新疆乌鲁木齐市第126中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

新疆乌鲁木齐126中2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷 一．选择题（共10小题，每小题4分） 1．（4分）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2＝0 C． D．（x﹣1）2+1＝x2 2．（4分）用配方法解方程x2﹣8x+1＝0，变形后的结果正确的是（　　） A．（x﹣4）2＝5 B．（x﹣4）2＝16 C．（x﹣4）3＝7 D．（x﹣4）2＝15 3．（4分）关于x的方程4x2﹣4x＝﹣1的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 4．（4分）在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x（m），则可列方程（　　） A．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 B．（20﹣2x）（30﹣x）＝468 C．30×20﹣2×30x﹣20x＝468 D．（30﹣x）（20﹣x）＝468 5．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，可知方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝5，则方程的另一个根为（　　） A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝2 6．（4分）若A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1 7．（4分）一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（　　） A． B． C． D． 8．（4分）某机械长今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为x，那么x满足方程（　　） A．50（1+x）2＝132 B．（50+x）2＝132 C．50（1+x）+50（1+x）2＝132 D．50（1+x）+50（1+2x）2＝132 9．（4分）二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值为（　　） A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3 10．（4分）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＞0，②b2＜4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确为（　　） A．①②④ B．①③⑤ C．①②③ D．①④⑤ 二．填空题（共6小题，每小题4分） 11．（4分）二次函数y＝﹣（x﹣3）2﹣4的顶点坐标是 　 　． 12．（4分）“六一”儿童节上，某小队建议每位同学向其他同学赠送1句祝福语，结果小队内共收到210句祝福语，设小队共有x人，那么根据题意所列方程为 　 　． 13．（4分）若抛物线y＝x2﹣2x+k﹣2与x轴有公共点，则k的取值范围是 　 　． 14．（4分）若α，β是方程x2+2x﹣2026＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为 　 　． 15．（4分）某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝30t﹣5t2，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了 　 　m． 16．（4分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+4x﹣2和线段MN，点M和点N的坐标分别为（0，4），（5，4），将抛物线向上平移k（k＞0）个单位长度后与线段MN仅有一个交点，则k的取值范围是 　 　． 三．解答题（共7小题，17题20分，18--19题10分，20--21题12分，22题8分，23题14分） 17．（20分）解下列方程： （1）2（x+1）2＝18； （2）x2﹣6x＝11； （3）3x2﹣4x﹣2＝0； （4）（x﹣1）2＝5x﹣5． 18．（10分）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 19．（10分）如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么AD的长为多少米？ （2）能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出AD的长；若不能，请说明理由． 20．（12分）2022年11月29日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ （2）在每个模型盈利不少于25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 21．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示： x … ﹣1 0 1 2 4 … y … 8 3 0 ﹣1 3 … （1）求二次函数的解析式及顶点坐标； （2）直接写出当y＞0时，x的取值范围． 22．（8分）阅读下面的材料，回答问题． 解方程：x4﹣10x2+9＝0． 这是一个一元四次方程，它的解法通常是： 设x2＝y，那么x4＝y2，∴原方程可变为y2﹣10y+9＝0．解得：y1＝1，y2＝9． 当y1＝1时，x2＝1，∴x＝±1． 当y2＝9时，x2＝9，∴x＝±3． ∴原方程有4个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝3，x4＝﹣3． 请参照例题解方程（x2﹣x）2+3（x2﹣x）﹣10＝0． 