 25a6,……,第 n 个单项式是(　 　 ) A. ( -1) n+1n2an+1 B. ( -1) nn2an+1 C. ( -1) n+1n2an D. ( -1) nn2an 2. 正整数按如图所示的规律排列,则第 9 行、第 10 列的数字 是(　 　 ) A. 90 B. 86 C. 92 D. 108 3. 已知下列一组数:1, 3 4 , 5 9 , 7 16 , 9 25 ,…,则用式子表示第 n 个数 为(　 　 ) A. 5n -1 n B. 2n -1 n2 C. n 2 -4 n2 D. 2n +1 n2 4. 如图,将正整数按此规律排列成数表,则表中第 64 行(由上至下 计),第 7 个(由左至右计)数是　 　 　 　 . 5. 阅读下列材料,解答后面的问题. 材料:一组正整数 1,2,3,4,5,…,按下面的方法进行排列: 第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 4 列 第 5 列 第 6 列 1 2 3 4 5 6 第一行 12 11 10 9 8 7 第二行 … … 我们规定,正整数 2 的位置记为(1,2),正整数 8 的位置记为 (2,5) . 问题: (1)若一个数 a 的位置记作(4,3),则 a = 　 　 　 　 ;若一个数 b 的位置记作(5,4),则 b= 　 　 　 　 ; (2)正整数 2 020 的位置可记为　 　 　 　 . 6. 观察下列等式:第一个等式:x1 = a 1×4 = a 3 (1- 1 4 );第二个等式:x2 = a 4×7 = a 3 ( 1 4 - 1 7 );第三个等式:x3 = a 7×10 = a 3 ( 1 7 - 1 10 );第四个 等式:x4 = a 10×13 = a 3 ( 1 10 - 1 13 );其中 a 为常数,按照上面的规律, 则 x5 = 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ;xn = 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ;若 a= 6 067,则 x1 +x2 +x3 +……+x2 022 = 　 　 　 　 . 7. 观察下列式子: ①2×4+1 = 32,②4×6+1 = 52,③6×8+1 = 72,… (1)根据你发现的规律,请写出第 4 个等式　 　 　 　 　 　 　 ; (2)根据你发现的规律,请写出第 n(n 为正整数)个等式　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; (3)请写出第 198 个等式:　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 题型 2　 图形中的规律 8. 下列图形是按照一定规律画出的. 对于第 n 个图形,有 x 个正方 形和一定数量的三角形,三角形的个数可以表示为(　 　 ) A. 4x-4 B. 4n-4 C. 4x+n D. 4n+x 第 8 题图 　 　 　 　 　 第 9 题图 9. 如图所示,直线 AB,CD 相交于点 O,“阿基米德曲线”从点 O 开 始生成,如果将该曲线与每条射线的交点依次标记为 1,-2,3, -4,5,-6,…. 那么标记为“ -2 022”的点在(　 　 ) A. 射线 OA 上 B. 射线 OB 上 C. 射线 OC 上 D. 射线 OD 上 10. 观察下列一组图形中点的个数,其中第 1 个图中共有 4 个点, 第 2 个图中共有 10 个点,第 3 个图中共有 19 个点,……,按此 规律,则第 5 个图中共有点的个数是(　 　 ) A. 31 B. 46 C. 51 D. 66 11. 下列图形,每条边都由一些圆点组成. 我们把每条边上的圆点 个数用 n 个( n≥2) 表示,每个图形中圆点的总数用 S(个) 表示. (1)请写出当 n= 6 时,S= 　 　 　 　 ; (2)根据上述规律,用含 n 的代数式可以表示出 S= 　 　 　 　 ; (3)请根据上述规律判断,一个这样的图形中圆点的总数能否 等于 346? 若能,请求出 n 的值;若不能,请说明理由. ·82· 追梦专项总结突破卷(一) 1. 7 2. 解:由题意,得 a+b= 0,cd= 1,m= ±2. 当 m= 2 时,原式= 0 -1×2+22 = 2;当 m= -2 时,原式= 0-1×(-2)+(-2) 2 = 6. 综上所述,a +b abm -cdm+m2 的值为 2 或 6. 3. 4 4. 