拓展3-2不等式的六个易错点分析-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第一册）

拓展3-2不等式的六个易错点分析 一、混淆等式与不等式的性质 四、忽视最高项系数为0 二、忽略基本不等式的使用条件 五、二次含参不等式讨论不当 三、分式不等式处理方式不当 六、混淆恒成立和能成立题目 一、混淆等式与不等式的性质 易错分析：不等式在遇到乘法或者除法运算时候，是很容易出错的，需熟记一下几个不等式性质：①可乘性：；；②可乘方性：；③可开方性：；④同号可倒性：；； 例1．已知，则（    ） A． B． C． D． 变式1-1．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．若，，有下列不等式：①；②；③；④，其中结论正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1-3．（1）已知，，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 二、忽略基本不等式的使用条件 易错分析：利用基本不等式求函数最值时，注意其前提:“一正、二定、三相等” 例2．函数在时有最大值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．函数的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D．以上都不对 变式2-2．已知a为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2-3．（多选）已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有（　　） A． B． C． D． 三、分式不等式处理方式不当 易错分析：若要去分母之前应该对分母的符号进行判断，必要时要对分母进行讨论； 处理分式不等式的较好方式如下：化分式不等式为整式不等式，进行求解． （1） （2） （3）且 （4）且 例3．已知集合，，则的子集的个数是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 变式3-1．不等式的解集为 ． 变式3-2．不等式的解集为 . 变式3-3．已知的解集是或，求实数的值． 三、忽视最高项系数为0 易错分析：最高项的系数直接影响方程的求解方式，故要分类讨论 例4．若“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式4-1．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 . 变式4-2．若关于x的不等式的解集不空，求实数a的取值范围． 变式4-3．已知函数. (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)当时，解不等式； (3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 四、二次含参不等式讨论不当 易错分析：解二次含参不等式的具体步骤 第一步：二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式； 第二步：判断方程的根的个数,讨论判别式与0的关系； 第三步：确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式 例5．（多选）已知，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A．或 B． C． D． 变式5-1．当时，解关于的不等式. 变式5-2．解关于的不等式：． 变式5-3．解关于的不等式：（其中）． 五、混淆恒成立和能成立题目 易错分析：不等式成立问题常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法，而转化为最值问题易混淆最大值和最小值 （1）恒成立问题 若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上； 若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上 （2）能成立问题 若在区间D上存在实数使不等式成立，则等价于在区间D上； 若在区间D上存在实数使不等式成立，则等价于在区间D上 例6．设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 变式6-1．若对满足条件的正实数都有恒成立，则实数的取值范围为 . 变式6-2．已知实数满足，且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 变式6-3．若命题：存在，，命题：二次函数在的图像恒在轴上方 (1)若命题，中均为假命题，求的取值范围？ (2)对任意的，使得不等式成立，求的取值范围. 一、单选题 1．已知，则下列说法正确的有（    ）个 ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知的三边长分别为，，，且满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．已知为正实数，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．若则的最大值是2． C．若则的最小值是8． D．若则的最大值是8． 6．对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 7．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的值可能为（    ） A．－5 B． C． D．4 三、填空题 8．已知正实数 满足 ，则 的最小值为 . 9．关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 四、解答题 10．已知正数a，b满足，求的最小值． 11．（1）已知，，求的取值范围． （2）已知，且，求使不等式恒成立的实数的取值范围． 12．已知关于的不等式. (1)若不等式的解集为时，求实数的值； (2)当时，求不等式的解集. 13．求下列关于x的不等式的解集． (1)； (2)； (3)． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展3-2不等式的六个易错点分析 一、混淆等式与不等式的性质 四、忽视最高项系数为0 二、忽略基本不等式的使用条件 五、二次含参不等式讨论不当 三、分式不等式处理方式不当 六、混淆恒成立和能成立题目 一、混淆等式与不等式的性质 易错分析：不等式在遇到乘法或者除法运算时候，是很容易出错的，需熟记一下几个不等式性质：①可乘性：；；②可乘方性：；③可开方性：；④同号可倒性：；； 例1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对选项A，取，满足，不满足，故A错误. 