专题06 三角形易错必刷题型专训（99题33个考点）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （湘教版）

专题06 三角形易错必刷题型专训（99题33个考点） 【易错必刷一 三角形的分类】 1．（23-24七年级上·云南昆明·开学考试）一个平行四边形相邻两边的长分别是和，其中一条边上的高是，这个平行四边形的面积是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 2．（23-24七年级上·广东广州·开学考试）等腰三角形一个底角等于顶角的4倍，顶角是 度，按角分，它是 三角形． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）说出图中的锐角三角形，直角三角形和钝角三角形． 【易错必刷二 三角形的稳定性及应用】 1．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图所示，生活中在电线杆的两侧拉两条钢丝绳来加固电线杆，这是利用了三角形的（   ） A．全等性 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性 2．（23-24八年级上·广东珠海·期中）自行车的车架做成三角形，利用的原理是 ． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图是一个四腿木椅的侧视图，椅子已经变形，请你将椅子修复加固，并用虚线在图中标明位置． 【易错必刷三 四边形的不稳定性】 1．（2324八年级下·河北邢台·开学考试）如图，拉闸门的开关是利用了（　　）    A．三角形的稳定性 B．三角形的不稳定性 C．四边形的不稳定性 D．四边形的稳定性 2．（23-24八年级上·广东云浮·期中）新兴县实验中学教学楼一楼打开或者关闭铁闸门的过程是利用了四边形的 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？    【易错必刷四 三角形三边关系的应用】 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．2，5，3 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6 2．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如果三角形的两边长分别是和，第三边长是偶数，那么这个三角形的第三边长为 ． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图所示，D是内任意一点，连接，，证明：． 【易错必刷五 与三角形的高有关的计算问题】 1．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）如图，，与相交于点E，设的面积为，的面积为，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山东东营·阶段练习）如图，在中，，是边上的高，且，，， ． 3．（23-24八年级上·甘肃白银·期末）如图，中，高与的长分别为，，求与的比是多少？ 【易错必刷六 与平行线有关的三角形内角和问题】 1．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知，，垂足为点B，那么之间的数量关系是（      ）． A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·四川眉山·期末）如图，已知，直线EF分别交，于点F，点E，平分，若，则的度数为 ． 3．（23-24八年级上·甘肃白银·期末）【问题背景】观察小猪的主题，从中可以抽象出如图1所示的图形，    【问题探究】（1）如图1，，为、之间一点，连接、．可以得到与、之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【灵活应用】（2）如图2，直线，若，，求的度数． 【易错必刷七 与角平分线有关的三角形内角和问题】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点是、角平分线的交点，点是、角平分线的交点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，点D，F分别在的边的延长线上，分别平分，，若，则的度数为 ． 3．（24-25八年级上·山东潍坊·开学考试）如图，在中，，是边上的高，是的平分线．求的度数． 【易错必刷八 三角形内角和定理的应用】 1．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，，，，则x的值为（     ）    A．80 B．120 C．100 D．140 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）在中，，，则 ． 3．（23-24八年级上·河南许昌·期中）（1）如图1，有一块直角三角板放置在上，恰好三角板的两条直角边，分别经过点B、C．若， 度； （2）如图2，改变（1）中直角三角板的位置，使三角尺的两条直角边，仍然分别经过点B．C．，那么的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出的大小； （3）如果（1）中的其它条件不变，把“”改成“”，则＝ . 【易错必刷九 三角形的外角的定义及性质】 1．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知D为上一点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河南信阳·开学考试）如图，在中，D是延长线上一点，，，则 °． 3．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，，，且平分，求的度数． 【易错必刷十 利用网格求三角形面积】 1．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的面积为1，点在格点上，在格点取一点C，使得的面积等于1的点个数有（  ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，三角形的面积为 ． 3．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）已知点．求的面积． 【易错必刷十一 命题与证明】 1．（23-24八年级上·山东聊城·期末）下列语句中，属于命题的是（  ） A．作线段的垂直平分线 B．等角的补角相等吗 C．三角形是轴对称图形 D．用三条线段去拼成一个三角形 2．（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）请用“如果……那么……”的形式，写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题： ． 3．（23-24八年级下·湖南永州·期末）已知：，，是的内角．求证：，，中至多有一个角是钝角． 【易错必刷十二 等边对等角】 1．（23-24八年级上·河北保定·期末）已知等腰三角形的一个内角等于，则它的顶角是（   ） A． B． C． D．或 2．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点旋转了，小孩的位置从点运动到了点，则的度数为 ． 3．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，D为中边上一点，，，求的度数． 【易错必刷十三 根据三线合一证明】 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）对于等腰三角形形“三线合一”性质定理的推理过程，下列正确的是（    ） A．∵是等腰三角形，∴平分 B．∵是等腰三角形，∴平分，， C．∵是等腰三角形，平分，∴， D．∵是等腰三角形，平分，，∴ 2．（23-24八年级下·全国·课前预习）等腰三角形的性质： ①等腰三角形的两个底角相等，（简写成“ ”） ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．（简称“ ”） ③等腰三角形是 图形． 3．（23-24八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，在中，，D是边上的中点，于点E，于点F．求证：点D在的角平分线上． 【易错必刷十四 找出图中的等腰三角形】 1．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（  ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ 2．（2023·广西桂林·一模）如图，在ΔABC中，∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是 3．（23-24八年级上·广东广州·期中）（1）如图1,△ABC中,∠C=90°,请用直尺和圆规作一条直线,把△ABC分割成两个等腰三角形(不写作法,但须保留作图痕迹). （2）已知内角度数的两个三角形如图2,图3所示.请你判断,能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形?若能,请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数. 【易错必刷十五 根据等角对等边证明边相等】 1．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）在中，，则是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 2．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，已知平分，平分，且，设，，则的周长是 ． 3．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图1，中，的平分线交于O点，过O点作BC平行线交于、E． (1)请写出图1中线段之间的数量关系？并说明理由． (2)如图2，若的平分线与的外角平分线交于O，过点O作平行线交于D，交于E．那么之间存在什么数量关系？并证明这种关系． 