精品解析：湘教版2024-2025学年九年级数学上册期中测试题

九年级上册期中测试卷 考试时间：120分钟；总分：120分 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下面四组线段中不能成比例线段是（ ） A. 3、6、2、4 B. 4、6、5、10 C. 1、2、3、6 D. 25、20、4、5 2. 已知反比例函数的图象经过点，下列各点也在这个函数图象上的是（　　） A. B. C. D. 3. 一元二次方程配方可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中，错误的是（ ） A. 全等图形一定是相似图形 B. 两面大小不等的标准国旗一定相似 C 两个等腰直角三角形一定相似 D. 两个直角三角形一定相似 5. 如图， 在中，D、E分别为边上点，点F为边上一点，连接交于点G．则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 7. 在函数的图象上有三点，，，已知，那么下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在同一坐标系中，函数与函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，，，下列各式正确的有（ ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，点A、B是反比例函数 图象上任意两点，且轴于点D，轴于点C，和 面积之和为6，则k的值为（ ） A. B. C. 6 D. 12 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 若，则___________． 12. 把一元二次方程化成一般形式为_________ 13. 已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为__________． 14. 已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则的形状为______． 15. 如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，相似比为，点A的坐标为，则点的坐标为________． 16. 2023年10月26日，神舟十七号发射升空，与空间站构成三船三舱构型．某纪念品商店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型每件成本40元，当商品售价为70元时，十月售出件，十一月、十二月销量持续走高，十二月售出件，十一、十二这两个月的月平均增长率是_____． 17. 如图，为了测量学校旗杆的高度，小东用长的竹竿做测量工具．移动竹竿，使旗杆顶端的影子与竹竿顶端的影子恰好落在地面上的同一点，此时，竹竿与这一点相距，与旗杆相距，则旗杆的高为______． 18. 如图，已知中，，在中，，且，，则______时，图中的两个直角三角形相似． 三、解答题（第19 - 25题8分，第26题10分，共66分） 19 解方程： （1） （2） 20. 如图，在中，点D，E分别是上的点，且．请证明：． 21. 已知反比例函数，其函数图象位于第一、三象限． （1）求的取值范围； （2）若点是该反比例函数图象上两点，试比较的大小． 22. 已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为，． （1）以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形； （2）直接写出点的坐标；若点在线段上，点D对应点的坐标为 ． 23. 如图，在中，是边上的一点，若，求证：. 24. 某超市销售一种饮料，进价为每箱48元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售60箱．现为了减少库存，决定对该饮料降价销售，市场调查发现：若这种饮料的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱． （1）若该超市预计12月份要获得770元的利润，则每箱饮料售价应定为多少元？ （2）该超市能否每月获得880元的利润？若能，求出售价为多少元？若不能，请说明理由． 25. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知，点的坐标为，过点作轴，垂足为，． （1）求点坐标和反比例函数关系式； （2）求一次函数的解析式； （3）求的面积。 26. 如图，已知，在中，，，点P从A点出发，沿以的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿以的速度向A点运动，设运动时间为x， （1）当时，x为何值？ （2）能否与相似，若能，求出的长，若不能，请说明理由． （3）当时，求．（直接写答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上册期中测试卷 考试时间：120分钟；总分：120分 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下面四组线段中不能成比例线段的是（ ） A 3、6、2、4 B. 4、6、5、10 C. 1、2、3、6 D. 25、20、4、5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了成立比例的线段，在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据两内项之积等于两外项之积逐项分析即可． 【详解】解：A、，能成比例，不符合题意； B、，不能成比例，符合题意； C、，能成比例，不符合题意； D、，能成比例，不符合题意； 故选：B． 2. 已知反比例函数的图象经过点，下列各点也在这个函数图象上的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出． 由点P在反比例函数图象上可求出k的值，再求出四个选项中点的横纵坐标之积，比照后即可得出结论． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， A、； B、； C、； D、， 故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 3. 一元二次方程配方可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程配方，正确掌握完全平方式的特点是正确配方的前提．方程两边都加上4，即可将原方程配方． 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：A． 4. 下列说法中，错误的是（ ） A. 全等图形一定是相似图形 B. 两面大小不等的标准国旗一定相似 C. 两个等腰直角三角形一定相似 D. 两个直角三角形一定相似 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似图形的定义，“相似图形的形状相同，但大小不一定相同”．根据相似图形的定义，结合选项中提到的图形，对选项一一分析，选出正确答案． 