《第21章 一元二次方程》单元测试卷2024--2025学年人教版数学九年级上册

人教版九年级上册《第21章 一元二次方程》2024年单元测试卷 一.选择题(每小题3分,共30分) 1.(3分)下列方程中,一定是一元二次方程的是( ) A.x2﹣2=0 B.x2+y=1 C. D.x2+x=x2+1 2.(3分)若关于x的方程是一元二次方程,则m的值为( ) A.m≠2 B.m= 2 C.m=﹣2 D.m=2 3.(3分)将方程2x2+7=4x改写成ax2+bx+c=0的形式,则a,b,c的值分别为( ) A.2,4,7 B.2,4,﹣7 C.2,﹣4,7 D.2,﹣4,﹣7 4.(3分)已知是方程x2﹣4x+c=0的一个根,则c的值为( ) A. B. C.2 D.1 5.(3分)已知x1、x2是一元二次方程x2﹣6x+3=0的两个实数根,则的值为( ) A.4 B.﹣4 C. D.2 6.(3分)关于x的一元二次方程x2+3x﹣2=0解的情况是( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定 7.(3分)如果关于x的方程(x﹣9)2=m+4可以用直接开平方法求解,那么m的取值范围是( ) A.m>3 B.m≥3 C.m>﹣4 D.m≥﹣4 8.(3分)为执行国家药品降价政策,给人民群众带来实惠,某药品经过两次降价,每盒零售价由15元降为9元,设平均每次降价的百分率是x,则根据题意,下列方程正确的是( ) A.15(1﹣x)2=9 B.15(1﹣2x)2=9 C.15(1﹣x)=9 D.15(1﹣2x)=9 9.(3分)一个人患了流感,经过两轮传染后共有64人患了流感.设每轮传染中平均一个人传染的人数相等,则经过三轮传染后患流感的人数共有( ) A.7个 B.49个 C.121个 D.512个 10.(3分)关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1=0有实数根,则a的取值范围是( ) A.a>1 B.a<1 C.a≤1且a≠0 D.a<1且a≠0 二.填空题(每小题3分,共18分) 11.(3分)若关于x的方程(m﹣3)x|m﹣1|+5x﹣3=0是一元二次方程,则m的值为 . 12.(3分)已知m是方程x2﹣3x﹣20=0的根,则代数式1+3m﹣m2的值为 . 13.(3分)关于x的一元二次方程x2+3x+m=0没有实数根,则m的取值范围是 . 14.(3分)若一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根为a,b,则a﹣ab+b的值为 . 15.(3分)已知a,b(a≠b)满足a2﹣2a﹣1=0,b2﹣2b﹣1=0,则= . 16.(3分)第24届北京冬奥会冰壶混合双人循环赛在冰立方举行.参加比赛的每两队之间都进行一场比赛,共要比赛45场,共有 个队参加比赛. 三.解答题 17.(8分)解下列方程: (1)16x2+8x=3(公式法); (2)2x2+5x﹣1=0(配方法). 18.(8分)已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根,求: (1)+的值; (2)m2﹣mn+n2的值. 19.(8分)某商场销售一批名牌衬衫,平均每天销售20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利和减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件降价1元,则每天可多售2件.商场若想每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元? 20.(8分)某商场一月份的销售额为125万元,二月份的销售额下降了20%,商场从三月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,四月份的销售额达到了169万元. (1)求二月份的销售额; (2)求三、四月份销售额的平均增长率. 21.(8分)已知关于x的一元二次方程x2﹣(2m+1)x+m﹣2=0. (1)求证:不论m取何值,方程总有两个不相等的实数根; (2)若方程有两个实数根为x1,x2,且x1+x2+3x1x2=1,求m的值. 22.(10分)如图,有长为24米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a为10米)围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃,设花圃的宽AB为x米. (1)若围成的花圃面积为36平方米,求此时宽AB; (2)能围成面积为52平方米的花圃吗?若能,请说明围法;若不能,请说明理由. 人教版九年级上册《第21章 一元二次方程》2024年单元测试卷 参考答案与试题解析 一.选择题(每小题3分,共30分) 1.(3分)下列方程中,一定是一元二次方程的是( ) A.x2﹣2=0 B.x2+y=1 C. D.x2+x=x2+1 【分析】根据一元二次方程的定义,只含有一个未知数,并且最高次项的次数是2次,并且得是整式方程,即可判断. 【解答】解:根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程. ∴A选项符合题意; B选项未知数最高次数是2,不符合题意; C选项不是整式方程,不符合题意; D化简,得x﹣1=0,不含有2次项, ∴D选项不符合题意. 故选:A. 【点评】本题考查了一元二次方程,对一元二次方程的定义的准确理解是解决本题的关键. 2.(3分)若关于x的方程是一元二次方程,则m的值为( ) A.m≠2 B.m= 2 C.m=﹣2 D.m=2 【分析】只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程. 