【易错必刷十六 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 1．（23-24九年级·江苏·假期作业）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，M为x轴上一点，且使得为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，B是直线l上的一点，线段与l的夹角为，点C在l上，若以为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点C共有 个． 3．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，3），B（4，0），试在x轴上找点P使△ABP为等腰三角形，求点P的坐标． 【易错必刷十七 等腰三角形的性质和判定】 1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，中，是的角平分线，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河南鹤壁·期末）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若，则阴影部分的面积是 ． 3．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知如图，四边形中，，，求证：． 【易错必刷十八 根据等角对等边证明等腰三角形】 1．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）如图，在中，已知和的平分线交于点F，过F作交AB于点D，交AC于点E，如果，．那么等于（       ）    A．1 B．5 C．9 D．10 2．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，已知一块四边形草地，其中，，，，则这块土地的面积为 ．    3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，的平分线交于点．判断是否为等腰三角形?请说明理由．    【易错必刷十九 等边三角形的判定和性质】 1．（2024七年级下·全国·专题练习）在中，，则的周长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．7 2．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）在中，，则等于 ． 3．（23-24八年级下·江西上饶·开学考试）如图，在正六边形中，连接，请用无刻度的直尺，完成下列作图． (1)如图①，作出一个边长等于的等边三角形； (2)如图②，作出一个周长等于的等边三角形． 【易错必刷二十 等腰三角形的定义】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如果你将一张等腰三角形的纸片折一次，使得折痕平分这个等腰三角形的面积，这样的折纸方法有（　　） A．种 B．种 C．种 D．无数种 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）等腰三角形的两边长分别为4，6，则它的周长为 ． 3．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）若等腰的两条边长分别为和，这个等腰三角形的周长是多少？ 【易错必刷二十一 线段垂直平分线的判定的性质】 1．（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在中，，是上的一点，O是上一点，且，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023·黑龙江牡丹江·模拟预测）在中，，，点到的距离是，到的距离是，则等于 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知：如图，，，是上的一点． 求证：（利用“线段垂直平分线定理及其逆定理”证明） 【易错必刷二十二 作已知线段的垂直平分线】 1．（23-24八年级上·全国·期末）如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（    ） A．，两边垂直平分线的交点处 B．，两边中线的交点处 C．，两边高线的交点处 D．，两内角平分线的交点处 2．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）三名同学在玩抢凳子游戏，他们分别站在一个三角形三个顶点处，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的 ． 3．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在内找一点P，使点P到A，B两点的距离相等，并且点P到点C的距离等于线段的长．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）    【易错必刷二十三 作垂线(尺规作图)】 1．（23-24八年级下·山西运城·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．（23-24八年级上·吉林四平·期末）如图，已知线段，其垂直平分线的作法如下： 第一步：分别以点A和点B为圆心、长为半径作圆弧，两弧相交于点C和点D； 第二步：作直线． 上述作法中a满足的条件为a 2（填“”“”或“＝”）． 3．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）尺规作图：如图，是的边上的一点，利用直尺和圆规过点分别作、的垂线（不写作法，保留作图痕迹）．    【易错必刷二十四 图形的全等】 1．（23-24八年级上·江苏常州·期中）找出下列各组图中的全等图形（　　） A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦ 2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，画在透明纸上的和是全等形吗？ （填“是”或“不是”），理由是 ．    3．（23-24七年级上·山东菏泽·开学考试）如图，将图形分成大小、形状相同的三块，并且每块带一个☆．    【易错必刷二十五 全等三角形的概念和性质】 1．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级·广东广州·自主招生）如图，直角三角形直角三角形，已知，若，，，则图中阴影部分的面积为 ． 3．（23-24八年级下·全国·课前预习）如图，与全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角．    【易错必刷二十六 用SSS证明三角形全等（SSS）】 1．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，用直尺和圆规作射线，使它平分，则的理由是（    ） A．SSS B．SAS C．AAS D．HL 2．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，已知，根据“”只需补充条件 就可以判定． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，，求证：． 【易错必刷二十七 用SAS证明三角形全等（SAS）】 1．（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，在中，平分，，可用“”判断全等的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．以上三个选项都可以 2．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，．若要直接根据“SAS”说明，需添加的条件是 ． 3．（23-24八年级上·陕西渭南·期中）如图，已知平分，．求证：． 【易错必刷二十八 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）】 1．（23-24七年级下·江苏南通·期末）如图，，，则的判定依据为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，，，，，则等于 ． 3．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，A，F，E，C四点在同一条直线上，．求证：． 【易错必刷二十九 用HL证全等（HL）】 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，AB⊥BC于点B，AD⊥DC于点D，若CB＝CD，且∠1＝30°，则∠BAD的度数是(             ) A．90° B．60° C．30° D．15° 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）过等腰的顶点A作底边的垂线，能得到两个全等三角形，其理由是 ． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知：三角形中，，证明：．（作AD垂直于边BC交于点D） 【易错必刷三十 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）】 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023七年级下·山东济南·专题练习）如图，，要证明与全等，只需增加的一个条件是 3．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，，，点，，在同一直线上，请添加一个条件___________，运用“HL”判定定理，使得，并写出证明过程． 【易错必刷三十一 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合）】 1．（23-24七年级上·山东淄博·期中）利用尺规作，根据下列条件作出的不唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画 个．    3．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，小华想作出的平分线，但她没带圆规，手边只有刻度尺，请你帮她设计一个方法．（要求：作出图形，并写出简要的作图步骤，不需要证明）    【易错必刷三十二 全等三角形综合问题】 1．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走4米，同时从出发，若射线上有一点P，使得和全等，则线段的长度为（    ）米 A．6或60 B．60 C．24或60 D．6 2．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，中，，点P与点Q分别在和上移动，且则当 时，和全等． 3．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）如图，四边形，点E，F在边上，满足，，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【易错必刷三十三 作等腰三角形(尺规作图)】 1．（2023·山东泰安·二模）如图是一个直角三角形，若以这个直角三角形的一边为边画一个等腰三角形，使它的第三个顶点在这个直角三角形的其他边上，那么这样的等腰三角形在图中能够作出的个数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是 ． 3．（23-24七年级下·山东青岛·期末）已知线段a，求作等腰三角形，使三边分别为a、、． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 三角形易错必刷题型专训（99题33个考点） 【易错必刷一 三角形的分类】 1．（23-24七年级上·云南昆明·开学考试）一个平行四边形相邻两边的长分别是和，其中一条边上的高是，这个平行四边形的面积是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形中，斜边长大于直角边长，得到高是的这条边的长只能是，据此根据平行四边形的面积计算公式求解即可． 【详解】解：因为直角三角形中，斜边长大于直角边长， 所以一条边上的高是，那么这条边的长只能是， 所以此平行四边形的面积为， 故选：A． 2．（23-24七年级上·广东广州·开学考试）等腰三角形一个底角等于顶角的4倍，顶角是 度，按角分，它是 三角形． 【答案】 20 锐角 【分析】本题主要考查了三角形的分类．设顶角度数为，则，即可解得，故三个内角度数为20，80，80，即可得它是锐角三角形． 【详解】解：设顶角度数为，则， 解得， 故三个内角度数为20，80，80， 它是锐角三角形． 故答案为：20，锐角． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）说出图中的锐角三角形，直角三角形和钝角三角形． 【答案】锐角三角形有：，直角三角形有：，钝角三角形有： 【分析】根据三角形的分类进行求解即可． 【详解】解：由题意得：锐角三角形有：，直角三角形有：，钝角三角形有：． 【点睛】本题主要考查了三角形的分类，熟知三角形的分类方法是解题的关键． 【易错必刷二 三角形的稳定性及应用】 1．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图所示，生活中在电线杆的两侧拉两条钢丝绳来加固电线杆，这是利用了三角形的（   ） A．全等性 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性 【答案】B 【分析】本题考查三角形的特性，根据三角形具有稳定性可直接得出答案． 【详解】解：三角形具有稳定性，因此这是利用三角形的稳定性， 故选：B． 2．（23-24八年级上·广东珠海·期中）自行车的车架做成三角形，利用的原理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 【详解】解：根据题意可得，自行车的三角形车架，这是利用了三角形的稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图是一个四腿木椅的侧视图，椅子已经变形，请你将椅子修复加固，并用虚线在图中标明位置． 【答案】见解析 【分析】根据三角形的稳定性进行解答． 【详解】由于四边形具有不稳定性，所以四腿木椅久坐容易变形，可以利用三角形的稳定性在两腿之间的四边形对角线处加固两根木条使其牢固，如图所示： ． 【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 【易错必刷三 四边形的不稳定性】 1．（2324八年级下·河北邢台·开学考试）如图，拉闸门的开关是利用了（　　）    A．三角形的稳定性 B．三角形的不稳定性 C．四边形的不稳定性 D．四边形的稳定性 【答案】C 【分析】根据四边形的不稳定性即可求解． 【详解】解：拉闸门的开关利用了四边形的不稳定性， 故选：C． 【点睛】本题考查了四边形的不稳定性，熟练掌握四边形的不稳定性是解题的关键． 2．（23-24八年级上·广东云浮·期中）新兴县实验中学教学楼一楼打开或者关闭铁闸门的过程是利用了四边形的 【答案】不稳定性 【分析】利用四边形的不稳定性进行解答． 【详解】解：铁闸门做成四边形的形状，是利用四边形的不稳定性，易变形的特性． 故答案为：不稳定性． 【点睛】本题考查了四边形的不稳定性，四边形的不稳定性运用比较广泛，铁闸门的制作运用了四边形的不稳定性． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？    【答案】这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为 【分析】分两种情况进行讨论，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，分别求解即可． 【详解】由于B，C两处可以转动，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，它等于；当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，它等于． 答：这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的大小和形状就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 【易错必刷四 三角形三边关系的应用】 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．2，5，3 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系分别判断即可．本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：， ，3，5不能组成三角形， 故A选项不符合题意； ， ，2，7不能组成三角形， 故B不符合题意； ， ，5，7能组成三角形， 故C符合题意； ， ，3，6不能组成三角形， 故D不符合题意， 故选：C． 2．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如果三角形的两边长分别是和，第三边长是偶数，那么这个三角形的第三边长为 ． 【答案】6 【分析】此题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系“第三边应等于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是偶数，确定第三边的值． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得：第三边的取值范围是大于4而小于8， 又∵第三边又是偶数，则第三边是6． ∴它的第三边是6． 故答案为6． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图所示，D是内任意一点，连接，，证明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理，把这些分散的线段集中在三角形中，利用三角形的三边关系证明即可． 【详解】证明：如图所示，延长交于点E， 在中，． 在中，． 上述两式相加，得， ， ． 【易错必刷五 与三角形的高有关的计算问题】 1．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）如图，，与相交于点E，设的面积为，的面积为，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同底等高的两个三角形面积相等得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：， ， ，即， ， 故选：A． 2．（23-24七年级上·山东东营·阶段练习）如图，在中，，是边上的高，且，，， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，根据，代入数据求出即可． 【详解】解：∵在中，，是边上的高， ∴， ∵，，， ∴． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·甘肃白银·期末）如图，中，高与的长分别为，，求与的比是多少？ 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积，熟练掌握三角形的面积公式是解决本题的关键. 【详解】∵， ∴. ∵，， ∴， 即. 【易错必刷六 与平行线有关的三角形内角和问题】 1．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知，，垂足为点B，那么之间的数量关系是（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理， 延长交于点G，根据平行线的性质得到，然后表示出，，然后在中利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】如图所示，延长交于点G， ∵ ∴ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴整理得，． 故选：D． 2．（23-24七年级上·四川眉山·期末）如图，已知，直线EF分别交，于点F，点E，平分，若，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】此题考查平行线的性质和三角形内角和定理，根据平行线的性质“两直线平行，内错角想到”，再利用角平分线的性质推出，这样就可根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·甘肃白银·期末）【问题背景】观察小猪的主题，从中可以抽象出如图1所示的图形，    【问题探究】（1）如图1，，为、之间一点，连接、．可以得到与、之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【灵活应用】（2）如图2，直线，若，，求的度数． 【答案】（1），见解析；（2） 【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用． （1）过点E作，从而可得，结合平行线的性质即可求解； （2）由三角形的内角和可求得，由对顶角相等得 ，再结合（1）的结论进行求解即可． 【详解】解：（1）， 理由如下：点作，如图1，   ， ， ，， ， ； （2），， ， ， 由（1）可得． 【易错必刷七 与角平分线有关的三角形内角和问题】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点是、角平分线的交点，点是、角平分线的交点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识；设，，由，推出，推出，推出，可得，由此即可解决问题． 【详解】解：设，， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 故选：C． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，点D，F分别在的边的延长线上，分别平分，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，由题意得，进一步得；根据，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵分别平分，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东潍坊·开学考试）如图，在中，，是边上的高，是的平分线．求的度数． 【答案】 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，根据三角形的内角和等于求出的度数，然后根据角平分线的定义求出，再求解即可；本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线的定义，三角形的高线，准确识图是解题的关键． 【详解】解：，， ， 是平分线， ， 是边上的高，， ， ． 【易错必刷八 三角形内角和定理的应用】 1．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，，，，则x的值为（     ）    A．80 B．120 C．100 D．140 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，由三角形内角求得是解决问题的关键． 【详解】解：三角形内角和是 ，， ，即的值为， 故选：D． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）在中，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理．根据三角形内角和可得，再由，，进而得到的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·河南许昌·期中）（1）如图1，有一块直角三角板放置在上，恰好三角板的两条直角边，分别经过点B、C．若， 度； （2）如图2，改变（1）中直角三角板的位置，使三角尺的两条直角边，仍然分别经过点B．C．，那么的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出的大小； （3）如果（1）中的其它条件不变，把“”改成“”，则＝ . 【答案】（1）50；（2）不变化，；（3） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理： （1）根据三角形内角和为先求出，再求出，则，问题得解． （2）利用（1）的方法即可作答 （3）利用（1）的方法即可作答． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵在直角三角板中，， ∴， ∴， 即． （2）不发生变化，理由如下： ∵， ∴， ∵在直角三角板中，， ∴， ∴， 即． （3）∵， ∴， ∵在直角三角板中，， ∴， ∴， 即． 【易错必刷九 三角形的外角的定义及性质】 1．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知D为上一点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角的性质．熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 由题意知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， 故选：B． 2．（23-24八年级下·河南信阳·开学考试）如图，在中，D是延长线上一点，，，则 °． 【答案】110 【分析】解：本题主要考查了三角形外角的定义和性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和即可求解． 【详解】解：∵在中，D是延长线上一点，，， ∴， 故答案为：110． 3．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，，，且平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外角性质以及角平分线的定义，准确识别图形是解题的关键． 根据三角形的外角性质求得的度数，根据角的平分线的定义求得的度数，再利用三角形的外角性质即可求得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴． 【易错必刷十 利用网格求三角形面积】 1．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的面积为1，点在格点上，在格点取一点C，使得的面积等于1的点个数有（  ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的面积问题，能够结合图形进行求解．以为腰可得出4个等腰直角三角形，其面积为1，又有两个钝角三角形，其面积也为1，故满足条件的点共有6个． 【详解】如图，以为腰可得出4个等腰直角三角形，其面积为1，又有两个钝角三角形，其面积也为1，故满足条件的点共有6个． 这样的点共有6个． 故选：C． 2．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，三角形的面积为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形面积公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，点A到的距离， ∴三角形的面积为． 故答案为10． 3．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）已知点．求的面积． 【答案】9 【分析】本题主要考查了坐标与图形．根据，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴ 【易错必刷十一 命题与证明】 1．（23-24八年级上·山东聊城·期末）下列语句中，属于命题的是（  ） A．作线段的垂直平分线 B．等角的补角相等吗 C．三角形是轴对称图形 D．用三条线段去拼成一个三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 分析是否是命题，需要分别分析各选项是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句． 【详解】解：A、没对一件事情做出判断，不符合命题的概念，故本选项不符合； B、是问句，未做判断，故本选项不符合； C、符合命题的概念，故本选项符合； D、没对一件事情做出判断，不符合命题的概念，故本选项不符合； 故选：C． 2．（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）请用“如果……那么……”的形式，写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题： ． 【答案】如果三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形 【分析】本题主要考查逆命题，先用“如果……那么……”的形式将“直角三角形的两个锐角互余”表述为：如果三角形是直角三角形，那么这个三角形的两个锐角互余，根据逆命题的定义，即可求得答案． 【详解】解：“直角三角形的两个锐角互余”用“如果……那么……”的形式表述为：如果三角形是直角三角形，那么这个三角形的两个锐角互余， 逆命题为：如果三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形． 故答案为：如果三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形． 3．（23-24八年级下·湖南永州·期末）已知：，，是的内角．求证：，，中至多有一个角是钝角． 【答案】见解析 【分析】利用反证法的步骤得出答案．首先假设∠、∠、∠中有两个或三个钝角（或∠、∠、∠中至少有两个钝角），然后再去说明我们的假设与三角形内角和定理矛盾，因而假设错误，所以∠A，∠B，∠C中至多有一个角是钝角． 【详解】证明：假设∠、∠、∠中有两个或三个钝角， 则， 与三角形内角和定理矛盾，因而假设错误， 所以∠A，∠B，∠C中至多有一个角是钝角． 【点睛】此题主要考查了反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 【易错必刷十二 等边对等角】 1．（23-24八年级上·河北保定·期末）已知等腰三角形的一个内角等于，则它的顶角是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分角是等腰三角形的顶角和底角两种情况解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，学会分类思想求解是解题的关键． 