第4章 相交线和平行线 追梦综合演练卷-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年新教材七年级上册数学（华东师大版2024）

第 4 章追梦综合演练卷 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 如图所示,下列判断错误的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. ∠1 和∠2 是同旁内角 B. ∠3 和∠4 是内错角 C. ∠5 和∠6 是同旁内角 D. ∠5 和∠8 是同位角 第 1 题图 　 　 　 　 　 第 2 题图 　 　 2. 直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起,在图中所标记的 角中,与∠1 互余的角有(　 　 ) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 6 个 3. 学习情境·推理论证 如图所示,下列推理中正确的有(　 　 ) ①∵ ∠1 = ∠3,∴ AB∥CD; ②∵ ∠2 = ∠4,∴ AD∥BC; ③∵ ∠ABC+∠BCD= 180°,∴ AD∥CD; ④∵ ∠1+∠2+∠B= 180°,∴ BC∥AD. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 第 3 题图 　 　 　 　 第 5 题图 4. 下列说法:①同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线 垂直;②垂线段最短;③平行于同一条直线的两条直线也互相平 行;④同位角相等. 其中正确的有(　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 5. 如图,直线 a∥b,直角三角形 ABC 的直角顶点 C 在直线 a 上,若 ∠1 = 35°,则∠2 等于(　 　 ) A. 65° B. 50° C. 55° D. 60° 6. 如图,将三角板的直角顶点放在直线 a 上,a∥b,∠1 = 50°,∠2 = 60°,则∠3 的度数为(　 　 ) A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 第 6 题图 　 　 　 　 　 　 第 7 题图 7. 如图,将一块直角三角板的直角顶点放在直尺一边上,如果∠1 = 50°,那么∠2 的度数是(　 　 ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 8. 如图,直线 m∥n,将含有 45°角的三角板 ABC 的直角顶点 C 放 在直线 n 上,若∠1 = 25°,则∠2 的度数是(　 　 ) A. 35° B. 30° C. 25° D. 20° 第 8 题图 　 　 　 第 9 题图 　 　 　 第 10 题图 9. 如图,AB∥EF,∠C= 90°,则 α、β、γ 的关系为(　 　 ) A. γ=α+β B. α+β+γ= 180° C. α+γ-β= 90° D. α+β-γ= 90° 10. 如图,已知∠A= 45°,CD⊥AB,垂足为 D,DE、DF 分别是∠ADC 和∠BDC 的平分线,则下列五种说法:①∠ADC = 90°;②DF∥ AC;③DE⊥DF;④∠FDC = ∠ECD;⑤∠EDC = ∠FCD. 其中一 定正确的个数为(　 　 ) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 如图,是利用直尺和三角板过已知直线 l 外一点 P 作直线 l 的 平行线的方法,其理由是　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 第 11 题图 　 　 　 　 第 12 题图 12. 如 图, AB ∥ CD, AE 平 分 ∠BAC, CE 平 分 ∠ACD, 则 ∠AEC= 　 　 　 　 . 13. 社会发展情境·公路建设 如图,在 A、B 两地之间要修一条笔直 的公路,从 A 地测得公路走向是北偏东 46°,公司要求 A、B 两 地同时开工,并保证若干天后公路准确接通. 若公路 AB 长 12 千米,另一条公路 BC 长 6 千米,且 BC 的走向是北偏西 44°,A 地到公路 BC 的距离是　 　 　 　 千米. 第 13 题图 　 　 第 14 题图 　 　 第 15 题图 14. 