拓展3-3不等式高频题型专攻-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第一册）

拓展3-3不等式高频题型专攻 一、不等式的性质及应用 五、解含参二次不等式 二、基本不等式求最值（无条件等式） 六、三个“二次”的关系 三、基本不等式求最值（含条件等式） 七、不等式在实际问题中的应用 四、解不等式 八、恒成立与有解问题 一、不等式的性质及应用 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．某商品计划提价两次，有方案甲：第一次提价，第二次提价，方案乙：第一次提价，第二次提价，方案丙：两次均提价，其中，则两次提价后价格最高的方案为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 3．（多选）已知满足，且，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知实数x，y满足，，求的取值范围． 6．设是实数，比较与的值的大小. 7．已知a、b为任意给定的正数，求证：，并指出等号成立的条件． 二、基本不等式求最值（无条件等式） 8．已知，则的最小值是 ． 9．函数的最小值为 ． 10．若，使取得最小值时的值为 . 11．函数的最大值为 12．求下列函数的最小值 （1）； （2）； （3）. 13．求的最大值与最小值之积． 三、基本不等式求最值（含条件等式） 14．若，，，则ab的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．已知，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．10 16．（多选）设正实数满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 17．（多选）已知实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 18．已知正实数a，b满足，则的最小值为 ． 19．已知均为正实数，且，则当取得最小值时 ，的最小值为 ． 20．已知实数、满足，则的最大值为 ． 四、解不等式 21．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 22．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 23．已知集合，则（      ） A． B． C． D． 24．（多选）下列不等式中，可以作为的一个充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 25．不等式的解集为 . 26．已知集合，，． (1)求； (2)若是的必要条件，求a的取值范围． 27．解不等式 (1) (2) (3) (4) 五、解含参二次不等式 28．设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 29．不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D．R 30．关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 31．（多选）若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（    ） A． B． C． D．1 32．（1）已知一元二次不等式的解集为，求实数、的值及不等式的解集． （2）已知，解不等式：． 33．（1）解不等式； （2）解关于的不等式. 34．已知关于 x 的不等式 ，其中 ． (1)若该不等式的解集为 ，求 a 的值； (2)解不等式不等式，其中 ． 六、三个“二次”的关系 35．若不等式的解集为，那么不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 36．（多选）若关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 37．（多选）已知关于的不等式解集为或，则下列结论正确的有（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 38．（多选）已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（    ） A． B． C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，且，则 七、不等式在实际问题中的应用 39．某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：）和汽车刹车前的车速（单位：）之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车刹车距离大于40，则这辆汽车刹车前的车速至少为（    ）（精确到1） A．76 B．77 C．78 D．80 40．（多选）某商场若将进货单价为元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高元，销售量就要减少件．那么要保证每天所赚的利润在元以上，每件销售价可能为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 41．2022中国国际智能产业博览会于8月22~24日在重庆隆重举办，主题延续“智能化：为经济赋能，为生活添彩”，某企业遵循国家发展战略目标，进一步优化内部结构，深入拓展大数据智能化建设，据悉，该企业研发部原有80人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为（其中且）万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员x的取值范围是多少？ (2)若研发部新招聘1名员工，原来的研发部人员调整策略不变，且同时满足下列两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入.请分析是否存在满足上述条件的正实数m，若存在，则求出m的值；若不存在，则说明理由. 42．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化．如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（阴影部分）均种植宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为300平方米． (1)若矩形草坪的长比宽至少多5米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值． 43．辆货车从站匀速驶往相距千米的站，其时速都是千米/时，为安全起见，要求每两辆货车的间隔等于千米（为常数，，货车长度忽略不计）. (1)将第一辆货车由站出发到最后一辆货车到达站所需时间表示成的函数； (2)当取何值时，有最小值. 44．2020年11月23日，贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列，这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫，这也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，全国脱贫攻坚目标任务已经完成.在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款10万元给该农户种养羊，每万元可创造利润0.15万元.若进行技术指导，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中. （1）若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围； （2）若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值. 八、恒成立与有解问题 45．（多选）已知，，且，若不等式恒成立，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 46．命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 47．当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 49．已知，，且，不等式恒成立，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 50．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 51．已知关于的不等式的解集为或，当，且时，有恒成立，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展3-3不等式高频题型专攻 一、不等式的性质及应用 五、解含参二次不等式 二、基本不等式求最值（无条件等式） 六、三个“二次”的关系 三、基本不等式求最值（含条件等式） 七、不等式在实际问题中的应用 四、解不等式 八、恒成立与有解问题 一、不等式的性质及应用 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对选项A，取，满足，不满足，故A错误. 对选项B，取，满足，不满足，故B错误. 对选项C，因为，所以，即，故C正确. 对选项D，取，满足，不满足，故D错误. 故选：C 2．某商品计划提价两次，有方案甲：第一次提价，第二次提价，方案乙：第一次提价，第二次提价，方案丙：两次均提价，其中，则两次提价后价格最高的方案为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 【答案】C 【详解】设原价为1，方案甲两次提价后价格为， 方案乙两次提价后价格为，方案甲与乙两次提价后价格相同， 方案丙两次提价后价格为， 记，， 所以，因此方案丙价格最高． 故选：C． 3．（多选）已知满足，且，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于，因为，且，所以，所以，故A正确； 对于，因为，所以，故B正确； 对于C，令，满足且，但，故C错误； 对于D，易知，所以，故D错误. 故选：AB. 4．（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为，所以，故AB正确； 而，故C错误； 而， 由得，，，则， 所以，即，故D正确. 故选：ABD. 5．已知实数x，y满足，，求的取值范围． 【答案】． 【详解】设，即， 于是解得，所以． 因为，，所以，， 所以，所以的取值范围是． 6．设是实数，比较与的值的大小. 【答案】答案见解析 【详解】 ①当，即时， ②当，即时， ③当，即时， 7．已知a、b为任意给定的正数，求证：，并指出等号成立的条件． 【答案】证明见详解；等号成立的条件为 【详解】由题意可知：， 因为，则，且，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 等号成立的条件为. 二、基本不等式求最值（无条件等式） 8．已知，则的最小值是 ． 【答案】2 【详解】因为， 所以， 当且仅当．即时，等号成立． 故答案为：2 9．函数的最小值为 ． 【答案】5 【详解】． ，， （当且仅当，即时取等号）， ． 故答案为：5． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 10．若，使取得最小值时的值为 . 【答案】 【详解】因为， 所以， 当且仅当时取等号，即. 故答案为： 11．函数的最大值为 【答案】/ 【详解】． 因为，所以，， 当且仅当，即 时，等号成立． 所以． 故答案为：． 12．求下列函数的最小值 （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）3；（2）；（3）10. 【详解】（1） ∵（当且仅当，即x=1时取“=”） 即的最小值为3； （2）令，则在是单增， ∴当t=2时，y取最小值； 即y的最小值为 （3）令，则可化为： 当且仅当t=3时取“=” 即y的最小值为10 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； (2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 13．求的最大值与最小值之积． 【答案】 【详解】因为,所以, 因为,所以 当或者时，等号成立． 同时 当时，等号成立因此最大值和最小值的乘积为 三、基本不等式求最值（含条件等式） 14．若，，，则ab的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，由基本不等式可得， 即，解得或（舍去），即， 当且仅当，即时，等号成立， 故ab的取值范围是． 故选：D． 15．已知，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．10 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立. 故的最小值为. 故选：C. 16．（多选）设正实数满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为正实数，满足， 所以， 当且仅当且，即，时等号成立，故A正确； 对于B，， 则，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为，故C错误； 对于D，由，可得， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ABD. 17．（多选）已知实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】设，代入得， 化简得，所以，解得， ，选项A正确； 当时，由，得， , 解得，当且仅当时成立，选项B正确； 由，得时，， ，解得，选项C错误； 由，得， , 解得，当且仅当时取等号， 选项D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解决A的关键是通过换元结合判别式法计算，解决BD关键是通过基本不等式放缩，解决C的关键是通过特殊值证明不成立. 18．已知正实数a，b满足，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由，有，且， 则，当且仅当时等号成立． 故答案为：4. 19．已知均为正实数，且，则当取得最小值时 ，的最小值为 ． 【答案】 6 【详解】依题意，， 当且仅当时取等号，所以当取得最小值时； ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为6. 故答案为：；6 【点睛】思路点睛：把化为，再依次利用基本不等式求出最小值. 20．已知实数、满足，则的最大值为 ． 【答案】2 【详解】因为，又 所以，即，当且仅当时取等号， 故答案为：2. 