【详解】解：当角是顶角时，此时无需求解； 当角是底角时，此时，顶角为， 故选D． 2．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点旋转了，小孩的位置从点运动到了点，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理．先根据题意得到，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理进行解答即可． 【详解】解：由题意可知：，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，D为中边上一点，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，设，先根据等边对等角得到，再求出，利用三角形内角和定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 【易错必刷十三 根据三线合一证明】 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）对于等腰三角形形“三线合一”性质定理的推理过程，下列正确的是（    ） A．∵是等腰三角形，∴平分 B．∵是等腰三角形，∴平分，， C．∵是等腰三角形，平分，∴， D．∵是等腰三角形，平分，，∴ 【答案】C 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质来判断各选项． 【详解】解：“三线合一”性质定理的推理过程为： ∵是等腰三角形，平分， ∴，， 或∵是等腰三角形，， ∴，平分， 或∵是等腰三角形，， ∴平分，， 故选：C． 【点睛】此题主要考查的是等腰三角形的判定和性质．等腰三角形“三线合一”是指底边上的中线、垂线、顶角上的角平分线，三线合一． 2．（23-24八年级下·全国·课前预习）等腰三角形的性质： ①等腰三角形的两个底角相等，（简写成“ ”） ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．（简称“ ”） ③等腰三角形是 图形． 【答案】 等边对等角 三线合一 轴对称 【解析】略 3．（23-24八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，在中，，D是边上的中点，于点E，于点F．求证：点D在的角平分线上． 【答案】证明见解析 【分析】连接，D是的中点，那么就是等腰底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道也是的角平分线． 【详解】证明：如图，连接． ∵，点D是边上的中点， ∴是等腰底边上的中线， ∴平分． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 【易错必刷十四 找出图中的等腰三角形】 1．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（  ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】逐个画出图形，即可得到答案． 【详解】解：图①中，∠A=36°，AB=AC，则∠ABC=∠ACB=72°， 以B为顶点，在△ABC内作∠ABC的平分线，则∠ABD=∠DBC=36°， ∴∠A=∠ABD=36°， ∴△ABD是等腰三角形， 而∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°，∠ACB=72°， ∴∠ACB=∠BDC=72°， ∴△BDC是等腰三角形， 故直线BD将△ABC分成了两个小等腰三角形，故①符合题意； 图③中，∠BAC=90°，AB=AC， ∴△ABC是等腰直角三角形，∠B=∠C=45°， 过A作AE⊥BC于E，如图： 则△ABE和△ACE是等腰直角三角形， 故直线AE将△ABC分成了两个小等腰三角形，故③符合题意； 图④中，∠BAC=108°，AB=AC，则∠B=∠C=36°， 以A为顶点，在△ABC内作∠BAF=72°，如图： 则△ABF和△ACF都是等腰三角形，故④符合题意； 图②是等边三角形，没有直线能将它分成两个小的等腰三角形， 故②不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，涉及三角形内角和定理的应用，解题的关键是分别画出图形，计算图中角的大小，用等边对等角判断等腰三角形． 2．（2023·广西桂林·一模）如图，在ΔABC中，∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是 【答案】3 【分析】由已知条件，利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案． 【详解】解：∵AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形． ∵∠A=36°， ∴∠C=∠ABC=72°． ∵BD平分∠ABC交AC于D， ∴∠ABD=∠DBC=36°， ∵∠A=∠ABD=36°， ∴△ABD是等腰三角形． ∵∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C， ∴△BDC是等腰三角形． ∴共有3个等腰三角形． 故答案为3． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键． 3．（23-24八年级上·广东广州·期中）（1）如图1,△ABC中,∠C=90°,请用直尺和圆规作一条直线,把△ABC分割成两个等腰三角形(不写作法,但须保留作图痕迹). （2）已知内角度数的两个三角形如图2,图3所示.请你判断,能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形?若能,请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数. 【答案】（1）见解析；（2）图2能画一条直线分割成两个等腰三角形，分割成的两个等腰三角形的顶角分别是132°和84°；图3不能分割成两个等腰三角形. 【分析】（1）本题中，只要找到斜边中点，然后连接直角顶点和斜边中点，那么分成的两个三角形就是等腰三角形．那么只要作AC的垂直平分线就可以了．AC的垂直平分线与AB的交点就是AB的中点； （2）本题要先根据三角形的内角和求出另一角的度数，然后看看是否能分成等腰三角形． 图2可以将∠B分成24°和48°．图3不能分成等腰三角形． 【详解】（1）如图,直线CE即为所求； （2）图2能画一条直线分割成两个等腰三角形, 分割成的两个等腰三角形的顶角分别是132°和84°. 图3不能分割成两个等腰三角形. 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质和三角形的内角和，等腰三角形的判定等知识点．注意本题作图中的理论依据是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【易错必刷十五 根据等角对等边证明边相等】 1．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）在中，，则是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设三个内角的度数分别为，，，根据三角形的内角和等于，列方程求三个内角的度数，从而确定三角形的形状．本题考查了三角形的内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键． 【详解】解：设三个内角的度数分别为，，则 ， 解得， ∴，， ∴这个三角形是等腰直角三角形， 故选：． 2．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，已知平分，平分，且，设，，则的周长是 ． 【答案】30 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质，是基础知识要熟练掌握．根据平分平分，且，可得出，进而可得出结论． 【详解】解：平分平分， ， ， ， ， ， 的周长， 故答案为：30． 3．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图1，中，的平分线交于O点，过O点作BC平行线交于、E． (1)请写出图1中线段之间的数量关系？并说明理由． (2)如图2，若的平分线与的外角平分线交于O，过点O作平行线交于D，交于E．那么之间存在什么数量关系？并证明这种关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等角对等边： （1）和的平分线相交于点O， ，所以， 进而，即可求解； （2）和的平分线相交于点O，所以，过O点作平行线交于D、E．得，进而即可求解； 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和的平分线相交于点O， ∴，， ∵过O点作平行线交于D、E． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：，理由如下： ∵和的平分线相交于点O， ∴， ∵过O点作平行线交于D、E． ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【易错必刷十六 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 1．（23-24九年级·江苏·假期作业）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，M为x轴上一点，且使得为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分别以、为圆心，以长为半径作圆，与轴交点即为所求点，再作线段的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点，作出图形，利用数形结合求解即可． 【详解】解：如图，满足条件的点的个数为2． 故选B．    【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，B是直线l上的一点，线段与l的夹角为，点C在l上，若以为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点C共有 个． 【答案】2或4 【分析】分别根据当α=90°，当α为锐角与钝角时，得出即可． 