北京市昌平区东方红学校2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 共 3 页 学 部 班 级 考 号 姓 名 __ __ _ __ __ _                装                订              线                北京市昌平区东方红学校 2024-2025 学年高三第一学期 开学考试 数学 试卷 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题：共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 若集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2． 已知复数 （ 是虚数单位），则 的虚部是（ ） A．1 B． C． D． 3.二项式 的展开式中常数项是（ ） A．1 B．4 C．6 D．0 4.设 ， 是非零向量，则“ 或 ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5. 直线 y＝x+1被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1所截得的弦长为（ ） A．1 B． C．2 D．3 6.将函数 图象上的所有点向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则（ ） A． B． 在 上单调递增 C． 在 上的最小值为 D．直线 是 图象的一条对称轴 7．若一圆锥的侧面展开图的圆心角为 ，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 8．已知 分别为双曲线 的左､右焦点，过 的直线与双曲线 的左支交于 两点，若 ，则双曲线 的焦距为（ ） A． B． C． D． 9．函数 ，若对任意 ， ，都有 成 立，则实数 a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 10. 已知集合 ，若 且互不相等，则使得指数函数 ，对数函 数 ，幂函数 中至少有两个函数在 上单调递减的有序数对 的个数是（ ） A．36 B．42 C．72 D．84 第二部分（非选择题共 110 分） 二、填空题：本题共 5小题，每小题 5分，共 25分． 11.函数 的定义域是____________． 12. 已知双曲线 ，则 C的右焦点的坐标为_______；C的焦点到其渐近线的距离是_____． 13. 在 中，若 ， ， ，则 ____． 14．已知两点 ．点 满足 ，则 的面积是____； 的一个取值为____． 考生注意： 1、本试卷共 3 页， 三 大题 21 小题；卷面满分 150 分。 2、考试时间 120 分钟。 3、一律用蓝、黑色笔答题，一律答在答题纸上。 学科网（北京）股份有限公司 第 2 页 共 3 页 15. 若存在常数 和 ，使得函数 和 对其公共定义域上的任意实数 都满足： 和 恒成立或（ 和 恒成立），则称此直线 为 和 的“隔离直线”．已知函数 ， ，有下列命题： ①直线 为 和 的“隔离直线”． ②若 为 和 的“隔离直线”，则 的范围为 ． ③存在实数 ，使得 和 有且仅有唯一 “隔离直线”． ④ 和 之间一定存在“隔离直线”，且 的最小值为 ． 其中所有正确命题的序号是_________． 三、解答题共 6 小题，共 85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本题满分 12 分）如图，在三棱柱 中， 平面 ABC，D，E分别为 AC， 的中 点， ， ． (1)求证： 平面 BDE； (2)求直线 DE与平面 ABE所成角的正弦值； 17. （本题满分 14分）已知函数 ， 其中 ．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使 存在，并完成下列两个问题． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）当 时，若曲线 与直线 恰有一个公共点，求 的取值范围． 条件①： ； 条件②： 是 的一个零点； 条件③： ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18.（本题满分 14分） 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 以 上（含 ）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比 赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． （1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； （2）设 X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 X的数学期望 E（X）； （3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 19.（本题满分 15分）已知椭圆 的一个顶点为 ，焦距为 ． （1）求椭圆 E的方程； （2）过点 作斜率为 k的直线与椭圆 E交于不同的两点 B，C，直线 AB，AC分别与 x轴交于点 M， N，当 时，求 k的值． 20. （本题满分 15分）已知函数 ． （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）设 ，讨论函数 在 上的单调性； （3）证明：对任意的 ，有 ． 学科网（北京）股份有限公司 第 3 页 共 3 页 21. （本题满分 15分） 已知 无穷数列．给出两个性质： ①对于 中任意两项 ，在 中都存在一项 ，使 ； ②对于 中任意项 ， 中都存在两项 ．使得 ． (Ⅰ)若 ，判断数列 是否满足性质①，说明理由； (Ⅱ)若 ，判断数列 是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (Ⅲ)若 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： 为等比数列.