解:由题意,得 a+1 = 0,2b+3 = 0,c-1 = 0,解得 a = -1,b = - 3 2 ,c= 1,原式= -1×(- 3 2 ) 3×1 +-1-1 - 3 2 = 1 2 + 4 3 = 11 6 . 5. D 6. 解:(1)同号得正,异号得负,并把绝对值相加　 都等于 这个数的绝对值 (2)-8 7. B 8. D　 【解析】2+4 = 6,4+4 = 8,6+4 = 10,所以第四个正方形 右上角的数为 8+4 = 12;2+2 = 4,4+2 = 6,6+2 = 8,所以第 四个正方形左下角的数为 8+2 = 10;30 = 4×6+1×6,60 = 6 ×8+2×6,98 = 8×10+3×6,所以 m = 10×12+4×6 = 144. 故 选 D. 9. 解:(1) 1 n-1 - 1 n 　 (2)①2024 2025 　 ② n n+1 (3)原式 = 1 2 ×( 1 2 - 1 4 + 1 4 - 1 6 +…+ 1 2024 - 1 2026 ) = 1 2 × ( 1 2 - 1 2026 )= 253 1013 . 10. 解:(1)原式= (+ 1 5 +2 4 5 )+(-2 1 3 -3 2 3 )= 3-6 = -3; (2)原式 = - 3. 16× 0. 75+ 0. 61× 0. 75+( - 0. 2) × 0. 75 = 0. 75×(-3. 61+0. 61-0. 2)= 0. 75×(-3. 2)= -2. 4. 11. 解:(1)原式= ( 5 2 -9-4+18) ÷5×( -1)= 15 2 ÷5×( -1)= - 3 2 ; (2)原式= -1+ | -8-10 | -(-3)÷(-1)= -1+18-3 = 14. 12. 解:原式= [( - 2025) +( - 5 6 )] +[( - 2026) +( - 2 3 )] + (4000+ 3 4 )+[( - 1) +( - 1 2 )] = [( - 2025) +(-2026) + (-1)+4000] +[( - 5 6 ) +( - 2 3 ) +( - 1 2 ) + 3 4 ] = - 52+ (- 5 4 )= -53 1 4 . 13. 解:(1)-1　 1　 0 (2)如图: (3)AB-BC 的值不会随着时间的变化而改变,因为 BC = (1+5t)-(0-t)= 1+ 6t,AB = (1+ 5t) -( - 1- t) = 2+ 6t, 所以 AB-BC= 2+6t-(1+6t)= 1,所以 AB-BC 的值不会 随着时间的变化而改变,AB-BC 的值为 1. 14. 解:(1)π (2)①依次运动的终点的位置为 2π,π,4π,0,- 3π,所 以第四次滚动后,A 点距离原点最近; ②当圆片结束运动时,A 点运动的路程 = 2π+π+3π+4π +3π = 13π,此时点 A 所表示的数是-3π. 15. 解:(1)①5　 ②原点 O 的位置如图 1 所示: (2)点 O 如图 2 所示　 4 (3)①c-a ②数轴上的原点是 B 点,理由如下:因为数轴上标出的 若干个点中每相邻两点相距 1 个单位,所以 AD = d-a = 7,又因为 d-2a= 10,把 d-a= 7 代入,得 a= -3,所以 d= 4,所以 b= 0,所以数轴上的原点是 B 点. 追梦专项总结突破卷(二) 1. 解:(1)如图: 因为 MN= 6,PN= 2,所以 MP=MN-NP= 6-2 = 4; (2)分两种情况讨论:①当点 P 在 N 点左侧时,如图所 示: 由(1) 可知,MP = 4. 因为点 A 为 MP 的中点,所以 AP = 1 2 MP = 2;②当点 P 在 N 点右侧 时,如图所示: 由图形可知:MP =MN+NP= 6+2 = 8,因为点 A 为 MP 的中点,所以 AP = 1 2 MP= 4. 综上所述,AP 的长为 4 或 2. 2. 解:设 AM= x,MB= 3x,AB=AM+MN= 4x,则 AN= 5 3 x. MN = 5 3 x-x= 2,解得 x= 3. 则 AB= 4x= 12. 3. 解:(1)因为 D 是线段 BC 中点,所以 BC = 2CD = 2×3 = 6 (cm),因为 BC= 3AB,所以 AB = 1 3 BC = 1 3 × 6 = 2( cm), 所以 AC=AB+BC= 2+6 = 8(cm); (2)因为 E 是 AC 的中点,所以 EC = 1 2 AC = 1 2 × 8 = 4 (cm),所以 ED=EC-DC= 4-3 = 1(cm) . 4. 