【解答】解:∵关于x的方程是一元二次方程, ∴, 解得:m=﹣2. 故选:C. 【点评】此题主要考查了一元二次方程定义,判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面:“化简后”;“一个未知数”;“未知数的最高次数是2”;“二次项的系数不等于0”;“整式方程”. 3.(3分)将方程2x2+7=4x改写成ax2+bx+c=0的形式,则a,b,c的值分别为( ) A.2,4,7 B.2,4,﹣7 C.2,﹣4,7 D.2,﹣4,﹣7 【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫一元二次方程的一般形式.其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数;bx叫做一次项,b是一次项系数;c叫做常数项进行分析即可. 【解答】解:2x2+7=4x可化为2x2﹣4x+7=0,它的二次项系数,一次项系数和常数项分别为2,﹣4,7, 故选:C. 【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式,关键是掌握要确定二次项系数,一次项系数和常数项,必须先把一元二次方程化成一般形式. 4.(3分)已知是方程x2﹣4x+c=0的一个根,则c的值为( ) A. B. C.2 D.1 【分析】先把x=2+代入方程得到(2+)2﹣4(2+)+c=0,然后解关于c的一次方程即可. 【解答】解:∵是方程x2﹣4x+c=0的一个根, ∴(2+)2﹣4(2+)+c=0, 解得c=1. 故选:D. 【点评】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解. 5.(3分)已知x1、x2是一元二次方程x2﹣6x+3=0的两个实数根,则的值为( ) A.4 B.﹣4 C. D.2 【分析】根据根与系数的关系得x1+x2=6,x1x2=3,利用代数式变形分别得到,然后利用整体代入的方法计算. 【解答】解:根据题意得x1+x2=6,x1x2=3, 则===4, 故选:A. 【点评】本题考查了根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=﹣,x1x2=. 6.(3分)关于x的一元二次方程x2+3x﹣2=0解的情况是( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定 【分析】先计算出判别式的值,然后根据判别式的意义判断方程根的情况. 【解答】解:∵ =32﹣4 1 (﹣2)=17>0, ∴方程有两个不相等的两个实数根. 故选:B. 【点评】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与 =b2﹣4ac有如下关系:当 >0时,方程有两个不相等的实数根;当 =0时,方程有两个相等的实数根;当 <0时,方程无实数根. 7.(3分)如果关于x的方程(x﹣9)2=m+4可以用直接开平方法求解,那么m的取值范围是( ) A.m>3 B.m≥3 C.m>﹣4 D.m≥﹣4 【分析】根据解一元二次方程﹣直接开平方法,进行计算即可解答. 【解答】解:由题意得: m+4≥0, ∴m≥﹣4, 故选:D. 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法,熟练掌握负数没有平方根是解题的关键. 8.(3分)为执行国家药品降价政策,给人民群众带来实惠,某药品经过两次降价,每盒零售价由15元降为9元,设平均每次降价的百分率是x,则根据题意,下列方程正确的是( ) A.15(1﹣x)2=9 B.15(1﹣2x)2=9 C.15(1﹣x)=9 D.15(1﹣2x)=9 【分析】设平均每次降价的百分率是x,根据降价后的价格=降价前的价格 (1﹣降价的百分率),则第一次降价后的价格是15(1﹣x),第二次后的价格是15(1﹣x)2,据此即可列方程求解. 【解答】解:根据题意得:15(1﹣x)2=9, 故选:A. 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,关键是根据题意找到已知量和未知量之间的等量关系,列出方程即可. 9.(3分)一个人患了流感,经过两轮传染后共有64人患了流感.设每轮传染中平均一个人传染的人数相等,则经过三轮传染后患流感的人数共有( ) A.7个 B.49个 C.121个 D.512个 【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x,根据“一个人患了流感,经过两轮传染后共有64人患了流感”,即可得出关于x的一元二次方程,解之即可得出x的值,再将其正值代入64(1+x)中即可求出结论. 【解答】解:设每轮传染中平均一个人传染的人数为x, 依题意得:1+x+x(1+x)=64, 解得:x1=7,x2=﹣9(不合题意,舍去), ∴64(1+x)=64 (1+7)=512, ∴经过三轮传染后患流感的人数共有512个. 故选:D. 【点评】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键. 10.(3分)关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1=0有实数根,则a的取值范围是( ) A.a>1 B.a<1 C.a≤1且a≠0 D.a<1且a≠0 【分析】根据关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1=0有实数根知 =(﹣2)2﹣4 a 1≥0且a≠0,解之即可. 【解答】解:∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1=0有实数根, ∴ =(﹣2)2﹣4 a 1≥0且a≠0, 解得a≤1且a≠0, 故选:C. 【点评】本题主要考查根的判别式,解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与 =b2﹣4ac有如下关系: ①当 >0时,方程有两个不相等的两个实数根; ②当 =0时,方程有两个相等的两个实数根; ③当 <0时,方程无实数根. 二.填空题(每小题3分,共18分) 11.(3分)若关于x的方程(m﹣3)x|m﹣1|+5x﹣3=0是一元二次方程,则m的值为 ﹣1 . 【分析】根据一元二次方程的定义,必须满足三个条件:(1)未知数的最高次数是2;(2)二次项系数不为0,(3)是整式方程,据此即可求解. 【解答】解:根据题意得,|m﹣1|=2且m﹣3≠0, 解得:m=﹣1. 故答案为:﹣1. 【点评】本题主要考查一元二次方程的定义,一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0),特别要注意a≠0的条件. 12.(3分)已知m是方程x2﹣3x﹣20=0的根,则代数式1+3m﹣m2的值为 ﹣19 . 【分析】根据m是方程x2﹣3x﹣20=0的根,可以求得所求代数式的值,本题得以解决. 【解答】解:∵m是方程x2﹣3x﹣20=0的根, ∴m2﹣3m﹣20=0, ∴m2﹣3m=20, ∴1+3m﹣m2=1﹣(m2﹣3m)=1﹣20=﹣19. 故答案为:﹣19. 【点评】本题考查一元二次方程的解,解答本题的关键是明确题意,求出代数式的值. 13.(3分)关于x的一元二次方程x2+3x+m=0没有实数根,则m的取值范围是 m>2.25 . 【分析】先表示出“ ”.再根据没有实数根,判别式小于0求解. 【解答】解:根据题意得: =9﹣4m<0, 解得:m>2.25, 故答案为:m>2.25. 【点评】本题考查了根的判别式,正确计算是解题的关键. 14.(3分)若一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根为a,b,则a﹣ab+b的值为 5 . 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出a+b与ab的值,代入原式计算即可求出值. 【解答】解:∵一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根为a,b, ∴a+b=3,ab=﹣2, 则原式=(a+b)﹣ab=3﹣(﹣2)=3+2=5. 故答案为:5. 【点评】此题考查了根与系数的关系,熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键. 15.(3分)已知a,b(a≠b)满足a2﹣2a﹣1=0,b2﹣2b﹣1=0,则= ﹣6 . 【分析】根据题意得到a,b为方程x2﹣2x﹣1=0的两根,利用根与系数的关系求出a+b与ab的值,原式通分并利用同分母分式的加法法则变形,再利用完全平方公式化简,将各自的值代入计算即可求出值. 【解答】解:∵a,b(a≠b)满足a2﹣2a﹣1=0,b2﹣2b﹣1=0, ∴a,b为方程x2﹣2x﹣1=0的两根, ∴a+b=2,ab=﹣1, 则原式====﹣6. 故答案为:﹣6. 【点评】此题考查了根与系数的关系,以及分式的化简求值,熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键. 16.(3分)第24届北京冬奥会冰壶混合双人循环赛在冰立方举行.参加比赛的每两队之间都进行一场比赛,共要比赛45场,共有 10 个队参加比赛. 【分析】设共有x个队参加比赛,利用比赛的总场数= 参赛队伍数 (参赛队伍数﹣1),即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论. 【解答】解:设共有x个队参加比赛, 依题意得:x(x﹣1)=45, 整理得:x2﹣x﹣90=0, 解得:x1=10,x2=﹣9(不合题意,舍去). 即:共有10个队参加比赛. 故答案为:10. 【点评】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键. 三.解答题 17.(8分)解下列方程: (1)16x2+8x=3(公式法); (2)2x2+5x﹣1=0(配方法). 【分析】(1)先把方程化为一般式,再计算出根的判别式的值,然后利用求根公式得到方程的解; (2)先利用配方法得到(x+)2=,然后利用直接开平方法解方程. 【解答】解:(1)方程化为一般式为16x2+8x﹣3=0, ∵a=16,b=8,c=﹣3, ∴ =82﹣4 16 (﹣3)=256>0, ∴x===, ∴x1=﹣,x2=; (2)2x2+5x﹣1=0, x2+x=, x2+x+()2=+()2, (x+)2=, x+= , 所以x1=,x2=. 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法:熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键.也考查了配方法解一元二次方程. 18.(8分)已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根,求: (1)+的值; (2)m2﹣mn+n2的值. 【分析】(1)根据m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根,由根与系数的关系得出m+n和mn的值,再把要求的式子进行变形,再把m+n和mn的值代入即可; (2)先把m2﹣mn+n2变形为(m+n)2﹣3mn,再根据(1)得出的m+n和mn的值,代入进行计算即可. 【解答】解:(1)∵m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根, ∴m+n=,mn=﹣, ∴+===﹣; (2)m2﹣mn+n2 =(m+n)2﹣3mn =()2﹣3 (﹣) =+ =10. 