如图所示,点 P 是∠NOM 的边 OM 上一点,PD⊥ON 于点 D, ∠OPD= 30°,PQ∥ON,则∠MPQ 的度数是　 　 　 　 . 15. 学科素养·分类讨论 如图,已知 AD∥BE,点C 是直线FG 上的动点,若点 C 在移动过程中,存在某时刻使得∠ACB =45°,∠DAC=23°,则∠EBC 的度数为　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 小题,共 75 分) 16. 生活情境·测量角 (7 分)小明在踢足球时把一块梯形玻璃 AB- CD 的下半部分打碎了,若量得上半部分∠A = 123°, ∠D = 105°,你能知道下半部分的两个角∠B 和∠C 的度数吗? 请说 明理由. 17. (9 分)在横线上填上合适的答案,在括号内填上恰当的依据. 如图所示,E 为线段 DF 上的点,B 为线段 AC 上的点,∠1 = ∠2,∠C= ∠D. 求证:DF∥AC. 证明:∵ ∠1 = ∠2(已知), ∠1 = ∠3(　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ), ∴ ∠3 = ∠2(　 　 　 　 　 　 ), ∴ 　 　 　 　 ∥　 　 　 　 ( 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ) . ∴ ∠C= ∠ABD (　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ) . ∵ ∠C= ∠D(　 　 　 　 　 　 ) . ∴ ∠D= ∠ABD(　 　 　 　 　 　 　 　 ) . ∴ DF∥AC(　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ) . ·12· 18. (8 分)如图,AB∥CD,CB 平分∠ECD 交 AB 于点 B,若∠EAB = 60°,求∠ABC. 19. (10 分)如图,AB∥CD,直线 MN 与 AB 交于点 E,与 CD 交于点 F,过点 E 作射线 EH⊥MN,∠1 = 130°,求∠2 的度数. 20. (10 分)如图,AB∥CD,∠B = 70°,∠BCE = 20°,∠CEF = 130°, 请判断 AB 与 EF 的位置关系,并说明理由. 21. 跨学科试题·物理 (10 分)光线在不同介质中传播速度不同, 从一种介质射向另一种介质时会发生折射. 如图,水面 AB 与 水杯下沿 CD 平行,光线 EF 从水中射向空气时发生折射,光线 变成 FH,点 G 在射线 EF 上,已知∠DEF = 50°,∠EFH = 145°, 求∠BFH 的大小. 22. 跨学科试题·物理 (10 分)如图 1,将支架平面镜 AB 放置在水 平桌面 MN 上,激光笔 PD 与水平天花板 EF 的夹角( ∠EPG) 为 30°,激光笔发出的入射光线 DG 射到 AB 上后,反射光线 GH 与 EF 形成∠PHG. 由光的反射定律可知,DG、GH 与 AB 的垂线 GK 所形成的夹角始终相等,即∠1 = ∠2. 图 1 　 　 　 　 图 2 (1)∠GHF 的度数为 　 　 　 　 　 . (2) 如图 2,点 B 固定不动,调节支架平面镜 AB,调节角为 ∠ABM(∠ABM≤90°) . ①若∠ABM= 30°,求∠PHG 的度数; ②若反射光线 GH 恰好与 EF 平行,求∠ABM 的度数. 23. 学习情境·类比探究 (11 分)问题情境:如图 1,AB∥CD,∠PAB = 130°,∠PCD= 120°,求∠APC 的度数. (1)小机灵同学看过图形后立即口答出:∠APC = 110°,请你补 全他的推理依据. 如图 2,过点 P 作 PE∥AB, ∵ AB∥CD,∴ PE∥AB∥CD. (　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ) ∴ ∠A+∠APE= 180°,∠C+∠CPE= 180°. (　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ) ∵ ∠PAB= 130°,∠PCD= 120°,∴ ∠APE= 50°,∠CPE= 60°. ∴ ∠APC= ∠APE+∠CPE= 110°. (　 　 　 　 　 　 ) 问题迁移: (2)如图 3,AD∥BC,当点 P 在线段 AB 上运动时,∠ADP= ∠α, ∠BCP= ∠β,求∠CPD 与∠α、∠β 之间有何数量关系? 