四、解不等式 21．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 即且， 即且， 得或， 则， 所以. 故选：. 22．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得到，即， 又，所以， 故选：B. 23．已知集合，则（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，解得， 或，解得或 所以或 则. 故选：D. 24．（多选）下列不等式中，可以作为的一个充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由得，其充分不必要条件对应的集合为的真子集即可. 故选：BC 25．不等式的解集为 . 【答案】 【详解】因为，所以或， 所以或，， 所以. 故答案为：. 26．已知集合，，． (1)求； (2)若是的必要条件，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为或， ， 所以， . （2）若是的必要条件，则， 当时，，即， 当时，，解得， 故的取值范围为. 27．解不等式 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）因为， 解得， 所以不等式的解集为. （2）因为， 解得， 所以不等式的解集为. （3）不等式转化为，且， 解得， 所以不等式的解集为. （4）不等式转化为， 解得， 所以不等式的解集为. 五、解含参二次不等式 28．设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】关于的不等式， 若，不等式为，解得，此时解集为； 若，方程，解得或， 时，不等式解得或，此时解集为； 时，，不等式解得，此时解集为； 时，，不等式解集为， 时，，不等式解得，此时解集为； 所以不等式的解集不可能是. 故选：B 29．不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D．R 【答案】D 【详解】根据题意，当时，原不等式为，解得； 当时，原不等式可化为， 当时，不等式对应的二次函数为，开口向上，对应方程根为和， 又因为当时，，所以不等式的解集为； 当时，不等式对应的二次函数为，开口向下，对应方程根为和， 当，即，不等式的解集为； 当，即，不等式的解集为； 当，即，不等式的解集为. 综上所述，不等式的解集不可能是. 故选：D. 30．关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【详解】关于的不等式可化为， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 因为不等式的解集中恰有两个整数， 所以，当时，不等式的整数解为和，所以的取值范围为； 当时，不等式的整数解为和，所以的取值范围为， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：A 31．（多选）若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（    ） A． B． C． D．1 【答案】BCD 【详解】不等式可化为，显然， 当时，原不等式的解集为，由于解集中恰有两个整数，则，解得， 当时，原不等式的解集为，由于解集中恰有两个整数，则，解得， 因此的取值范围是,,， 故选：BCD． 32．（1）已知一元二次不等式的解集为，求实数、的值及不等式的解集． （2）已知，解不等式：． 【答案】（1），；（2）答案见解析 【详解】（1）由的解集为，知的两根为，2， 所以，解得 所求不等式为， 变形为， 即， 所以不等式的解集为． （2）原不等式为． ①若时，即时，则原不等式的解集为； ②若时，即时，则原不等式的解集为； ③若时，即时，则原不等式的解集为． 综上可得，当时，原不等式的解集为； 当时，则原不等式的解集为； 当时，则原不等式的解集为． 33．（1）解不等式； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）或；（2）答案见解析 【详解】（1）不等式，可化为， 即，即，解得或， 所以不等式组的解集为或. （2）①当时，原不等式化为，解集为； ②当时，原不等式化为，解集为； ③当时，原不等式化为； 当时，，原不等式的解集为空集； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为. 34．已知关于 x 的不等式 ，其中 ． (1)若该不等式的解集为 ，求 a 的值； (2)解不等式不等式，其中 ． 【答案】(1) (2)答案见详解 【详解】（1）若不等式的解集为， 则方程的两根为1和2， 所以，解得. （2）不等式对应方程的两根为和1， 当，即时，解得， 当，即时，解得， 当，即时，解得， 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 六、三个“二次”的关系 35．若不等式的解集为，那么不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【详解】由题意得和1为方程的两个根且， 则，解得， 所以不等式，即，即， 故选:D. 36．（多选）若关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，由题意，结合二次函数的图象知，抛物线开口应向下，则，故A错误； 对于B，依题意，，且一元二次方程的两根为和3， 由韦达定理，，故，，即，故B正确； 对于C，由上分析可得，故C正确； 对于D，由上分析可得，故D正确. 故选：BCD. 37．（多选）已知关于的不等式解集为或，则下列结论正确的有（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【答案】AD 【详解】关于的不等式解集为或, 结合二次函数和一元二次方程以及不等式的关系， 可得，且是的两根，A正确； 则，故， 所以即，即的解集为，B错误； 由于的不等式解集为或, 故时，，即，C错误； 由以上分析可知不等式即， 因为，故或， 故不等式的解集为或，D正确， 故选：AD 38．（多选）已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（    ） A． B． C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，且，则 【答案】AD 【详解】由于集合有且仅有两个子集， 所以，即，由于，所以. ，当时等号成立， 故A正确，B错误. C，不等式的解集为，所以，故C错误. D，不等式的解集为， 即不等式的解集为，且， 则， 则，所以，故D正确. 故选：AD 七、不等式在实际问题中的应用 39．某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：）和汽车刹车前的车速（单位：）之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车刹车距离大于40，则这辆汽车刹车前的车速至少为（    ）（精确到1） A．76 B．77 C．78 D．80 【答案】B 【详解】设这辆汽车刹车前的车速为， 根据题意，有， 移项整理，得， 解得． 所以这辆汽车刹车前的速度至少为77． 故选：B 40．（多选）某商场若将进货单价为元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高元，销售量就要减少件．