【点评】此题考查了根与系数的关系,将根与系数的关系与代数式变形相结合是本题的关键,用到的知识点是若方程的两根分别为x1,x2,则x1+x2=﹣,x1•x2=. 19.(8分)某商场销售一批名牌衬衫,平均每天销售20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利和减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件降价1元,则每天可多售2件.商场若想每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元? 【分析】设每件衬衫降价x元,则每件盈利(40﹣x)元,平均每天可售出(20+2x)件,利用商场销售该衬衫每天获得的利润=每件的销售利润 日销售量,即可得出关于x的一元二次方程,解之即可得出结论. 【解答】解:设每件衬衫降价x元,则每件盈利(40﹣x)元,平均每天可售出(20+2x)件, 依题意得:(40﹣x)(20+2x)=1200, 整理得:x2﹣30x+200=0, 解得:x1=10,x2=20. 答:每件衬衫应降价10元或20元. 【点评】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键. 20.(8分)某商场一月份的销售额为125万元,二月份的销售额下降了20%,商场从三月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,四月份的销售额达到了169万元. (1)求二月份的销售额; (2)求三、四月份销售额的平均增长率. 【分析】(1)利用二月份的销售额=一月份的销售额 (1﹣20%),即可求出结论; (2)设三、四月份销售额的平均增长率为x,利用四月份的销售额=二月份的销售额 (1+三、四月份销售额的平均增长率)2,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论. 【解答】解:(1)125 (1﹣20%) =125 80% =100(万元). 答:二月份的销售额为100万元. (2)设三、四月份销售额的平均增长率为x, 依题意得:100(1+x)2=169, 解得:x1=0.3=30%,x2=﹣2.3(不合题意,舍去). 答:三、四月份销售额的平均增长率为30%. 【点评】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键. 21.(8分)已知关于x的一元二次方程x2﹣(2m+1)x+m﹣2=0. (1)求证:不论m取何值,方程总有两个不相等的实数根; (2)若方程有两个实数根为x1,x2,且x1+x2+3x1x2=1,求m的值. 【分析】(1)根据根的判别式得出 =[﹣(2m+1)]2﹣4 1 (m﹣2)=4m2+9>0,据此可得答案; (2)根据根与系数的关系得出x1+x2=2m+1,x1x2=m﹣2,代入x1+x2+3x1x2=1得出关于m的方程,解之可得答案. 【解答】(1)证明:∵ =[﹣(2m+1)]2﹣4 1 (m﹣2) =4m2+4m+1﹣4m+8 =4m2+9>0, ∴无论m取何值,此方程总有两个不相等的实数根; (2)解:由根与系数的关系,得x1+x2=2m+1,x1x2=m﹣2, 由x1+x2+3x1x2=1,得2m+1+3(m﹣2)=1, 解得m=. 【点评】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式,解题的关键是掌握x1,x2是方程x2+px+q=0的两根时,x1+x2=﹣p,x1x2=q. 22.(10分)如图,有长为24米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a为10米)围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃,设花圃的宽AB为x米. (1)若围成的花圃面积为36平方米,求此时宽AB; (2)能围成面积为52平方米的花圃吗?若能,请说明围法;若不能,请说明理由. 【分析】(1)由篱笆的总长度可得出花圃的长AD为(24﹣3x)米,根据花圃面积为36平方米,即可得出关于x的一元二次方程,解之即可得出x的值,再结合墙的最大可用长度a为10米,即可得出结论; (2)不能围成面积为52平方米的花圃,根据花圃面积为52平方米,即可得出关于x的一元二次方程,由根的判别式 =﹣48<0,可得出该方程无实数根,即不能围成面积为52平方米的花圃. 【解答】解:(1)∵花圃的宽AB为x米, ∴花圃的长AD为(24﹣3x)米. 依题意得:x(24﹣3x)=36, 整理得:x2﹣8x+12=0, 解得:x1=2,x2=6. 当x=2时,24﹣3x=24﹣3 2=18>10,不合题意,舍去; 当x=6时,24﹣3x=24﹣3 6=6<10,符合题意. 答:此时宽AB为6米. (2)不能围成面积为52平方米的花圃,理由如下: 依题意得:x(24﹣3x)=52, 整理得:3x2﹣24x+52=0, ∵ =(﹣24)2﹣4 3 52=﹣48<0, ∴该方程无实数根, 即不能围成面积为52平方米的花圃. 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出一元二次方程;(2)牢记“当 <0时,方程无实数根”. 声明:试题解析著作权属所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2024/9/17 7:21:37;用户:初中数学14;邮箱:tlshiyan017@xyh.com;学号:27405248 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $$