北京市昌平区东方红学校2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

北京市昌平区东方红学校 2024—2025学年高三第一学期开学考试数学试卷 考生注意： 1.本试卷共3页，三大题21小题；卷面满分150分. 2.考试时间120分钟. 3.一律用蓝、黑色笔答题，一律答在答题纸上. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分，在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（是虚数单位），则的虚部是（ ） A. 1 B. C. D. 3. 二项式的展开式中常数项是（ ） A. 1 B. 4 C. 6 D. 0 4. 设非零向量，，则“或”，是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 直线被圆所截得的弦长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 6. 将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数 的图象，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 在上的最小值为 D. 直线是图象的一条对称轴 7. 若一圆锥的侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（ ） A. B. C. D. 9. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递减的有序数对的个数是（ ） A. 36 B. 42 C. 72 D. 84 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是____________． 12. 已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________． 13. 在 中，若，，，则______. 14. 已知两点．点满足，则的面积是____；的一个取值为____． 15. 若存在常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立或（和恒成立），则称此直线为和的“隔离直线”．已知函数，，有下列命题： ①直线为和的“隔离直线”． ②若为和的“隔离直线”，则的范围为． ③存在实数，使得和有且仅有唯一的“隔离直线”． ④和之间一定存在“隔离直线”，且的最小值为． 其中所有正确命题的序号是_________． 三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在三棱柱中，平面，，分别为，的中点，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数，其中．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题． （1）求的值； （2）当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围． 条件①：； 条件②：是的一个零点； 条件③：． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． （1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； （2）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）； （3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 19. 已知椭圆的一个顶点为，焦距为． （1）求椭圆E的方程； （2）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值． 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，讨论函数在上的单调性； （3）证明：对任意的，有． 21. 已知是无穷数列．给出两个性质： ①对于中任意两项，在中都存在一项，使； ②对于中任意项，在中都存在两项．使得． （1）若，判断数列是否满足性质①，说明理由； （2）若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由； （3）若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列. 北京市昌平区东方红学校 2024—2025学年高三第一学期开学考试数学试卷 考生注意： 1.本试卷共3页，三大题21小题；卷面满分150分. 2.考试时间120分钟. 3.一律用蓝、黑色笔答题，一律答在答题纸上. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分，在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】C 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 ①. ②. 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 ①. ## ②. （答案不唯一） 【15题答案】 【答案】①③④ 三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【16题答案】 【答案】（1）证明：在三棱柱中，因为平面，平面，所以. 又分别为的中点，则，所以. 因为为中点，所以. 又，平面，平面， 所以平面. （2） 【17题答案】 【答案】（1） 任选条件②③，． （2） 【18题答案】 【答案】（1）0.4 （2） （3）丙 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1） （2）在上单调递增. （3）证明如下： 原不等式等价于， 令，， 即证， ∵， ， 由（2）知在上单调递增， ∴， ∴ ∴在上单调递增，又因为， ∴，所以命题得证. 【21题答案】 【答案】(Ⅰ)不具有性质①； (Ⅱ)具有性质①；具有性质②； (Ⅲ)证明：解法一 首先，证明数列中的项同号，不妨设恒为正数： 显然，假设数列中存在负项，设， 第一种情况：若，即， 由①可知：存在，满足，存在，满足， 由可知，从而，与数列的单调性矛盾，假设不成立. 第二种情况：若，由①知存在实数，满足，由的定义可知：， 另一方面，，由数列的单调性可知：， 这与的定义矛盾，假设不成立. 同理可证得数列中的项恒为负数. 综上可得，数列中的项同号. 其次，证明： 利用性质②：取，此时， 由数列的单调性可知， 而，故， 此时必有，即， 最后，用数学归纳法证明数列为等比数列： 假设数列的前项成等比数列，不妨设， 其中，（的情况类似） 由①可得：存在整数，满足，且 （*） 由②得：存在，满足：，由数列的单调性可知：， 由可得： （**） 由（**）和（*）式可得：， 结合数列的单调性有：， 注意到均为整数，故， 代入（**）式，从而. 总上可得，数列的通项公式为：. 即数列为等比数列. 解法二：假设数列中的项均为正数： 首先利用性质②：取，此时， 由数列的单调性可知， 而，故， 此时必有，即， 即成等比数列，不妨设， 然后利用性质①：取，则， 即数列中必然存在一项的值为，下面我们来证明， 否则，由数列的单调性可知， 在性质②中，取，则，从而， 与前面类似的可知则存在，满足， 若，则：，与假设矛盾； 若，则：，与假设矛盾； 若，则：，与数列的单调性矛盾； 即不存在满足题意的正整数，可见不成立，从而， 然后利用性质①：取，则数列中存在一项， 下面我们用反证法来证明， 否则，由数列的单调性可知， 在性质②中，取，则，从而， 与前面类似的可知则存在，满足， 即由②可知：， 若，则，与假设矛盾； 若，则，与假设矛盾； 若，由于为正整数，故，则，与矛盾； 综上可知，假设不成立，则.同理可得：，从而数列为等比数列， 同理，当数列中的项均为负数时亦可证得数列为等比数列. 由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数. 从而题中的结论得证，数列为等比数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $