专题3.13 勾股定理在分类讨论中的应用（培优练）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题3.13 勾股定理在分类讨论中的应用（培优练） 一、单选题 1．（23-24九年级上·河北沧州·期末）在中，若，边上的高，则的周长为（　） A． B． C．或 D．或 2．（22-23八年级上·辽宁阜新·阶段练习），，，高，则的周长为（    ） A．32 B．42 C．32或42 D．38或42 3．（24-25八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在中，是射线上的动点，，则当是直角三角形时，的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，，，，点为边上的动点，连接，将沿直线翻折，得到，点的对应点为，当时，的长为 ． 5．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，点是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点． 当是直角三角形时，的长为 ．    6．（2020·湖北黄石·模拟预测）已知中，，将它其中一个锐角沿着某条直线翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D，折痕交另一个直角边于点，交斜边于F，则的长为 ． 7．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，中，，，点D为线段上一个动点，将沿直线翻折得到，线段交直线于点F．若为直角三角形，则的长是 ． 8．（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图，已知矩形纸片的两边长分别为，，点是边上的动点，将纸片沿直线折叠，点落到处，设，当点恰好在矩形纸片的对称轴上时，则的值为 ． 9．（22-23八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是 ． 10．（22-23八年级下·江西南昌·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，点P是边上任意一点，连接，将沿翻折，点B的对应点为，当有一边与垂直时，的长为 ． 11．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，，．点是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点．当是直角三角形时，的长为 ． 12．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，点是边上一点，将沿直线折叠，点的对应点为点，当平行于的一条边时，的长为 ． 13．（2024·河南周口·模拟预测）如图，为等腰直角三角形，，，点为边上一点，且，点为边上一动点（点不与点、重合），连接，将沿翻折得到，当的一边过点时，的长为 14．（22-23八年级下·四川达州·期末）如图，在长方形中，，点E为上一个动点，把沿折叠，当点D的对应点落在的平分线上时，的长为 ．    15．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图．在中．．若点P是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点C以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为t，若为直角三角形，则t的值为 16．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，，D为边上的动点，点D从点C出发，沿边往点A运动，当运动到点A时停止．已知点D运动的速度为每秒2个单位长度，设点 D 运动的时间为，当是直角三角形时，t的值为 ． 17．（23-24八年级下·贵州铜仁·阶段练习）在中，，有一个锐角为，，若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为 ． 18．（22-23八年级上·江西·阶段练习）在中，，则边上的高的长度为 三、解答题 19．（20-21八年级下·福建南平·阶段练习）在中，，将沿直线折叠，使B落在的三等分点处，求的长． 20．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，，点D是的中点，点E是边上一动点（点E不与点A，B，重合），连结，过点B作于点F，交射线于点G． (1)如图1，当点E在线段上时，请直接判断与的数量关系__________． (2)如图2，当点E在线段上时，（1）中与的数量关系是否依然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)已知，若，则的长为__________． 21．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． (1)若点在上，且满足，则此时的值； (2)若点恰好在的角平分线上，求此时的值； (3)在点运动过程中，当为何值时，为等腰三角形． 22．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）（如图1，在中，，设所对的边分别为a，b，c，且满足．   (1)则的周长为______． (2)点P是边上的动点，点P从点C出发，沿的路径向终点A运动， ①当平分时，求的长； ②如图2，当点P运动到时，将沿直线对折，点B的对称点为，当与重叠部分为直角三角形时，求此时的长． 23．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长； 【深入探究】 (2)如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长(注：长方形的对边平行且相等)； 【拓展延伸】 (3)如图3，在长方形纸片中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长(注：长方形的对边平行且相等)． 24．（2024·贵州贵阳·一模）小红在学习了等腰三角形相关性质后，对等腰直角三角形的性质进一步探究．在等腰直角中，，，点是直线上一点，点是直线上一点， (1)【问题解决】如图①，当平分时，则 度； (2)【问题探究】如图②，当点E是线段上任意一点时，探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】当，时，求的长．（在备用图中作出满足题意的图形并完成解答） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 答案 D C C 1．D 【分析】本题考查了勾股定理．分情况求解是解题的关键． 由题意知，分是锐角三角形，是钝角三角形，两种情况，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意知，分是锐角三角形，是钝角三角形，两种情况求解； 当是锐角三角形时，如图1， 由勾股定理得，，， ∴， ∴的周长为； 当是钝角三角形时，如图2， 同理，，， ∴， ∴的周长为； 综上所述，的周长为或， 故选：D． 2．C 【分析】本题考查勾股定理，存在种情况，是锐角三角形和钝角三角形时，高分别在的内部和外部，结合勾股定理即可求解． 【详解】如下图，是锐角三角形， ∵是高， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵，， ∴在中，， ∴的周长为：； 如下图，是钝角三角形， 则的周长为：； 故选C． 3．C 【分析】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的判定及性质，含直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键． 【详解】解：当时， ； 在中，， 当， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ； 情况二： ， ， ， 为等边三角形， ； 故选C． 4．或 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理，矩形的判定和性质．画出图形，并过点作交的延长线于点，过点作交延长线与点，先求出的长，进而求出，，的长，再在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：分两种情况： ①在内部时，如图， 过点作交的延长线于点，过点作交延长线与点，    ，，， ， 由勾股定理，得， 四边形是矩形， ，， 设， 在中， 由勾股定理，得， 在中， 由勾股定理，得， ， 解得， ，， ，， 在中， 由勾股定理，得， ②在的外部时，如图，    过点作交的延长线于点，过点作交延长线与点， 类似①的方法可求出， 故答案为：或． 5．1或 【分析】 本题考查了翻折变换 (折叠问题)，等腰三角形的性质，勾股定理；分两种情况：当时，当；然后分别利用等腰三角形的性质，勾股定理以及折叠的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：当时，如图    ， 设， ，， ， ， 由折叠性质得：， ， ， 在中，， ， 解得：， ； 当，如图    过点C作，垂足为H， ， ，， ， ， ， 由折叠得：， ，， ， ， ， ， ， 是一个外角，， ， ， ， ， ， ， 综上所述的长为1或 故答案为：1或． 6．或 【分析】本题考查直角三角形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理．分两种情况：①将B沿折叠，B与的中点D重合，②将A沿折叠，A与的中点D重合，用勾股定理列方程，分别算出的长度，即可得到答案． 【详解】解：①将点B沿折叠，B与的中点D重合，如图：    设，则 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴； ②将A沿折叠，A与的中点D重合，如图：    设，则 在中， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上所述，的长是或． 故答案为：或． 7．或 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∵折叠， ∴， 当为直角三角形时，分两种情况， ①当时，过点作，交的延长线于点， 则四边形为长方形， ∴， 设，则：， ∴， 在中，， ∴， 解得：（舍去）或； ∴； ②当时，此时点与点重合，如图： ∴， 设，则：， 由勾股定理，得：， 解得：； ∴， 综上：或； 故答案为：或． 8．或或 【分析】 本题主要考查翻折变换的知识点．分三种情形分别画出图形解决问题即可． 【详解】 解：由折叠的性质得，，， ①如图1中，当点落在矩形的对称轴上时， 连接， ∴，又， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴， ∵， ; ②如图2中，当点落在矩形的对称轴上时， 在中，， 在中，， ， ； ③如图3中，当点在的下方时， 同法可得：， ， 故答案为：或或． 9．5或2 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理的应用及等腰直角三角形的性质．当时，先求出及的长，再在中利用勾股定理求出；当时，作，证明出为等腰直角三角形即可求出即可． 【详解】解：当时，如图， ，， ， ， ， 由折叠得，， ， 设， ， 在中，， ，即； 当时，如图，作， ，， ， ， ， ． 故答案为：5或2． 10．或1或2 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，分三种情况讨论，当时，当时，当时，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：当时，如图， 在等腰直角三角形中，，， ∴，， 设，则，， ∵将沿翻折， ∴，， ∴，即， 解得； ∴ 当时，如图， 此时，； 当时，如图， 此时，点A，B，在同一直线上，； 综上，当有一边与垂直时，的长为或1或2． 故答案为：或1或2． 11．或 【分析】本题考查翻折变换(折叠问题)，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形外角性质，分两种情况：当时，当，然后分别利用等腰三角形的性质，勾股定理以及折叠的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：分两种情况： ①当时，如图： ， 设， ，， ， ， 由折叠得：，， ， ， 在中，， ， 解得：， ； ②当，如图： 过点C作，垂足为H， ， ， 由（1）知，， 由折叠得：， ， ， ，， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， 综上所述：的长为或， 故答案为: 或． 12．1或3 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，三角形面积的计算，分两种情况进行讨论：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当时，如图所示： 根据折叠可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 当时，如图所示： 根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上分析可知：或3． 故答案为：1或3． 13．或1 【分析】当过点时，利用面积判断出，设，则，表示出，，根据勾股定理得，，建立方程求出或，判断是否满足条件，得出的长，当过点时，利用翻折即可求出答案．此题主要考查了折叠的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，利用面积法判断出是解本题的关键． 【详解】解：当过点时， 过点作于，于， 由折叠知，， ， 过点作于， ， ， ， 设，则， ，， ， ， ， 根据勾股定理得，， ， 或， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，； ∴ 当过点时，由折叠知，， ， ∴三点共线 ， ∴ 故答案为：或1． 14．或 【分析】过点作于点F，交于点G，设，则，结合，解得或，分类计算解答即可． 本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：过点作于点F，交于点G， ∵长方形，， ∴，，， ∴四边形是长方形， ∴，，， ∵沿折叠，当点D的对应点落在的平分线上， ∴，，，， ∴， 设，则， ∴， 解得或， 当时，，， 设， ∴， 解得； 当时，，， 设， ∴， 解得； 综上所述，或． 故答案为：或．    15．，或4.8 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理， 30度角所对的直角边是斜边的一半，分三种情况讨论，当时，则，，当时，，再分别列出方程求解即可 【详解】解：①如图（1），当时，则，， ∵ ∴ 解得：； ②如图（2），当时， ∵， ∴， ∴ 若则， 解得，， ③当时， ∵ ∴， ∴， 若时，则； 故答案为 ，或4.8 16．或 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质，三角形的面积，难点在于要分情况讨论．分两种情况讨论即可． 【详解】解：， ， 当时，则点与点重合， ； 当时，则， ， ， ， ； 综上，当t为或10时，是直角三角形． 故答案为：或． 17．或9或3 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等，分类求解是本题解题的关键．