【详解】解：如图1，当α=90°， ∴只有两个点符合要求， 如图2，当α为锐角与钝角时， 符合条件的点有4个， 分别是AC3=AB，AB=BC2，AC1=BC，AB=BC． ∴满足条件的点C共有：2或4个． 故答案为：2或4． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，利用分类讨论得出是解题关键． 3．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，3），B（4，0），试在x轴上找点P使△ABP为等腰三角形，求点P的坐标． 【答案】点P的坐标为：（9，0），（﹣1，0），（﹣4，0），（，0） 【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】解：∵点A（0，3），B（4，0）， ∴AO＝3，BO＝4， ∴AB＝＝5， △ABP是等腰三角形，点P在x轴上，则有三种情况， ①若BA＝BP＝5， ∴点P的坐标为（9，0），（﹣1，0）， ②若AB＝AP＝5，且AO⊥BO， 可得OP＝OB＝4， ∴点P的坐标为（﹣4，0） ③若PA＝PB， ∵PA2＝AO2+OP2， ∴PB2＝9+（4﹣PB）2， ∴PB＝， ∴PO＝， 点P的坐标为（，0）； 综上所述：点P的坐标为：（9，0），（﹣1，0），（﹣4，0）；（，0）； 【点睛】此题主要考查坐标与图形，解题的关键根据分情况讨论. 【易错必刷十七 等腰三角形的性质和判定】 1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，中，是的角平分线，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，根据等腰三角形的判定与性质进行逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故A不符合题意； ∵平分， ∴，故B不符合题意； ∴，故C不符合题意； 根据现有条件无法得到，故D符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级上·河南鹤壁·期末）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若，则阴影部分的面积是 ． 【答案】98 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，由于，那么也是等腰直角三角形，可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积． 【详解】解：由题意可知， ∴， ∴． 故． 故答案为：98． 3．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知如图，四边形中，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定方法，即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．连接，使这个四边形变成两个三角形，然后利用等腰三角形的性质，可得． 【详解】证明：连接， 中，， ． 又，，； ． （等角对等边）． 【易错必刷十八 根据等角对等边证明等腰三角形】 1．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）如图，在中，已知和的平分线交于点F，过F作交AB于点D，交AC于点E，如果，．那么等于（       ）    A．1 B．5 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据已知条件，可判断出和为等腰三角形，从而能够证明即可解决． 【详解】解：、分别平分、， ，， ， ，， ，， ，， ， ， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，利用边角关系并结合等量代换来推导证明． 2．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，已知一块四边形草地，其中，，，，则这块土地的面积为 ．    【答案】 【分析】分别延长交于点，证明和是等腰直角三角形，然后求出和的面积即可． 【详解】解：如图，分别延长交于点，   ，， ， ， m，m， m，m， ，， 这块土地的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过作辅助线，构造新的直角三角形，利用土地的面积来求解． 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，的平分线交于点．判断是否为等腰三角形?请说明理由．    【答案】是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意求得即可求证． 【详解】解：是等腰三角形，理由如下： ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴是等腰三角形 【易错必刷十九 等边三角形的判定和性质】 1．（2024七年级下·全国·专题练习）在中，，则的周长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，根据题意可知是等边三角形，进而求出周长即可． 【详解】解：， ∴是等边三角形， ， ∴的周长． 故选：C． 2．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）在中，，则等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，根据，得到，证明是等边三角形，即可得出结果． 【详解】解：， ， ∴是等边三角形， ， 故答案为：5． 3．（23-24八年级下·江西上饶·开学考试）如图，在正六边形中，连接，请用无刻度的直尺，完成下列作图． (1)如图①，作出一个边长等于的等边三角形； (2)如图②，作出一个周长等于的等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）连接、，即为所求； （2）连接交于，连接交于，即为所求； 【详解】（1）解：边长为的等边三角形如图所示； ； （2）解：周长等于的等边三角形如图所示； ． 【易错必刷二十 等腰三角形的定义】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如果你将一张等腰三角形的纸片折一次，使得折痕平分这个等腰三角形的面积，这样的折纸方法有（　　） A．种 B．种 C．种 D．无数种 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练等腰三角形的性质是解题的关键． 只要保证折痕两边部分面积相等即可，这样的折纸方法有无数种． 【详解】解：只要保证折痕两边部分面积相等即可，这样的折纸方法有无数种，要求，底和高都是任意取，只要满足上述条件即可． 故选：D． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）等腰三角形的两边长分别为4，6，则它的周长为 ． 【答案】14或16 【分析】此题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系．此题难度不大，解题的关键是注意分类讨论思想的应用，避免漏解． 由等腰三角形两边长为4、6，分别从等腰三角形的腰长为4或6去分析即可求得答案，注意分析能否组成三角形． 【详解】解：①若等腰三角形的腰长为4，底边长为6， ∵， ∴能组成三角形， ∴它的周长是：； ②若等腰三角形的腰长为6，底边长为4， ∵， ∴能组成三角形， ∴它的周长是：， 综上所述，它的周长是：14或16． 故答案为：14或16． 3．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）若等腰的两条边长分别为和，这个等腰三角形的周长是多少？ 【答案】 【分析】此题考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形的两腰相等的性质分两种情况求出周长即可，当等腰三角形的边长不固定时，要分情况求出等腰三角形的周长，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键 【详解】解：当腰长为时，三角形三边长分别为， ∵， ∴不能构成三角形，故舍去； 当腰长为时，三角形三边长分别为， ∴三角形的周长为 【易错必刷二十一 线段垂直平分线的判定的性质】 1．（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在中，，是上的一点，O是上一点，且，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，先根据，，得出直线是线段的垂直平分线，结合垂直平分线的性质，即可作答． 【详解】解：∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴是的中点 ∴ 故选：B 2．（2023·黑龙江牡丹江·模拟预测）在中，，，点到的距离是，到的距离是，则等于 【答案】2或10 【分析】根据可判断点都在的垂直平分线上，然后分两种情况讨论：①当点在的内部时，②当点O在的外部时，分别计算即可． 【详解】解：∵， ∴点都在的垂直平分线上， 由题意知，分两种情况： ①当点在的内部时，； ②当点O在的外部时，； 故答案为：2或10． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的基本性质．解本题的关键在于分类讨论． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知：如图，，，是上的一点． 求证：（利用“线段垂直平分线定理及其逆定理”证明） 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线定理及其逆定理，熟练掌握线段垂直平分线定理及其逆定理是解题的关键，证点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上，得垂直平分，从而． 【详解】解：∵，， ∴点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴． 【易错必刷二十二 作已知线段的垂直平分线】 1．（23-24八年级上·全国·期末）如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（    ） A．，两边垂直平分线的交点处 B．，两边中线的交点处 C．，两边高线的交点处 D．，两内角平分线的交点处 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线性质定理是解题的关键． 【详解】解：A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等， ∴文化广场应建在，两边垂直平分线的交点处， 故选：A． 2．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）三名同学在玩抢凳子游戏，他们分别站在一个三角形三个顶点处，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的 ． 【答案】三边垂直平分线交点 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；根据三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等可得答案． 【详解】解：依题意，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三边垂直平分线交点， 故答案为：三边垂直平分线交点． 3．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在内找一点P，使点P到A，B两点的距离相等，并且点P到点C的距离等于线段的长．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）    【答案】见解析 【分析】的垂直平分线上的点到A，B两点的距离相等，以点为圆心，为半径的圆上任意一点到点C的距离等于线段的长．据此即可作图． 【详解】解：如图所示，点P即为所求．    【点睛】本题考查线段垂直平分线的尺规作图．掌握相关作图方法即可． 【易错必刷二十三 作垂线(尺规作图)】 1．（23-24八年级下·山西运城·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和尺规作图，根据作图方法可得垂直平分，，据此可得的周长． 【详解】解：由作图方法可知垂直平分， ∴， ∴的周长， 故选：B． 2．（23-24八年级上·吉林四平·期末）如图，已知线段，其垂直平分线的作法如下： 第一步：分别以点A和点B为圆心、长为半径作圆弧，两弧相交于点C和点D； 第二步：作直线． 上述作法中a满足的条件为a 2（填“”“”或“＝”）． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图-作已知线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的做法即可求解． 【详解】解：由题意， ∵， ∴． 故答案为： 3．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）尺规作图：如图，是的边上的一点，利用直尺和圆规过点分别作、的垂线（不写作法，保留作图痕迹）．    【答案】作图见解析 【分析】此题主要考查了基本尺规作图，熟练掌握过直线外一点作已知直线的垂线和过直线上一点作已知直线的垂线的方法和步骤是解决问题的关键．分别利用尺规过直线外一点作已知直线的垂线和过直线上一点作已知直线的垂线即可． 【详解】解：（1）过点作的垂线，作法如下： ①在所在的平面内取一点，使点与点在的两侧， ②以点为圆心，以为半径画弧交于，； ③分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点； ④过点，作直线即为所求，如图所示：    （2）过点作的垂线，作法如下： ①以点为圆心，以适当的长为半径画弧交于点，； ②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点； ③过点，作直线即为所求，如图所示． 【易错必刷二十四 图形的全等】 1．（23-24八年级上·江苏常州·期中）找出下列各组图中的全等图形（　　） A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦ 【答案】C 【分析】本题考查了全等图形的定义，直接根据全等图形的定义判断即可． 【详解】解：∵图形②和图形⑥不能够完全重合， 故A选项不符合题意； ∵图形②和图形⑦不能够完全重合， 故B选项不符合题意； ∵图形③和图形④能够完全重合， 故C选项符合题意； ∵图形⑥和图形⑦不能够完全重合， 故D选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，画在透明纸上的和是全等形吗？ （填“是”或“不是”），理由是 ．    【答案】 是 把和放在一起能够完全重合 【分析】根据全等三角形的性质可进行求解． 【详解】解：根据题意可知和是全等形；理由是能把和放在一起能够完全重合； 故答案为是，把和放在一起能够完全重合． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 3．（23-24七年级上·山东菏泽·开学考试）如图，将图形分成大小、形状相同的三块，并且每块带一个☆．    【答案】见解析 【分析】根据图形可知本题分割的难点在于五角星的分割，所以先观察每个五角星所在的位置，在寻找三个五角星共同的位置特征，因为图中一共有12个正方形，所以每个图形拥有四个正方形，结合五角星所在位置的共同特征去分割图形即可． 【详解】解：如下图所示，将图形分成大小、形状相同的三块，并且每块带一个☆，     【点睛】本题考查对图形的观察和分析能力，能够找到三个特殊点共同的位置特征是解决本题的关键． 【易错必刷二十五 全等三角形的概念和性质】 1．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键．根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等解答即可． 【详解】解：∵， ，，， 故①③正确； ∴ ∴ 故④正确， 无法证明，故②错误， 综上所述，结论正确的是①③④共3个． 故选：C． 2．（23-24八年级·广东广州·自主招生）如图，直角三角形直角三角形，已知，若，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】36 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由得，则阴影部分的面积梯形的面积，再根据梯形的面积公式即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：36． 3．（23-24八年级下·全国·课前预习）如图，与全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角．    【答案】；相等的边为，，；相等的角为，， 【分析】根据图形可得出对应点并可确定对应关系，然后用全等符号表示这两个三角形全等，然后根据全等的性质即可得出相等的边和角． 【详解】解：∵如图，与全等， ∴点与点，点与点，点与点是对应顶点， ∴； 相等的边为，，； 相等的角为，，． 【点睛】本题考查全等三角形表示及性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【易错必刷二十六 用SSS证明三角形全等（SSS）】 1．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，用直尺和圆规作射线，使它平分，则的理由是（    ） A．SSS B．SAS C．AAS D．HL 【答案】A 【分析】此题考查全等三角形的判定，关键是根据三角形全等的判定方法解答．根据作图知，用证明三角形全等即可． 【详解】解：由作图可知，， 在与中 ， ， 故选：A． 2．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，已知，根据“”只需补充条件 就可以判定． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：．对应的三边相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】解：在和中， ， ． 故答案为：． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，已知，又公共，根据即可证明． 【详解】证明：在与中， ， ∴． 【易错必刷二十七 用SAS证明三角形全等（SAS）】 1．（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，在中，平分，，可用“”判断全等的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．以上三个选项都可以 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据角平分线的定义得到，由全等三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， 故选：C． 2．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，．若要直接根据“SAS”说明，需添加的条件是 ． 【答案】 【解析】略 3．（23-24八年级上·陕西渭南·期中）如图，已知平分，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据平分，可得，再根据边角边可证明． 【详解】证明：∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴． 【易错必刷二十八 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）】 1．（23-24七年级下·江苏南通·期末）如图，，，则的判定依据为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定．熟练掌握三角形全等的判定定理，找出隐含条件（公共边、公共角），是解答本题的关键． 已知两边对应相等，两角对应相等，再加上公共角相等，根据“”即可得出结论． 【详解】∵在与中，， ∴． 故选：A． 2．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，，，，，则等于 ． 