第3章 一次方程与方程组 追梦基础训练卷-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年新教材七年级上册数学（沪科版2024）

第 3 章追梦基础训练卷 测试时间:120 分钟　 　 测试分数:150 分　 　 得分: 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 每小题都给出 A、B、C、D 四个选项,其中只有一个是正确的. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 已知下列方程:①x-1 = 2 x ;②0. 3x = 1;③ 1 2 = 5x+1;④x2 -4x = 3; ⑤x= 6;⑥x+2y= 0. 其中一元一次方程的个数是(　 　 )B A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 下列方程中,其解为 x= -2 的是(　 　 )A A. x +5 3 -1 = 0 B. 3(x+1) -3 = 0 C. 3x-4 = 2 D. 2x= -1 3. 下列等式变形正确的是(　 　 )C A. 由 4+x= 3 得 x= 4+3 B. 由 1 3 x= 0 得 x= 3 C. 由 5y= -4y+2 得 5y+4y= 2 D. 由 1 2 a-1 = 3a 得 a-1 = 6a 4. 解方程组 2x +3y= 8 3x-2y= -1{ 的思路可用如图的框图表示,圈中应填写 的对方程①②所做的变形为(　 　 )C A. ①×2+②×3 B. ①×2-②×3 C. ①×3-②×2 D. ①×3+②×2 5. 若方程 mx + ny = 6 的两个解是 x = -1 y= -1{ , x= -2 y= 1{ ,则 m + n 的值 是(　 　 )B A. 6 B. -6 C. -4 D. 4 6. 学习情境·墨迹覆盖 关于 x,y 的方程组 x +py= 0 x+y= 3{ 的解是 x= 1 y= ●{ , 其中 y 的值被盖住了,不过仍能求出 p,则 p 的值是(　 　 )D A. 1 4 B. 1 2 C. - 1 4 D. - 1 2 7. 新趋势·新定义 规定新运算“⊕”:对于任意实数 a、b 都有 a⊕b =ab-a+b-1,例如:2⊕5 = 2× 5- 2+ 5- 1,则方程 2⊕x = 1 的解 是(　 　 )C A. x= 2 3 B. x= 1 C. x= 4 3 D. x= 5 3 8. 跨学科试题·语文 众所周知,中华诗词博大精深,集大量的情 景、情感于短短数十字之间. 而数学与古诗词更是有着密切的联 系. 古诗中,五言绝句是四句诗,每句都是五个字;七言绝句是四 句诗,每句都是七个字. 有一本诗集,其中五言绝句比七言绝句 多 13 首,总字数却反而少了 20 个字. 则七言绝句有(　 　 )A A. 35 首 B. 48 首 C. 55 首 D. 68 首 9. 已知关于 x 的方程 x-2 -ax 6 = x 3 -2 有非负整数解,则整数 a 的所 有可能的取值的和为(　 　 ) A. -23 B. 23 C. -34 D. 34 10. 文化情境·数学文化 我国古典数学文献《增删算法统宗·六均 输》中有一个“隔沟计算”的问题:“甲乙隔沟牧放,二人暗里参 详. 甲云得乙九只羊,多乙一倍之上,乙说得甲九只,两家之数 相当,二人闲坐恼心肠,画地算了半响”其大意为:甲,乙两人 一起放牧,两人心里暗中数羊. 如果乙给甲 9 只羊,那么甲的羊 数为乙的 2 倍;如果甲给乙 9 只羊,那么两人的羊数相同. 请问 甲,乙各有多少只羊? 设甲有羊 x 只,则下列说法正确的 是(　 　 )C A. 列方程:x+9 = 2(x-18+9) B. 列方程组为: x +9 = x-18 x+9 = 2(x-18+9){ C. 设乙有羊 y 只,列方程组为: x +9 = 2(y-9) x-9 = y+9{ D. 