函数与导数-江西省部分市2023-2024学年高三下学期数学模拟试题分类汇编

江西省部分市2023-2024学年下学期高三模拟试题分类汇编 ----函数与导数 一、单选题 1．（2024·江西九江·二模）已知火箭在时刻的速度为（单位：千米/秒），质量为（单位：千克），满足（为常数），、分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度为，经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为（    ）（，）． A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2024·江西鹰潭·三模）若的最小值是4，则实数的值为（    ） A．6或 B．或18 C．6或18 D．或 3．（2024·江西南昌·三模）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江西上饶·模拟预测）设，则有（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江西宜春·三模）已知，，，其中为自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江西赣州·二模）已知函数，.若，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·江西鹰潭·二模）已知函数，，则下列命题不正确的是（    ） A．有且只有一个极值点 B．在上单调递增 C．存在实数，使得 D．有最小值 8．（2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·江西宜春·模拟预测）若，，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·江西上饶·二模）定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（    ） A．28 B．16 C．20 D．12 二、多选题 11．（2024·江西南昌·模拟预测）已知函数，下列选项正确的是（   ） A．为偶函数 B．的图象关于直线对称 C．的值域是 D．在区间上的零点个数为4 12．（2024·江西上饶·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（    ） A．为偶函数 B． C．的周期为2 D． 13．（2024·江西吉安·模拟预测）已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的值域为 C．若方程在上有6个不同的实根，则实数的取值范围是 D．若方程在上有6个不同的实根，则的取值范围是 14．（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．是周期函数 B．若，则 C．在区间上是单调递增 D．函数在区间上有且仅有一个零点 15．（2024·江西赣州·二模）函数及其导函数的定义域均为R，和都是奇函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．是周期函数 D． 三、填空题 16．（2024·江西九江·三模）已知函数在区间上有且仅有三个零点，则的取值范围是 . 17．（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且为奇函数，记为的导函数，若，则在点处的切线方程为 ． 18．（2024·江西南昌·三模）设函数的导数为，且，则 . 19．（2024·江西南昌·三模）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：，，则数列的前项和为 . 20．（2024·江西宜春·三模）已知方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ． 四、解答题 21．（2024·江西九江·二模）已知函数，直线与曲线相切． (1)求实数的值； (2)若函数有三个极值点，，，求实数的取值范围． 22．（2024·江西新余·模拟预测）已知函数，. (1)若，求证：没有极值点. (2)若恒成立，求的取值范围. (3)若，存在且仅存在一条直线既是的切线又是的切线，求的值. 23．（2024·江西吉安·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有2个零点，求的取值范围. 24．（2024·江西鹰潭·三模）已知函数. (1)求曲线过点的切线方程； (2)若，求的取值范围. 25．（2024·江西宜春·模拟预测）设，. (1)当时，证明：； (2)证明：. 26．（2024·江西赣州·二模）给出以下三个材料： ①若函数的导数为，的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做的三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做的四阶导数…，一般地，n－1阶导数的导数叫做的n阶导数，即，； ②若，定义；③若函数在包含的某个开区间上具有n阶的导数，那么对于有，我们将称为函数在点处的n阶泰勒展开式.例如，在点处的n阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目： (1)若，在点处的3阶泰勒展开式分别为，，求出，； (2)比较（1）中与的大小； (3)证明：. 