第21章 一元二次方程 易错知识点汇编讲义2024-2025学年人教版数学九年级上册

一元二次方程易错知识点汇编 【易错知识点大集结】 目录导航 易错知识点一:一元二次方程的概念与性质 易错知识点二:用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程 易错知识点三:根与系数的关系 易错知识点四:实际问题与一元二次方程 【易错知识点一】 一元二次方程的概念与性质 1.下列是一元二次方程的是( ) A. B.C.D. 2.已知 是一元二次方程 的一个根,则m的值为( ) A. B.3或 C.3 D.或1 3.若是方程的一个根,则的值为( ) A.2020 B. C.2019 D. 4.规定:对于任意实数a、b、c,有,其中等式右面是通常的乘法和加法运算,如.若关于x的方程有两个不相等的实数根,则m的取值范围为( ) A. B. C.且 D.且 【易错知识点二】 用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程 1.解下列方程: (1); (2) 2.解方程: (1); (2). 3.用适当的方法解关于x的一元二次方程: (1); (2); (3); (4). 4.解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【易错知识点三】 根与系数的关系 1.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根. (1)求的取值范围; (2)若、是方程的两根,且,求的值. 2.已知关于x的一元二次方程. (1)若方程有实数根,求实数m的取值范围; (2)若方程两实数根分别为,,且满足,求实数m的值. 3.关于的一元二次方程. (1)当方程有两个不相等的实数根时,求的取值范围; (2)若方程两实根 满足,求的值. 4.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,. (1)求a的取值范围; (2)若,满足,求a的值. 【易错知识点四】 实际问题与一元二次方程 1.每年暑假是游泳旺季,今年我市某商店抓住商机,销售某款游泳服.6月份平均每天售出100件,每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利,7月份该店准备采取降价措施,经过市场调研,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出10件. (1)若降价5元,求平均每天的销售数量; (2)当每件游泳服降价多少元时,该商店每天销售利润为6000元? 2.2022北京冬奥会期间,某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣,进货价和销售价如下表:(注:利润=销售价-进货价) 类别 价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣 进货价(元/件) 30 25 销售价(元/件) 45 37 (1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件,求两款钥匙扣分别购进的件数; (2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后,该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件(进货价和销售价都不变),且进货总价不高于2200元.应如何设计进货方案,才能获得最大销售利润,最大销售利润是多少? (3)冬奥会临近结束时,网店打算把B款钥匙扣调价销售.如果按照原价销售,平均每天可售4件.经调查发现,每降价1元,平均每天可多售2件,将销售价定为每件多少元时,才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元? 3.随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起,催生了快递行业的高速发展.据调查,杭州市某家小型快递公司,今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和14.4万件.现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同. (1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率; (2)如果平均每人每月最多可投递快递0.7万件,那么该公司现有的22名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务?如果不能,请问至少需要增加几名业务员? 4.重庆1949大剧院自建成开演以来,吸引不少外地游客前来观看,所有演出门票中,普通席和嘉宾席销售最快,已知一张普通席的票价比一张嘉宾席的票价少40元,一张普通席的票价与一张嘉宾席票价之和为600元. (1)求普通席和嘉宾席两种门票单张票价分别为多少元? (2)因为疫情原因,11月份以来,外地游客人数减少,普通席票平均每天售出100张,嘉宾席票平均每天售出200张.12月份后,疫情得到有效控制,观看人数明显增加,为了吸引游客,剧院决定降低普通席的票价,这样与11月份相比,普通席票平均每天售价降低金额数是售出普通席普通票增加张数的2倍,嘉宾席的票价与11月份保持不变,但平均每天售出嘉宾席票增加张数是12月份售出普通席增加张数的,这样12月份两种票平均一共销售总额为99200元,求12月份普通席的票价是多少元? 【易错知识点一】 一元二次方程的概念与性质 1.下列是一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义及相关的量 2.已知 是一元二次方程 的一个根,则m的值为( ) A. B.3或 C.3 D.或1 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根;因式分解法解一元二次方程 3.若是方程的一个根,则的值为( ) A.2020 B. C.2019 D. 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根 4.规定:对于任意实数a、b、c,有,其中等式右面是通常的乘法和加法运算,如.若关于x的方程有两个不相等的实数根,则m的取值范围为( ) A. B. C.且 D.且 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义及相关的量;一元二次方程根的判别式及应用 【易错知识点二】 用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程 1.解下列方程: (1); (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】配方法解一元二次方程;因式分解法解一元二次方程 2.解方程: (1); (2). 【答案】(1),. (2),. 【知识点】直接开平方法解一元二次方程;因式分解法解一元二次方程 3.