第三章 代数式课件 2024-2025学年冀教版数学七年级上册

冀教版 七年级上 第三章　代数式 3.1　用字母表示数 名师点金 用字母表示数的特点 1. 一般性：用字母表示的数与我们以前学习过的数不 同，但它又是从具体的数中提炼出来的，可以用字母 表示任何数. 2. 普遍性：用字母表示数，关系更简明，更具有普遍性. 3. 在同一个问题中，不同的数需用不同的字母表示，但在不 同的问题中，同一个式子或字母可以表示不同的含义. 返回 知识点1 用字母表示数字的数量关系 1. 如果某天石家庄的最低气温为 a ℃，中午12点的气温比最 低气温高了10℃，那么中午12点的气温为(　C　) A. (10－ a )℃ B. ( a －10)℃ C. ( a ＋10)℃ D. ( a ＋12)℃ C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 认知基础练 返回 2. [2024·重庆一中模拟]用式子表示： a 的2倍与3的和，下列 表示正确的是(　B　) A. 2 a －3 B. 2 a ＋3 C. 2( a －3) D. 2( a ＋3) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 认知基础练 返回 3. (1)一个两位数，它的十位数字是 x ，个位数字是 y ，那么 这个两位数是(　D　) A. x ＋ y B. 10 xy C. 10( x ＋ y ) D. 10 x ＋ y 【点拨】 十位上的数字乘10，再加上个位上的数字即可得到这 个两位数，故选D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 认知基础练 返回 (2)设 x 表示两位数， y 表示三位数，如果把 x 放在 y 的左 边组成一个五位数，那么这个五位数可表示为(　B　) A. xy B. 1 000 x ＋ y C. x ＋ y D. 100 x ＋ y B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 认知基础练 返回 知识点2 用字母表示图形中的数量关系 4. [母题·2024·石家庄第四十二中学期末·教材P104习题B组 T3]如图，边长为 m 的正方形纸片上剪去四个直径都为 d 的半圆，则阴影部分的周长是(　D　) A. m2－π d2 B. m2－ π d2 C. 4 m －π d D. 4 m ＋2π d －4 d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 认知基础练 返回 【点拨】 原正方形的周长为4 m ，四个直径都为 d 的半圆的长 度和为2π d ，则阴影部分的周长是4 m ＋2π d －4 d . D 【答案】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 认知基础练 返回 5. [2023·山西]如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相 同的圆片组成，第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案 中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图 案中有10个白色圆片，…，依此规律，第 n 个图案中 有 个白色圆片(用含 n 的式子表示). (2＋2 n )　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 认知基础练 返回 【点拨】 第1个图案中有2＋2×1＝4(个)白色圆片； 第2个图案中有2＋2×2＝6(个)白色圆片； 第3个图案中有2＋2×3＝8(个)白色圆片； … 第 n 个图案中有(2＋2 n )个白色圆片. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 认知基础练 返回 知识点3 用字母表示实际中的数量关系 6. 某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活 动，现需购买甲、乙两种读本共100本供学生阅读，其中 甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设 购买甲种读本 x 本，则购买乙种读本的费用为(　C　) A. 8 x 元 B. 10(100－ x )元 C. 8(100－ x )元 D. (100－8 x )元 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 认知基础练 返回 7. [2023·河南]某校计划给每个年级配发 n 套劳动工具，则3 个年级共需配发 套劳动工具. 3 n 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 认知基础练 返回 8. [情境题·2023·河南·生活应用]2023长春马拉松于5月21日 在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项 目，他从起点开始以平均每分钟 x 公里的速度跑了10分 钟，此时他离健康跑终点的路程为 ⁠公 里.