甲有羊 27 只,乙有羊 18 只 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11. 新趋势·结论开放 请写出一个以 x,y 为未知数的二元一次方 程组,且同时满足下列两个条件:①由两个二元一次方程组成; ②方程组的解为 x = 1 y= 2{ . 这样的方程组可以是　 　 　 　 　 　 　 . (写出一个满足条件的方程即可) 12. 某商场将一款运动装按成本价提高 50%后标价,现因款式更 新,将该运动装按标价的 8 折出售,此时每套运动装仍可获利 56 元,则该款运动装的每套成本价是　 　 　 　280 元. 13. 已知方程 组 2x +y= 1 kx+(k-1)y= 6{ 的解满足 x + y = 5, 求 k 的值 为　 　 　 　3 . 14. 今年元旦,小颖在如图所示的一张长方形宣纸上的四个正方形 格子中写下了“元旦快乐”的毛笔书法作品,已知宣纸的长为 108 cm,正方形格子的边长相等,正方形格子与纸边之间的边 空宽相等,相邻两个字的字距相等,且边空宽、字宽、字距之比 为 3 ∶6 ∶2. (1)这张长方形宣纸的宽为　 　 　 　 cm; (2)这张长方形宣纸的面积为　 　 　 　 cm2 . 三、(本大题共 2 小题,每小题 8 分,满分 16 分) 15. 解方程(组): (1)2x-2 = 6-3x;　 　 　 　 　 　 (2) m 4 + n 3 = 10 m 3 - n 4 = 5 ì î í ï ïï ï ï . 16. 某企业积极落实二十大精神,争取通过增收减支,到今年年底 使企业利润翻一番,该企业的具体目标是:保证今年总产值比 去年增加 20%,总支出比去年减少 20%,已知该企业去年的利 润(利润=总产值-总支出)为 200 万元,求今年的总产值,总支 出分别是多少万元? 四、(本大题共 2 小题,每小题 8 分,满分 16 分) 17. 学习情境·错解问题 小马虎在解关于 x 的方程x -1 3 = x+2m 2 - 1 去分母时,方程右边的“ -1”没有乘以 6,最后他求得方程的解 为 x= 3. (1)求 m 的值; (2)求该方程正确的解. ·7· 18. 文化情境·传统文化 扎染文化是我国传统文化的重要组成部 分,扎染文化的发展带动了旅游相关产业的发展. 云南大理某 扎染坊第一次用 3 700 元购进甲种布料 25 件,乙种布料 55 件;第二次用 3 800 元购进甲种布料 50 件,乙种布料 20 件. 求 该扎染坊购进的甲、乙两种布料的单价各是多少? 五、(本大题共 2 小题,每小题 10 分,满分 20 分) 19. 新趋势·结论开放 一辆汽车从 A 地驶往 B 地,前三分之一路段 为普通公路,其余路段为高速公路. 已知汽车在普通公路上行 驶的速度为 60 km / h,在高速公路上行驶的速度为 100 km / h. 汽车从 A 地到 B 地共行驶了 2. 2 h. 请你根据以上信息,就该汽 车 行 驶 的 “ 路 程 ” 或 “ 时 间 ”, 提 出 一 个 问 题: 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ,并列出方程组,求出解. 20. 随着农业技术的高速发展,新农机新农技的大量运用让中国的 “饭碗”越端越牢. 装有北斗导航的无人驾驶插秧机大幅度提 高了插秧速度. 现有种型号的无人驾驶插秧机若干台,农田若 干亩. 若插秧机的速度为每天 45 亩,则工作 5 天后还剩 400 亩 农田未插秧;若插秧机的速度为每天 50 亩,则工作 6 天后还剩 100 亩农田未插秧. 问有几台插秧机和多少亩农田? 六、(本题满分 12 分) 21. 我们知道,借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本 性质. 【提出问题】能否借助一架天平和一个 10 克的砝码测量出一 个乒乓球和一个一次性纸杯的质量? 