请说 明理由; (3)在(2)的条件下,如果点 P 在射线 OM 上,且在 A、B 两点外 侧运动时(点 P 与点 A、B、O 三点不重合),请直接写出∠CPD 与∠α、∠β 之间的数量关系. 图 1 　 　 　 图 2 图 3 　 　 　 备用图 ·22· ∠EFG)= 180°-90° = 90°,∴ EG⊥FG; (10 分) 22. 解:(1)AD∥EF, (1 分) 理由如下: ∵ ∠BDA+ ∠CEG = 180°, ∠BDA + ∠ADE = 180°,∴ ∠ADE= ∠CEG,∴ AD∥EF. (5 分) (2)∠F= ∠H, (6 分) 理由如下: ∵ AD 平分 ∠BAC, ∴ ∠BAD = ∠CAD. ∵ ∠EDH= ∠C,∴ HD∥AC,∴ ∠H = ∠CGH. ∵ AD∥EF,∴ ∠CAD= ∠CGH= ∠H,∠BAD= ∠F,∴ ∠H= ∠F. (10 分) 23. 解:(1)60　 (2 分) (2)设 A 灯转动 t 秒,两灯的光束互相平行, ①当 0<t<60 时,如图 1,∵ PQ∥MN,∴ ∠PBD = ∠BDA, ∵ AC∥BD,∴ ∠CAM= ∠BDA,∴ ∠CAM= ∠PBD. ∴ 2t = 1·(30+t),解得 t= 30;②当 60≤t≤90 时,两灯的光束 无法平行,不符合题意; (5 分) ③当 90<t<120 时,如图 2,∵ PQ∥MN,∴ ∠PBD+∠BDA = 180°,∵ AC∥BD,∴ ∠CAN = ∠BDA. ∴ ∠PBD+∠CAN = 180°. ∴ 1·(30+t) +(2t-180) = 180,解得 t = 110. ④ 当 120≤t≤150 时,两灯的光束无法平行,不符合题意; 综上所述,当 t = 30 秒或 110 秒时,两灯的光束互相平 行; (8 分) 图 1 　 图 2 (3)∠BAC = 2∠BCD. 理由:设灯 A 射线转动时间为 t 秒,∵ ∠CAN= (180-2t)°,∴ ∠BAC = 60°-(180-2t)° = (2t-120)°,又∵ ∠ABC = ( 120 - t)°,∴ ∠BCA = 180° - ∠ABC-∠BAC= (180-t)°,而∠ACD = 120°,∴ ∠BCD = 120°-∠BCA= 120°-(180- t)° = ( t- 60)°,∴ ∠BAC = 2 ∠BCD. (12 分) 第 4 章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B A C C C B D D C 1. C　 2. B 3. A　 【解析】①∵ ∠1 = ∠3,∴ AD∥BC,故错误;②∵ ∠2 = ∠4,∴ AB∥CD,故错误;③∵ ∠ABC+∠BCD = 180°,∴ AB ∥CD,故错误;④∵ ∠1+∠2+∠B = 180°,∴ AD∥BC,故正 确. 故选 A. 4. C　 5. C　 6. C　 7. B　 8. D　 【解析】过点 B 向左作 BD∥m,则 BD∥m∥n,∴ ∠ABD = ∠1 = 25°, ∠DBC = ∠2. 又 ∵ ∠ABC = 45°, ∴ ∠2 = ∠ABC-∠1 = 20°. 故选 D. 9. D　 【解析】延长 DC 交 AB 于点 G,延长 CD 交 EF 于点 H,∵ ∠BCD = 90°,∴ ∠BCG = 90°. 在直角三角形 BCG 中,∠BGC= 90°-α. 在三角形 EHD 中,∠EHD = 180°-γ- (180°-β)= β-γ. ∵ AB∥EF,∴ ∠BGC = ∠EHD,∴ 90°-α =β-γ,即 α+β-γ= 90°. 故选 D. 10. C　 【解析】∵ CD⊥AB,∴ ∠ADC = ∠CDB = 90°,故①正 确;∵ DF 平分∠BDC,∠CDB = 90°,∴ ∠BDF = 45°. 又 ∵ ∠A= 45°,∴ DF∥AC,故②正确;∵ DF∥AC,∴ ∠FDC = ∠ECD, 故 ④ 正 确; ∵ DE、 DF 分 别 平 分 ∠ADC、 ∠CDB,∠ADC= ∠CDB = 90°,∴ ∠EDC = ∠CDF = 45°, 即∠EDF= 90°,即 ED⊥FD,故③正确;无法证明 ED∥ BC,故∠EDC = ∠FCD 无法证明,故⑤错误,故正确的 个数为 4 个. 故选 C. 11. 同位角相等,两直线平行 12. 90°　 13. 12　 【解析】由题可知∠ABG= 46°,∴ ∠CBA= 180°-44° -46° = 90°,即 CB⊥AB,∴ A 地到公路 BC 的距离是线段 AB 的长度,为 12 千米. 14. 