(用含 x 的式子表示) (7.5－10 x )　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 认知基础练 返回 易错点 因混淆平方和(差)与和(差)的平方而致错 9. “ a 的2倍与 b 的和的平方”用式子表示为 ⁠. (2 a ＋ b )2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 认知基础练 返回 利用字母表示数量关系 10. 列式表示： (1)甲数为 x ，乙数比甲数的 小1，乙数是多少？ 【解】 x －1. (2)数 m 的相反数与1的差. 【解】－ m －1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 素养提升练 返回 11. 我们学过有理数的简便运算，如48×3＋2×3＝(48＋ 2)×3＝150，请据此回答下列问题： (1)请用字母表示上面简便运算运用的规律： ⁠ ⁠. (2)你能运用上面的方法计算下列各题吗？ ①5 x ＋8 x ； ②2( x ＋ y )＋3( x ＋ y ). 【解】①5 x ＋8 x ＝(5＋8) x ＝13 x . ②2( x ＋ y )＋3( x ＋ y )＝(2＋3)×( x ＋ y )＝5( x ＋ y ). ab ＋ ac ＝ a ( b ＋ c )　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 素养提升练 返回 利用含字母的式子表示图形的面积 12. 用字母表示如图所示图形中阴影部分的面积： 【解】(1) S阴影＝2 a － × ＝2 a － . (2) S阴影＝ mn － nx . (3) S阴影＝ x2－4 y2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 素养提升练 返回 利用含字母的式子表示实际问题中的数据 13. [情境题·生活应用]在全国的统一鞋号中，成年男鞋共有 14种尺码，其中最小的尺码是23.5 cm，各相邻的两个尺 码都相差0.5 cm，如果从尺码最小的鞋开始标号，所对 应的尺码(单位：cm)如下表所示. 标号 1 2 3 … 14 尺码 23.5 23.5＋1× 23.5＋2× … 23.5＋13× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 素养提升练 返回 (1)标号为7的鞋的尺码为多少？ 【解】23.5＋(7－1)× ＝26.5(cm)，即标号为7的 鞋的尺码为26.5 cm. (2)用式子表示标号为 m (1≤ m ≤14，且 m 为整数)的鞋的 尺码. 【解】标号为 m (1≤ m ≤14，且 m 为整数)的鞋的 尺码可表示为［23.5＋ ( m －1)］ cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 素养提升练 返回 利用含字母的式子探求排列规律 14. [新趋势·2023·遂宁·学科综合]烷烃是一类由碳C、氢H元 素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑 剂等原料，也可用于动、植物的养护.通常用碳原子的个 数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷(当碳原子数目超 过10个时即用汉字数字表示，如十一烷、十二烷…)等， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 素养提升练 返回 甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6，丙烷的化 学式为C3H8，…，其分子结构模型如图所示，按照此规 律，十二烷的化学式为 ⁠. C12H26　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 素养提升练 返回 【点拨】 由题图可得， 甲烷的化学式中的C有1个，H有2＋2×1＝4(个)， 乙烷的化学式中的C有2个，H有2＋2×2＝6(个)， 丙烷的化学式中的C有3个，H有2＋2×3＝8(个)， … 所以十二烷的化学式中的C有12个，H有2＋2×12＝ 26(个)，即十二烷的化学式为C12H26. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 素养提升练 返回 $$冀教版 七年级上 第三章　代数式 3.2　代数式 第1课时　代数式 名师点金 代数式的特点 (1)代数式中除含有数、字母和运算符号 (“＋”“－”“×”“÷”)外，还可以含有括号. (2)代数式中不能含有等号、不等号 (“≠”“≤”“≥”“＞”“＜”)，也就是说等式和不 等式都不是代数式，如 x ＋ y ＝2， a ≤3 b .特别地，单独 的一个数或一个表示数的字母也叫代数式. 返回 知识点1 代数式的定义 1. 下列式子中，不属于代数式的是(　D　) A. a ＋3 B. 2 mn C. 0 D. x ＞ y D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 认知基础练 返回 2. 下列各式中，是代数式的有(　D　) ① ；② a －1＞0；③ ab ＝ ba ； ④ a ；⑤0；⑥ ( a2－ b2). A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 认知基础练 返回 知识点2 代数式的书写规则 3. [2024·石家庄外国语学校月考]下列含有字母的式子中，符 合书写规范要求的是(　C　) A. －1 a B. 5 b C. xy D. ( x ＋ y )÷ z C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 认知基础练 返回 4. 