【实验探究】准备若干相同的乒乓球和若干相同的一次性纸杯 (每个乒乓球的质量相同,每个纸杯的质量也相同),设一个乒 乓球的质量是 x 克,经过实验,将有关信息记录在表中: 记 录 天平 左边 天平 右边 天平 状态 乒乓球 总质量 一次性纸杯 的总质量 记 录 一 5 个乒乓球, 1 个 10 克的 砝码 15 个一次性 纸杯 平衡 5x 　 　 　 　5x+10 记 录 二 3 个乒乓球 1 个 一 次 性 纸杯 1 个 10 克的 砝码 平衡 3x 　 　 　 　3x-10 【解决问题】 (1)将表格中两个空白部分用含 x 的代数式表示; (2)分别求出一个乒乓球的质量和一个一次性纸杯的质量. 【及时迁移】 (3)借助以上相关数据以及实践经验,你能设计一种方案,使 实验中选取的乒乓球的个数与纸杯的个数一样多吗? 七、(本题满分 12 分) 22. 某公园的门票价格如下表所示: 购票人数 1~ 50 人 51~ 100 人 100 人以上(不含 100 人) 每人门票价 13 元 11 元 9 元 某校初一(1)(2)两个班去游览公园,其中(1)班人数较少,不 足 50 人,(2)班人数较多,超过 50 人,但是不超过 100 人,且两 个班合起来超过 100 人. 如果两个班都以班为单位分别购票, 则一共应付 1 240 元;如果两个班联合起来,作为一个团体购 票,则只需付 936 元. (1)请列出方程组,求出两个班各有多少学生? (2)你认为是否存在这样的可能:51 到 100 人之间买票的钱数 与 100 人以上(不含 100 人)买票的钱数相等? 如果有,请求出 各有多少人时买票钱数相等? 八、(本题满分 14 分) 23. 生活情境·护目灯 青少年近视已经成为困扰我国中小学生的 严重问题,根据《儿童青少年学习用品近视防控卫生要求》中 对学生用品———护目灯的光照度、色温、蓝光、频闪等参数都有 明确的合格要求. 某企业生产的 A,B 两种型号的护目灯均符 合要求. 已知出售 1 件 A 型号和 3 件 B 型号护目灯共收入 1 100 元,出售 2 件 A 型号和 5 件 B 型号护目灯共收入 1 900 元. (1)求 A 型号和 B 型号每件护目灯的售价; (2)若出售 A,B 两种型号(均有销售,且总件数不超过 13 件) 共收入 3 000 元,则出售 A,B 两种型号的护目灯各几件? ·8· (2)当 a= 4,b= 1 时,S= 2×4×1-3. 14×12 = 4. 86. 18. 解:(1)由题意,得 A-2B= (2x2 +3xy+2y) -2(x2 -xy+ x)= 2x2 +3xy+2y-2x2 +2xy-2x= 5xy-2x+2y; (2)当 x= -1,y= 3 时,A-2B= 5xy-2x+2y= 5×( -1) × 3-2×( -1) +2×3 = -15+2+6 = -7. 19. 解:(1)当 a = 24. 5 时,7a- 3. 07 = 7 × 24. 5 - 3. 07 = 168. 43(cm). 答:则他的身高约为 168. 43 厘米; (2)当 a= 26. 3 时,7a-3. 07 = 7×26. 3-3. 07 = 181. 03 (cm)≈1. 81( m),因为 1. 81m 接近 1. 79m,所以身 高为 1. 79m 的可疑人员的可能性更大. 答:身高为 1. 79m 的可疑人员的可能性更大. 20. 解:(1)13　 18　 28　 38 (2)5n+3　 10n+8 (3)由题意可得,图 2025 中图形的周长为 10×2025+ 8 = 20258. 21. 解:(1)45 (2)20×3+(x-20) ×4 = 60+4x-80 = 4x-20,即小红家 11 月份的水费为(4x-20)元; (3)当 x= 35 时,4×35-20 = 120(元) . 答:若小红家 11 月用水 35 吨,则 11 月份的水费为 120 元. 22. 