参考答案： 1．C 【分析】根据题意，得到和，结合对数的运算性质，即可求解. 【详解】由题意知，火箭在时刻的速度为，质量为，满足， 因为经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克， 可得，火箭耗尽燃料时速度为， 两式相除得. 故选：C． 2．A 【分析】分，，三种情况，得出每种情况下的最小值，令其为4，解出的值. 【详解】当时，， ，解得，符合题意； 当时，， ，解得，符合题意； 当时，，，舍掉. 故选：A. 3．B 【分析】利用指数幂的运算法则结合对数函数的单调性求解即可. 【详解】由题意得，，， 易知，， 故，则，可得，故B正确. 故选：B 4．B 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的性质，借助媒介数比较大小即得. 【详解】由，得，， ，且，所以. 故选：B 5．A 【分析】首先将化成统一形式，构造函数，研究单调性进而比较大小即可. 【详解】由题意得，，； 设，则， 当时，，所以单调递增，又， 所以，即，所以. 故选：A. 6．C 【分析】根据已知条件，有，构造函数，将问题转化为为，对函数求导，通过函数的单调性求出函数的最值从而求解. 【详解】因为，所以， 由得， 即， 即， 构造函数， 可化为， 因为，令， 则，令，解得， 所以时，，在上单调递减， 所以时，，在上单调递增， 所以时，取得最小值，即， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上单调递增， 因为， 所以，，， 令，则， 令，即，解得， 所以时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减， 所以时，取得最大值，即， 所以，所以. 故选：C 【点睛】方法点睛：利用导数证明和判断不等式问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系. 7．C 【分析】由条件可得函数可以看作为函数与函数的复合函数，然后求导判断其单调性与极值，即可得到结果. 【详解】由得，令， 则函数可以看作为函数与函数的复合函数， 因为为增函数，所以与单调性、图象变换等基本一致，， 由得，列表如下： － 0 ＋ 由表知，在上单调递减，在上单调递增， 在时，取得极小值（最小值）， 所以在上单调递增，即B正确； 在时，取得唯一极值（极小值，也是最小值），即A、D都正确，C错误. 故选：C 8．C 【分析】设，利用时，和可求得的解析式. 【详解】设，则， 所以， 又函数是奇函数，所以，即，. 即. 故选：C 9．A 【分析】利用作商法可得；构建函数，，利用导数判断的单调性，可得，构建，，利用导数判断的单调性，可得. 【详解】显然，， 因为，所以； 又因为，， 令，．则， 可知在上单调递增， 则，可得， 令，，则在内恒成立， 可知在内单调递增， 则，即，所以； 综上所述：． 故选：A． 10．A 【分析】根据条件可得出的图象关于对称，的周期为4，从而可考虑的一个周期，利用，根据在上是减函数，可得出在上是增函数，又是R上的奇函数，所以在上是减函数，在上是增函数，然后根据在上有实数根，可判断该实数根是唯一的，并可判断在一个周期内有两个实数根，并得这两实数根和为2，从而得出在区间这三个周期内上有4个实数根，和为28. 【详解】由知函数的图象关于直线对称， ∵，是R上的奇函数， ∴， ∴， ∴的周期为4， 考虑的一个周期，例如， 由在上是减函数知在上是增函数， 在上是减函数，在上是增函数， 对于奇函数有，， 故当时，，当时，， 当时，，当时，， 因为方程在上有实数根， 函数在上是单调函数，则这实数根是唯一的， 所以方程在上有唯一的实数根， 则由于，函数的图象关于直线对称， 故方程在上有唯一实数根， 因为在和上， 则方程在和上没有实数根， 从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根， 当，方程的两实数根之和为， 当，方程的所有4个实数根之和为 . 故选：A. 11．ABD 【分析】利用偶函数的定义可判定A，利用函数的对称性可判定B，利用三角恒等变换及换元法化简函数式，并利用导数研究函数的极值、最值可判定C，结合C项化简后的函数式及三角函数的性质可判定D. 【详解】对于A项，且定义域为R，显然是偶函数，故A正确； 对于B项，，所以关于直线对称，故B正确； 对于C项，易知 ， ， 所以， 令，则，不妨设， 所以，令， 易得在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 又当， 则，，而， 所以，故C错误； 对于D项，由上知， 易知时，，且此时关于直线对称， 所以在区间上的零点等价于的零点， 解之得， 利用正弦函数的对称性可知：有且仅有满足， 同理有且仅有满足，其中，故D正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：对于C项需要利用三角恒等变换将角度合一化简函数式，并利用换元法及导数研究函数的性质来判定值域. 12．BCD 【分析】根据已知条件进行赋值，以及利用变量替换推出函数性质，逐一判断选项即可求解. 【详解】因为定义域为R， R，，， A选项，令，则， 即，所以为奇函数，故A错误； B选项，用替换，用替换， 则，即， 又为R上的奇函数，所以， 因此，故B正确； C选项，令，则， 所以，即， 又，所以， 因此，故C正确； D选项，令，则， 即①， 令，则， 即，所以②， ①②整理得， 即，所以D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：解答抽象函数问题，常用的方法是赋值法.求函数值时，通常令等式中的变量取等特殊值；判断函数奇偶性时，通常通过赋值使等式中出现；当然要结合所求灵活赋值，根据函数的性质进行求解. 13．BC 【分析】根据是否成立判断A，利用分段函数判断BC，根据正弦函数的单调性画出分段函数的图象，求出的取值范围，再利用对称性判断D. 【详解】因为， 所以， 所以的图象不关于点对称，A说法错误； 当时，，由可得， 当时，，由可得， 综上，B说法正确； 当时，由解得， 当时，由解得， 所以方程在上的前7个实根分别为， 所以，C说法正确； 由解得或， 又因为， 所以根据正弦函数的单调性可得图象如图所示， 所以有4个不同的实根，有2个不同的实根， 所以，解得， 设，则， 所以，所以的取值范围是，D说法错误， 故选：BC 14．AB 【分析】写出的分段函数形式，A选项，应用正余弦函数的性质判断的周期性；对于B选项，由已知可得，则，（），相加后即可判断正误；根据解析式，应用特殊值法判断C、D选项的正误. 【详解】将函数化作分段函数，即， 对于A，， 则是的一个周期，故A正确； 对于B，由得， 则， 此时，， 可得，故B正确； 对于C，由解析式得， 在上不单调，故C错误； 对于D，由解析式知， 即在上至少有两个零点，故D错误． 故选：AB． 15．BC 【分析】由是奇函数可判断A；利用向右平移1个单位后可得可判断B；利用是奇函数，得到关系式，两边同时求导可得，再由可求出的周期可判断C；由可得，即可判断D. 【详解】对于A，因为是奇函数，所以， 则有，的图象关于点对称，故A错误； 对于B，是奇函数，其图象关于原点对称， 向右平移1个单位后可得，所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C，因为是奇函数，所以， 所以，所以， 所以，所以①， 因为，所以②， 由①②可得：，所以， 所以，， 所以是函数的一个周期函数，所以是周期函数，故C正确； 对于D，因为，所以， ，，， 所以， 而，故D错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论 （1）关于轴对称， （2）关于中心对称， （3）的一个周期为， （4）的一个周期为. 可以类比三角函数的性质记忆以上结论. 16． 【分析】令，然后由的范围求出的范围，再结合正弦函数的性质可求出的取值范围 【详解】令，，， 问题转化为函数在区间上有且仅有三个零点， ，解得. 故答案为： 17． 【分析】利用的奇偶性与对称性，得到的周期，结合，求出的值，再利用导数的奇偶性与周期性，结合，求出的值，则切线可求． 【详解】解：因为是定义在上的偶函数，且为奇函数， 所以，， 因此可得 可得，即周期为8，且， 对和分别求导可得，， 所以 ， 所以在点处的切线方程为：， 即． 故答案为：． 18． 【分析】求导后，代入计算即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 19． 【分析】由已知定义先求出，，代入后结合等比数列的求和公式即可求解. 【详解】由题意可知，小于的所有正奇数都与互质，共有个，所以， 小于且大于0的所有与不互质的数是3的倍数，故与互质的数共有，即， 所以 则其前项和为 故答案为：. 20． 【分析】先分离参数，构造函数，将问题转化为函数的图象与直线在上有两个交点，再将变形，构造函数，，通过导数研究函数进而求出的取值范围. 【详解】由，得，令， 则函数的图象与直线在上有两个交点， 而； 令，，则恒成立， 故在上单调递增，故，即， 令，函数，， 则函数的图象与直线有两个交点，由， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处有极小值， 且，当且时，， 所以，即实数m的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：，将函数化成相同整体变量进而构造函数解决参数取值范围是解决导数问题的常用方法. 21．(1) (2) 【分析】（1）设切点坐标为，利用导数的几何意义，求得切线方程，结合题意，列出方程组，即可求解； （2）由（1）求得，分、和，三种情况讨论，利用导数求得函数的单调性，结合题意，即可求解. 【详解】（1）设直线与曲线的切点坐标为， 由，可得，切线的斜率为， 切线方程为：， 即          由已知得且，解得， 所以，可得. （2）由（1）知， 可得， ，    若时，当，；当，， 此时只有一个极大值点，不符合题意． 若时，，当且仅当，时取等号． 当，；当，， 此时只有一个极小值点，不符合题意．         若时，令，，可得， 当，；当，， 所以，      且，，当时，， 所以存在，，且，使得， 当，；当，； 当，；当，． 所以函数有三个极值点． 综上，实数的取值范围为. 【点睛】知识方法点拨：对于利用导数求解函数的极值点与极值问题的策略： （1）求解函数的极值点或极值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值点即为的根； （2）函数的极值点与极值时函数的一个“局部”概念，函数的极小值点（极小值）或极大值点（极大值）可能有多个，并且极大值与极小值之间没有必然大小关系； （3）对于函数，其中“”是“函数在取得极值”的必要不充分条件，注意函数的极值点与函数的单调性间的关系，利用待定系数法求解后，必须验证该点左右两侧的正负. 