专题04 勾股定理常考几何模型专项训练（8大题型）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题04 勾股定理常考几何模型专项训练（8大题型） 题型一 圆柱中的最短路径模型 题型二 长方体中的最短路径模型 题型三 将军饮马型最短路径问题 题型四 勾股定理中的翻折模型（三角形） 题型五 勾股定理中的翻折模型（长方形） 题型六 勾股定理中的线段的平方和模型 题型七 勾股定理中的最值问题 题型八 勾股定理常考模型综合 知识点1、圆柱中的最短路径模型 条件：如图，圆柱的底面圆的周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 知识点2、长方体中的最短路径模型 条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，； 则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。 知识点3、将军饮马与空间最短路径模型        条件：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处， 结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 知识点4、三角形折叠模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 知识点5、长方形折叠模型 矩形翻折之折痕过对角线模型 矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠DAC。 ∴∠B’AC=∠DAC，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 矩形翻折之折痕过一个顶点模型 沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 【经典例题一 圆柱中的最短路径模型】 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，动点从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点S的最短距离的平方为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口的点处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口的点处觅食，已知钢管横截面的周长为，长为，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（   ）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广西北海·期中）如图，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，若，点P移动的最短距离为，则圆柱的底面周长为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，圆柱的高厘米，底面周长厘米，在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为 ．    6．（24-25九年级上·广东江门·开学考试）2021年9月23日是第四个中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱状粮仓模型，如图所示，是底面直径，是圆柱的高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，且装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为 ． 7．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图，有一个圆柱，它的高等于，底面上圆的半径等于，在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是 ． 8．（23-24八年级上·甘肃酒泉·期中）如图，有一个圆柱形储油罐，要以A点为起点环绕油罐侧面建梯子，正好到达A点正上方的B点，则梯子最短需要（已知油罐底面周长是12米，高8米） ． 9．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）编织一个底面周长为、高为的圆柱形花柱架，需沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根，如图，则每一根这样的竹条的长度最少是多少厘米？ 10．（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图①，圆柱的底面直径为，高，蚂蚁在圆柱侧面爬行，探究蚂蚁从点爬到点的最短路径长多少厘米： (1)图②是将圆柱侧面沿裁剪后展开形成的四边形，点在线段上，求的长（取3）； (2)在侧面展开图形中画出蚂蚁爬行的最短路径，并求出最短路径的长度． 【经典例题二 长方体中的最短路径模型】 1．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·云南红河·期末）一只蚂蚁从棱长为a的正方体的一个顶点A出发，沿着表面趴到棱的中点E的最短路程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ） A．10 B． C． D．9 4．（23-24八年级上·山东济南·开学考试）如图，正方体的棱长为，是正方体的一个顶点，是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点爬到点的最短路径是（    ） A．9 B． C． D．12 5．（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ． 6．（23-24八年级下·云南昆明·阶段练习）如图是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物，则蚂蚁爬行的最短距离是 ． 7．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高．一只蚂蚱从点A爬到点C，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 m． 8．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·开学考试）如图，有一个棱长为的正方体盒子，蚂蚁在正方体下方一边的中点P处，发现上方顶点处有一滴蜂蜜，蚂蚁需要沿着正方体盒子的表面从点P爬行到顶点处吃到蜂蜜，它需要爬行的最短距离为 ． 9．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，长方体的长，宽，高，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点出发到点处．蚂蚁甲的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁乙的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁丙的行走路径为翻过棱后到达点处（即）． (1)甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是多少？ (2)若三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断：哪只蚂蚁最先到达？哪只蚂蚁最后到达？ 10．（23-24八年级下·河北沧州·期中）【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 【经典例题三 将军饮马型最短路径问题】 1．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，圆柱形纸杯高为，底面周长为，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短距离为（杯壁厚度不计）（    ） A．10 B． C． D． 2．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深，在水面上紧贴内壁的G处有一块面包屑，G在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为（    ）． A．100 B．110 C． D． 3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点B相对容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为，高为，在杯子内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（　　）    A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，圆柱形杯子容器高为，底面周长为，在杯子内壁离杯底 的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为 ． 6．（24-25八年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处所走的最短路程为 cm．（杯壁厚度不计） 7．（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计） 8．（23-24八年级下·河南·阶段练习）有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深，在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为 ． 9．（23-24八年级下·江西新余·期中）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，求蚂蚁吃到饭粒器爬行的最短路径的长 10．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图2，长方体的长为，宽为，高为．现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 【经典例题四 勾股定理中的翻折模型（三角形）】 1．（23-24八年级上·重庆·期中）如图，将直角边，的直角纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·云南德宏·期末）如图，在中，，，，把沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为（  ） A． B． C．3 D．5 3．（2023九年级下·重庆北碚·学业考试）如图，中，，点为边的中点，沿直线翻折至所在平面内得，与交于点．若，，则点到的距离是（    ） A． B． C． D． 4．（2023九年级下·重庆长寿·学业考试）如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（    ） A． B． C． D． 5．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则的值为 ． 6．