【详解】解：A、全等图形一定是相似图形，故本选项不符合题意； B、两面大小不等的标准国旗一定相似，故本选项不符合题意； C、等腰直角三角形形状相同，只是大小不同，一定相似，故本选项不符合题意； D、两个直角三角形的锐角不一定相等，则两个直角三角形不一定相似，故本选项符合题意； 故选：D． 5. 如图， 在中，D、E分别为边上的点，点F为边上一点，连接交于点G．则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．本题考查相似三角形的判定与性质，平行分线段成比例，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质，本题属于中等题型． 【详解】解：A、， ，故A错误； B、， ，故B错误； C、， ，故C错误； D、， ，故D正确； 故选：D 6. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，分和，两种情况，利用根的判别式进行求解即可． 【详解】解：当时，方程为，解得：，满足题意； 当时，为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得：， ∴且； 综上：； 故选C． 7. 在函数的图象上有三点，，，已知，那么下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，判断出反比例函数在每个象限的增减性，进而可得到答案． 【详解】解：∵， ∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， 又∵， ∴． 故选：A． 8. 在同一坐标系中，函数与函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及反比例函数的图象，分及两种情况寻找函数图象是解题的关键．分析当及时，两函数图象经过的象限，对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限； 当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限． 故选：C 9. 如图，，，下列各式正确的有（ ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据题意已知的相似，找对对应相似比与题干逐项对照即可． 【详解】解：∵， ∴， 则，故①错误； ，故②错误； ，故③错误， ④正确． 综上，正确的有④，共1个， 故选：A． 10. 如图，点A、B是反比例函数 图象上任意两点，且轴于点D，轴于点C，和 面积之和为6，则k的值为（ ） A. B. C. 6 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，用含k的式子表示出和 面积之和，即可求解． 【详解】解：点A、B是反比例函数图象上任意两点， 设，， 轴于点D，轴于点C， ，，，， 和 面积之和为6， ， ， 故选A． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了比例基本性质，分式的化简等知识点，设，则，然后整体代入即可得解，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】∵， 设，则， ∴ ， 故答案为：． 12. 把一元二次方程化成一般形式为_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式是，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，掌握一元二次方程的基本形式是解题关键．将方程两边展开，然后移项合并同类项，即可． 【详解】解：， ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 13. 已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数图像，反比例函数图像的性质等知识．熟练掌握正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称是解题的关键． 根据正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称作答即可． 【详解】解：∵正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称， ∴这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为， 故答案为：． 14. 已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则的形状为______． 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根判别式，勾股定理逆定理，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．原方程可以化为，由题意得出，推出，即可得解． 【详解】解：原方程可以化为：， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴为直角三角形， 故答案为：直角三角形． 15. 如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，相似比为，点A的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查位似图形的性质，根据位似图形相似及相似比即可得出结果，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． 【详解】解：根据题意，与关于原点位似，且相似比为， 则， ∵点A的坐标为， 则的坐标为 故答案为：． 16. 2023年10月26日，神舟十七号发射升空，与空间站构成三船三舱构型．某纪念品商店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型每件成本40元，当商品售价为70元时，十月售出件，十一月、十二月销量持续走高，十二月售出件，十一、十二这两个月的月平均增长率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设十一、十二这两个月的月平均增长率为x，十月售出件，十二月售出件，据此列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设十一、十二这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得： ， 解得：（不合题意舍去）． 故答案为： 17. 如图，为了测量学校旗杆的高度，小东用长的竹竿做测量工具．移动竹竿，使旗杆顶端的影子与竹竿顶端的影子恰好落在地面上的同一点，此时，竹竿与这一点相距，与旗杆相距，则旗杆的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意得出，推出，再由相似三角形的判定与性质计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴旗杆的高为， 故答案为：． 18. 如图，已知中，，在中，，且，，则______时，图中的两个直角三角形相似． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 先利用勾股定理计算出，再根据相似三角形的判定方法进行讨论，当时，当时，然后利用比例性质求出对应的的长即可． 【详解】解：，，，， ， 当时， ，即， ； 当时， ，即， ， 故答案为：或． 三、解答题（第19 - 25题8分，第26题10分，共66分） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∴或， ，． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴． 20. 如图，在中，点D，E分别是上的点，且．请证明：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】题目主要考查相似三角形的判定，根据平行线的性质得出，再由公共角即可判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴． 21. 已知反比例函数，其函数图象位于第一、三象限． （1）求的取值范围； （2）若点是该反比例函数图象上的两点，试比较的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，反比例函数的性质及反比例函数的图象，熟知反比例函数图象上各点一定适合此函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可； （2）先根据函数解析式判断出函数图象所在的象限及增减性，进而可得出结论． 【小问1详解】 解：该反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 解得． 【小问2详解】 解：该反比例函数的图象在第一、三象限， 在每个象限内，随的增大而减小． 又， ． 22. 已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为，． （1）以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形； （2）直接写出点的坐标；若点在线段上，点D对应点的坐标为 ． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，正确掌握位似比与坐标的关系是解题的关键． （1）根据位似图形的性质得出、，再顺次连接即可； （2）利用（1）中位似比得出对应点坐标关系即可． 【小问1详解】 解：如图所示： ； 【小问2详解】 解：由图可得：， 点在线段上，点D对应点的坐标为． 23. 如图，在中，是边上的一点，若，求证：. 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定，由题意可得，进而根据相似三角形的性质，可得，推论即可得出结论. 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 即. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，灵活运用相关性质是解题的关键. 24. 某超市销售一种饮料，进价为每箱48元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售60箱．现为了减少库存，决定对该饮料降价销售，市场调查发现：若这种饮料的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱． （1）若该超市预计12月份要获得770元的利润，则每箱饮料售价应定为多少元？ （2）该超市能否每月获得880元的利润？若能，求出售价为多少元？若不能，请说明理由． 【答案】（1）每箱饮料售价应定为55元 （2）该超市不能每月获得880元的利润 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用； （1）设每箱饮料降价x元，根据总利润销售量单个的销售利润，列出方程求解即可； （2）设每箱饮料降价y元，根据总利润销售量单个的销售利润，列出方程，判断判别式的符号即可； 解题的关键是熟练掌握总利润销售量单个的销售利润，列出方程． 【小问1详解】 解：设每箱饮料降价x元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， 答：每箱饮料售价应定为55元； 【小问2详解】 解：该超市不能每月获得880元的利润，理由如下： 设每箱饮料降价y元， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴此方程无解， ∴该超市不能每月获得880元的利润． 25. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知，点的坐标为，过点作轴，垂足为，． （1）求点坐标和反比例函数关系式； （2）求一次函数的解析式； （3）求的面积。 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，待定系数法求反比例解析式及一次函数解析式，利用割补法求三角形面积．（1）由，设，则，在中，根据勾股定理列出关于的方程，可得到的值，进而得到的坐标，把的坐标代入即可确定出解析式；（2）把的横坐标代入（1）中求出的反比例解析式，确定的坐标，把和的坐标代入即可确定解析式；（3）令解析式中求出的值，进而得到的长，而把分为两个三角形，底边都为，高为和到轴的距离，根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【小问1详解】 解：（1）由，设，则，又， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得或（舍去）， 所以，， 则的坐标为， 把的坐标代入反比例解析式得：， 则反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 （2）把的横坐标代入反比例解析式得：， 所以坐标为，又， 将和的坐标代入解析式得：， 解得：， 则一次函数解析式为：； 【小问3详解】 令，解得，即， 则 ． 26. 如图，已知，在中，，，点P从A点出发，沿以的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿以的速度向A点运动，设运动时间为x， （1）当时，x为何值？ （2）能否与相似，若能，求出的长，若不能，请说明理由． （3）当时，求．（直接写答案） 【答案】（1） （2）能，的长为或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了几何中的动点问题，涉及了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据平行线分线段成比例得即可求解； （2）根据，分类讨论，即可求解； （3）根据题意可得，，进而求得，；推出，据此即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得， ∵， ∴， 【小问2详解】 解：存在．理由如下： ， ， 时： ． 即： 解得：， ∴ 时： ， 即： 解得：（舍去） ， ∴的长为或 【小问3详解】 解：∵， ，， ∴ ∴， ∴，， ∴ ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$