考点01 三角形的证明及其应用（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

考点01 三角形的证明及其应用 考点一：三角形内角和定理的证明和应用 三角形内角和定理内容：三角形三个内角的和等于180°. 几何语言：在中，． 图形 方法 证明过程 构造180°角， 运用转化思想和平行线性质转化等角关系 证明：如图，过点作直线， ， ，， ， 考点二：三角形外角的相关定理的证明和应用 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 性质1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 几何语言：在中，若∠ACD为∠C的一个外角，则． 图形 方法 证明过程 转化等角关系 证明： ∵ ∴ 性质2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. 几何语言：在中，若∠ACD为∠C的一个外角，则． 考点三：多边形的内角和与外角和 1.多边形的内角和：n边形的内角和等于（n-2）·180°. 图形 方法 证明过程 内部划分三角形 利用三角形的内角和180°求多边形内角和 六边形：从一个顶点出发作对角线有3条， 划分出4个三角形， ∴六边形的内角和为4×180°=720° n边形：从一个顶点出发作对角线有n-3条， 划分出n-2个三角形， ∴六边形的内角和为（n-2）·180° 2.多边形的外角和：n边形的内角和等于360°. 图形 方法 证明过程 利用平角和多边形内角和求外角和 证明： 三角形： ∵∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∴∠ACD+∠CBF+∠BAE=360° n边形： 外角和=n·180°-(n-2)·180°=360° . 考点四：等腰三角形的性质证明 ·等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 几何语言：中，∵AB=AC，∴． ·等腰三角形的性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（三线合一） 性质 1 图形 方法 证明过程 构造全等 已知AB=AC，求证． 证明：取BC的中点，设为点D，BD=CD ∵，BD=CD，AD=AD ∴△ABD≌△ACD(SSS) ∴ 性质 2 已知AB=AC，D为BC的中点， 求证AD⊥BC， ∠BAD=∠CAD． 可证△ABD≌△ACD(SSS) ∴， ·等边三角形的性质：①等边三角形的三个内角相等，都等于60° 几何语言：中，∵AB=AC=BC，∴． ②顶角的平分线、三边上的中线、高重合 考点五：等腰三角形的判定证明 ·等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 几何语言：中，∵，∴AB=AC． 图形 方法 证明过程 构造全等 已知，求证． 证明：取BC的中点，设为点D，BD=CD ∵，BD=CD，AD=AD ∴△ABD≌△ACD(SSS) ∴ ·等边三角形的判定1：有三个角相等的三角形是等边三角形（等角对等边） 几何语言：中，∵，∴． ·等边三角形的判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 几何语言：∵，，∴AB=AC=BC．(顶角为60°) （底角为60°：∵，，∴AB=AC=BC．) 考点六：直角三角形的证明 ·直角三角形的性质1：直角三角的两个锐角互余 几何语言：中，∵∠C=90°，∴． ·直角三角形的性质2（勾股定理）：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 几何语言：中，∵∠C=90°，∴CA2+CB2=AB2 ·直角三角形的判定1：有两个角互余的三角形是直角三角形 几何语言：中，∵，∴． ·直角三角形的判定2：如果三角形两条边的平方和等于第三条斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形 几何语言：中，∵CA2+CB2=AB2，∴∠C=90°． 考点七：直角三角形全等的判定 1.已知斜边和直角边尺规作一个直角三角形： 作图要求 图形 关键步骤 已知AC=a，AB=b，∠C=90° 求作Rt△ABC b a ①通过作平角角平分线或垂直平分线作直角∠C； ②作线段CA、CB 2.直角三角形全等的判定方法：斜边和一条直角边分布相等的两个三角形全等（HL） 图形 结论 几何语言 △ ∵'，'C’，∠C=∠C’ ∴（HL） 考点八：命题与定理 1.命题与逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，如果把其中一个称为原命题，那么另一个命题就称为它的逆命题 注意：原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。 2.反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾判定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法. 例如：可以用反证法证明平行线的性质：两直线平行，同位角相等 3.定理与逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。 题型一：利用三角形的内角和进行角度推理 ·在三角形内角和为180°的基础上应用方程思想求角度 “三线合一”性质的应用 ·三角形内角和的倒角模型： 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 由三角形的内角和定理易得 ∠A+∠B=∠C+∠D. 1．如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义；根据三角形内角和定理求得的度数，根据角平分线的定义求出的度数，然后在中，利用三角形内角和定理求得的度数，根据即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 是的平分线， ， ∵是边上的高， ∴， ∴， ． 故选：D． 2．如图，在中，，，，则的值为（    ） A．135 B．140 C．145 D．150 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，根据题意得到，结合题意得到，由此三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：C ． 3.将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组直角边．已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用三角形内角和定理进行求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． 4.拼装智能生产线时，所需一个零件的形状如图所示，按规定，比大，则的度数应该为____________． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和为是解题关键．根据三角形内角和定理及对顶角相等得出，根据，比大即可得出，进而求出的度数即可． 【详解】解：如图所示： ∵，，， ∴， ∵，比大， ∴， ∴． 故答案为： 5.如图，点D是内一点，，，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】此题考查了三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理得到，再根据等量代换即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 题型二：根据三角形外角的性质进行角度推理 外角模型：∠DBC=∠A+∠ACB；∠ABC=∠D+∠BCD 1．如图，在中，点为边上的点，连接．已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的性质，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：，根据，可得：，从而可知的度数． 【详解】解：是的外角， ， ，， ， ， . 故选：D． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明做的一个帆船模型抽象的几何图形，已知，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质和三角形的外角，正确掌握平行线的性质是解题的关键． 先根据平行线的性质，得，再根据，计算即可求解． 【详解】解：，， ， ， ． 故选：D． 3．