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，有一张的纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，得到折痕，则的面积为 ． 7．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在处，交于点E，若，则的面积＝ ． 8．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，，，为的平分线，将沿向上翻折得到，使点在射线上，则的长为 ． 9．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上点D的位置． (1)若，求的度数． (2)若．则的面积为__________． 10．（23-24八年级上·四川成都·期中）（1）在中，，，过点作直线的垂线，垂足为． （i）如图1，若，求线段的长； （ii）若，求线段的长． （2）如图2，在中，，过点作直线的垂线，交线段于点．将沿直线翻折后得到对应的，连接，若，求线段的长． 【经典例题五 勾股定理中的翻折模型（长方形）】 1．（23-24八年级上·广东深圳·期末） 在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　） A． B． C．4 D． 2．（23-24八年级下·江西赣州·阶段练习）如图，折叠长方形的一边，点D落在边的点F处，已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，长方形中，，，将长方形折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D．5 4．（23-24八年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，把沿翻折，点恰好落在边上的处，则（   ） A．1 B． C． D． 5．（24-25九年级上·河南郑州·开学考试）如图，有一个长方形纸片，，点E为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，则线段的长为 ． 6．（23-24九年级上·内蒙古兴安盟·开学考试）如图，把长方形沿对折，使点落在的位置时，与交于，若，，则重叠部分的面积为 ．（答案用假分数表示） 7．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图所示，有一张长方形纸片，，．现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求 ． 8．（23-24八年级下·重庆万州·期末）如图，在矩形中，，点E为线段的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到，点G在线段上，则的长为 ． 9．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，纸片为长方形纸片，把纸片折叠，使点B恰好落在边上的E处，折痕为．已知，． (1)求的长． (2)求的长． 10．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于． (1)求证：长方形各内角均为； (2)若，，求的长． 【经典例题六 勾股定理中的线段的平方和模型】 1．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）如图， 在中，平分，平分的外角，且交于，若，则的值为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 2．（18-19八年级下·安徽铜陵·期末）在Rt△中，，，则（    ） A．9 B．18 C．20 D．24 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+AC2=    （      ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，，F为中点，D为上一点，连于点E，若，则的长是（    ） A． B． C．2 D． 5．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 6．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D是线段上一点，且满足条件：，．若，，，则 ． 7．（2021·江苏南通·二模）如图，在中，，，，垂足为，点，分别是线段，上的动点，且，则线段的最小值为 ． 8．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D，E是斜边BC上两点，∠DAE=45°，，则的面积为 . 9．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为_______； ②线段、之间的数量关系为_______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______． 10．（23-24八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 【经典例题七 勾股定理中的最值问题】 1．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，为线段上一动点，分别过、作，，连接、，已知，，，设．线段的长可表示为，当、、三点共线时，的值最小，根据上述方法，求代数式的最小值为（    ）    A．11 B．13 C． D． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，点D，E分别是，的中点，在上找一点P，使最小，则这个最小值是（    ） A．2 B． C． D． 3．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）如图，∠AOB=45°，∠AOB内有一定点P，且OP=8．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（   ） A．8 B． C．16 D． 4．（23-24八年级上·浙江金华·期中）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（23-24八年级上·浙江金华·期末）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题：      （1）几何应用：如图2，中，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ； （2）几何拓展：如图3，中，，若在上取一点，则的值最小值是 ． 6．（23-24八年级上·四川成都·期中）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是 ． 7．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）在中，点D，E分别为，上的动点．如图，，，，当时，则的值最小为 ． 8．（23-24八年级下·江苏南京·开学考试）为了探索代数式的最小值，小明巧妙地运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，则问题即转化成求的最小值． （1）我们知道当、、在同一直线上时，的值最小，于是可求得的最小值等于 ，此时 ； （2）请你根据上述的方法和结论，代数式的最小值等于 ． 9．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，、是公路同侧的两个村庄，村到公路的距离，村到公路的距离，且．用尺规作图（不写作法．保留作图痕迹）并计算：        (1)为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．在图1中作出点P的位置，并求得点P距点C的距离 km； (2)为了方便运输两村的垃圾，现计划在公路边建一个垃圾中转站M，要求该垃圾中转站到村庄A、B的距离之和最小．在图2中作出点M的位置，并求得距离之和的最小值为 km． 10．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，C为线段BD上一个动点，分别过点B，D作，，连接AC，EC. (1)当点C满足什么条件时，的值最小？ (2)根据（1）中的结论，请构图求出代数式的最小值. 【经典例题八 勾股定理常考模型综合】 1．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，点是的中点，点是边上的动点，连接，过点作交于点，连接，下列结论：①； ②；③；④的最小值是4；⑤四边形的面积是定值．其中正确的个数有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在等边中，点在线段上，，，则以线段，，的长为边组成的三角形面积为（    ） A． B． C． D．1 3．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·安徽宿州·二模）如图，是等边边上的高，在、上分别取一点E、F，使，连接、．若，设，则的最小值为（    ）    A． B． C．2 D．3 5．（2024·湖北武汉·模拟预测）四边形中，，，，，为的中点，若，则的长度为 ． 6．（23-24八年级上·四川眉山·阶段练习）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点的运动时间为．过点作于点．在点P的运动过程中，当t为 时，能使？ 7．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）如图，O是正内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①点O与的距离为4；②；③．其中正确的结论是 ． 8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，四边形，连接对角线、，，且，若，，，则的长为 ． 9．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）【问题呈现】（）如图，和均为等边三角形，点为边上一个动点，，点为边中点，连接，写出图中全等的三角形__________，线段的最小值__________． 【问题探索】（）如图，是等腰直角三角形，，，点是上一点，，交于．试探究、、的数量关系，并给予证明； 【灵活运用】（）如图，四边形中，对角线、相交于点，，，，，求四边形的面积． 10．