23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）在抛物线上是否存在点P，使得△ABP的面积等于10．若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． （3）若点P在直线BC的上方，当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标． 参考答案 一．选择题（共10小题，每小题4分） 1．（4分）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2＝0 C． D．（x﹣1）2+1＝x2 【解答】解：A、当a＝0时，方程为bx+c＝0是一元一次方程，该选项不合题意； B、方程x2＝0是一元二次方程，该选项符合题意； C、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意； D、方程（x﹣1）2+1＝x2整理为﹣2x+2＝0，是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：B． 2．（4分）用配方法解方程x2﹣8x+1＝0，变形后的结果正确的是（　　） A．（x﹣4）2＝5 B．（x﹣4）2＝16 C．（x﹣4）3＝7 D．（x﹣4）2＝15 【解答】解：x2﹣8x+1＝0， x2﹣8x＝﹣1， x2﹣8x+16＝﹣1+16， （x﹣4）2＝15， 故选：D． 3．（4分）关于x的方程4x2﹣4x＝﹣1的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【解答】解：原方程化为4x2﹣4x+1＝0， ∵a＝4，b＝﹣4，c＝1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4×4×1＝0， 则方程有两个相等的实数根． 故选：A． 4．（4分）在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x（m），则可列方程（　　） A．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 B．（20﹣2x）（30﹣x）＝468 C．30×20﹣2×30x﹣20x＝468 D．（30﹣x）（20﹣x）＝468 【解答】解：设入口的宽度为x m，由题意得： （30﹣2x）（20﹣x）＝468． 故选：A． 5．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，可知方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝5，则方程的另一个根为（　　） A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝2 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）， ∴方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝5， 即方程的另一个根为﹣1． 故选：A． 6．（4分）若A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1 【解答】解：∵a＝﹣1＜0， ∴抛物线开口向下， ∵二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k， ∴抛物线对称轴为直线x＝2， ∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大， ∵A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上，2﹣（﹣1）＝3，2﹣1＝1，4﹣2＝2， ∴y2＞y3＞y1， 故选：B． 7．（4分）一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＞0，b＜0，则一次函数y＝ax+b经过第一、三、四象限，且它们的交点为（1，0），所以A选项正确； B、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＞0，b＞0，则一次函数y＝ax+b经过第一、二、三象限，所以B选项错误； C、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＜0，b＞0，则一次函数y＝ax+b经过第一、二、四象限，所以C选项错误； D、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＜0，b＜0，则一次函数y＝ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误． 故选：A． 8．（4分）某机械长今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为x，那么x满足方程（　　） A．50（1+x）2＝132 B．（50+x）2＝132 C．50（1+x）+50（1+x）2＝132 D．50（1+x）+50（1+2x）2＝132 【解答】解：根据题意得：明年生产零件为50（1+x）（万个）；后年生产零件为50（1+x）2（万个）， 则x满足的方程是50（1+x）+50（1+x）2＝146， 故选：C． 9．（4分）二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值为（　　） A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3 【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c＝﹣（x+1）2+c2﹣2c+1， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∵2﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣3）， ∴在﹣3≤x≤2的范围内，x＝2时，y＝﹣4﹣4+c2﹣2c＝c2﹣2c﹣8＝（c﹣1）2﹣9为函数最小值， ∴（c﹣1）2﹣9＝﹣5， 解得c＝3或c＝﹣1， 故选：A． 