精品解析：福建省福州第十九中学2023-2024学年八年级下学期期中复习数学试题（1）

2023-2024学年第二学期八年级数学期中复习试题（1） 一、选择题 （每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 2. 如图是用尺规平分一个已知角，能说明依据是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点D、E分别是，的中点，，则池塘的宽度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 在以下列线段a、b、c的长为三角形的三边，不能构成直角三角形的是（ ） A. ， B. C. D. 7. 下列从左往右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是一个完全平方式，则k的值是（　　） A 8 B. ±8 C. 16 D. ±16 9. 如图，中，，点D是边上动点，，，若，，则最小值为（ ） A. 5 B. 3.5 C. 2.5 D. 2.4 10. 如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（　　） A. 16 B. 6 C. 12 D. 30 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 12. 如图，在中，为的中点，，则的长为____． 13. 已知a，b是两个连续整数，且a＜﹣1＜b，则ab=_____． 14. 已知菱形的对角线，菱形的边长为_______． 15. 如图，平面直角坐标系中，，点B是轴上的动点，是等边三角形，连接，则的最小值是_______． 16. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点、．连接，，，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是________（只填写序号）． 三、解答题（86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，已知、在的对角线上，且，求证：． 19. 先化简，再从中选一个适合的整数代入求值. 20. 去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（≈1.732） 21. 如图，的对角线，相交于O，将平移到，若，，，求证：四边形是矩形． 22. 如图，折叠矩形纸片，使点B与点D重合，折痕为． （1）尺规作图，作出折痕，点E上，点F在上． （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 23. 如图，正方形中， ，点E是对角线上一点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形． （2）求的值． 24. 如果一个三角形三边长分别为a，b，c ，记，那么三角形的面积为…，①古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式，我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式…，②这两个公式实质上是同一个公式，所以也称①为海伦—秦九韶公式． （1）设a，b，c为的三边，当，，时，求的面积． （2）请你对公式②进行变形，推导出公式①． 25. 如图，是的中线，是线段上一点(不与点A重合)．交于点，，连接． （1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形是平行四边形． （2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中结论还成立吗？请说明理由． （3）如图3，延长交于点H，若，且，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期八年级数学期中复习试题（1） 一、选择题 （每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式是被开方数不含能开得尽的因数或因式，被开方数不含分母，可得答案． 【详解】解：．，故该选项不符合题意； ．是最简二次根式，故该选项符合题意； ．，故该选项不符合题意； ．，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 如图是用尺规平分一个已知角，能说明的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，培养学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中． 连接，根据证明，即可推出答案． 【详解】解：连接 在和中 ， ， ， 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．根据二次根式的性质可判断A，B；根据完全平方公式可判断C，D． 【详解】解：A．，正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，故不正确； 故选A． 4. 如图，点D、E分别是，的中点，，则池塘的宽度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵点D、E分别是边、AC的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 5. 下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查函数的概念，在坐标系中，对于x的取值范围内的任意一点，通过这点作x轴的垂线，则垂线与图形只有一个交点．根据定义即可判断． 【详解】解：A．对于任意的，都有唯一的值与之对应，故本选项不符合题意； B．对于任意的，都有唯一的值与之对应，故本选项不符合题意； C．对于任意的，可能有两个及以上值与之对应，故本选项符合题意； D．对于任意的，都有唯一的值与之对应，故本选项不符合题意； 故选：C． 6. 在以下列线段a、b、c的长为三角形的三边，不能构成直角三角形的是（ ） A. ， B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，当三角形中三边满足关系时，则三角形为直角三角形．根据直角三角形的判定逐项判定即可． 【详解】解：．因为，故不能构成直角三角形，该选项符合题意； ． 因为，故能构成直角三角形，该选项不符合题意； ．由，设，，， 因为，故能构成直角三角形，该选项不符合题意； ．因为，故能构成直角三角形，该选项不符合题意； 故选：A． 7. 下列从左往右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做因式分解．根据因式分解的定义逐项分析即可． 【详解】解：．，是整式的乘法，故该选项不符合题意； ．，不是几个整式的乘积的形式，故该选项不符合题意； ．，是因式分解，故该选项符合题意； ．