用适当的方法解关于x的一元二次方程: (1); (2); (3); (4). 【答案】(1) (2) (3)方程没有实数根 (4) 【知识点】直接开平方法解一元二次方程;公式法解一元二次方程;因式分解法解一元二次方程 4.解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】公式法解一元二次方程;因式分解法解一元二次方程 【易错知识点三】 根与系数的关系 1.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根. (1)求的取值范围; (2)若、是方程的两根,且,求的值. 【答案】(1);(2) 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理) 2.已知关于x的一元二次方程. (1)若方程有实数根,求实数m的取值范围; (2)若方程两实数根分别为,,且满足,求实数m的值. 【答案】(1) (2)1 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理) 3.关于的一元二次方程. (1)当方程有两个不相等的实数根时,求的取值范围; (2)若方程两实根 满足,求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理) 4.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,. (1)求a的取值范围; (2)若,满足,求a的值. 【答案】(1)解:∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根, ∴,解得:; (2)解:∵关于x的一元二次方程, ,, ∵, ∴,即,十字相乘因式分解得:,, ∵, ∴. 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理) 【解析】【分析】(1)根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,得到即可求a的取值范围; (2)根据,, 代入, 通过配方可得,即,十字相乘因式分解得:,,由(1)得, 所以 解得. 【易错知识点四】 实际问题与一元二次方程 1.每年暑假是游泳旺季,今年我市某商店抓住商机,销售某款游泳服.6月份平均每天售出100件,每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利,7月份该店准备采取降价措施,经过市场调研,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出10件. (1)若降价5元,求平均每天的销售数量; (2)当每件游泳服降价多少元时,该商店每天销售利润为6000元? 【答案】(1)降价5元,平均每天的销售数量为件 (2)每件游泳服降价元或元时,该商店每天销售利润为6000元 【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题 2.2022北京冬奥会期间,某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣,进货价和销售价如下表:(注:利润=销售价-进货价) 类别 价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣 进货价(元/件) 30 25 销售价(元/件) 45 37 (1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件,求两款钥匙扣分别购进的件数; (2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后,该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件(进货价和销售价都不变),且进货总价不高于2200元.应如何设计进货方案,才能获得最大销售利润,最大销售利润是多少? (3)冬奥会临近结束时,网店打算把B款钥匙扣调价销售.如果按照原价销售,平均每天可售4件.经调查发现,每降价1元,平均每天可多售2件,将销售价定为每件多少元时,才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元? 【答案】(1)A、B两款钥匙扣分别购进20件和10件 (2)购进A款冰墩墩钥匙扣40件,购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大,最大为1080元 (3)销售价定为每件30元或34元时,才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元 【知识点】一元一次不等式的应用;二元一次方程组的实际应用-销售问题;一元二次方程的实际应用-销售问题;一次函数的实际应用-销售问题 3.随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起,催生了快递行业的高速发展.据调查,杭州市某家小型快递公司,今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和14.4万件.现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同. (1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率; (2)如果平均每人每月最多可投递快递0.7万件,那么该公司现有的22名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务?如果不能,请问至少需要增加几名业务员? 【答案】(1)该快递公司投递总件数的月平均增长率为20%;(2)该公司现有的22名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务,至少需要增加3名业务员. 【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题 4.重庆1949大剧院自建成开演以来,吸引不少外地游客前来观看,所有演出门票中,普通席和嘉宾席销售最快,已知一张普通席的票价比一张嘉宾席的票价少40元,一张普通席的票价与一张嘉宾席票价之和为600元. (1)求普通席和嘉宾席两种门票单张票价分别为多少元? (2)因为疫情原因,11月份以来,外地游客人数减少,普通席票平均每天售出100张,嘉宾席票平均每天售出200张.12月份后,疫情得到有效控制,观看人数明显增加,为了吸引游客,剧院决定降低普通席的票价,这样与11月份相比,普通席票平均每天售价降低金额数是售出普通席普通票增加张数的2倍,嘉宾席的票价与11月份保持不变,但平均每天售出嘉宾席票增加张数是12月份售出普通席增加张数的,这样12月份两种票平均一共销售总额为99200元,求12月份普通席的票价是多少元? 【答案】(1)普通席280元,嘉宾席320元; (2)160元. 【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题 学科网(北京)股份有限公司 $$