解:(1) -(a-b) 2 (2)因为 x2 -2y = 4,所以 3x2 -6y = 12,所以 3x2 -6y- 21 = 12-21 = -9; (3)因为 a-2b= 3,2b-c= -5,c-d = 10,所以 a-c= (a -2b) +(2b-c)= -2,2b-d= (2b-c) +(c-d)= -5+10 = 5,所以原式= -2+5-( -5)= 8. 23. 解:(1)由题可知:第①步运算结果为 2(2a+9)= 4a +18;第②步运算结果为 1 2 (2a+30) = a+15;第③步 运算的结果为(4a+18) -(a+15)= 3a+3; (2)令 3a+ 3 = 120,解得 a = 39,他最初想的两位数 是 39; (3)将最后的结果减去 3 后再除以 3,得到的商就是 最初想的两位数. 第 3 章追梦基础训练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A C C B D C A C C 1. B　 【解析】①分母中含有未知数,不是整式;④x2 -4x = 3 的未知数的最高次数是 2;⑥x+2y= 0 中含有 2 个 未知数,所以一元一次方程的个数是 3 个. 故选 B. 2. A 3. C　 【解析】A. 由 4+x= 3 得 x = 3-4;B. 由 1 3 x = 0 得 x = 0;D. 由 1 2 a-1 = 3a 得 a-2 = 6a. 故选 C. 4. C 5. B　 【解析】由题意得 -m-n= 6 -2m+n= 6{ ,解得 m= -4 n= -2{ ,所以 m+n= -6. 故选 B. 6. D　 【解析】把 x= 1 代入 x+y = 3 可得 y = 2,由题意得 1+2p= 0,解得 p= - 1 2 . 故选 D. 7. C　 8. A 9. C　 【解析】解方程得 x = - 10 4+a ,因为- 10 4+a 是非负整 数,所以 a= -5 或-6,-9,-14 时,x 的值都是非负整 数,则-5-6-9-14 = -34. 故选 C. 10. C　 【解析】设乙有羊 y 只,因为如果乙给甲 9 只羊, 那么甲的羊数为乙的 2 倍,所以 x+9 = 2(y-9);因为 如果甲给乙 9 只羊,那么两人的羊数相同,所以 x-9 = y+9. 所以根据题意可列方程组 x +9 = 2(y-9) x-9 = y+9{ . 故 选 C. 11. x +y= 3 x-y= -1{ (答案不唯一) 12. 280　 【解析】设该款运动装的每套成本价是 x 元, 根据题意得 80%×(1+50%) x-x = 56,解得 x = 280, 所以该款运动装的每套成本价是 280 元. 13. 3 　 【解析】 由 题 意 得 2x +y= 1 x+y= 5{ ,解 得 x= -4 y= 9{ , 把 x= -4 y= 9{ 代入 kx+(k-1) y = 6 得-4k+(k-1) ×9 = 6,解 得 k= 3. 14. (1)36　 (2) 3888　 【解析】因为边空宽、字宽、字距 之比为 3 ∶6 ∶2,所以设边空宽、字宽、字距分别为 3x, 6x,2x,因为宣纸的长为 108cm,正方形格子的边长 相等,正方形格子与纸边之间的边空宽相等,相邻 两个字的字距相等,所以 3x×2+6x×4+2x×3 = 108, 解得 x= 3,所以宣纸的宽为 3x×2+6x = 36,所以这张 长方形宣纸的面积为 108×36 = 3888(cm2) . 15. 解:(1)移项,得 2x+3x= 6+2,合并同类项,得 5x= 8. 两边都除以 5,得 x= 8 5 ; (2)方程组整理得 3m +4n= 120① 4m-3n= 60②{ ,①×3+②×4,得 25m= 600,解得 m = 24,把 m = 24 代入①,得 n = 12, 则方程组的解为 m= 24 n= 12{ . 16. 解:设去年的总产值为 x 万元,总支出为 y 万元,则今年 的总产值为(1+20%)x 万元,总支出(1-20%)y 万元, 根 据 题 意 得 x-y=200 (1+20%)x-(1-20%)y=200×2{ , 解 得 x=600 y=400{ .则今年的总产值为(1+20%) ×600 = 720(万 元),总支出(1-20%)×400=320(万元).答:今年的总产 值为 720 万元,总支出为 320 万元. 17. 解:(1)由题意,得 x= 3 是方程 2(x-1)= 3(x+2m) - 1 的解,所以将 x = 3 代入方程,得 2×(3-1) = 3(3+ 2m) -1,解得 m= - 2 3 ; (2)原方程为 x-1 3 = x- 4 3 2 -1,解得 x= 8. 18. 解:设扎染坊购进的甲种布料的单价为 x 元 /件,乙 种 布 料 的 单 价 为 y 元 /件. 由 题 意 得 25x+55y= 3700 50x+20y= 3800{ ,解得 x= 60 y= 40{ . 答:扎染坊购进的甲 种布料的单价是 60 元 /件,乙种布料的单价是 40 元 /件. 19. 解:A 地到 B 地的路程是多少 km? 设 A 地到 B 地的普通公路长 xkm. 高速公路长 ykm. 追梦之旅铺路卷·七年级上·ZBK·数学　 第 3 页 根据题意,得 y= 2x x 60 + y 100 = 2. 2{ ,解得 x= 60y= 120{ ,所以 x+y =180. 答:A 地到 B 地的路程是 180km. 20. 解: 设 有 x 台 插 秧 机, y 亩 农 田, 根 据 题 意 得 5×45x+400 = y 6×50x+100 = y{ ,解得 x= 4 y= 1300{ . 答:有 4 台插秧机, 1300 亩农田. 21. 解:(1)5x+10　 3x-10 (2)由题意得:5x+10 = 15(3x-10),解得 x = 4,所以 3x-10 = 2. 答:一个乒乓球的质量为 4 克,一个一次 性纸杯的质量为 2 克; (3)设纸杯个数为 m 个,则乒乓球个数为 m 个. 由 题意,得 4m= 2m+10,解得 m = 5. 答:当天平左边放 置 5 个乒乓球,天平右边放置 5 个纸杯和一个 10 克 砝码时,天平平衡. 22. 解:(1)设初一(1)班有 x 人,初一(2)班有 y 人. 根 据题意得 13x+11y= 1240 9(x+y)= 936{ ,解得 x= 48 y= 56{ . 答:初一(1) 班有 48 人,初一(2)班有 56 人; (2)设 51~100 人之间有 m 人,100 人以上有 n 人. 假 设存在买票钱数相等,则 11m = 9n. 所以 m = 90 n= 110{ 或 m= 99 n= 121{ . 故各有 90,110 或 99,121 人时买票钱数 相等. 23. 解:(1)设 A 型号的售价 x 元,B 型号的售价 y 元,由 题意得, x +3y= 1100 2x+5y= 1900{ ,解得 x= 200 y= 300{ ,答:A 型号的售 价 200 元,B 型号的售价 300 元; (2)设出售 A 型号 a 件,则出售 B 型号 b 件,由题意 得 200a+ 300b = 3000,化简得 2a+ 3b = 30,因为 a,b 为正整数,所以 a = 3 b= 8{ 或 a= 6 b= 6{ 或 a= 9 b= 4{ 或 a= 12 b= 2{ . 因 为均有销售,且总件数不超过 13 件,所以 a = 3 b= 8{ 或 a= 6 b= 6{ 或 a= 9 b= 4{ . 答:出售 A 产品 3 件,B 产品 8 件或出 售 A 产品 6 件,B 产品 6 件或出售 A 产品 9 件,B 产 品 4 件. 第 3 章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C D D D D C C C C 1. C　 【解析】由题意得: | k | -1 = 1 且 k+2≠0,解得 k = 2. 故选 C. 2. C　 【解析】A. x = - 5 2 ;B. x = - 4 3 ;C. x = 4;D. x = 3. 故 选 C. 3. D 4. D　 【解析】A. 由 7x = 4x-3 移项得 7x-4x = -3;B. 由 2x-1 3 = 1+ x-3 2 去分母得 2(2x-1)= 6+3( x-3);C. 由 2(2x-1)-3(x-3) = 1 去括号得 4x- 2 - 3x+ 9 = 1. 故 选 D. 5. D　 6. D　 7. C 8. C　 【解析】设小长方形的长为 x,宽为 y,由题意得 2x+y= 12 x+2y-3y= 3{ ,解得 x= 5 y= 2{ ,所以 12×(5+2×2)= 108,即 此大长方形的面积是 108. 故选 C. 9. C　 【解析】设购买 30 元 / 根的跳绳 x 根,45 元 / 根的 跳绳 y 根,依题意有 30x+45y = 450,即 2x+3y = 30,因 为 x,y 均为正整数,所以 x= 3,y= 8 或 x = 6,y = 6 或 x = 9,y= 4 或 x= 12,y= 2,共有 4 种购买方案. 故选 C. 10. C　 【解析】将 a = 1 代入原方程组得 x +2y= 3 x-y= 6{ ,解得 x= 5 y= -1{ ,将 x= 5 y= -1{ ,a = 1 代入方程 x+y = a+3 左右两 边,左边= 5-1 = 4,右边= 1+3 = 4,所以当 a= 1 时,方 程组的解也是 x+y = a+3 的解,故①正确;方程组相 加得 2x+y= 6+3a,若 2x+y = 3,则 6+3a = 3,解得 a = -1,故②正确;因为 x+2y = 6-3a,2x+y = 6+3a,所以 两方程相加得 3x+3y = 12,所以 x+y = 4,所以无论 a 取何值,x,y 的值不可能互为相反数,故③正确. 故 选 C. 11. 2　 12. 3 13. 1　 【解析】将 x = 1 代入原方程得 kx+2a 2 -x -bk 6 = 1 2 , 化简得(3+b) k = 4-6a. 根据题意得 3 +b= 0 4-6a= 0{ ,解得 a= 2 3 b= -3 { ,则 6a+b= 6× 23 -3 = 1. 14. (1)(x-4)(答案不唯一) 　 (2)47. 5 15. 解:(1)去括号,得 5x-4x+12 = -x+2,移项,得 5x-4x +x= 2-12,合并同类项,得 2x= -10,系数化为 1 得 x = -5,所以原方程的解为 x= -5; (2)去分母,得 3(2x-1) -12 = 4(2x+1) -(10x+1) . 去括号,得 6x-3-12 = 8x+4-10x-1,移项,得 6x-8x+ 10x= 4-1+3+12,合并同类项,得 8x = 18. 两边都除 以 8,得 x= 9 4 . 16. 解:(1)正确　 不正确 (2) 3x -2y= 1① 6x-3y= 13②{ ,由②,得 2(3x-2y) +y = 13,把① 代入,得 2×1+y= 13,解得 y= 11,把 y= 11 代入①得, x= 23 3 ,所以方程组的解是 x = 23 3 y= 11 { . 17. 解:(1)(20-x) (2)由(1)得 5x-2(20-x) = 65,解得 x = 15. 故小明 答对了 15 道题. 18. 解:设应该分配 x 人生产啤酒,则( 760 -x) 人生产 “起子”,根据题意,得 20x = 360( 760 -x),解得 x = 720,则 760-720 = 40(人),故应分配 720 人生产啤 酒,40 人生产“起子”. 19. 解:设今年哥哥的年龄是 x 岁,妹妹的年龄是 y 岁, 依题意得: x -y= 4 x+2+3(y+2)= 34+2{ ,解得 x= 10 y= 6{ . 答:今 年哥哥的年龄是 10 岁,妹妹的年龄是 6 岁. 20. 解:(1) x= 1 y= 1 2 { 　 (2) m= -4 n= - 5 2 { (3)由题意可得 am +bn= 15 am-bn= -1{ 和 2m-bn= -2 3m+n= 5{ 有相同 追梦之旅铺路卷·七年级上·ZBK·数学　 第 4 页