下面不符合用字母表示数的书写要求的有(　C　) ①3 a ；②( x － y )÷( x ＋ y )；③( a ＋ b )2； ④ x － y 米；⑤ ；⑥ . A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 认知基础练 返回 知识点3 代数式表示的意义 5. [2023·河北]代数式－7 x 的意义可以是(　C　) A. －7与 x 的和 B. －7与 x 的差 C. －7与 x 的积 D. －7与 x 的商 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 认知基础练 返回 6. 一列火车长 m m，以每秒 n m的速度通过一个长为 p m的 桥洞，用代数式表示火车完全通过桥洞所需的时间，正确 的为(　D　) A. s B. s C. s D. s D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 认知基础练 返回 7. 用文字语言叙述代数式 － ，不正确的是(　A　) A. 1除以 a 与 b 的差的商 B. 比 a 的倒数小1除以 b 的商的数 C. 1除以 a 的商与1除以 b 的商的差 D. a 的倒数与 b 的倒数的差 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 认知基础练 返回 8. 某商店举办促销活动，促销的方法是将原价 x 元的衣服以 元出售，则下列说法中，能正确表达该商店 促销方法的是(　B　) A. 原价减去10元后再打八折 B. 原价打八折后再减去10元 C. 原价减去10元后再打两折 D. 原价打两折后再减去10元 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 认知基础练 返回 易错点 理解不透数量关系而致错 9. [2024·连云港期末]甲数比乙数的4倍少1，则下列说法：① 设乙数为 x ，则甲数为4 x －1；②设甲数为 x ，则乙数为 x ＋1；③设甲数为 x ，则乙数为 ( x ＋1)；④设甲数为 x ，则乙数为 ( x －1)，其中正确的是(　A　) A. ①③ B. ①② C. ②④ D. ①④ A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 认知基础练 返回 利用代数式的特征说明其数学意义 10. 说出下列代数式的意义： (1)8 a ＋7；(2)4－ ； (3) a2－ b2；(4)( a － b )2. 【解】(1)8 a ＋7的意义是 a 的8倍与7的和. (2)4－ 的意义是4与 a 除以 b 的商的差. (3) a2－ b2的意义是 a 的平方与 b 的平方的差. (4)( a － b )2的意义是 a 与 b 的差的平方. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 素养提升练 返回 利用图形的特征判断代数式表示阴影面积的方法 11. [母题 教材P104习题B组T3]下面四个代数式中，不能表 示图中阴影部分面积的是(　D　) A. x2＋3 x ＋6 B. ( x ＋3)( x ＋2)－2 x C. 3( x ＋2)＋ x2 D. x2＋5 x D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 素养提升练 返回 利用代数式的特征说明其实际意义 12. [新考法·逆向思维法]下列问题中的数量关系不能用代数 式2 a ＋3 b 表示的是(　B　) B A. 小红去商场买了2本单价为 a 元的笔记本和3支单价为 b 元的笔，她共花了多少钱 B. 全班同学都报名参加了丰富多彩的课外小组，其中同 时报2个小组的有 a 名同学，同时报3个小组的有 b 名同 学，全班共有多少名同学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 素养提升练 返回 C. 小亮看书特别快，他借了一本课外书，5天就看完了， 他有2天是每天看 a 页，剩余3天是每天看 b 页，这本书 一共有多少页 D. 为了奖励先进个人，学校买了两种笔记本作为奖品， 其中2元的笔记本 a 本，3元的笔记本 b 本，学校买这些 奖品共花了多少钱 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 素养提升练 返回 利用代数式探求图形排列规律的表示方法 13. [新考法·开放探究问题法]【规律探索】用同样大小的两 种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼成长方形： 第①个图形中有2张正方形纸片； 第②个图形中有2×(1＋2)＝6＝2×3(张)正方形纸片； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 素养提升练 返回 第③个图形中有2×(1＋2＋3)＝12＝3×4(张)正方形 纸片； 第④个图形中有2×(1＋2＋3＋4)＝20＝4×5(张)正方形 纸片； … 请你观察上述图形与算式，完成下列问题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 素养提升练 返回 (1)第⑥个图形中有 张正方形纸片；(直接写出 结果) (2)根据上面的发现我们可以猜想：1＋2＋3＋…＋ n ＝ ；(用含 n 的代数式表示) 42　 　 【规律归纳】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 素养提升练 返回 【规律应用】 (3)根据你的发现计算：121＋122＋123＋…＋400. 【解】121＋122＋123＋…＋400＝(1＋2＋3＋…＋400)－(1＋2＋3＋…＋120)＝200×(400＋1)－60×(120＋1)＝72 940. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 素养提升练 返回 $$冀教版 七年级上 第三章　代数式 3.2　代数式 第2课时　列代数式 名师点金 列代数式的步骤：1.认真审题，把问题中表示数量关系如 “大”、“小”、“和”、“差”、“积”、“商”等词语 正确地转换为对应的运算；2.弄清题目中的语言叙述所表示 的运算顺序及数量关系的运算顺序，通常按照“先读先写” 的顺序，正确使用表明运算顺序的括号，分清层次，逐步列 出代数式. 返回 知识点1 用代数式表示实际问题中的倍数关系 1. [2024·保定校级期中]某班共有 x 个学生，其中女生人数占 53％，用代数式表示该班的男生人数是 ⁠. (1－53％) x 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 认知基础练 返回 2. [2024·张家口期末]某商品原价为 a 元，因销量下滑，经营 者连续两次降价，每次降价10％，后因供不应求，又一次 提高20％，则现在这种商品的价格是(　C　) A. (1－10％)(1＋20％) a 元 B. (1＋10％)(1－20％) a 元 C. (1－10％)2(1＋20％) a 元 D. (1＋10％)2(1－20％) a 元 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 认知基础练 返回 3. [2024·厦门莲花中学期末]某企业今年3月份的产值为 m 万 元，4月份比3月份减少了8％，预测5月份比4月份增加9 ％，则5月份的产值是(　B　) A. ( m －8％)( m ＋9％)万元 B. (1－8％)(1＋9％) m 万元 C. ( m －8％＋9％)万元 D. ( m －8％＋9％) m 万元 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 认知基础练 返回 知识点2 用代数式表示实际问题中的和差关系 4. [2024·唐山友谊中学月考]已知某轿车的油箱容量是60 L， 每公里耗油0.07 L，此轿车在加满油的情况下行驶 x km，油箱内剩余油量为(　C　) A. 0.07 x L B. 60 x L C. (60－0.07 x )L D. (60＋0.07 x )L 【点拨】 轿车行驶 x km耗油0.07 x L，故油箱内剩余油量为(60 －0.07 x )L. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 认知基础练 返回 5. 甲、乙两地相距 n km，李师傅骑摩托车从甲地驶往乙地. 原计划每小时行驶 x km，但实际每小时行驶40 km( x ＜ 40)，则李师傅从甲地到乙地所需要的实际时间比原计划 减少了(　C　) A. h B. h C. h D. h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 认知基础练 返回 【点拨】 原计划从甲地到乙地所需时间为 h，实际所需时间 为 h，则所用时间减少了( － ) h. C 【答案】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 认知基础练 返回 6. 已知出租车行驶3 km以内(包括3 km)的车费是6元，以后 每行驶1 km收费1.5元，如果某人坐出租车行驶了 m km( m 是整数，且 m ≥3)，则车费是(　A　) A. (1.5 m ＋1.5)元 B. (1.5 m －1.5)元 C. (1.5 m ＋3)元 D. (1.5 m －3)元 【点拨】 因为 m ≥3，所以车费是6＋1.5· ＝(1.5 m ＋ 1.5)元. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 认知基础练 返回 知识点3 用代数式表示图形的边长、面积 7. [2024·保定期中]如图，一个窗户的上部是由4个相同的扇 形组成的半圆形，下部是由边长为 a 的4个完全相同的小 正方形组成的正方形，则做这个窗户需要的材料总长为 (　B　) A. 15 a B. 15 a ＋π a C. 15 a ＋2π a D. π a ＋6 a (第7题) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 认知基础练 返回 8. [母题·2024·唐山期末·教材P112习题C组T5]如图①，一个 长为4 a 、宽为 b 的长方形，沿虚线用剪刀平均分成四个 小长方形，则每个小长方形的宽为 ；然后用四个小 长方形拼成一个大正方形(图②)，则图中阴影部分的面积 为 ⁠. a 　 ( b － a )2或( a ＋ b )2－4 ab 　 (第8题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 认知基础练 返回 【点拨】 由题易知，每个小长方形的宽为 a ，观察题图②， 解法一：阴影部分是一个小正方形，边长为 b － a ， 所以题图中阴影部分的面积为( b － a )2. 