22．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由，再次求导，讨论，，可得的单调区间，进而得最小值，则，单调递增，没有极值点. （2）法一： 设，则，当时，，讨论当，时，，即成立，所以. 法二： 题意等价于，令，， 再令，则，可得单调递增， 进而得在单调递减，在单调递增， 又可解，故，可得 . （3）设与和分别切于、，则：， ，由于重合，可得，令：，， 令：，即：，讨论当，时，，又在单调递增，故，则，讨论可得是的最大值点，时有：时只有唯一解，故. 【详解】（1）因为， 则，则， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ， 故，单调递增，没有极值点. （2）法一： 设， 则，当时，， ①，则，单调递增，又，当时，，没有恒成立，舍去， ②，令，则，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故，即成立， 综上：. 法二： 题意等价于，令，， 再令，则， 令，则，故单调递增， ，故单调递增， 所以，又当时，，故存在唯一使， 于是在单调递减，在单调递增， 又可解，故，所以 . （3）由，， 则，， 设与和分别切于、， 则， ， 由于重合，故有， 解②得：代入①得：， 则方程③只有1个解，其中. 令，， 令，即， 当时，，等式不成立， 当时，对原式移项取对数化简后得, ， 又易知在单调递增，故，即④， 当时，当时，当时，， 所以，1）当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 2）当时，，单调递减， 当时，，，故， 又，由④得,， 所以是的最大值点，时,时，③只有唯一解，故. 【点睛】方法点睛：不等式恒成立求参数值或范围的方法，不等式恒成立，一种方法利用导数求得，然后由转化为关于参数的不等式，从而求得参数范围或值，另一种方法是分离参数，化不等式不，由导数求的最大值，然后解不等式可得． 23．(1) (2). 【分析】（1）利用导数的意义求切线的斜率，再代入求出，然后由点斜式求出直线方程即可； （2）求导后分大于零和小于等于零讨论，分析函数的单调性，求出极小值小于零时的取值范围即可； 【详解】（1）当时，，所以， 所以，因为， 所以曲线在处的切线方程为， 即. （2），若在上单调递增，不满足题意， 若，令得， 在上单调递减，在上单调递增， 且当和时，， 故，解得， 即的取值范围是. 24．(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义求解，设切点为，对函数求导后可得切线的斜率为，然后利用点斜式求出切线方程，再将代入切线方程可求出，从而可求出切线方程； （2）由，得，构造函数，利用导数求出其最大值即可. 【详解】（1）设切点为，则，得， 则切线的斜率， 所以切线方程为，即， 因为切线过点，所以，化简得， 解得， 所以切线方程为，即； （2）由，得， 令，则 ， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以， 所以， 即的取值范围为. 25．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可知：为偶函数，所以仅需研究的部分，求导，利用导数判断原函数的单调性和最值，分析证明； （2）由（1）可得：，当时，利用裂项相消法分析证明； 【详解】（1）因为定义域为， 所以， 所以为定义在上的偶函数，下取， 可知，令 则在内单调递增，可得， 即在内恒成立，可知在内单调递增， 所以在内的最小值为，结合偶函数性质可知：. （2）由（1）可得：，当且仅当时，等号成立， 即，令，则，当时，，即， 则有：，，，， 相加可得：， 因为，则，所以， 即. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式； 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 26．(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用n阶泰勒展开式的定义，求解，； （2）两函数作差，通过构造函数，利用导数求最值的方法比较大小； （3）借助泰勒展开式，利用导数得到函数单调性，证明不等式. 【详解】（1），则有，， ∴，，， ∴ 同理可得：. （2）由（1）知：，， 令，则， ∴，∴在R上单调递增， 又，∴在上，单调递减；在上，单调递增， ∴，即， 故 （3）令，则 由（2）知，，所以在R上单调递增，又， 所以当时，，； 当时，，； 当时，，， 而在点处的3阶泰勒展开式为：， 设， 则，， 故为上的增函数，而， 故当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故即，当且仅当x＝0时取等号， ①当时，，当且仅当x＝0时取等号， 所以 ②当时，设，， ，， 若，由于，所以， ， ， 故在上为增函数，从而 若，， 所以，时，单调递减，从而，即. 综上：. 【点睛】方法点睛： “新定义运算”指的是使用新定义的运算方法求解数学问题，这些新定义的运算可以是像“阶乘”、“斐波那契数列”这样的经典运算，也可以是一些比较新奇的概念，要透彻理解新定义的本质，严格按照新定义运算规则进行计算，与相关基础数学知识联系去解决问题. 学科网（北京）股份有限公司 $$