第4章 相交线和平行线 追梦基础训练卷(二)-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年新教材七年级上册数学（华东师大版2024）

第 4 章追梦基础训练卷(二) 平行线 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 如图所示,下列条件不能判定直线 l1∥l2 的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. ∠1 = ∠3 B. ∠1 = ∠4 C. ∠2+∠3 = 180° D. ∠3 = ∠5 第 1 题图 　 　 　 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 2. 在同一平面内,下列说法正确的是(　 　 ) A. 两直线的位置关系是平行、垂直或相交 B. 不平行的两条直线一定互相垂直 C. 不垂直的两条直线一定互相平行 D. 不相交的两条直线一定互相平行 3. 如图,直线 a、b 被直线 c、d 所截,若∠1 = 80°,∠2 = 100°,∠3 = 85°,则∠4 的度数是(　 　 ) A. 80° B. 85° C. 95° D. 100° 4. 如图所示,直线 a∥b,∠1= 50°,∠2=∠3,则∠2 的度数为(　 　 ) A. 50° B. 60° C. 65° D. 75° 5. 学习情境·课堂讨论 数学课上老师要求同学们利用三角板作已 知直线 a 的平行线,如图是苗苗和小华作图的过程. 老师说苗苗 和小华两位同学的作法都是正确的. 甲、乙两位同学分别对苗苗 和小华作平行线的依据进行了说明:甲同学说苗苗的作图依据 是“同位角相等,两直线平行”. 乙同学说小华的作图依据是“在 同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行”. 对于甲、乙 两同学的说法,下列判断正确的是(　 　 ) 　 A. 甲、乙都正确 B. 甲正确,乙错误 C. 甲错误,乙正确 D. 甲、乙都错误 6. 社会发展情境·铺设管道 如图所示,要在一条公路的两侧铺设 平行管道,已知一侧铺设的角度为 120°,那么另一侧铺设的角 度大小应为(　 　 ) A. 120° B. 100° C. 80° D. 60° 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 7. 如图,将直尺与含 30°角的三角尺摆放在一起,若∠1 = 20°,则 ∠2 的度数是(　 　 ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 8. 如图,若直线 a∥b,则 | y-x |的值是(　 　 ) A. 20 B. 80 C. 120 D. 180 第 8 题图 　 　 　 第 9 题图 　 　 　 第 10 题图 9. 学习情境·图形的折叠 如图,将长方形纸带 ABCD 沿 EF 折叠 后,C、D 两点分别落在 C′、D′的位置上,经测量得∠EFB = 65°, 则∠AED′的度数是(　 　 ) A. 65° B. 55° C. 50° D. 25° 10. 如图,AF∥CD,CB 平分∠ACD,BD 平分∠EBF,且 BC⊥BD,则 下列结论中错误的是(　 　 ) A. BC 平分∠ABE B. AC∥BE C. ∠BCD+∠D= 90° D. ∠DBF= 2∠ABC 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 中考新考法·条件开放性 如图,已知∠B = ∠D,要使 BE∥DF, 还需补充一个条件,你认为这个条件应该是　 　 　 　 　 　 　 . (填一个条件即可) 第 11 题图 　 　 　 　 　 　 第 12 题图 12. 如图,∠1 = ∠2,∠A= 60°,则∠ADC= 　 　 　 　 . 13. 如图,点 A 在点 B 北偏东 50°方向,点 C 在点 A 北偏西 40°方 向,若 AC= 10 m,则点 C 到直线 AB 的距离为　 　 　 　 m. 第 13 题图 　 　 第 14 题图 　 　 第 15 题图 14. 生活情境·汽车驾驶 (上海期末)我们规定车辆在转弯时的转 弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线所成的夹角. 如图:一辆 车在一段绕山公路行驶(沿箭头方向)时,在点 B、C 和 D 处的 转弯角分别是 α、β 和 θ,且 AB∥DE,则 α、β 和 θ 之间的数量关 系是　 　 　 　 . 15. 如图,已知直线 AB∥CD,∠GEB 的平分线 EF 交 CD 于点 F, ∠1 = 40°,则∠2 等于　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 小题,共 75 分) 16. (8 分)如图,AB∥CD,AE 平分∠BAD,CD 与 AE 相交于点 F, ∠CFE= ∠E,求证:AD∥BC. 17. (8 分)如图,∠1 = ∠ACB,∠2 = ∠3,FH⊥AB 交 AB 于点 H,问 CD 与 AB 有什么关系? 请说明理由. 18. 跨学科试题·物理 (7 分)世界上最早记载潜望镜原理的古书, 是公元前 2 世纪我国西汉初期的《淮南万毕术》,书中记载的 现象:“取大镜高悬,置水盆于其下,则见四邻矣. ”即潜望镜的 雏形. 如图,是一个潜望镜模型示意图,光线 AB 经过互相平行 ·91· 的镜子 EF 和镜子 GH 反射后,形成光线 CD,人眼在 D 点即可 看到 A 点的光线. 已知∠1 = ∠2,∠3 = ∠4,求证 AB∥CD. 请完成下面的证明,在括号内的横线上补充正确的结论或推理 的依据. 证明:∵ EF∥GH(已知), ∴ ∠2 = 　 　 　 　 ( 　 　 　 　 　 　 　 　 ) . ∵ ∠1 = ∠2,∠3 = ∠4(已知), ∴ ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4( 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ), ∴ ∠1+∠2 = ∠3+∠4(等式的性质) . ∵ ∠1+∠2+∠ABC= 180°,∠3+∠4+　 　 　 　 = 180°(平角的 定义), ∴ ∠ABC= 　 　 　 　 , ∴ AB∥　 　 　 　 ( 　 　 　 　 　 　 　 　 ) . 19. (10 分)如图,已知 AB∥CD,BF 平分∠ABE,DF 平分∠CDE, ∠BED= 75°,求∠BFD 的度数. 20. (10 分)如图,AB∥DC,AC 和 BD 相交于点 O,E 是 CD 上一点, F 是 OD 上一点,且∠1 = ∠A. (1)试说明:FE∥OC; (2)若∠B= 40°,∠1 = 60°,求∠OFE 的度数. 21. (10 分) (苏州模拟)如图,直线 AB∥CD,直线 AB,CD 被直线 EF 所截,EG 平分∠BEF,FG 平分∠DFE. (1)若∠AEF= 50°,求∠EFG 的度数; (2)判断 EG 与 FG 的位置关系,并说明理由. 22. (10 分)如图,AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D,点 F 在 BA 的延长 线上,点 E 在线段 CD 上,EF 与 AC 相交于点 G,∠BDA+∠CEG = 180°. (1)AD 与 EF 平行吗? 请说明理由; (2)若点 H 在 FE 的延长线上,且∠EDH = ∠C,则∠F 与∠H 相等吗? 请说明理由. 23. 生活情境·探照灯的移动 (12 分)某河段两岸安置了两座可旋 转探照灯 A,B. 如图 1 所示,假如河道两岸是平行的,PQ∥MN, 且∠BAM= 2∠BAN,灯 A 射线从 AM 开始顺时针旋转至 AN 便 立即回转,灯 B 射线从 BP 开始顺时针旋转至 BQ 便立即回转, 两灯不停交叉照射巡视,且灯 A 转动的速度是每秒 2 度,灯 B 转动的速度是每秒 1 度. (1)填空:∠BAN= 　 　 　 　 °; (2)若灯 B 射线先转动 30 秒,灯 A 射线才开始转动,在灯 B 射 线到达 BQ 之前,A 灯转动几秒,两灯的光束互相平行? (3)如图 2,若两灯同时转动,在灯 A 射线到达 AN 之前,若两灯 发出的射线 AC 与 BC 交于点 C,过 C 作∠ACD 交 PQ 于点 D, 且∠ACD = 120°,则在转动过程中,请探究∠BAC 与∠BCD 的 数量关系,并说明理由. ·02· 30° = 80°+ 30° = 110°. 若∠EOP 是∠AGO 的关联角,则 ∠EOP= ∠AGO + 30° = 110° + 30° = 140°. 若 ∠EOP 是 ∠CPO 的关联角,则∠EOP = ∠CPO+30° = 180-∠DPO +30° = ∠CHG+∠POH+30° = ∠CHG+180°-∠EOP+30° = 80° + 180° - ∠EOP + 30° = 290° - ∠EOP, 得 ∠EOP = 145°. 图 1 当直线 MN 位于如图 2 所示位置时:因为∠AGH= 110°, ∠CHG= 80°,所以∠BGH = 180°-∠AGH = 180°- 110° = 70°,∠GHD= 180°-∠CHG = 180°-80° = 100°. 若∠EOP 是∠BGO 的关联角,则∠EOP= ∠BGO+30° = 70°+30° = 100°. 因为 ∠EOP = 180° - ∠POH = ∠GHD + ∠OPH = 100° + ∠OPH > 100°, 所 以 ∠EOP = 100° ( 舍 去) . 若 ∠EOP 是∠DPO 的关联角,则∠EOP = ∠DPO+ 30° = 180°-∠OPH+30° = ∠GHD+∠HOP+ 30° = 100°+ 180°- ∠EOP+30° = 310°-∠EOP,得∠EOP= 155°. 图 2 第 4 章追梦基础训练卷(二) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D B C B D C A C D 1. A　 2. D　 3. B 4. C　 【解析】∵ a∥b,∴ ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. 又∵ ∠1 = 50°,∴ ∠2+∠3 = 180°-50° = 130°. 又∵ ∠2 = ∠3,∴ ∠2 = ∠3 = 65°. 故选 C. 5. B　 【解析】苗苗的作图依据是“同位角相等,两直线平 行”,所以甲同学的说法正确;小华的作图依据是“内错 角相等,两条直线平行” . 所以乙同学的说法错误. 故 选 B. 6. D 7. C　 【解析】如图,∵ ∠1 = 20°,∴ ∠3 = 180° - ∠1 - 30° = 130°. ∴ ∠4 = 180°-∠3 = 50°. ∵ AB∥CD,∴ ∠2 = ∠4 = 50°. 故选 C. 8. A　 【解析】∵ a∥b,∴ x° = 30°. ∵ x°+3y° = 180°,∴ x = 30, y= 50,∴ | y-x | = 20. 