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当绕点旋转至点，，在同一直线上，连接． ①的度数为______； ②线段，之间的数量关系是______； （2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点，，在同一直线上，若，，求的长度； （3）探究发现：图1中的和，在旋转过程中当点，，不在同一直线上时，设直线与距相交于点，请直接写出的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 勾股定理常考几何模型专项训练（8大题型） 题型一 圆柱中的最短路径模型 题型二 长方体中的最短路径模型 题型三 将军饮马型最短路径问题 题型四 勾股定理中的翻折模型（三角形） 题型五 勾股定理中的翻折模型（长方形） 题型六 勾股定理中的线段的平方和模型 题型七 勾股定理中的最值问题 题型八 勾股定理常考模型综合 知识点1、圆柱中的最短路径模型 条件：如图，圆柱的底面圆的周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 知识点2、长方体中的最短路径模型 条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，； 则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。 知识点3、将军饮马与空间最短路径模型        条件：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处， 结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 知识点4、三角形折叠模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 知识点5、长方形折叠模型 矩形翻折之折痕过对角线模型 矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠DAC。 ∴∠B’AC=∠DAC，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 矩形翻折之折痕过一个顶点模型 沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 【经典例题一 圆柱中的最短路径模型】 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，动点从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点S的最短距离的平方为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题．要求从A出发到S的最短距离，就要先把圆柱的侧面积展开，得到矩形，并构建，利用勾股定理求即可． 【详解】解：画圆柱展开图， 由题意得：， 在中，由勾股定理得：． 故选：A． 2．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口的点处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口的点处觅食，已知钢管横截面的周长为，长为，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，理解几何体侧面展开图等，根据题意先画出几何体的侧面展开图，利用勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，作点关于右侧管口的对称点，连接，    由题意得：，，， ∴， ∵钢管横截面的周长为， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴小蜘蛛需要爬行的最短距离是． 故选：． 3．（23-24八年级下·广西北海·期中）如图，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，若，点P移动的最短距离为，则圆柱的底面周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，先根据题意画出圆柱的侧面展开图，然后连接，再利用勾股定理即可得出的长即可得到结论．利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 在圆柱的侧面展开图中，，，设， ∵点移动的最短距离为， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴圆柱的底面周长为：． 故选：C． 4．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，圆柱的高厘米，底面周长厘米，在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对勾股定理，平面展开-最短路径问题等知识点的理解和掌握，根据蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，求出，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：可把圆柱侧面展开如图所示，    由题意可得：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长， ，， 由勾股定理得：， 故选：C． 5．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为 ．    【答案】/13厘米 【分析】本题考查勾股定理的应用—最短路径问题，将圆柱体展开，利用勾股定理求出最短路径的长即可． 【详解】解：把圆柱沿母线展开，点B展开后的对应点为，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，如图所示：    由题意，得：， 在中，由勾股定理，得：； 故答案为：． 6．（24-25九年级上·广东江门·开学考试）2021年9月23日是第四个中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱状粮仓模型，如图所示，是底面直径，是圆柱的高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，且装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为 ． 【答案】30 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．此题主要考查了勾股定理，平面展开最短路线问题，以及学生的立体思维能力．解题时注意：圆柱的侧面展开图是长方形． 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，，且点为的中点， ，， 装饰带的长度， 故答案为：30． 7．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图，有一个圆柱，它的高等于，底面上圆的半径等于，在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是 ． 【答案】/厘米 【分析】本题考查蚂蚁在圆柱上爬行的最短路径问题，涉及勾股定理，根据题意，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可得到答案，熟练掌握蚂蚁在圆柱上爬行的最短路径问题的解法是解决问题的关键． 【详解】解：沿着圆柱上经过点和点的母线剪开，展开后，如图所示： 由题意可知，，， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是线段的长度， 在中，， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·甘肃酒泉·期中）如图，有一个圆柱形储油罐，要以A点为起点环绕油罐侧面建梯子，正好到达A点正上方的B点，则梯子最短需要（已知油罐底面周长是12米，高8米） ． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开图，勾股定理； 将圆柱侧面展开，得到长方形，然后利用勾股定理计算即可． 【详解】解：把圆柱形储油罐的侧面展开，如图： ∵油罐底面周长是12米，高8米， ∴，， ∴， 即梯子最短需要， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）编织一个底面周长为、高为的圆柱形花柱架，需沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根，如图，则每一根这样的竹条的长度最少是多少厘米？ 【答案】每一根这样的竹条的长度最少是 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，将立体图形转化在平面图形中求解是解题的关键．将圆柱侧面展开，再根据勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：将圆柱侧面展开，如图所示， 圆柱底面周长为，高为， ， 即每一根这样的竹条的长度最少是． 10．（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图①，圆柱的底面直径为，高，蚂蚁在圆柱侧面爬行，探究蚂蚁从点爬到点的最短路径长多少厘米： (1)图②是将圆柱侧面沿裁剪后展开形成的四边形，点在线段上，求的长（取3）； (2)在侧面展开图形中画出蚂蚁爬行的最短路径，并求出最短路径的长度． 【答案】(1)； (2)，图见解析 【分析】本题考查蚂蚁在圆柱侧面爬行最短路径问题，涉及圆柱侧面展开图、圆周长公式、两点之间线段最短及勾股定理求线段长，根据问题，作出图形求解是解决问题的关键． （1）根据的长为圆柱底面圆的周长，利用圆周长公式代值求解即可得到答案； （2）由两点之间线段最短即可得到最短路径为线段，作出图形，再利用勾股定理求解即可得到最短路径的长度． 【详解】（1）解：由圆柱的侧面展开图可知，的长为圆柱底面圆的周长， 圆柱的底面直径为， ； （2）解：如图所示： 由两点之间线段最短即可得到最短路径为线段， 由（1）知，高， ， 在中，由勾股定理可得． 【经典例题二 长方体中的最短路径模型】 1．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题的是平面展开−最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图所示： ∵长方体的底面边长分别为和，高为． ∴，， ∴． ∴蚂蚁爬行的最短路径长为； 故选：B． 2．（23-24九年级上·云南红河·期末）一只蚂蚁从棱长为a的正方体的一个顶点A出发，沿着表面趴到棱的中点E的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理，平面展开图---最短路径问题，做此类题目先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间线段最短，在平面图形上构造直角三角形解决问题．先展开，再根据“两点之间线段最短”求解即可． 【详解】解：如图， 如图， 由题意得：． 如图， 由题意得：． 综上可知，沿着表面趴到棱的中点E的最短路程为， 故选：D． 3．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ） A．10 B． C． D．9 【答案】A 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图1， ，，， ，， ； 如图2， ，，， ，， ， ， 它需要爬行的最短路程为10． 故选：A． 4．（23-24八年级上·山东济南·开学考试）如图，正方体的棱长为，是正方体的一个顶点，是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点爬到点的最短路径是（    ） A．9 B． C． D．12 【答案】C 【分析】本题考查了最短路径问题，勾股定理，解题的关键是将平面展开，组成一个直角三角形．将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可． 【详解】解：如图，正方体的左侧面与前面展开，得到长方形，过B作于C点； 由于正方体棱长为，则，， 由勾股定理得：； 故选：C． 5．（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查两点之间线段最短，勾股定理，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； ， 蚂蚁爬行的最短距离是25， 故答案为：25． 6．（23-24八年级下·云南昆明·阶段练习）如图是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物，则蚂蚁爬行的最短距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及最短路径，先把各种情况展开，因为是一个边长为1的正方体硬纸盒，故展开后的平面都是一样的，再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图： ∵一个边长为1的正方体硬纸盒， ∴不管把看到的前面和上面组成一个平面或者左面与上面组成一个平面还是前面和右面组成一个平面，都跟上图一模一样， 即， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高．一只蚂蚱从点A爬到点C，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 m． 【答案】15 【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题、勾股定理等知识点，根据题意画出平面展开图是解答题的关键． 如图：连接，利用勾股定理求出的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可． 【详解】解：如图所示： 将图展开，图形长度增加， 原图长度增加2米，则， 如图：连接， ∵四边形是长方形，，宽， ∴， ∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走的路程． 故答案为15． 8．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·开学考试）如图，有一个棱长为的正方体盒子，蚂蚁在正方体下方一边的中点P处，发现上方顶点处有一滴蜂蜜，蚂蚁需要沿着正方体盒子的表面从点P爬行到顶点处吃到蜂蜜，它需要爬行的最短距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，化空间问题为平面问题是解决空间几何体问题的主要思想．先将图形展开，再根据两点之间线段最短即可得到结论． 【详解】解：可以把和所在的两个平面展开到一个平面内， 如图1， 根据勾股定理得：； 如图2， 根据勾股定理得：． ． 故沿着正方体的外表面爬到其一顶点处的最短路径是． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，长方体的长，宽，高，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点出发到点处．蚂蚁甲的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁乙的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁丙的行走路径为翻过棱后到达点处（即）． (1)甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是多少？ (2)若三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断：哪只蚂蚁最先到达？哪只蚂蚁最后到达？ 【答案】(1)，， (2)蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达 【分析】本题主要考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键． （1）将长方体展开，根据勾股定理解答即可得到结论； （2）根据（1）中的结论，比较三只蚂蚁的行走路径，，的大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：将长方体表面展开， 如图，连接， 在中，， ， 如图，连接， 在中，， ， 如图，连接， 在中，， ， 甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是，，； （2）解：，即， ， 又三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点出发， 行走路程最小的最先到达，行走路程最大的最后到达， 即：蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达． 10．（23-24八年级下·河北沧州·期中）【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 【答案】（1）34cm；（2）秒． 【分析】题目主要考查圆柱及棱柱的展开图，勾股定理解三角形，最短距离等问题，理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键． （1）根据题意将圆柱展开，然后利用勾股定理求解即可； （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒．在中，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：（1）如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段就是蜘蛛走的最短路线． 由题意可得在中， ，，， ∴， ∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm． （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒． 如图2，在中， ∵长方体的棱长，， ∴，，，， ∴， 解得． 答：昆虫乙至少需要秒才能捕捉到昆虫甲． 【经典例题三 将军饮马型最短路径问题】 1．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，圆柱形纸杯高为，底面周长为，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短距离为（杯壁厚度不计）（    ） A．10 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】如图，作关于的对称点，连接，则即为最短距离， ， ， ∴蚂蚁从外壁处爬行到内壁处的最短距离， 故选：A． 2．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深，在水面上紧贴内壁的G处有一块面包屑，G在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为（    ）． A．100 B．110 C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，作点A关于的对称点，连接交与点Q，则小虫沿着的路线爬行时路程最短． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接交与点Q，则，此时小虫沿着的路线爬行时路程最短， ∵，高，水深，， ∴，， ∴， 在直角中，， 即最短路线长为． 故选：D 【点睛】本题主要考查了勾股定理—最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解． 3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点B相对容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将容器侧面展开，作关于的对称点，连接，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作关于的对称点，    过作交的延长线于， 则四边形是矩形， ，， 连接，则即为最短距离， 高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， ，， 在中，． 故选：B． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 4．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为，高为，在杯子内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将容器侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图：是侧面展开图的一半， 高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与一滴蜂蜜相对的点A处， ，， 将容器侧面展开，作A关于的对称点， 连接，则即为最短距离， ． 故选：A．    【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，圆柱形杯子容器高为，底面周长为，在杯子内壁离杯底 的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，轴对称最短路径问题，作点A关于直线的对称点，作交延长线于E，连接交于F，则的长即为所求，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解；如图所示，将圆柱展开， 作点A关于直线的对称点，作交延长线于E，连接交于F， 由题意得，，， ∴由勾股定理得， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处所走的最短路程为 cm．（杯壁厚度不计） 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开—最短路径问题、轴对称的性质、勾股定理等知识点．将杯子半侧面展开，作A关于的对称点，再根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图：将杯子半侧面展开，作A关于的对称点，连接，当点、F、B在同一条直线上，则为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即的长度，    由题意可得：，，， ∴， ∵． ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为． 故答案为：． 7．（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计） 【答案】26 【分析】 本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 故答案为：26． 8．