60°　 【解析】∵ PD⊥ON 于点 D,∠OPD = 30°,∴ ∠O = 60°. ∵ PQ∥ON,∴ ∠MPQ= ∠O= 60°. 15. 22°或 68°　 【解析】如图 1,当点 C 在 AD、BE 之间时,过 点 C 作 CH∥AD,则 AD∥CH∥BE. ∵ ∠DAC = 23°,∴ ∠ACH = 23°. 又 ∵ ∠ACB = 45°, ∴ ∠BCH = 22°, ∴ ∠EBC= 22°;如图 2,当点 C 在 AD、BE 外部时,过点 C 作 CH∥AD,则 AD∥CH∥BE. ∵ ∠DAC = 23°,∴ ∠ACH = 23°. 又∵ ∠ACB= 45°,∴ ∠BCH = ∠ACH+∠ACB = 68°, ∴ ∠EBC= ∠BCH= 68°. 图 1 　 　 图 2 16. 解:由题可知 AD∥BC,∴ ∠A+ ∠B = 180°,∠D+ ∠C = 180°. ∵ ∠A= 123°,∠D= 105°,∴ ∠B= 57°,∠C= 75°. (7 分) 17. 对顶角相等　 等量代换　 CE　 BD　 同位角相等,两直 线平行　 两直线平行,同位角相等　 已知　 等量代换 　 内错角相等,两直线平行 (每空 1 分,共 9 分) 18. 解:∵ AB∥CD,∴ ∠ABC= ∠BCD,∠ECD= ∠EAB= 60°. (4 分) ∵ CB 平分∠ECD,∴ ∠BCD= 1 2 ∠ECD = 1 2 ×60° = 30°, ∴ ∠ABC= 30°. (8 分) 19. 解: ∵ AB∥CD, ∠1 = 130°, ∴ ∠BEF = ∠1 = 130°, ∴ ∠AEF= 180°-∠BEF= 50°. (5 分) 又∵ EH⊥MN,∴ ∠HEF = 90°, ∴ ∠2 = 90° - ∠AEF = 40°. (10 分) 20. 解:AB∥EF. (2 分) 理由:∵ AB∥CD,∠B = 70°,∴ ∠BCD = ∠B = 70°. 又∵ ∠BCE= 20°,∴ ∠ECD= ∠BCD-∠BCE= 50°. (6 分) 又∵ ∠CEF= 130°,∴ ∠CEF+∠ECD= 180°,∴ EF∥CD, ∴ AB∥EF. (10 分) 21. 解:∵ AB∥CD,∴ ∠EFB+∠FED= 180°. ∵ ∠DEF = 50°, ∴ ∠EFB= 180°-50° = 130°. (5 分) ∵ ∠EFH= 145°,∴ ∠BFH= ∠EFH-∠EFB= 145°-130° = 15°. (10 分) 22. 解:(1)30° (2 分) (2)①过点 G 向右作 GC∥MN,则∠BGC = ∠ABM = 30°. ∵ EF∥MN,∴ EF∥GC∥MN. ∵ ∠EPG = 30°,∴ ∠PGC = ∠EPG= 30°,∴ ∠PGB = ∠PGC+∠BGC = 60°. ∵ KG⊥ 追梦之旅铺路卷·七年级上·ZBH·数学　 第 10 页 AB,∴ ∠PGK = 90° - 60° = 30°, ∴ ∠PGH = 2 ∠PGK = 60°,∴ ∠PHG= 180°-∠EPG-∠PGH= 90°; (6 分) ②如图,GH∥EF,则∠PGH = ∠EPG = 30°,∴ ∠HGK = ∠PGK= 1 2 ∠PGH= 15°. ∵ KG⊥AB,∴ ∠HGK+∠HGB = 90°,∴ ∠HGB= 90°-15° = 75°. ∵ EF∥MN,∴ GH∥MN∥ EF,∴ ∠ABM= ∠HGB= 75°. (10 分) 23. 解:(1)平行于同一条直线的两条直线互相平行　 两直 线平行,同旁内角互补　 等式的性质 (3 分) (2)∠CPD= ∠α+∠β. 理由:过点 P 作 PE∥AD 交 CD 于 点 E,∵ AD∥BC,∴ AD∥PE∥BC,∴ ∠α = ∠DPE,∠β = ∠CPE,∴ ∠CPD= ∠DPE+∠CPE= ∠α+∠β; (7 分) (3)∠CPD= ∠β-∠α 或∠CPD= ∠α-∠β. (11 分) 【解析】当点 P 在 BA 延长线上时,过点 P 作 PE∥AD 交 CD 延长线于点 E,同 ( 2) 可知,∠α = ∠DPE, ∠β = ∠CPE,∴ ∠CPD= ∠β-∠α;当点 P 在 OB 上时,过点 P 作 PF∥AD 交 OC 于点 F,同(2)可知,∠α= ∠DPF,∠β = ∠CPF,∴ ∠CPD= ∠α-∠β. 追梦专项总结突破卷(一) 有理数的相关计算 1. 4 2. 解:由题意,得 a+1 = 0,2b+3 = 0,c-1 = 0,解得 a = -1,b = - 3 2 ,c= 1,原式= -1×(- 3 2 ) 3×1 +-1-1 - 3 2 = 1 2 + 4 3 = 11 6 . 3. 解:(1)原式= [(-3)+( - 5 6 )] +[( -8) +( - 2 3 )] +(16+ 3 4 )+[( - 5) + ( - 1 2 )] = [( - 3) + ( - 8) + 16 + (-5)] + [(- 5 6 )+(- 2 3 )+ 3 4 +(- 1 2 )] = 0+(-1 1 4 )= - 5 4 ; (2)原式= 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 + 1 4×5 + 1 5×6 + 1 6×7 + 1 7×8 = 1- 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 + 1 4 - 1 5 + 1 5 - 1 6 + 1 6 - 1 7 + 1 7 - 1 8 = 1- 1 8 = 7 8 ; (3)把原式记为①,把①式括号内的数倒序后,得 1 2 + ( 2 3 + 1 3 )+( 3 4 + 2 4 + 1 4 ) +( 4 5 + 3 5 + 2 5 + 1 5 ) +…+( 59 60 + 58 60 +…+ 2 60 + 1 60 )②,①+②,得 1+2+3+4+…+58+59 = 1770,所以原式= 1 2 ×1770 = 885. 4. 解:(1)原式= (- 1 3 ) 3 = - 1 27 . (2)原式= [( - 7 2 ) ÷( - 7 8 ) ×( - 3 4 )] ★2 = ( - 3) ★2 = (-3) 2 = 9. 5. 解:(1)-1　 1　 0 (2)如图 (3)AB-BC 的值不会随着时间的变化而改变,理由:因为 BC= (1+5t)-(0-t)= 1+6t,AB = (1+5t) -(-1-t)= 2+6t, 所以 AB-BC= 2+6t-(1+6t)= 1,所以 AB-BC 的值不会随 着时间的变化而改变,AB-BC 的值为 1. 6. 解:(1)π (2)①依次运动的终点的位置为 2π,π,4π,0,-3π,所以 第四次滚动后 A 点距离原点最近; ②当圆片结束运动时,A 点运动的路程= 2π+π+3π+4π+ 3π = 13π,此时点 A 所表示的数是-3π. 追梦专项总结突破卷(二) 整式及其加减 1. 解:(1)2 (2)a 与 b 不是关于 1 的“平衡数”,理由如下: a+b= 2x2 -3(x2 +x)+4+2x-[3x-(4x+x2 ) -2] = 2x2 -3x2 - 3x+4+2x-(3x-4x-x2 -2)= 2x2 -3x2 -3x+4+2x-3x+4x+x2 +2 = 6≠1,∴ a 与 b 不是关于 1 的“平衡数” . 2. 解:(1)2mx-3m+ 2m2 - 3x = (2m- 3) x+ 2m2 - 3m,因为其 值与 x 的取值无关,所以 2m-3 = 0,解得 m= 3 2 ,故当 m= 3 2 时,多项式 2mx-3m+2m2 -3x 的值与 x 的取值无关; (2)因为 A= 2x2 -2x+3xy-1,B= -x2 +xy-1,所以 3A+6B = 3(2x2 -2x+3xy-1)+6(-x2 +xy-1)= 6x2 -6x+9xy-3-6x2 + 6xy-6 = 15xy-6x-9 = x(15y-6) -9,因为 3A+6B 的值与 x 的取值无关,所以 15y-6 = 0,即 y= 2 5 ; (3)设 AB= x,由图可知 S1 =ax-a·3b= ax-3ab,S2 = 2bx- 2b·2a= 2bx-4ab,所以 S1 -S2 = (ax-3ab) -(2bx-4ab) = (a-2b)x+ab,因为当 AB 的长变化时,S1 -S2 的值始终保 持不变,所以 S1 -S2 的值与 x 的取值无关,所以 a-2b= 0, 即 a= 2b. 3. (1)22　 28 (2)(338,5) 4. a 13×16 = a 3 ( 1 13 - 1 16 ) a (3n-2)(3n+1) = a 3 ( 1 3n-2 - 1 3n+1 )　 2024 5. A　 6. D 7. 解:(1)-3　 -1　 3 (2)3t+2　 2t+4 (3)3BC-2AB= 3(2t+4) - 2(3t+ 2) = 6t+ 12- 6t- 4 = 8. 计 算 3BC-2AB 的结果为 8,故 3BC-2AB 的值不随时间 t 的 变化而改变. 追梦专项总结突破卷(三) 图形的初步认识 1. C 2. 解:(1)如图所示: 追梦之旅铺路卷·七年级上·ZBH·数学　 第 11 页