故选 A. 9. C　 【解析】∵ AD∥BC,∴ ∠DEF = ∠EFB = 65°,由折叠可 知∠D′EF = ∠DEF = 65°,∴ ∠AED′ = 180° - 65° - 65° = 50°. 故选 C. 10. D　 【解析】∵ BC⊥BD,∴ 在三角形 BCD 中,∠BCD+ ∠D= 90°,C 正确,不符合题意;∵ BD 平分∠EBF,BC⊥ BD,∴ BC 平分∠ABE,A 正确,不符合题意;∵ AF∥CD, ∴ ∠ABC = ∠BCE, 又 ∵ CB 平 分 ∠ACE, ∴ ∠ACB = ∠BCE,∵ BC 平分∠ABE,∴ ∠ABC = ∠CBE,∴ ∠ACB = ∠CBE,∴ AC∥BE,B 正确,不符合题意. 故选 D. 　 11. ∠B= ∠COE(答案不唯一) 12. 120° 13. 10　 【解析】由题可知∠CAB = 180°- 50°- 40° = 90°,即 CA⊥AB,∴ 线段 CA 的长度为点 C 到直线 AB 的距离, 即 10m. 14. θ = α+ β 　 【解析】 如图,∵ AB∥ DE,∴ ∠DFC = α, ∵ θ = 180° - ∠EDC= 180°-(180°-β-∠DFC) = ∠DFC+β,∴ θ=α+β. 15. 160°　 【解析】 ∵ AB∥CD,∠1 = 40°,∴ ∠GEB = ∠1 = 40°. 又∵ EF 是∠GEB 的平分线,∴ ∠GEF = ∠FEB = 1 2 ∠GEB= 20°. ∵ AB∥CD,∴ ∠FEB+∠2 = 180°,即∠2 = 180°-∠FEB= 160°. 16. 证明:∵ AE 平分∠BAD,∴ ∠1 = ∠2. (2 分) 又∵ ∠CFE= ∠E,AB∥CD,∴ ∠1 = ∠CFE = ∠E,∴ ∠2 = ∠E,∴ AD∥BC. (8 分) 17. 解:CD⊥AB, (2 分) 理由如下: ∵ ∠1 = ∠ACB,∴ DE∥BC,∴ ∠2 = ∠DCB. ∵ ∠2 = ∠3,∴ ∠DCB= ∠3,∴ CD∥FH. (6 分) ∵ FH⊥AB,∴ CD⊥AB. (8 分) 18. ∠3　 两直线平行,内错角相等　 等量代换　 ∠BCD　 ∠BCD　 CD　 内错角相等,两直线平行 (每空 1 分,共 7 分) 19. 解:连结 BD,∵ ∠BED = 75°,∴ ∠EBD+∠EDB = 180°- 75° = 105°. ∵ BF 平分∠ABE,DF 平分∠CDE. ∴ ∠FBE = 1 2 ∠ABE,∠FDE= 1 2 ∠CDE. (4 分) ∵ AB∥CD,∴ ∠ABE+∠EBD+∠CDE+∠EDB = 180°,即 2 ∠FBE+ ∠EBD+ 2 ∠FDE+ ∠EDB = 180°,∴ ∠FBE+ ∠FDE= 1 2 × ( 180° - 105°) = 37. 5°,∴ ∠BFD = 180° - ∠FBE-∠EBD-∠EDB-∠FDE = 180° - 105° - 37. 5° = 37. 5°. (10 分) 20. 解:(1)∵ AB∥DC,∴ ∠A = ∠C. 又∵ ∠1 = ∠A,∴ ∠1 = ∠C,∴ EF∥OC; (5 分) (2)∵ AB∥DC, ∴ ∠B = ∠D = 40°. 又∵ ∠1 = 60°, ∴ ∠DFE= 180°-∠D-∠1 = 80°,∴ ∠OFE = 180°-∠DFE = 100°. (10 分) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　方法点拨:平行线的判定与性质常结合起来进行考查,先 根据角的关系判定直线平行,再根据平行线的性质得出 其他角的关系. 21. 解:(1)∵ AB∥CD,∴ ∠DFE = ∠AEF = 50°. ∵ FG 平分 ∠DFE,∴ ∠EFG= 1 2 ∠DFE= 1 2 ×50° = 25°; (4 分) (2)EG⊥FG. (5 分) 理由如下:∵ AB∥CD,∴ ∠BEF+∠DFE = 180°. 