那么要保证每天所赚的利润在元以上，每件销售价可能为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】AB 【详解】设销售价定为每件x元，利润为y元， 则， 依题意有， 即， 解得， 所以每件销售价应为12元到16元之间，故每件销售价可能为13元或15元， 故选︰AB． 41．2022中国国际智能产业博览会于8月22~24日在重庆隆重举办，主题延续“智能化：为经济赋能，为生活添彩”，某企业遵循国家发展战略目标，进一步优化内部结构，深入拓展大数据智能化建设，据悉，该企业研发部原有80人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为（其中且）万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员x的取值范围是多少？ (2)若研发部新招聘1名员工，原来的研发部人员调整策略不变，且同时满足下列两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入.请分析是否存在满足上述条件的正实数m，若存在，则求出m的值；若不存在，则说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）依题意得，调整后研发人员人数为人，年人均投入为万元， 则有， 解得. 因为，且，所以. 所以优化调整后的技术人员人数的范围是. （2）由题意知，现在研发部共有81人. 假设存在正实数同时满足题设中的条件①②，那么， 由条件①，技术人员的年人均投入始终不减少，则有， 解得且， 因为且，所以当时，， 所以； 由条件②，研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入， 则有且， 即， 所以且. 由于， 当且仅当，即时等号成立， 即， 所以. 综上所述，显然不存在正实数同时满足题设条件（1）和（2）. 42．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化．如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（阴影部分）均种植宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为300平方米． (1)若矩形草坪的长比宽至少多5米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值． 【答案】(1)15米 (2)864平方米 【详解】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，由面积为300平方米，得， ∵矩形草坪的长比宽至少多5米，∴， ∴，解得， 又，∴， 草坪宽的最大值为15米． （2）记整个绿化面积为S平方米，由题意可得 ， 当且仅当时，等号成立， ∴整个绿化面积的最小值为864平方米． 43．辆货车从站匀速驶往相距千米的站，其时速都是千米/时，为安全起见，要求每两辆货车的间隔等于千米（为常数，，货车长度忽略不计）. (1)将第一辆货车由站出发到最后一辆货车到达站所需时间表示成的函数； (2)当取何值时，有最小值. 【答案】(1) (2)千米/时 【详解】（1）解：因为辆货车从站匀速驶往相距千米的站，其时速都是千米/时， 且每两辆货车的间隔等于千米， 第一辆货车由站出发到最后一辆货车到达站， 最后一辆车行驶的总路程为千米， 所以，. （2）解：因为，其中， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当千米/时，等号成立， 所以，当千米/时，取最小值. 44．2020年11月23日，贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列，这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫，这也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，全国脱贫攻坚目标任务已经完成.在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款10万元给该农户种养羊，每万元可创造利润0.15万元.若进行技术指导，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中. （1）若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围； （2）若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值. 【答案】（1）的取值范围为；（2）的最大值为． 【解析】（1）由题意得，解不等式可得结果； （2）由题意得恒成立，分离出参数得恒成立，只要利用基本不等式求出的最小值即可 【详解】解：（1）由题意，得， 整理得，解得，又，故． （2）由题意知网店销售的利润为万元， 技术指导后，养羊的利润为万元， 则恒成立， 又，∴恒成立， 又，当且仅当时等号成立， ∴，即的最大值为． 答：（1）的取值范围为；（2）的最大值为． 【点睛】关键点点睛：此题考查利用数学知识解决实际问题，考查不等式的解法，第2问解题的关键是由恒成立，转化为恒成立，然后利用基本不等式求的最小值即可，属于中档题 八、恒成立与有解问题 45．（多选）已知，，且，若不等式恒成立，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，，且，则， 当且仅当时，等号成立，故. 故选：AC. 46．命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为“”是假命题， 所以“”是真命题，则，解得， 故选：C． 47．当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，不等式恒成立， 当时，满足不等式恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 函数的图像抛物线对称轴为， 时，在上单调递减，在上单调递增， 则有，解得； 时，在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力. 48．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不等式对任意恒成立，则，成立， 而，当且仅当，即时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 故选：B 49．已知，，且，不等式恒成立，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设恒成立， 而，又仅当时等号成立， 所以，且等号成立条件同上，故. 故选：B 50．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，不等式为，显然不符合题意； 当时，因为关于的不等式的解集为， 所以有， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 51．已知关于的不等式的解集为或，当，且时，有恒成立，求的取值范围. 【答案】 【详解】因为关于的不等式的解集为或， 所以和1是方程的两根，则有，解得：， 所以， 则 （当且仅当，也即时取等号） 因为恒成立，也即，解得：， 所以实数的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$