对选项B，取，满足，不满足，故B错误. 对选项C，因为，所以，即，故C正确. 对选项D，取，满足，不满足，故D错误. 故选：C 变式1-1．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，, 所以. 故选：D. 变式1-2．若，，有下列不等式：①；②；③；④，其中结论正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】∵， ∴． 又， ∴，即，故①错误； ∵， ∴， ∴， 即．又， ∴，故②正确； ∵， ∴，即，故③正确； ∵，， ∴， 即，故④正确， 故选：C． 变式1-3．（1）已知，，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1） 由题意得 所以，即 （2）设 所以，解得 由题意得， 两式相乘，得，即 二、忽略基本不等式的使用条件 易错分析：利用基本不等式求函数最值时，注意其前提:“一正、二定、三相等” 例2．函数在时有最大值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为时，，当且仅当，即时取“”， 所以函数，解得，， 所以． 故选：C． 变式2-1．函数的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D．以上都不对 【答案】B 【详解】令，则， 因为在上单调递增， 所以当时取得最小值， 故选：B 变式2-2．已知a为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】取时成立，故充分性不成立； 当时，，当且仅当时，等号成立， 故必要性得证． 故选：B. 变式2-3．（多选）已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为x≥1，所以 (当且仅当x＝2时取等号)； ，但是等号取不到； 因为函数在[1，＋∞)上单调递增，所以≥2，当x＝1时取等号； 因为x≥1，所以 (当且仅当x＝1时取等号). 故选：ACD. 三、分式不等式处理方式不当 易错分析：若要去分母之前应该对分母的符号进行判断，必要时要对分母进行讨论； 处理分式不等式的较好方式如下：化分式不等式为整式不等式，进行求解． （1） （2） （3）且 （4）且 例3．已知集合，，则的子集的个数是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【详解】因为， ， 所以，所以集合的子集个数为个. 故选：C. 变式3-1．不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】由可得或， 即或； 等价于或， 解得或； 即原不等式的解集为： 故答案为： 变式3-2．不等式的解集为 . 【答案】 【详解】不等式等价于， 即，即， 即为，解得， 经检验是不等式的解集. 所以原不等式的解集为. 故答案为： 变式3-3．已知的解集是或，求实数的值． 【答案】 【详解】∵，∴，即， 又∵不等式的解集为或， ∴，∴，∴，∴． 三、忽视最高项系数为0 易错分析：最高项的系数直接影响方程的求解方式，故要分类讨论 例4．若“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，“，”是假命题， 所以“”是真命题， 当时，不等式化为恒成立； 当时，化为， 当时，取得最大值为， 所以. 当时，化为， 当时，取得最小值为， 所以. 综上所述，的取值范围是. 故选：A 【点睛】全称量词命题或存在量词命题的否定，要点有两点，一个是之间的转换，另一个是否定结论，而不是否定条件.求解不等式恒成立问题，可以考虑利用分离参数法来进行求解. 变式4-1．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】根据题意可得“”是真命题， 当，即时，命题成立； 当时，得，解得， 综上，符合题意的实数的取值范围是. 故答案为：. 变式4-2．若关于x的不等式的解集不空，求实数a的取值范围． 【答案】 【详解】当时，不等式，即，解集为不空，满足条件； 当时，不等式，即，此时解集为不空，故满足条件； 当时，使不等式解集为不空，，解得又，即，故时满足条件. 综上所述，当时，关于x的不等式的解集不空，故实数a的取值范围. 变式4-3．已知函数. (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)当时，解不等式； (3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）当时，由，得到，所以，不合题意， 当时，由，得到，解得， 所以实数的取值范围为. （2）当时，，即， 可得，因为， ①当时，即，不等式的解集为 ②当时，，因为， 所以不等式的解集为 ③当时，．又， 所以不等式的解集为, 综上：，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为． （3）由题对任意，不等式恒成立． 即，因为时，恒成立． 可得，设，则，所以， 可得 因为，当且仅当是取等号． 所以，当且仅当是取等号． 故得m的取值范围． 四、二次含参不等式讨论不当 易错分析：解二次含参不等式的具体步骤 第一步：二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式； 第二步：判断方程的根的个数,讨论判别式与0的关系； 第三步：确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式 例5．（多选）已知，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】ACD 【详解】当时，； 当时，或，故A正确； 当时，， 若，则解集为空集； 若，则不等式的解为：，故D正确； 若，则不等式的解为：，故C正确. 故选：ACD 变式5-1．当时，解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【详解】当时，代入不等式可得，解得； 当时，化简不等式可得即， 由得不等式的解为， 当时，化简不等式可得即， 由得不等式的解为或， 综上可知，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 变式5-2．解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【详解】不等式变形为，化为， ①当时，，解得； ②当时，，解得或； ③当时，，解得， 所以当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为. 