又∵ EG 平分 ∠BEF, FG 平分 ∠DFE, ∴ ∠FEG = 1 2 ∠BEF, ∠EFG = 1 2 ∠DFE. ∴ ∠FEG + ∠EFG = 1 2 ( ∠BEF + ∠DFE)= 1 2 × 180° = 90°. ∴ ∠EGF = 180° - ( ∠FEG + 追梦之旅铺路卷·七年级上·ZBH·数学　 第 9 页 ∠EFG)= 180°-90° = 90°,∴ EG⊥FG; (10 分) 22. 解:(1)AD∥EF, (1 分) 理由如下: ∵ ∠BDA+ ∠CEG = 180°, ∠BDA + ∠ADE = 180°,∴ ∠ADE= ∠CEG,∴ AD∥EF. (5 分) (2)∠F= ∠H, (6 分) 理由如下: ∵ AD 平分 ∠BAC, ∴ ∠BAD = ∠CAD. ∵ ∠EDH= ∠C,∴ HD∥AC,∴ ∠H = ∠CGH. ∵ AD∥EF,∴ ∠CAD= ∠CGH= ∠H,∠BAD= ∠F,∴ ∠H= ∠F. (10 分) 23. 解:(1)60　 (2 分) (2)设 A 灯转动 t 秒,两灯的光束互相平行, ①当 0<t<60 时,如图 1,∵ PQ∥MN,∴ ∠PBD = ∠BDA, ∵ AC∥BD,∴ ∠CAM= ∠BDA,∴ ∠CAM= ∠PBD. ∴ 2t = 1·(30+t),解得 t= 30;②当 60≤t≤90 时,两灯的光束 无法平行,不符合题意; (5 分) ③当 90<t<120 时,如图 2,∵ PQ∥MN,∴ ∠PBD+∠BDA = 180°,∵ AC∥BD,∴ ∠CAN = ∠BDA. ∴ ∠PBD+∠CAN = 180°. ∴ 1·(30+t) +(2t-180) = 180,解得 t = 110. ④ 当 120≤t≤150 时,两灯的光束无法平行,不符合题意; 综上所述,当 t = 30 秒或 110 秒时,两灯的光束互相平 行; (8 分) 图 1 　 图 2 (3)∠BAC = 2∠BCD. 理由:设灯 A 射线转动时间为 t 秒,∵ ∠CAN= (180-2t)°,∴ ∠BAC = 60°-(180-2t)° = (2t-120)°,又∵ ∠ABC = ( 120 - t)°,∴ ∠BCA = 180° - ∠ABC-∠BAC= (180-t)°,而∠ACD = 120°,∴ ∠BCD = 120°-∠BCA= 120°-(180- t)° = ( t- 60)°,∴ ∠BAC = 2 ∠BCD. (12 分) 第 4 章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B A C C C B D D C 1. C　 2. B 3. A　 【解析】①∵ ∠1 = ∠3,∴ AD∥BC,故错误;②∵ ∠2 = ∠4,∴ AB∥CD,故错误;③∵ ∠ABC+∠BCD = 180°,∴ AB ∥CD,故错误;④∵ ∠1+∠2+∠B = 180°,∴ AD∥BC,故正 确. 故选 A. 4. C　 5. C　 6. C　 7. B　 8. D　 【解析】过点 B 向左作 BD∥m,则 BD∥m∥n,∴ ∠ABD = ∠1 = 25°, ∠DBC = ∠2. 又 ∵ ∠ABC = 45°, ∴ ∠2 = ∠ABC-∠1 = 20°. 故选 D. 9. D　 【解析】延长 DC 交 AB 于点 G,延长 CD 交 EF 于点 H,∵ ∠BCD = 90°,∴ ∠BCG = 90°. 在直角三角形 BCG 中,∠BGC= 90°-α. 在三角形 EHD 中,∠EHD = 180°-γ- (180°-β)= β-γ. ∵ AB∥EF,∴ ∠BGC = ∠EHD,∴ 90°-α =β-γ,即 α+β-γ= 90°. 