（23-24八年级下·河南·阶段练习）有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深，在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为 ． 【答案】 【分析】本题考查平面展开−最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，此时最短；为直角的斜边，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，小虫沿着的路线爬行时路程最短． 在直角中，， ∴ ∴最短路线长为cm. 故答案为：． 9．（23-24八年级下·江西新余·期中）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，求蚂蚁吃到饭粒器爬行的最短路径的长 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、平面展开－最短路径问题，勾股定理的应用等，正确利用侧面展开图、熟练运用相关知识是解题的关键．将容器侧面展开，作点关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， 将容器侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离， ， ， 即蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径的长是． 10．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图2，长方体的长为，宽为，高为．现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】（1）  （2）  （3） 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可． （2）将长方体展开，利用勾股定理解答即可； （3）将容器侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：（1）由题意得：如图，该长方体中能放入木棒的最大长度是： ； （2）①如图，， ②如图，， ③如图，， ， ∴最短路程为； （3）∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， 将容器沿侧面展开，作关于的对称点， ， 连接，则即为最短距离， ∴ 【点睛】 【经典例题四 勾股定理中的翻折模型（三角形）】 1．（23-24八年级上·重庆·期中）如图，将直角边，的直角纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，比较简单．设，先根据翻折变换的性质可得到，则，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设，则， 是沿直线翻折而成， ， 是直角三角形， ， 即， 解得． 故选：B 2．（23-24八年级下·云南德宏·期末）如图，在中，，，，把沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为（  ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理得出，然后求出，设，则，根据勾股定理得出，解方程即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 根据折叠可知：，， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 故选：B． 3．（2023九年级下·重庆北碚·学业考试）如图，中，，点为边的中点，沿直线翻折至所在平面内得，与交于点．若，，则点到的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质，先由勾股定理得到，再由直角三角形的性质得到；由折叠的性质得到，设，则，利用勾股定理建立方程得到，解方程求出，则，即可得到，求出，再证明，则点到的距离是． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵点为边的中点， ∴， 由折叠的性质可得 设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点到的距离是， 故选：B． 4．（2023九年级下·重庆长寿·学业考试）如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等，根据折叠，可知，，进一步可知，设，在中，根据勾股定理列方程，求解即可 【详解】解：根据折叠，可知 ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵ ∴ ∴ 在中，根据勾股定理，得 解得， 所以，的长为， 故选：C 5．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，由折叠的性质可得，，可得，，根据勾股定理可求的值． 【详解】将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处， ，， ， ，     ，， 在中，， 在中，， ， 故答案为：16． 6．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，有一张的纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，得到折痕，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质等知识点，明确翻折前后对应边相等是解题关键． 求解即可．设，由翻折易得，利用直角三角形，利用勾股定理列方程可求得长，即可求得，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得， 设，则， ∵， ∴在中， 根据勾股定理得：， ∵， ∴，解得，即：， ∴， ∴的面积为． 故答案为6． 7．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在处，交于点E，若，则的面积＝ ． 【答案】78 【分析】本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解题的关键． 设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得x的值，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：长方形中， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则， 则． 故答案为：78． 8．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，，，为的平分线，将沿向上翻折得到，使点在射线上，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，根据勾股定理求出，过点作于点，根据角平分线的性质可得，然后证明，得，再利用勾股定理求出，进而可以解决问题． 【详解】解：在中，， ，， ， 如图，过点作于点， 为的平分线，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上点D的位置． (1)若，求的度数． (2)若．则的面积为__________． 【答案】(1) (2)60 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题： （1）根据折叠的性质，得到，等边对等角，得到，再利用三角形的内角和定理，进行计算即可； （2）勾股定理求出的长，折叠求出的长，设，在中，利用勾股定理求出的值，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵沿折叠，使点B落在边上点D的位置， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）∵沿折叠，使点B落在边上点D的位置，， ∴， ∵， ∴． ∴， 设，则， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴ 故答案为：60． 10．（23-24八年级上·四川成都·期中）（1）在中，，，过点作直线的垂线，垂足为． （i）如图1，若，求线段的长； （ii）若，求线段的长． （2）如图2，在中，，过点作直线的垂线，交线段于点．将沿直线翻折后得到对应的，连接，若，求线段的长． 【答案】（1）（i）12；（ii）14或4；（2）． 【分析】此题考查了勾股定理、折叠问题等知识． （1）（i）设，则，利用勾股定理得到，则，求出，则； （i）分为锐角和钝角两种情况进行解答即可； （2）连接交于点，则，过点作于，在中，，在中，，根据折叠得到，设，则，由勾股定理得到，求出，进一步由勾股定理进行解答即可． 【详解】解：（1）（i）设，则， ， ， 在中，， 在中，， ， ，， ， ， ， ； （i）在中，， 在中，， 当为锐角时，如图，， 当为钝角时，如图，； （2）如图2，连接交于点，则，过点作于， 在中， 在中， 垂直平分， ∴ ， ， ， 设，则 ， ， ， 【经典例题五 勾股定理中的翻折模型（长方形）】 1．（23-24八年级上·广东深圳·期末） 在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠的性质，角平分线的性质，过点作，可得，设，勾股定理求出的长，表示出的长，等积法列出方程求出的值即可． 【详解】解：过点作， ∵长方形， ∴， ∵平分， ∴， 由翻折可得， 由勾股定理，得：， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 故选：B． 2．（23-24八年级下·江西赣州·阶段练习）如图，折叠长方形的一边，点D落在边的点F处，已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了长方形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键．四边形是长方形，则，，，由折叠的性质可知，,，由勾股定理得到，则， 在中，由勾股定理得到，解方程即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵折叠长方形的一边，点D落在边的点F处， ∴，,， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得到， 即， 解得 故选：A． 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，长方形中，，，将长方形折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】设，则，根据长方形，，得到，根据勾股定理，得，解得，解答即可． 本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∵长方形，，点与的中点重合， ∴，， 根据折叠的性质，得 ∴， 解得， 故选B． 4．