变式5-3．解关于的不等式：（其中）． 【答案】答案见解析. 【详解】解：原不等式可化为． ①若，即，此时原不等式的解集为或； ②若，即，此时原不等式的解集为； ③若，即，此时原不等式的解集为或． 五、混淆恒成立和能成立题目 易错分析：不等式成立问题常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法，而转化为最值问题易混淆最大值和最小值 （1）恒成立问题 若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上； 若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上 （2）能成立问题 若在区间D上存在实数使不等式成立，则等价于在区间D上； 若在区间D上存在实数使不等式成立，则等价于在区间D上 例6．设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】由于，则得到（当且仅当，即时，取等号）； 所以 又由恒成立，故，则k的最大值为8. 故选：D． 变式6-1．若对满足条件的正实数都有恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】依题意正实数x，y，满足等式， 化简得，即，当且仅当时等号成立. 设，则恒成立，即在时恒成立， 函数在时是递增的，故，即. 故. 故答案为：. 变式6-2．已知实数满足，且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】，则同号，又，则只能同正. ，变形得到. 则. 当且仅当，且，则取等号. 由于恒成立，则，解得. 故答案为：. 变式6-3．若命题：存在，，命题：二次函数在的图像恒在轴上方 (1)若命题，中均为假命题，求的取值范围？ (2)对任意的，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若命题为真命题，则命题可转化为， 即，令，得函数y在上单调递增， 所以，则， 若命题为假命题，则； 若命题为真命题，则命题可转化为在上恒成立， 即，则，当且仅当时， 即时等号成立，则， 若命题，则， 则命题，均为假命题，则 （2）任意的，使得不等式成立， 即在上恒成立， 令， 当时，，不合题意； 当时，有，解得； 所以的取值范围是. 一、单选题 1．已知，则下列说法正确的有（    ）个 ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对于①，因为，所以，，， ，故，①正确； 对于②，，，故，故，②错误； 对于③，，，， 故，，③正确； 对于④，， 其中， 当且仅当时，等号成立，但，故等号不成立， 故，故，④错误. 故选：B 2．已知的三边长分别为，，，且满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知及三角形三边关系得， 所以，则，两式相加得， 所以. 故选：C 3．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由， 解得， 由且， 解得， 故，充分性不成立； ，必要性成立 故是成立的必要不充分条件 故选：B. 4．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以原不等式等价于， 即， 即，所以． 故选：A． 二、多选题 5．已知为正实数，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．若则的最大值是2． C．若则的最小值是8． D．若则的最大值是8． 【答案】BC 【详解】A选项，①， 而无实数解，所以①的等式不成立，所以A选项错误. B选项，， 当且仅当时等号成立，所以B选项正确. C选项，， ，当且仅当时等号成立，所以C选项正确. D选项，， 当且仅当时等号成立，所以D选项错误. 故选：BC 6．对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于一元二次不等式，则 当时，函数开口向上，与轴的交点为， 故不等式的解集为； 当时，函数开口向下， 若，不等式解集为； 若，不等式的解集为， 若，不等式的解集为， 故选：ACD 7．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的值可能为（    ） A．－5 B． C． D．4 【答案】AB 【详解】或， ，时，不等式无实数解； ，此不等式解为，不等式组只有一个整数解，则，即，∴； 时，此不等式的解为，不等式组只有一个整数解，则，，∴， 综上，的取值范围是，四个选项中AB满足， 故选：AB． 三、填空题 8．已知正实数 满足 ，则 的最小值为 . 【答案】 【详解】正实数且得， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 故答案为： 9．关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由不等式以及可得， 依题意可知即可， 令， 又，由可得， 利用二次函数性质可知，即可得； 即实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 10．已知正数a，b满足，求的最小值． 【答案】 【详解】因为，，，所以， 则， 又， 当且仅当且，即，时取等号， 则 所以当，时，的最小值是． 11．（1）已知，，求的取值范围． （2）已知，且，求使不等式恒成立的实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）因为，所以． 又，所以，即． （2）由， 则． 当且仅当即时取到最小值16． 若恒成立，则． 12．已知关于的不等式. (1)若不等式的解集为时，求实数的值； (2)当时，求不等式的解集. 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【详解】（1）若不等式的解集为， 则和3是方程的两个实数根， 由根与系数的关系知，，且， 解得或， （2）时，不等式可化为； 当时，即，解得； 当时，即解得； 当时，即，解得. 综上知，时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为. 13．求下列关于x的不等式的解集． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【详解】（1）由，得，则或， 所以解集为 （2）由，得，，解得， 所以解集为 （3）由，得， 当时，即时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$