故选 D. 10. C　 【解析】∵ CD⊥AB,∴ ∠ADC = ∠CDB = 90°,故①正 确;∵ DF 平分∠BDC,∠CDB = 90°,∴ ∠BDF = 45°. 又 ∵ ∠A= 45°,∴ DF∥AC,故②正确;∵ DF∥AC,∴ ∠FDC = ∠ECD, 故 ④ 正 确; ∵ DE、 DF 分 别 平 分 ∠ADC、 ∠CDB,∠ADC= ∠CDB = 90°,∴ ∠EDC = ∠CDF = 45°, 即∠EDF= 90°,即 ED⊥FD,故③正确;无法证明 ED∥ BC,故∠EDC = ∠FCD 无法证明,故⑤错误,故正确的 个数为 4 个. 故选 C. 11. 同位角相等,两直线平行 12. 90°　 13. 12　 【解析】由题可知∠ABG= 46°,∴ ∠CBA= 180°-44° -46° = 90°,即 CB⊥AB,∴ A 地到公路 BC 的距离是线段 AB 的长度,为 12 千米. 14. 60°　 【解析】∵ PD⊥ON 于点 D,∠OPD = 30°,∴ ∠O = 60°. ∵ PQ∥ON,∴ ∠MPQ= ∠O= 60°. 15. 22°或 68°　 【解析】如图 1,当点 C 在 AD、BE 之间时,过 点 C 作 CH∥AD,则 AD∥CH∥BE. ∵ ∠DAC = 23°,∴ ∠ACH = 23°. 又 ∵ ∠ACB = 45°, ∴ ∠BCH = 22°, ∴ ∠EBC= 22°;如图 2,当点 C 在 AD、BE 外部时,过点 C 作 CH∥AD,则 AD∥CH∥BE. ∵ ∠DAC = 23°,∴ ∠ACH = 23°. 又∵ ∠ACB= 45°,∴ ∠BCH = ∠ACH+∠ACB = 68°, ∴ ∠EBC= ∠BCH= 68°. 图 1 　 　 图 2 16. 解:由题可知 AD∥BC,∴ ∠A+ ∠B = 180°,∠D+ ∠C = 180°. ∵ ∠A= 123°,∠D= 105°,∴ ∠B= 57°,∠C= 75°. (7 分) 17. 对顶角相等　 等量代换　 CE　 BD　 同位角相等,两直 线平行　 两直线平行,同位角相等　 已知　 等量代换 　 内错角相等,两直线平行 (每空 1 分,共 9 分) 18. 解:∵ AB∥CD,∴ ∠ABC= ∠BCD,∠ECD= ∠EAB= 60°. (4 分) ∵ CB 平分∠ECD,∴ ∠BCD= 1 2 ∠ECD = 1 2 ×60° = 30°, ∴ ∠ABC= 30°. (8 分) 19. 解: ∵ AB∥CD, ∠1 = 130°, ∴ ∠BEF = ∠1 = 130°, ∴ ∠AEF= 180°-∠BEF= 50°. (5 分) 又∵ EH⊥MN,∴ ∠HEF = 90°, ∴ ∠2 = 90° - ∠AEF = 40°. (10 分) 20. 解:AB∥EF. (2 分) 理由:∵ AB∥CD,∠B = 70°,∴ ∠BCD = ∠B = 70°. 又∵ ∠BCE= 20°,∴ ∠ECD= ∠BCD-∠BCE= 50°. (6 分) 又∵ ∠CEF= 130°,∴ ∠CEF+∠ECD= 180°,∴ EF∥CD, ∴ AB∥EF. (10 分) 21. 解:∵ AB∥CD,∴ ∠EFB+∠FED= 180°. ∵ ∠DEF = 50°, ∴ ∠EFB= 180°-50° = 130°. (5 分) ∵ ∠EFH= 145°,∴ ∠BFH= ∠EFH-∠EFB= 145°-130° = 15°. (10 分) 22. 解:(1)30° (2 分) (2)①过点 G 向右作 GC∥MN,则∠BGC = ∠ABM = 30°. ∵ EF∥MN,∴ EF∥GC∥MN. ∵ ∠EPG = 30°,∴ ∠PGC = ∠EPG= 30°,∴ ∠PGB = ∠PGC+∠BGC = 60°. ∵ KG⊥ 追梦之旅铺路卷·七年级上·ZBH·数学　 第 10 页