，不是整式的乘积的形式，故该选项不符合题意； 故选：C． 8. 已知是一个完全平方式，则k的值是（　　） A. 8 B. ±8 C. 16 D. ±16 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式：，逆用此公式即可确定k的值而得解． 【详解】解：根据题意，原式是一个完全平方式， ∵， ∴原式可化成＝， 展开可得， ∴， ∴． 故选D． 【点睛】此题考查了完全平方公式，准确理解完全平方式的概念，熟练运用分类思想与公式的正用、逆用是解题的关键． 9. 如图，中，，点D是边上动点，，，若，，则的最小值为（ ） A. 5 B. 3.5 C. 2.5 D. 2.4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查线段最小值的计算，涉及等面积法求三角形的高，矩形的判定和性质，以及勾股定理，线段最小值的转换方法和等面积法求高是解题的关键．连接，则四边形是矩形，有，当时，的值最小，即线段有最小值，在中，求得，利用等面积法即可求得，则有的最小值． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，的值最小，即线段有最小值， 在中，，，， ∴， ∵， ∴是斜边的高， ∴， ∴， ∴线段的最小值是， 故选：． 10. 如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（　　） A. 16 B. 6 C. 12 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】连接AC交BD于O，如图，根据菱形的性质得到，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥AB，BO＝OD，OC＝AO，再利用∠DEF＝∠DFE得到DF＝DE＝2，证明∠BCF＝∠BFC得到BF＝BC＝4，则BD＝6，所以OB＝OD＝3，接着利用勾股定理计算出OC，从而得到AC＝，然后根据菱形的面积公式计算它的面积． 【详解】解：连接AC交BD于O，如图， ∵四边形ABCD为菱形， ∴，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥BD，BO＝OD，OC＝AO， ∵E为AD边的中点， ∴DE＝2， ∵∠DEF＝∠DFE， ∴DF＝DE＝2， ∵， ∴∠DEF＝∠BCF， ∵∠DFE＝∠BFC， ∴∠BCF＝∠BFC， ∴BF＝BC＝4， ∴BD＝BF+DF＝4+2＝6， ∴OB＝OD＝3， 在Rt△BOC中，， ∴AC＝2OC＝， ∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形面积＝ab（a、b是两条对角线的长度）． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 12. 如图，在中，为的中点，，则的长为____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及勾股定理，熟记各性质是解题的关键． 根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出， 【详解】解： ， ． ，为的中点， ． 故答案为：2． 13. 已知a，b是两个连续整数，且a＜﹣1＜b，则ab=_____． 【答案】8 【解析】 【分析】先估算出的范围，再求出a、b值，最后代入求出即可． 详解】∵3＜＜4， ∴2＜﹣1＜3， 又∵a＜﹣1＜b， ∴a=2，b=3， ∴ab=23=8， 故答案为8． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小和求代数式的值，能估算出的取值范围是解此题的关键． 14. 已知菱形的对角线，菱形的边长为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质和勾股定理的应用，根据题意可知，利用勾股定理即可求的边长． 【详解】解：如图， ∵在菱形中，， ∴，， 在中，， 故答案为：5． 15. 如图，平面直角坐标系中，，点B是轴上的动点，是等边三角形，连接，则的最小值是_______． 【答案】1 【解析】 【分析】以为边在y轴左侧作等边，连接，过点D作于点E，则，即可证明，有，则当取得最小值时，最小，随着点B在轴上的运动，点B和点E重合，由垂线段最短可知最短，结合点A的位置，利用含30度角的直角三角形的性质得，即可得的最小值． 【详解】解：以为边在y轴左侧作等边，连接，过点D作于点E，如图， 则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则当取得最小值时，最小，随着点B在轴上的运动，点B和点E重合，由垂线段最短可知最短， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则的最小值是1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短和含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟悉构造等边三角形，并找到最小值的位置． 16. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点、．连接，，，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是________（只填写序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①先根据角平分线和平行得：，则，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得，最后由平行线的性质可作判断；②先根据三角形中位线定理得：，，根据勾股定理计算和的长，可得的长；③因为，根据平行四边形的面积公式可作判断；④根据三角形中位线定理可作判断． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ②∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故②错误； ③由②知：， ∴， 故③正确； ④由②知：是的中位线， ∴， ∵， ∴，即：， 故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键系． 三、解答题（86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）27； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可； （2）根据二次根式的混合运算法则求解即可； 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 18. 如图，已知、在对角线上，且，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查的知识点是平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 根据平行四边形的性质得到，，用“角角边”证明后，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 19. 先化简，再从中选一个适合的整数代入求值. 【答案】；时，原式(或当时，原式.) 【解析】 【分析】根据分式的运算法则进行化简，再选择使分式有意义的值代入. 【详解】解：原式 ∵， ∴当时，原式(或当时，原式.) 【点睛】本题考查了分式化简求值.，解题的关键是熟练掌握运算法则. 20. 去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（≈1.732） 【答案】计划修筑的这条公路不会穿过公园，理由见解析. 【解析】 【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为点D．计算CD的长，与0.7比较大小. 【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D． ∵∠B＝45°， ∴∠BCD＝45°， ∴CD＝BD， 设CD＝BD＝x， ∵∠A＝30°， ∴AC＝2CD＝2x， 由勾股定理，得AD＝=， 由AD＋BD＝2，得x＋x＝2， ∴x＝－1， ∴CD＝－1≈0.732＞0.7， ∴公路不会穿过公园． 21. 如图，的对角线，相交于O，将平移到，若，，，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得出， ，由勾股定理逆定理可得出，由对顶角相等可得出，由平行的性质可得出四边形是平行四边形， 进而可得出是矩形． 【详解】证明：∵是平行四边形 ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 由平移知：，， ∴四边形平行四边形 ∴是矩形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，矩形的判定，勾股定理逆定理的应用，以及平移的性质，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． 22. 如图，折叠矩形纸片，使点B与点D重合，折痕为． （1）尺规作图，作出折痕，点E在上，点F在上． （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，作其垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可； （2）连接，，作于P，则四边形是矩形，结合垂直平分线性质和折叠的性质可证四边形是菱形．设，，利用勾股定理可得和 ，根据平方差公式即可求得． 【小问1详解】 解：如图所示，折痕即为所求． 【小问2详解】 解：连接，，作于P，如图， 则四边形是矩形， ∵垂直平分， ∴， 由折叠得， 则四边形是菱形． 设， ∵，，， ∴3，即有． ∵即， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查已知直线的垂直平分线，折叠的性质，特殊四边形的判定和性质，平方差公式，以及勾股定理的应用，解题的关键是熟悉特殊四边形之间的转化． 23. 如图，正方形中， ，点E是对角线上一点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形． （2）求的值． 【答案】（1）见解析； （2）6． 【解析】 【分析】（1）如图，作于，于．只要证明即可解决问题； （2）只要证明，可得即可解决问题． 【小问1详解】 如图，作于，于． ∵四边形是正方形， ， ∵于，于， ， ∵， ， ， ∵， ， ， ∵四边形是矩形， 四边形是正方形． 【小问2详解】 ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ，，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 24. 如果一个三角形三边长分别为a，b，c ，记，那么三角形的面积为…，①古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式，我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式…，②这两个公式实质上是同一个公式，所以也称①为海伦—秦九韶公式． （1）设a，b，c为的三边，当，，时，求的面积． （2）请你对公式②进行变形，推导出公式①． 【答案】（1）； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算和利用平方差公式对整式变型， （1）根据给定的算法求得p，在分别求得，和，代入计算即可； （2）结合已知求得，和，利用平方差公式对秦九韶公式进行变型，进行化简即可得到海伦公式． 【小问1详解】 解：当，，时，， ∴，，， ∴＝． 【小问2详解】 解：∵ ∴，， ∴＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝． 25. 如图，是的中线，是线段上一点(不与点A重合)．交于点，，连接． （1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形是平行四边形． （2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）如图3，延长交于点H，若，且，求的度数． 【答案】（1）见解析； （2）成立，理由见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）先判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）过点M作交于G，先判断出四边形是平行四边形，借助（1）的结论即可得出结论； （3）取线段的中点I，连接，先判断出，，延长至点N，使，连接，利用证明，可得出，，则是等边三角形，进而得出，． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线，且D与M重合， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：结论成立， 理由如下： 如图2，过点M作交于G， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 由（1）同理可证：， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：如图3，取线段的中点I，连接， ∵， ∴是的中位线， ∴，， ∵，且， ∴，， 延长至点N，使，连接， 又，， ∴， ∴，， 又，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了三角形的中线，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定与性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$