（23-24八年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，把沿翻折，点恰好落在边上的处，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得，，，由折叠的性质可得：，，由勾股定理得出，从而得出，设，则，，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得，，， 由折叠的性质可得：，， ， ， 设，则，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， 故选：D． 5．（24-25九年级上·河南郑州·开学考试）如图，有一个长方形纸片，，点E为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理． 根据折叠的性质可得，然后在中，由勾股定理求出的长，则可得出的长，再在利用勾股定理进行计算即可求的长． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， 根据折叠的性质，得， 在中，由勾股定理，得， ∴， 在中， ， ∴， 解得． 故答案是： 6．（23-24九年级上·内蒙古兴安盟·开学考试）如图，把长方形沿对折，使点落在的位置时，与交于，若，，则重叠部分的面积为 ．（答案用假分数表示） 【答案】 【分析】本题主要考查长方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟知勾股定理之图形折叠模型是解题关键． 由折叠可知，，，，利用平行线的性质可得，进而可得，则，设，则，在中，利用勾股定理建立方程，解得，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：四边形为长方形，，， ，，，由折叠可知，，，，， ， ， ，即， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ． 故答案为：． 7．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图所示，有一张长方形纸片，，．现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题； 先利用勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，，，求出，然后在中，利用勾股定理构建方程，即可求出． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠得：，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：3． 8．（23-24八年级下·重庆万州·期末）如图，在矩形中，，点E为线段的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到，点G在线段上，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，翻折定义．根据题意可得，，得出，因为，所以，连接，设，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，，， 连接，设， 可得方程：， 代入数值可得：， 解得， ∴， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，纸片为长方形纸片，把纸片折叠，使点B恰好落在边上的E处，折痕为．已知，． (1)求的长． (2)求的长． 【答案】(1)6 (2)5 【分析】本题考查折叠性质、勾股定理，熟练掌握折叠性质是解答的关键． （1）根据长方形的性质和折叠性质得到，，在中，利用勾股定理求解即可； （2）设，则在中，，，，由勾股定理列方程求解x值即可． 【详解】（1）解：由题意，，，， 由折叠性质得，， 在中，， ∴； （2）解：设， 在中，，，， 由勾股定理得，则， 解得， 故． 10．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于． (1)求证：长方形各内角均为； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了折叠问题，全等三角形的性质与判定，勾股定理； （1）由折叠的性质知，，，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）勾股定理求得，由（）知，根据得出，即可求解． 【详解】（1）证明：由折叠的性质知，，． 四边形是长方形， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形是长方形， ，， ， 由（）知， ， ， ， ∴． 【经典例题六 勾股定理中的线段的平方和模型】 1．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）如图， 在中，平分，平分的外角，且交于，若，则的值为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE2+CF2=EF2． 【详解】∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，即∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°， 又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF， ∴CM=EM=MF=4，EF=8， 由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=64． 故选：D． 【点睛】此题考查角平分线的定义，直角三角形的判定，勾股定理的运用，解题关键在于掌握各性质定义. 2．（18-19八年级下·安徽铜陵·期末）在Rt△中，，，则（    ） A．9 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【分析】根据勾股定理即可得到结论. 【详解】∵Rt△中，，， ∴2=18 故选B. 【点睛】此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理的内容. 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+AC2=    （      ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理根据斜边AB的长，可得出AB的平方及两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，即可求出值． 【详解】解：∵△ABC为直角三角形，斜边AB＝2， ∴AC2＋BC2＝AB2＝4， 则AB2＋BC2＋AC2＝AB2＋（BC2＋AC2）＝4＋4＝8． 故选D． 【点睛】此题考查了勾股定理的运用，勾股定理为：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 4．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，，F为中点，D为上一点，连于点E，若，则的长是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解得，由，可证明，结合题意证明，从而得到，再利用勾股定理解答即可． 【详解】解：在中，，F为中点， ，DE=1 故选：C． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上中线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理平行线的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 5．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 【答案】73 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴. 故答案为：73． 6．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D是线段上一点，且满足条件：，．若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，证明，进而求出DC，再用勾股定理即可得结论． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（2021·江苏南通·二模）如图，在中，，，，垂足为，点，分别是线段，上的动点，且，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】先证△AGF≌△CBE，得到GF＝BE，再证BE+CF的最小值就是线段BG的长，然后由勾股定理求得BG的长，即可解决问题． 【详解】解：过A作AG⊥AB且使得AG＝BC＝6，连接CF、FG、BG， ∵AB＝AC，, ∴点D为BC的中点，∠BAD＝∠CAD， ∴∠BAD+∠ABD＝90°， ∵BA⊥AG， ∴∠BAG＝90°， ∴∠BAD+∠GAF＝90°， ∴∠GAF＝∠ABD， 又∵AF＝BE，AG＝CB， ∴△AGF≌△CBE（SAS）， ∴GF＝CE， ∵FB＝FC， ∴BF+CE＝BF+GF， ∵当点B、F、G三点共线时，GF+BF最小， ∴GF+BF的最小值时线段BG的长， ∵∠BAG＝90°，AB＝5，AG＝BC=6， ∴BG＝ 即BF+CE的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是构造全等三角形将线段和转化为折线段长，利用数形结合的思想解答． 8．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D，E是斜边BC上两点，∠DAE=45°，，则的面积为 . 【答案】 【分析】把△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，连接EF，根据旋转的性质可得CF=BD，AF=AD，∠CAF=∠BAD，∠ACF=∠B=45°，然后求出∠EAF=45°，从而得到∠EAF=∠DAE，再利用“边角边”证明△AEF和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=DE，再求出△CEF是直角三角形，利用勾股定理列式求出EF，然后求出BC，再根据等腰直角三角形的性质求出点A到BC的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，把△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，连接EF， ∵∠BAC=90°，AC=AB， ∴∠ACB=∠B=45°， 由旋转的性质得，CF=BD，AF=AD，∠CAF=∠BAD，∠ACF=∠B=45°， ∵∠DAE=45°， ∴∠EAF=∠CAF+∠CAE=∠BAD+∠CAE=90°-∠DAE=45°， ∴∠EAF=∠DAE， 在△AEF和△AED中， ， ∴△AEF≌△AED（SAS）， ∴EF=DE， ∵∠ECF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°， ∴△CEF是直角三角形， ∴EF= =5， ∴BC=CE+DE+BD=4+5+3=12， ∵∠BAC=90°，AC=AB， ∴点A到BC的距离为×12=6， ∴△ABC的面积=×12×6=36． 故答案为：36. 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 9．