10．（4分）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＞0，②b2＜4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确为（　　） A．①②④ B．①③⑤ C．①②③ D．①④⑤ 【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0， ∵﹣＝1， ∴b＝﹣2a＜0， ∴abc＞0，故①正确，符合题意； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac，故②错误，不符合题意； ③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误，不符合题意； ④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0， ∴3a+c＞0，故④正确，符合题意； ⑤由图象可知，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑤正确，符合题意． 故选：D． 二．填空题（共6小题，每小题4分） 11．（4分）二次函数y＝﹣（x﹣3）2﹣4的顶点坐标是 　（3，﹣4）　． 【解答】解：抛物线y＝﹣（x﹣3）2﹣4的顶点坐标是（3，﹣4）， 故答案为：（3，﹣4）． 12．（4分）“六一”儿童节上，某小队建议每位同学向其他同学赠送1句祝福语，结果小队内共收到210句祝福语，设小队共有x人，那么根据题意所列方程为 　x（x﹣1）＝210　． 【解答】解：∵小队共有x人，且每位同学向其他同学赠送1句祝福语， ∴每人赠送（x﹣1）句祝福语， 又∵小队内共收到210句祝福语， ∴可列方程x（x﹣1）＝210． 故答案为：x（x﹣1）＝210． 13．（4分）若抛物线y＝x2﹣2x+k﹣2与x轴有公共点，则k的取值范围是 　k≤3　． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+k﹣2与x轴有交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（k﹣2）≥0， 解得：k≤3； 故答案为：k≤3． 14．（4分）若α，β是方程x2+2x﹣2026＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为 　2024　． 【解答】解：∵α，β是方程x2+2x﹣2026＝0的两个实数根， ∴α+β＝﹣2，α2+2α﹣2026＝0， ∴α2+2α＝2026， ∴α2+3α+β ＝（α2+2α）+（α+β） ＝2026+（﹣2） ＝2024， 故答案为：2024． 15．（4分）某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝30t﹣5t2，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了 　45　m． 【解答】解：∵s＝﹣5t2+30t＝﹣5（t﹣3）2+45， ∴汽车刹车后到停下来前进了45m， 故答案为：45． 16．（4分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+4x﹣2和线段MN，点M和点N的坐标分别为（0，4），（5，4），将抛物线向上平移k（k＞0）个单位长度后与线段MN仅有一个交点，则k的取值范围是 　6＜k≤11或k＝2　． 【解答】解：y＝﹣x2+4x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2， 将抛物线向上平移k（k＞0）个单位长度后抛物线为y＝﹣（x﹣2）2+2+k， 当抛物线顶点恰好平移到线段MN上，此时，2+k＝4，可得k＝2； 当抛物线经过点M（0，4）时，此时﹣（0﹣2）2+2+k＝4，可得k＝6， 此时M（0，4）关于对称轴x＝2对称的点M′（4，4），在线段MN上，不符合题意； 当抛物线经过点N（5，4）时，此时﹣（5﹣2）2+2+k＝4，可得k＝11， 此时N（5，4）关于对称轴x＝2对称的点N′（﹣1，4），不在线段MN上，符合题意； 结合图形可知，平移后的抛物线与线段MN仅有一个交点时，k＝2或6＜k≤11； 故答案为：k＝2或6＜k≤11． 三．解答题（共7小题，17题20分，18--19题10分，20--21题12分，22题8分，23题14分） 17．（20分）解下列方程： （1）2（x+1）2＝18； （2）x2﹣6x＝11； （3）3x2﹣4x﹣2＝0； （4）（x﹣1）2＝5x﹣5． 【解答】解：（1）2（x+1）2＝18； （x+1）2＝9， x+1＝±3， x+1＝3或x+1＝﹣3， x1＝2，x2＝﹣4； （2）x2﹣6x＝11， x2﹣6x+9＝11+9， （x﹣3）2＝20， x﹣3＝±2， x﹣3＝±2或x﹣3＝﹣2， x1＝3+2，x2＝3﹣2； （3）3x2﹣4x﹣2＝0， ∵Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣2）＝16+24＝40＞0， ∴x＝＝＝， ∴x1＝，x2＝； （4）（x﹣1）2＝5x﹣5， （x﹣1）2＝5（x﹣1）， （x﹣1）2﹣5（x﹣1）＝0， （x﹣1）（x﹣1﹣5）＝0， （x﹣1）（x﹣6）＝0， x﹣1＝0或x﹣6＝0， x1＝1，x2＝6． 18．（10分）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 【解答】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人， 根据题意得：1+x+x（x+1）＝81， 整理，得：x2+2x﹣80＝0， 解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染8个人． （2）81+81×8＝729（人）． 答：经过三轮传染后共有729人会患流感． 19．（10分）如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么AD的长为多少米？ （2）能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出AD的长；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）设AD的长为x 米，则AB＝27﹣3x，根据题意，得x（27﹣3x）＝54， 整理，得x2﹣9x+18＝0， 解得x1＝3，x2＝6 ∵墙的最大可用长度为12米， ∴27﹣3x≤12， ∴x≥5， ∴x＝6，即AD的长为6米； （2）不能围成面积为90平方米的花圃． 理由：假设存在符合条件的长方形，设AD的长为y米， 于是有（27﹣3y）•y＝90， 整理得y2﹣9y+30＝0， ∵Δ＝（﹣9）2﹣4×1×30＝﹣39＜0， ∴该方程无实数根， ∴不能围成面积为90平方米的花圃． 20．（12分）2022年11月29日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ （2）在每个模型盈利不少于25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 【解答】解：（1）20+2×4 ＝20+8 ＝28（个）； （40﹣4）×28 ＝36×28 ＝1008（元）． 答：若每个模型降价4元，平均每天可以售出28个模型，此时每天获利1008元； （2）设每个模型应降价x元，则每个模型可盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）个， 根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200， 整理得：x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10，x2＝20， 又∵每个模型盈利不少于25元， ∴x＝10． 答：每个模型应降价10元． 21．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示： x … ﹣1 0 1 2 4 … y … 8 3 0 ﹣1 3 … （1）求二次函数的解析式及顶点坐标； （2）直接写出当y＞0时，x的取值范围． 【解答】解：（1）由题意，根据表格数据，可得抛物线的对称轴是直线x＝＝2， ∴顶点坐标为（2，﹣1）． ∴可设二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1． 又图象过（1，0）， ∴a﹣1＝0． ∴a＝1． ∴二次函数的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3． （2）由题意，令y＝x2﹣4x+3＝0， ∴x＝1或x＝3． 又抛物线开口向上， ∴y＞0时，x的取值范围是函数图象是x轴上方的部分对应的自变量． ∴x＜1或x＞3． 22．（8分）阅读下面的材料，回答问题． 解方程：x4﹣10x2+9＝0． 这是一个一元四次方程，它的解法通常是： 设x2＝y，那么x4＝y2，∴原方程可变为y2﹣10y+9＝0．解得：y1＝1，y2＝9． 当y1＝1时，x2＝1，∴x＝±1． 当y2＝9时，x2＝9，∴x＝±3． ∴原方程有4个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝3，x4＝﹣3． 请参照例题解方程（x2﹣x）2+3（x2﹣x）﹣10＝0． 【解答】解：设x2﹣x＝y，原方程可化为y2+3y﹣10＝0， 解得y1＝﹣5，y2＝2． 由x2﹣x＝﹣5，得方程x2﹣x+5＝0， b2﹣4ac＝1﹣4×5＝﹣19＜0，此时方程无解． 由x2﹣x＝2，得方程x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2． 所以原方程的解为x1＝﹣1，x2＝2． 23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）在抛物线上是否存在点P，使得△ABP的面积等于10．若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． （3）若点P在直线BC的上方，当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标． 【解答】解：（1）将B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c， 得， 解得， 故二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）如图，连接AP、BP， 由（1）知，二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3，则可设P（t，﹣t2+2t+3）． 由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）（x+1）知，该抛物线与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB＝4． ∴S△ABP＝AB•|yP|＝×4×|﹣t2+2t+3|＝10． 整理，得t2﹣2t+2＝0或t2﹣2t﹣8＝0． 方程t2﹣2t﹣2＝0中的Δ＝4﹣8＝﹣4＜0，故该方程无解； 解方程t2﹣2t﹣8＝0得到：t1＝4，t2＝﹣2． 故点P的坐标为（4，﹣5）或（﹣2，﹣5）； 答：二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （3）如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q， 设P（x，﹣x2+2x+3），直线BC的解析式为y＝mx+n， 则， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 则Q（x，﹣x+3）， ∴PQ＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x． ∴S△BPC＝S△BPQ+S△CPQ＝QP•OB＝（﹣x2+3x）×3＝﹣（x﹣）2+， 当x＝时，△BPC的面积最大， 此时，点P的坐标为（，）． 学科网（北京）股份有限公司 $$