解法二：拼成的大正方形的面积－四个小长方形的面 积＝阴影部分的面积，即( a ＋ b )2－4 ab . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 认知基础练 返回 易错点 列代数式时因审题不清而致错 9. 某工厂第一年生产 a 件产品，第二年比第一年增产了20％，则两年生产的产品总件数为(　D　) A. 20％ a B. a C. a (1＋20％) D. a ＋ a (1＋20％) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 认知基础练 返回 利用代数式表示剩余问题 10. 一堆桃子共有 x 个，小彬拿走 后又多拿了1个；小颖拿 走剩余部分的 后，也多拿了1个.用含 x 的代数式表示最 后剩余的桃子个数. 【解】小彬拿走了 个，小颖拿走了{ ［ x － ］＋1}个，故最后剩余的桃子个数为 x －( ＋ 1)－{ ＋1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 素养提升练 返回 利用代数式表示计费问题 11. 国庆期间，一旅游团到某旅游景点游玩，看到售票 处旁边的公告栏如图所示，请根据公告栏的内容解答 下列问题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 素养提升练 返回 (1)若旅游团人数为18人，门票费用是 元；若旅 游团人数为22人，门票费用是 元 . (2)设旅游团人数为 x (人)，试用含 x 的代数式表示该旅游 团门票费用 y (元). 【解】该旅游团门票费用 y (元)表示为 y ＝ 2 700　 3 180　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 素养提升练 返回 利用代数式探求购物问题 12. [新考法·分段分析法]某超市在春节期间对顾客实行优 惠，规定如下表： 一次性购物 优惠办法 低于200元 不予优惠 低于500元但不低于 200元 九折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 素养提升练 返回 (1)王老师一次性购物600元，他实际付款 元； (2)若顾客在该超市一次性购物 x 元，当 x 小于500但不小 于200时，他实际付款 元，当 x 大于或等于 500时，他实际付款 元；(用含 x 的代 数式表示) 530　 0.9 x 　 (0.8 x ＋50)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 素养提升练 返回 (3)如果王老师两次购物(优惠之前)合计820元，第一次购 物为 a 元(200≤ a ＜300)，用含 a 的代数式表示两次购 物王老师实际付款多少元. 【解】0.9 a ＋0.8(820－ a －500)＋500×0.9＝ (0.1 a ＋706)元，故两次购物王老师实际付款(0.1 a ＋706)元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 素养提升练 返回 $$冀教版 七年级上 第三章　代数式 3.3　数量之间的关系 名师点金 　1. 探索规律的关键：注意观察已知的对应数值或图形 的变化特点，从中发现数量关系或图形的变化规律，即 可得到规律. 　2. 探索规律的步骤：(1)从具体的题目出发，用列表或列 举的方式，把各数量或图形的变化特点展现在图表当中； (2)认真观察图表或图形，通过合理联想、大胆猜想、总结归 纳，得出数字或图形间的变化规律，形成结论； (3)验证结论的正误. 返回 知识点1 数式的变化规律 1. 按规律排列的一组数据： ， ，　， ， ， ，…， 其中　内应填的数是(　D　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 认知基础练 返回 观察这组数据发现：分子为连续的奇数，分母为序号 的平方加1，所以第 n 个数为 .所以第3个数为 ＝ ，即　内应填的数是 . 【点拨】 D 【答案】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 认知基础练 返回 2. [母题 教材P117习题B组T3]将从1开始的连续自然数按如 图所示的方式排列： 则2 026在第 行. 【点拨】 因为452＝2 025，所以2 026在第46行. 46　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 认知基础练 返回 3. 阅读下列内容： ＝1－ ， ＝ － ， ＝ － ， ＝ － ，… 根据观察到的规律解决以下问题： (1)第5个等式是 ⁠； (2)若 n 是正整数，则第 n 个等式是 ⁠ ⁠； ＝ － 　 ＝ － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 认知基础练 返回 (3)计算： ＋ ＋ ＋ ＋…＋ . 【解】 ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝1－ ＋ － ＋ － ＋ － ＋…＋ － ＝1－ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 认知基础练 返回 知识点2 图形的变化规律 4. [母题 教材P115观察与思考T2]用同样规格的灰白两种颜 色的正方形瓷砖，按如图的方式铺地板，则第 n 个图形中 需要灰色瓷砖的块数为(　B　) A. 4 n B. 3 n ＋1 C. 4 n ＋3 D. 3 n ＋2 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 认知基础练 返回 5. [2024·重庆巴南区月考]下列图形都是由同样大小的桃心按 一定的规律组成，其中第①个图形共有5个桃心，第②个 图形共有8个桃心，第③个图形共有11个桃心，…，则第 ⑦个图形中桃心的个数为(　C　) A. 17 B. 20 C. 23 D. 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 认知基础练 返回 【点拨】 第①个图形一共有5＝3×1＋2个桃心； 第②个图形一共有8＝3×2＋2个桃心； 第③个图形一共有11＝3×3＋2个桃心； … 所以第 个图形一共有(3 n ＋2)个桃心. 所以第⑦个图形一共有3×7＋2＝23个桃心. 故选C. C 【答案】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 认知基础练 返回 易错点 找图形规律时易忽视图形重叠部分而导致重复计算 6. 将黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的方式拼成 若干个图案. (1)第④个图案中有白色地砖 块； (2)第 个图案中有白色地砖 块. 18　 (2＋4 n )　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 认知基础练 返回 利用代数式表示数据中的排列规律 7. [母题 教材P106一起探究]将连续的奇数1，3，5，7， 9，…，排列成如图所示的数表. (1)十字形框中的五个数之和与中间数25有什么关系？ 【解】25＋23＋27＋15＋35＝125， 125÷25＝5，所以十字形框中的五个数 之和是中间数25的5倍. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 素养提升练 返回 (2)设中间的数为 a ，如何用代数式表示十字形框中五个数 之和？ 【解】 a ＋10＋ a ＋ a －10＋ a －2＋ a ＋2＝5 a . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 素养提升练 返回 (3)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这 五个数还有上述规律吗？ 【解】有. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 素养提升练 返回 (4)十字形框中的五个数之和能等于2 020吗？能等于2 025吗？ 【解】2 020÷5＝404，2 025÷5＝405. 因为404是偶数，所以十字形框中的五个 数之和不能等于2 020，能等于2 025. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 素养提升练 返回 利用表格法求计数规律 8. 如图，将图①中的平行四边形剪开得到图②，则图②中共 有4个平行四边形；将图②中的1个平行四边形剪开得到图 ③，则图③中共有7个平行四边形，…，如此剪下去，请 结合图形解决问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 素养提升练 返回 (1)按图示规律填写下表： 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ … 平行四边形个数 1 4 7 10 13 … (2)按照这种方式剪下去，则第 个图中共有 ⁠ 个平行四边形； 10 13 (3 n －2)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 素养提升练 返回 (3)按照这种方式剪下去，则第 个图中共有 ⁠个 平行四边形. 6 073　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 素养提升练 返回 利用代数式找规律求值 9. [2024·邯郸二十五中月考]古希腊数学家定义了五边形数， 如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点阵，图形 中的点的个数即为五边形数. 图形 … 五边形数 1 5 12 22 35 51 … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 素养提升练 返回 观察这个数阵，则这个数阵中的第八行从左至右第2个数 为 ⁠. 1 335　 将五边形数1，5，12，22，35，51，…排成如下数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 素养提升练 返回 观察表中图形及五边形数的变化规律，可得第 n 个图 形的五边形数可表示为1＋2＋3＋…＋( n －1)＋ n2.由数阵 可知前七行数的个数和为1＋2＋3＋…＋7＝28，所以数阵 中的第八行从左至右第2个数是第30个图形的五边形数.把 n ＝30代入，得1＋2＋3＋…＋29＋302＝1 335. 【点拨】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 素养提升练 返回 利用从特殊到一般的思想探求规律 10. [新考法·变式拓展法]我们知道简便计算的好处，事实 上，简便计算在很多地方都存在，观察下列等式： 152＝1×2×100＋25＝225， 252＝2×3×100＋25＝625， 352＝3×4×100＋25＝1 225， … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 素养提升练 返回 (1)根据上述等式反映出的规律填空：952＝ ⁠ ＝ ⁠； (2)设这类等式左边两位数的十位数字为 a ，请用一个含 a 的代数式表示其结果； 【解】由题意可得，(10 a ＋5)2＝ a ·( a ＋1)×100＋ 25＝100 a ( a ＋1)＋25. 9×10×100 ＋25　 9 025　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 素养提升练 返回 (3)这种简便计算也可以推广应用：个位数字是5的三位 数的平方，请写出1952的简便计算过程及结果. 【解】结合规律可知，1952＝19×20×100＋25＝ 38 025. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 素养提升练 返回 $$冀教版 七年级上 第三章　代数式 3.4　代数式的值 名师点金 数值代入时应注意：1.字母用负数代替时，要给它添上括 号；2.乘方运算中底数的字母用负数或分数来代替时，要添 上括号；3.字母用数代替时，省略的乘号要还原. 返回 知识点1 代数式的值 1. 当 x ＝ ， y ＝－5时，代数式2 x2－ y 的值为 　5 　. 【点拨】 当 x ＝ ， y ＝－5时，2 x2－ y ＝2× －(－5)＝ 2× ＋5＝5 . 5 　 1 2 3 4 5 6 认知基础练 返回 2. [2023·重庆]用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个 图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案 中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律 排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为(　B　) A. 14 B. 20 C. 23 D. 26 B 1 2 3 4 5 6 认知基础练 返回 知识点2 求代数式值的应用 3. [2024·重庆渝中区月考]如图所示的运算程序，能使输出的 结果为16的是(　C　) A. x ＝5， y ＝－3 B. x ＝7， y ＝3 C. x ＝3， y ＝－1 D. x ＝4， y ＝1 C 1 2 3 4 5 6 认知基础练 返回 4. 如下表，观察两个代数式的值的变化情况. m 1 2 3 4 5 6 7 6 m ＋8 14 20 26 32 38 44 50 2 m2＋1 3 9 19 33 51 73 99 1 2 3 4 5 6 认知基础练 返回 (1)随着 m 的值逐渐变大，两个代数式的值如何变化？ 【解】由表格知，随着 m 的值逐渐变大，两个代数 式的值都变大. (2)估计哪个代数式的值先超过200. 【解】由表格可估计2 m2＋1的值先超过200. 1 2 3 4 5 6 认知基础练 返回 利用验证法探求两代数式间的关系 5. [新考法·规律探究法](1)根据表中所给 a ， b 的值，计算( a － b )2与 a2－2 ab ＋ b2的值，并将计算结果填入表中； a 1 2 3 4 b －1 1 －2 6 ( a － b )2 4 1 25 4 a2－2 ab ＋ b2 4 1 25 4 4 1 25 4 4 1 25 4 1 2 3 4 5 6 素养提升练 返回 (2)结合(1)的计算结果，你能够得出的结论为(用含 a ， b 的式子表示)； ⁠； (3)请你利用你发现的结论进行简便运算： 7892－2×789×689＋6892. 【解】原式＝(789－689)2＝1002＝10 000. ( a － b )2＝ a2－2 ab ＋ b2　 1 2 3 4 5 6 素养提升练 返回 利用求代数式值法解实际应用 6. [新考法·对比推理法]公安人员在破案时常常根据案发现场 作案人员留下的脚印推断犯人的身高，如果用 a cm表示 脚印长度， b cm表示身高，那么关系近似为 b ＝7 a － 3.07. 1 2 3 4 5 6 素养提升练 返回 【解】当 a ＝24.5时， b ＝7 a －3.07＝7×24.5－3.07＝168.43. 答：他的身高约为168.43 cm. (1)某人脚印长度为24.5 cm，则他的身高约为多少？ 1 2 3 4 5 6 素养提升练 返回 【解】当 a ＝26.3时， b ＝7 a －3.07＝7×26.3－3.07＝181.03. 因为1.79 m更接近181.03 cm，所以身高为1.79 m的可 疑人员作案的可能性更大. (2)在某次案件中，抓获了两个可疑人员，一个身高为 1.87 m，另一个身高为1.79 m，现场测量的脚印长度 为26.3 cm.请你帮助公安人员判断一下，哪个可疑人 员作案的可能性更大？ 1 2 3 4 5 6 素养提升练 返回 $$