解:(1)因为 |m-4 | +(n-8) 2 = 0,所以 m-4 = 0,n-8 = 0, 所以 m= 4,n= 8,所以 AB= 4,CD= 8; (2)若 6 秒后,M′在点 N′左边时,由 MN+NN′ = MM′+ M′N′,即 2+4+BC+6×1 = 6×4+4,解得 BC= 16,若 6 秒后, M′在点 N′右边时,则 MM′=MN+NN′+M′N′,即 6×4 = 2+ BC+4+6×1+4,解得 BC= 8. 综上,BC= 16 或 8. 5. 解:(1)∠DOC = ∠BOA = 90°,一副三角板中,两个三角 板均为直角三角形;(答案不唯一) (2)因为∠DOC= 90°,∠BOC = 33°,所以∠DOB = 57°,所 以∠AOD= 90°+57° = 147°; (3)∠AOD+∠BOC= 180°; (4)∠AOD+∠BOC= 180°. 6. 解:(1)40°　 20° (2)①∠AOC= 2∠DOE. 理由:因为 OE 平分∠BOC,所以 ∠BOC= 2∠COE. 因为∠AOB = 120°,∠COD = 60°,所以 ∠AOB= 2∠COD,所以∠AOC= ∠AOB+∠BOC = 2∠COD +2∠COE= 2(∠COD+∠COE)= 2∠DOE; ②∠DOE-∠AOF= 30°,理由如下:因为∠AOC = ∠AOB+ ∠BOC,∠BOC= 2∠BOE,∠AOC+ 2∠BOE = 4∠AOF,所 以 4 ∠AOF = ∠AOB + 4 ∠BOE, 因为 ∠DOE = ∠COD + ∠COE, ∠COE = ∠BOE, 所 以 4∠DOE = 4 ∠COD + 4∠BOE,所以 4∠AOF-4∠DOE = ∠AOB-4∠COD,因为 ∠AOB= 120°, ∠COD = 60°,所以 4 ∠AOF - 4 ∠DOE = -120°,所以∠DOE-∠AOF= 30°. 追梦之旅铺路卷·七年级上·ZBJ·数学　 第 9 页 追梦专项总结突破卷(三) 1. A　 2. A　 3. B 4. 2023　 【解析】由题可知,第一行最后一个数字是 1,第二 行最后一个数字是 1+2 = 3,第三行最后一个数字是 1+2 +3 = 6,第四行最后一个数字是 1+ 2+ 3+ 4 = 10,…,所以 第 n 行最后一个数字是 1+2+3+…+n = n(n +1) 2 ,所以第 63 行的最后一个数字是 2016,所以第 64 行第一个数是 2017,所以第 64 行第 7 个是 2023. 5. (1)22　 28　 (2)(337,4) 6. a 13×16 = a 3 ( 1 13 - 1 16 ) a (3n-2)(3n+1) = a 3 ( 1 3n-2 - 1 3n+1 )　 2022 7. (1)8×10+1 = 92 (2)2n·(2n+2)+1 = (2n+1) 2 (3)396×398+1 = 3972 8. A　 9. C 10. B　 【解析】第 1 个图中共有 1+1×3 = 4 个点,第 2 个图 中共有 1+1×3+2×3 = 10 个点,第 3 个图中共有 1+1×3+ 2×3+3×3 = 19 个点,第 4 个图中共有 1+1×3+2×3+3×3 +3×4 = 31 个点,所以第 5 个图中共有点的个数是 1+1× 3+2×3+3×3+4×3+5×3 = 46. 故选 B. 11. 解:(1)20　 (2)4n-4(n≥2) (3)不能. 理由:当 n= 87 时,S = 4×87-4 = 344;当 n = 88 时,S= 4× 88- 4 = 348. 因为 344< 346< 348,且 n 是正整 数,所以图形中圆点的总数不能等于 346. 追梦专项总结突破卷(四) 1. 解:(1)去括号,得 9-2x-6 = x-3-6x. 移项,得-2x-x+6x = -3-9+6. 合并同类项,得 3x = -6. 两边同除以 3,得 x = -2; (2)去分母,得 9-3(5-3x)= 9x-(3-2x) . 去括号,得 9- 15+9x= 9x-3+2x. 移项,得 9x-9x-2x= -3-9+15. 合并同 类项,得-2x= 3. 两边同除以-2,得 x= - 3 2 ; (3)整理,得10x 7 -15-20x 3 = 2. 去分母,得 30x-7(15-20x) = 42. 去括号,得 30x-105+140x = 42. 移项、合并同类项, 得 170x= 147. 两边同除以 170,得 x= 147 170 . 2. 解:解方程x -6 2 = -6,得 x = -6,把 x = -6 代入方程 x 2 + m 3 = x-4,得-3+ m 3 = -10,解得 m= -21. 3. 解:方程 2(x-1)-3(x+1)= 0,解得 x = -5. 由题意可得 x = 5 是方程k +x 2 -3k-2 = 2x 的解,所以把 x= 5 代入k +x 2 -3k -2 = 2x,得k +5 2 -3k-2 = 10,解得 k= -19 5 . 4. 解:由题意,得 3y+a= 2y+4. 即 y = 4-a. 因为 y = 3,所以 4 -a= 3,解得 a= 1. 将 a = 1 代入方程 3( y+a) = 2y+ 4,得 3(y+1)= 2y+4,解得 y= 1. 综上所述,a 的值是 1,方程的 正确的解是 y= 1. 5. 解:(1)a　 -a (2)原方程化为 | 3x+1 | = 5,当 3x+ 1≥0 时,方程可化为 3x+1 = 5,解得 x= 4 3 ,当 3x+1≤0 时,方程可化为 3x+1 = -5,解得 x= -2,所以原方程的解是 x= 4 3 或 x= -2; (3)m≥0 6. A 7. 解:(1)(-2) 9 　 (-2) 9 +2　 -(-2) 9 -1 (2)因为左上角数记为 x,所以另五个数分别为:-2x,x+ 2,-2x+2,-x-1,2x-1,所以 x-2x+x+2-2x+2-x-1+2x-1 = -x+2; (3)设这三个数分别为:-x- 1,2x- 1,- 4x- 1,由题意可 得:-x-1+2x-1-4x-1 = 381,解得 x = -128,所以这三个 数分别为 127,-257,511. 8. 解:(1)设购进 A 品牌运动裤 x 件,则购进 B 品牌运动裤 (100-x)件. 根据题意,得 200×(100-x) -150x = 6000,解 得 x= 40. 所以 100-x= 60. 即购进 A 品牌运动裤 40 件,购 进 B 品牌运动裤 60 件; (2)设有 y 件 B 品牌运动裤打七折出售,B 品牌运动裤 每件按进价加价 100%后的售价为 200×(1+100%)= 400 (元) . 根据题意,得(230-150)×40+(400-200) ×(60-y) +(400×70%-200)y= 14000. 解得 y = 10. 即有 10 件 B 品 牌运动裤打七折出售. 9. 解:(1)3　 45 (2)20×3 = 60< 72,所以 11 月份用水量超过了 20m3 ,设 11 月份用水量为 xm3 ,根据题意列方程得,20 × 3 + ( x- 20)×(3. 05+0. 8+0. 15)= 72,解得 x= 23,即该用户 11 月 份用水 23m3 ; (3)20×3 = 60>54,所以水表 12 月份出故障时收费按没 有超过 20m3 计算,设 12 月份实际用水量为 xm3 ,根据题 意列方程得,x(1-25%)×3 = 54,解得 x = 24,20×3+(24- 20)×(3. 05+0. 8+0. 15) = 76(元) . 即该用户 12 月份实 际应该缴纳水费 76 元. 10. 解:(1)24　 28 (2)设点 P 表示的数为 x,则 x-( - 16) = 8-x,解得 x = -4,即点 P 表示的数为-4; (3)由题意得:2t+t= 28,解得 t= 28 3 ; (4) t= 10 3 或 10. 11. 解:(1)2t (2)设经过 t 秒甲、乙两人第一次相遇,根据题意得 3t+ 2t= 50×2+30,解得 t= 26. 故经过 26 秒,甲、乙两人第一 次相遇; (3)设经过 t 秒乙追上甲,根据题意得 3t-2t= 50×2+30, 解得 t= 130,故经过 130 秒,乙追上甲; (4)130×2 = 260(米),260-(50+30)×2 = 100(米),100- 30-50 = 20(米),所以(3)中乙追上甲的地点在 CD 上, 离 C 点 20 米的地方;若乙第 n 次追上甲的时间为 a 秒, 则 3a-2a= 160(n-1),解得 a= 160(n-1),160(n-1) ×2 = 320(n-1) (米),320(n-1) ÷160 = 2(n-1) (圈),第 n 次乙追上甲时,甲又跑了 2(n- 1)圈. 所以第 n 次乙追 上甲的地方跟(3)一样,即 P 点在 CD 上离 C 点 20 米的 地方. 追梦期末达标测试卷 1. D　 2. B　 3. D　 4. D　 5. C 6. A　 【解析】①x4 的次数是 4,错误;②- 3πx 2y3 8 的系数是 -3π 8 ,错误;④a2 与 a3 不是同类项,不能合并,错误. 所以 正确的个数是 1 个,故选 A. 7. B　 8. B　 9. D 10. D　 11. C 12. C　 【解析】设 AN 的长为 x,由题意得 AM=BM= x+4,AN =CN= x,所以 MC=CN-MN= x-4,则 BC=BM-MC= x+4 -(x-4)= 8. 故选 C. 13. B　 14. D 追梦之旅铺路卷·七年级上·ZBJ·数学　 第 10 页