【答案】3； 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，根据得到，结合角边角判定即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：3． 3．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，A，F，E，C四点在同一条直线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】题目主要考查平行性的性质及全等三角形的判定，根据题意得出，，，再由全等三角形的判定即可证明． 【详解】证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【易错必刷二十九 用HL证全等（HL）】 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，AB⊥BC于点B，AD⊥DC于点D，若CB＝CD，且∠1＝30°，则∠BAD的度数是(             ) A．90° B．60° C．30° D．15° 【答案】B 【分析】根据HL判定△ABC≌△ADC，得出∠BAC=∠DAC=30°，进而求出∠BAD=60°． 【详解】解：∵AB⊥BC于B，AD⊥CD于D ∴∠ABC=∠ADC=90° 又∵CB=CD，AC=AC ∴△ABC≌△ADC（HL） ∴∠BAC=∠DAC=30° ∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=60° 故选B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质．直角三角形的全等首先要思考能否用HL，若不满足条件，再思考其它判定方法，这是一般规律，要注意应用． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）过等腰的顶点A作底边的垂线，能得到两个全等三角形，其理由是 ． 【答案】HL 【分析】设垂足为D，根据直角三角形全等的判定即可得到两个三角形全等． 【详解】设垂足为D，如图，则∠ADB=∠ADC=90° ∵AB=AC，AD=AD ∴Rt△ADB≌Rt△ADC(HL) 故答案为：HL 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、两个直角三角形全等的判定，掌握这两个知识是关键． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知：三角形中，，证明：．（作AD垂直于边BC交于点D） 【答案】见解析 【分析】作AD⊥BC交BC于点D，可根据HL证明△ABD≌△ACD，则∠B=∠C． 【详解】解：如图， 作AD⊥BC交BC于点D， ∴∠BDA=∠CDA=90°， 在Rt△ABD和Rt△ACD， ∵AD=AD，AB=AC， ∴△ABD≌△ACD（HL）， ∴∠B=∠C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，解决本题的关键是要正确作出辅助线利用全等三角形的判定定理求证． 【易错必刷三十 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）】 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定定理．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：已知，且， 当添加，根据能判断，选项A不符合题意； 当添加，根据能判断，选项B不符合题意； 当添加，根据能判断，选项D不符合题意； 如果添加，不能根据判断，选项C符合题意； 故选：C． 2．（2023七年级下·山东济南·专题练习）如图，，要证明与全等，只需增加的一个条件是 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，熟练掌握三角形全等的判定是解决此类问题的关键．要判定，已知，是公共边，具备了两组边对应相等，故添加即可． 【详解】解：添加，根据，能判定； 故答案为：（答案不唯一）． 3．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，，，点，，在同一直线上，请添加一个条件___________，运用“HL”判定定理，使得，并写出证明过程． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形全等的判定，利用“”判定判断即可；熟知三角形全等的条件是关键． 【详解】解：添加条件： 在与中， 故答案为：或 【易错必刷三十一 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合）】 1．（23-24七年级上·山东淄博·期中）利用尺规作，根据下列条件作出的不唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查结合尺规作图的全等问题，根据全等三角形的判定方法逐个分析即可． 【详解】解：A，，，，根据，可以作出唯一三角形； B， ，，，根据，可以作出唯一三角形； C，，，，形式，作出的不唯一； D，，，，根据，可以作出唯一三角形． 故选C． 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画 个．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定画出三角形即可，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键． 【详解】解：如图所示：    使，则这样的格点三角形最多可以画7个， 故答案为：7 3．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，小华想作出的平分线，但她没带圆规，手边只有刻度尺，请你帮她设计一个方法．（要求：作出图形，并写出简要的作图步骤，不需要证明）    【答案】见解析 【分析】利用证明，可得结论． 【详解】解：①利用刻度尺在、上分别截取， ②连接，利用刻度尺作出的中点F， ③作射线， 由作图可知： ，，， ∴， ∴， 则为的平分线．    【点睛】本题考查了全等三角形的应用及基本作图的知识，同学们注意仔细审题，理解这些作角平分线的方法，按照题目意思解答． 【易错必刷三十二 全等三角形综合问题】 1．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走4米，同时从出发，若射线上有一点P，使得和全等，则线段的长度为（    ）米 A．6或60 B．60 C．24或60 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意，分类讨论：当；当；根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，设运动时间为， ∴，， ①点是中点，时，，， ∵， ∴， ∴； ②时，时，，， ∴，即， 解得，； ③时， ∵点运动的速度大于点的速度，即， ∴此情况不存在， 综上所述，线段的长度为或， 故选：A ． 2．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，中，，点P与点Q分别在和上移动，且则当 时，和全等． 【答案】4或8 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，根据全等三角形对应边相等解答即可． 【详解】解：要使和全等， ∵， ∴，或， 所以，的长为4或8． 故答案为：4或8． 3．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）如图，四边形，点E，F在边上，满足，，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握其判定和性质是解题的关键． （1）根据，可得，结合，，即可证明； （2）根据可得，，结合，即可证明，由此可得． 【详解】（1）证明：， ，即， 在和中， ， ； （2）解：， ， 在和中， ， ， ． 【易错必刷三十三 作等腰三角形(尺规作图)】 1．（2023·山东泰安·二模）如图是一个直角三角形，若以这个直角三角形的一边为边画一个等腰三角形，使它的第三个顶点在这个直角三角形的其他边上，那么这样的等腰三角形在图中能够作出的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】1、以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD即可；2、以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于D，连接CD即可；3、作AB的垂直平分线，交AC于D，连接BD即可；4、以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于D，连接CD即可；5、以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于D，连接CD即可；6、作AC的垂直平分线，交AB于D，连接CD即可． 【详解】解：如图所示： ∴这样的等腰三角形在图中能够作出的个数为6种； 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是作图-应用与设计作图，判断出等腰三角形的腰长是解题的关键． 2．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是 ． 【答案】20° 【分析】根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：在中，，， ， ， ， ． 故答案为：20° 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键． 3．（23-24七年级下·山东青岛·期末）已知线段a，求作等腰三角形，使三边分别为a、、． 【答案】见解析 【分析】根据基本作图的基本要求，规范作图即可． 本题考查了线段的基本作图，熟练掌握基本作图的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 ， 1.作射线； 2.在射线上依次截取； 3.分别以A，B为圆心，以长为半径画弧，二弧交于点C， 4.连接, 则即为所求． ． 学科网（北京）股份有限公司 $$