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为_______； ②线段、之间的数量关系为_______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______． 【答案】（1）①；②；（2），，见解析；（3）2 【分析】（1）①根据等边三角形的性质得到，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； ②由，根据全等三角形的性质证明结论； （2）由“”可证，可得，即可求解； （3）如图3，作辅助线构建全等三角形，由“”可证，可得，，可求，根据列方程可得x的值，最后由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴； 故答案为：①；②； （2）， 理由如下：∵，和均为等腰直角三角形， ∴，，， ， 即， 在和中， ， ∴（）， ∴，； ； （3）如图3，过点C作，交的延长线于F，过点B作于E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴， 设，则，，， ∴ ∴， ∴，，， ∴在中，． 故答案为：2． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 10．（23-24八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和勾股定理，中垂线的性质； （1）延长至使，连接，证明，从而得，，由得为中垂线，故，在中根据勾股定理即可的结论； （2）结合（1）中的结论可得，，在中利用勾股定理即可解决． 【详解】（1）证明：作，交延长线于，连接 ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， （2）解：设， ，，， 则， ， ， ， 即：， 由（1）知：，，， ，， ， ， 即：， 解得：， 即：． 【经典例题七 勾股定理中的最值问题】 1．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，为线段上一动点，分别过、作，，连接、，已知，，，设．线段的长可表示为，当、、三点共线时，的值最小，根据上述方法，求代数式的最小值为（    ）    A．11 B．13 C． D． 【答案】B 【分析】依题意，，令，则转化为求，进而根据题意构造直角三角形，勾股定理，即可求解． 【详解】解：，令， 原式 如图，为线段上一动点，分别过、作，，连接、，    已知，，，设，线段的长可表示为 当、、三点共线时，的值最小； 过点作交的延长线于点，得矩形， ，， ， 所以， 即的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，本题利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，点D，E分别是，的中点，在上找一点P，使最小，则这个最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 如图，取中点，连接，由题意知，，证明，则，，可知当三点共线时，最小，最小为，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，取中点，连接，   ∵，，点D是的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，最小为， 由勾股定理得，， 故选：C． 3．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）如图，∠AOB=45°，∠AOB内有一定点P，且OP=8．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（   ） A．8 B． C．16 D． 【答案】B 【分析】如图，作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2，连接P1P2与OA、OB分别相交于点Q、R，根据轴对称的性质可得PQ＝P1Q，PR＝P2R，从而得到△PQR的周长＝P1P2并且此时有最小值，连接P1O、P2O，根据轴对称的性质和已知条件可得△P1OP2为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2，连接P1P2与OA、OB分别相交于点Q、R，则PQ＝P1Q，PR＝P2R， 所以△PQR的周长＝PQ+QR+PR＝P1Q+QR+P2R＝P1P2， 由两点之间线段最短可得：此时△PQR周长最小， 连接P1O、P2O，则∠AOP＝∠AOP1，OP1＝OP，∠BOP＝∠BOP2，OP2＝OP， 所以OP1＝OP2＝OP＝8，∠P1OP2＝2∠AOB＝2×45°＝90°， 所以△P1OP2为等腰直角三角形， 所以P1P2＝OP1＝8， 即△PQR最小周长是8． 故选：B． 【点睛】本题考查了由轴对称确定最短路线问题、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，难点在于作辅助线得到与△PQR周长相等的线段． 4．（23-24八年级上·浙江金华·期中）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据题意可得，可看作两直角边分别为和1的的斜边长，可看作两直角边分别是和2的的斜边长，然后根据两点之间线段最短得到当与共线时，为最小，即的长，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】如图所示， 可看作两直角边分别为和1的的斜边长， 可看作两直角边分别是和2的的斜边长． ∴求的最小值即求的最小值， 当与共线时，为最小，即的长． 连接， ∵，， ∴， ∴代数式的最小值是5． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，动点问题，解题的关键是理解题中所给的思路，根据题干中的思路进行解答． 5．（23-24八年级上·浙江金华·期末）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题：      （1）几何应用：如图2，中，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ； （2）几何拓展：如图3，中，，若在上取一点，则的值最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题，熟知相关性质定理是正确解决本题的关键. （1）作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为，作交的延长线于F，根据勾股定理求的长即可求解； （2）作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接，证明为等边三角形，进而即可求解． 【详解】解：（1）作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为，作交的延长线于F，如图，    因为点E是的中点，由对称性可得 ∴ 的最小值的值为： 故答案为：． （2）作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接，如图，    ∴ ∴ ∴为等边三角形， ，， 垂直平分， 同理， ， ， ，即， ，， ∴， ∴的最小值为 故答案为：． 6．（23-24八年级上·四川成都·期中）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活应用勾股定理是解题的关键．仿照例题，可以可看作两直角边分别是x和1的的斜边长，，可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长，问题转化为求的最小值，利用两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：依题意如图，可以可看作两直角边分别是x和1的的斜边长，，可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长， 故问题转化为求的最小值，连接，则的最小值为的长， ∴，，，，， ∴， ∴， 代数式的最小值是5． 故答案为：5． 7．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）在中，点D，E分别为，上的动点．如图，，，，当时，则的值最小为 ． 【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，含角直角三角形的性质，勾股定理，过点B作，且，连接，，先利用证明，得到，进而得到有最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】 解：过点B作，且，连接，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点A，点D，点F三点共线时，有最小值，即有最小值为的长， ∵，，， ∴，， 在中， 由勾股定理，得． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·江苏南京·开学考试）为了探索代数式的最小值，小明巧妙地运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，则问题即转化成求的最小值． （1）我们知道当、、在同一直线上时，的值最小，于是可求得的最小值等于 ，此时 ； （2）请你根据上述的方法和结论，代数式的最小值等于 ． 【答案】 10 13 【分析】（1）根据两点之间线段最短可知的最小值就是线段的长度．过点E作，交的延长线于F点．在中运用勾股定理计算求解． （2）由（1）的结果可作，过点A作，交的延长线于F点，使，，连接交于点C，然后构造矩形，，利用矩形的直角三角形的性质可求得的值就是代数式的最小值． 【详解】解：（1）过点作，交的延长线于点， 根据题意，四边形为矩形． ，． ． 即的最小值是10． ， ， ， ， 解得：． （2）过点作，交的延长线于点， 根据题意，四边形为矩形． ，． ． 即的最小值是13． 故答案为10，，13． 【点睛】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键． 9．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，、是公路同侧的两个村庄，村到公路的距离，村到公路的距离，且．用尺规作图（不写作法．保留作图痕迹）并计算：        (1)为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．在图1中作出点P的位置，并求得点P距点C的距离 km； (2)为了方便运输两村的垃圾，现计划在公路边建一个垃圾中转站M，要求该垃圾中转站到村庄A、B的距离之和最小．在图2中作出点M的位置，并求得距离之和的最小值为 km． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析；5 【分析】本题考查作图应用与设计作图，设计勾股定理及应用，一元一次方程的应用等． （1）连接，作的垂直平分线交于，点即为所求；设，可得，即可解得的长； （2）作关于直线的对称点，连接交直线于，此时，因，，共线，故最小，点即为所求；过作交延长线于，求出，，得，用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：连接，作的垂直平分线交于，如图： 点即为所求； 设，则， ， ， ， 解得， ， 故答案为：； （2）解：作关于直线的对称点，连接交直线于，此时，因，，共线，故最小，如图： 点即为所求； 过作交延长线于，则四边形是矩形， ，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：5． 10．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，C为线段BD上一个动点，分别过点B，D作，，连接AC，EC. (1)当点C满足什么条件时，的值最小？ (2)根据（1）中的结论，请构图求出代数式的最小值. 【答案】(1)当点C在线段BD与线段AE的交点处时，的值最小. (2)13 【详解】解：（1）当点C在线段BD与线段AE的交点处时，的值最小. （2）如图，，，AE与BD相交于点C. 设，，，， 过点E作BD的平行线交AB的延长线于点F， 由（1）可知，代数式的最小值就是线段AE的长. ∵，，，， ∴在中，， ， ∴代数式的最小值是13. 【经典例题八 勾股定理常考模型综合】 1．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，点是的中点，点是边上的动点，连接，过点作交于点，连接，下列结论：①； ②；③；④的最小值是4；⑤四边形的面积是定值．其中正确的个数有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先证明出，再根据全等三角形的性质，圆内接四边形的判定和性质推出其他选项，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴为等腰直角三角形， 点是的中点， ，平分，且， ， 又， ， ， 故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 故②正确； ， ， ， ∴，， 故③错误； 当时，的最小，如图所示：   是等腰直角三角形，， 是等腰直角三角形， ， ， 故④正确； ，， ， ， ，， ， ， 四边形的面积是16，为定值， 故⑤正确， 即正确的有4个， 故选：C． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，外角的性质，三角形的面积，证明是解题的关键． 2．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在等边中，点在线段上，，，则以线段，，的长为边组成的三角形面积为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点C作于点D，结合等边三角形的性质和勾股定理可求出的长．画出以线段，，的长为边组成的三角形为，且令，，，过点作于点H，设，则．根据勾股定理可求出，从而可求出，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∵，， ∴． ∵为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴． 如图，令，，，过点作于点H， 设，则． ∵，， ∴，即， 解得：， ∴， ∴． 故选A． 3．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作的延长线于点，则， ∵，， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 故选：．    4．（2024·安徽宿州·二模）如图，是等边边上的高，在、上分别取一点E、F，使，连接、．若，设，则的最小值为（    ）    A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】过点C作，且在上取点，使得，连接，根据等边三角形的性质可证得，得到，则．连接，则，当点B，F，共线时，m的值最小．根据等边三角形的性质与勾股定理即可解答． 【详解】解：如图1，过点C作，且在上取点，使得，连接．   是等边三角形，，， ，， ， ，， ， ， ∴． 连接，则， 共线时，m的值最小，为，如图2，． ∵在等边三角形中，，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴在中，， 即m的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的三边关系，勾股定理，正确作出辅助线，将线段进行转化是解题的关键． 5．（2024·湖北武汉·模拟预测）四边形中，，，，，为的中点，若，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，延长至点，使，证明，根据性质得，，过点作交的延长线于点，证明为等腰直角三角形，最后由勾股定理，垂直平分线的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，延长至点，使， ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 过点作交的延长线于点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（23-24八年级上·四川眉山·阶段练习）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点的运动时间为．过点作于点．在点P的运动过程中，当t为 时，能使？ 【答案】5或11 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解． 【详解】解：①点在线段上时，过点作于，如图2所示： 则， ， 平分， ， 又， ∴， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点在线段的延长线上时，过点作于，如图3所示： 同①得：， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：； 综上所述，在点的运动过程中，当的值为5或11时，能使． 故答案为：5或11． 7．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）如图，O是正内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①点O与的距离为4；②；③．其中正确的结论是 ． 【答案】①②③ 【分析】利用旋转的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理逐一计算判断即可． 【详解】解：连结，如图， ①∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，所以①正确； ②∵为等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 又∵为等边三角形， ∴， ∴， 所以②正确； ③∵， ∴， ∴ ， 所以③正确． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握性质，并根据题意选择适当的知识求解是解题的关键． 8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，四边形，连接对角线、，，且，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点D作交的延长线于点F，过点B作于H，根据条件证明，根据，设，即可求解． 【详解】如图，过点D作交的延长线于点F，过点B作于H， ∵ ∵，， ∵， 设，则 ∴， 解得：（负值舍去） 故答案为：． 【点睛】本题是一道综合性较强的几何综合题，有一定的难度；主要考查了全等三角形判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，正确添加辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 9．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）【问题呈现】（）如图，和均为等边三角形，点为边上一个动点，，点为边中点，连接，写出图中全等的三角形__________，线段的最小值__________． 【问题探索】（）如图，是等腰直角三角形，，，点是上一点，，交于．试探究、、的数量关系，并给予证明； 【灵活运用】（）如图，四边形中，对角线、相交于点，，，，，求四边形的面积． 【答案】（），；（），证明见解析；（）． 【分析】（）连接，证明，得到，即得，可得点在射线上运动，故当时，有最小值，此时，据此求解即可； （）如图，过点作交延长线与，连接，可得是等腰直角三角形，即得，进而可得，，得到，，即得，再由勾股定理即可求证； （）如图，在延长线上截取，连接，过点作于， 证明可得，，又由可得，在中，由，可得，即得 ，得到，最后根据即可求解． 【详解】解：（）如图，连接， ∵都是等边三角形， ∴，，， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∴当时，有最小值，此时， ∵点为边中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：，； （），证明如下： 如图，过点作交延长线与，连接， ∵ ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， 即， ∴； （）如图，在延长线上截取，连接，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵ ， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，四边形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 10．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当绕点旋转至点，，在同一直线上，连接． ①的度数为______； ②线段，之间的数量关系是______； （2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点，，在同一直线上，若，，求的长度； （3）探究发现：图1中的和，在旋转过程中当点，，不在同一直线上时，设直线与距相交于点，请直接写出的度数． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）或 【分析】（1）由“”可证，可得，．由点，，在同一直线上可求出，从而可以求出的度数； （2）由“”可证，可得，，由勾股定理可求解； （3）由（1）知，得，由，可知，根据三角形的内角和定理可知． 【详解】（1）①和均为等边三角形， ，，， ， ． ． 为等边三角形， ， 点，，在同一直线上， ， ， ，； ②， ，； （2）和均为等腰直角三角形， ，，． ， ， ，， 为等腰直角三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ， ， ， 又，， ， ； （3）如图3， 由（1）知， ， ， ， ， 如图4， 同理求得， ， 综上所述：的度数是或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质等知识． 学科网（北京）股份有限公司 $$