分、两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可． 【详解】解：当时，则， ∴， ∴， 当点P在线段上时，如图， ∵， ∴，即， ∵， ∴, ∴； 当点P在的延长线上时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，则，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 综上所述，的长为或9或3． 故答案为：或9或3 18．3或 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形面积公式等知识，分类讨论是解题关键． 分为当是直角边时和当是斜边时，分别解答即可． 【详解】解：当是直角边时，如图①：则边上的高的长度为； 当是斜边时， 如图②，过点作于点， ， ， ， ， 解得， ∴边上的高的长度为． 故答案为：3或． 19．的长度为或3 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出的三边的长度，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键，要注意分情况讨论，设，则，再根据翻折的性质可得，然后分两种情况求出，再利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， 沿直线折叠B落在处， ， 点为的三等分点，， 或， 当时，在中， ，即， 解得：； 当时，在中， ，即， 解得：， 综上所述，的长度为或3． 20．(1)， 理由见解析； (2)（1）中与的数量关系依然成立，即，理由见解析； (3)或． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据同角的余角相等得到，再证明，即可得出结论； （2）同理即可证明，即可得出结论； （3）根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据全等三角形的性质得出两种情况下的长． 【详解】（1）解：， 理由如下： ∵在中， ， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：（1）中与的数量关系依然成立，即，理由如下： ∵在中，， ∴， ∵点D是的中点， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （3）解：在中， 点D是的中点，， ， 在中，， 点E在运动的过程中，分两种情况讨论： ①当点E在点D的左侧运动时， ； ②当点E在点D的右侧运动时， ， 故答案为：或． 21．(1) (2)的值为或； (3)当或或或3时，为等腰三角形． 【分析】（1）设，则，在中，依据，列方程求解即可得到的值． （2）设，则，在中，依据，列方程求解即可得到的值． （3）分四种情况：当在上且时，当在上且时，当在上且时，当在上且时，分别依据等腰三角形的性质即可得到的值． 【详解】（1）解：如图，设，则， ，，， ， 在中，， ， 解得， ， ； （2）解：如图，过作于， 平分，， ， ∵， ∴， ∴， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， 当点与点重合时，点也在的角平分线上， 此时，． 综上所述，点恰好在的角平分线上，的值为或； （3）解：分四种情况： ①如图，当在上且时， ，而，， ， ， 是的中点，即， ． ②如图，当在上且时， ． ③如图，当在上且时，过作于，则， 中，， ， ． ④如图，当在上且时，， ． 综上所述，当或或或3时，为等腰三角形． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理的综合运用．画出图形，利用分类讨论的思想是解第（3）题的关键． 22．(1) (2)①；②1或或3 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，等角对等边，折叠的性质： （1）利用勾股定理求出b的值，再根据三角形周长公式求解即可； （2）①过P作于点G，设，证明，得到，，则，，再由勾股定理得，解方程即可得到答案；②分三种情形：如图2-1中，当于点J时，满足条件．如图2-2中，当时，满足条件．如图2-3中，当时，满足条件．分别求解即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得， ∴的周长为， 故答案为：； （2）解：①如图1中，过P作于点G，设，    ∵平分，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得， ∴当平分时，； ②如图2-1中，当于点J时，满足条件． ∵， ∴， ∴， 由折叠可知， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得：， ∴； 如图2-2中，当时，满足条件， 同理可得；    如图2-3中，当时，满足条件．    ∴， ∴， 由翻折的性质可知 ， ∴， ∴； 综上所述，当与重叠部分为直角三角形时，的长为1或或3． 23．(1；(2；(3)的长为或10 【分析】（1）求出，再由折叠的性质得，然后由勾股定理求出的长即可； （2）由长方形的性质得，，，再证，得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）分两种情况，①当点在长方形内部时，由折叠的性质得，，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； ②当点在长方形外部时，折叠的性质得，，同①得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1），， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即的长为； （2）四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； （3）解：四边形是长方形， ，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， 则， 分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，， 同①得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为或． 【点评】本题是四边形综合题，考查了长方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握长方形的性质、折叠的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 24．(1)22.5 (2)．理由见解析 (3)或 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质； （1）由等腰直角三角形的性质可得，由角平分线的性质可求解； （2）由可证，可得，由等腰直角三角形的性质可求解； （3）分两种情况讨论，由可证，可得，由等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）），， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：22.5； （2），理由如下： 如图 ①，过点作，交于点， 是直角三角形，，， ， ，，，， ， ， ，， ， ， ， ； （3）情况①：当点在射线上时，如图②． 过点作，交的延长线于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 情况 ②：当点在射线上时，如图 ③． 过点作，交的延长线于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 的长为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$