如图，在中，D是延长线上一点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的外角的性质，即可求． 【详解】根据三角形外角的性质可得． 4．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形外角性质，灵活运用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”是解题的关键．根据三角板的角度特征得到，进而求出式子的值． 【详解】解：如图， ， ． 故选：． 5.如图，______ ． 【答案】180 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理． 根据三角形外角的性质得到，，根据三角形内角和定理作答即可． 【详解】解：如图， ，，， ． 故答案为：180． 6.如图，把一副直角三角板叠放在一起，已知，则∠的度数为_________． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．根据三角形外角的性质即得答案． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 7．如图，，，则的度数为 ．（用含，的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的外角的性质，根据三角形的外角的性质可得，则可推出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示， 由三角形的外角的性质可得， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 8.如下图，是的边延长线上的一点，是上一点，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角这一性质，并能通过中间角传递大小关系是解题的关键． 要证明，需通过三角形外角的性质，利用中间角传递大小关系，先证，再证 ，从而推出结论． 【详解】证明：是的外角， ． 是的外角， ， ． 题型三：等腰三角形的判定与性质 等腰三角形“三线合一”的性质：出现“等腰”+“一线”的条件可得这一线是中线、高线、角平分线： ①等腰+底边中线→中线平分顶角、中线垂直底边； ①等腰+顶角角平分线→角平分线平分底边、角平分线垂直底边； ①等腰+底边高线→高线平分顶角、高线平分底边 ·等腰三角形的相关计算，需要注意三个重要信息：“等角对等边”“等边对等角”和“三线合一”. ·等腰三角线得判定方法：(1)有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)； (2)有两边相等的三角形是等腰三角形(定义法) ·特别地，当一个三角形的角平分线、高、中线重合时，虽然不能直接得到等腰三角形，但是可以用三角形全等来证明该三角形是等腰三角形. 1．如图，的周长是，，平分交于点，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的“三线合一”性质．先根据三角形周长公式求出的长度，再利用等腰三角形顶角平分线平分底边的性质，计算得出的长度． 【详解】解：的周长是，， ； 又，平分， ． 故选：B． 2．如图，在等腰三角形中，是中线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理得到即可求出答案． 【详解】解：∵在等腰三角形中，是中线，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 3.如图，在中，，，点E、D、F分别在、、上，根据图上标注的已知条件，与不一定全等的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定．根据等腰三角形的性质可得，再根据全等三角形的判定，逐项判断，即可． 【详解】解：∵，， ∴， A、∵， ∴，故本选项不符合题意； B、∵， ∴，故本选项不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故本选项不符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 无法得到与全等，故本选项符合题意； 故选：D 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）某卡通形象如图所示，其中射线是的外角平分线，且．请判断该卡通形象头部的形状，并说明理由． 【答案】是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和平行线的性质；进行角的等量代换是正确解答本题的关键． 根据得出，，再根据平分线得出，等量代换得出即可证明． 【详解】解：是等腰三角形，理由如下， ， ，， 是的外角的平分线， ， ， ， 是等腰三角形． 5．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，且，，求的长． 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 根据等腰三角形的性质得，然后在中，由勾股定理即可求出的长，再由，即可求解． 【详解】解：，，， ． 在中，， ． ， ． 6．（24-25八年级下·陕西汉中·月考）如图，在中，，，点D、E、F分别在，，边上，且，． (1)若，求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据等边对等角可得，利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，即可得出答案； （2）根据全等三角形对应角相等可得，结合、平角的定义，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴； （2）∵≌， ∴， ∴ ． 7．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，是上的一点，过点作的垂线，分别交于点，交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据等边对等角得，结合，故，，再运用对顶角相等得，结合有两个角相等的三角形是等腰三角形，即可作答． （2）先设的长为，因为，得，由（1）得是等腰三角形，故，又因为，，即，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等腰三角形 （2）解：设的长为， 则， ∵， ∴， 由（1）得是等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的长为． 题型四：分类讨论等腰三角形的内角度数 ·已知等腰三角形两边长，求第三边的长时，若没有明确腰和底边，需要分类讨论； ·已知等腰三角形一角的度数，求另外两个角的度数时，若没有明确底角与顶角，需要分类讨论 1．（25-26八年级上·陕西西安·期末）若等腰三角形的一个外角是，则它的一个底角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质和三角形内角和定理，灵活运用“等腰三角形两底角相等”以及“三角形内角和为”是解题的关键．根据外角与相邻内角互补，先求出与外角相邻的内角为，再由三角形内角和及等腰三角形性质判断出只能为顶角，进而求出底角的大小． 【详解】解：等腰三角形的一个外角是， 与这个外角相邻的内角为， 三角形内角和为，等腰三角形两底角相等，若为底角，则两个底角和为，不符合三角形内角和性质， 只能是等腰三角形的顶角， 它的一个底角为． 故选：． 2．已知等腰三角形的一个角为，则其顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分两种情况讨论计算． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：若的角为顶角，则该等腰三角形的顶角为； 情况2：若的角为底角， ∴顶角． 综上，该等腰三角形顶角的度数为或． 3．已知一个等腰三角形的顶角为，则该三角形的底角的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和定理，通过内角和减去顶角度数后除以2即可求解底角度数． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角为，等腰三角形的两底角相等，三角形内角和为， ∴底角的度数为， 故答案为：． 4.已知为等腰三角形，它的一个外角为，则的度数是_______． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握是解题的关键． 由于外角可能对应顶角或底角，且等腰三角形的顶角不确定，需分类讨论 【详解】解：∵等腰，一个外角为， 情况一：当，外角是顶角的外角时， 根据三角形外角性质，顶角的外角等于两个底角之和， 故底角； 情况二：当，外角是一底角的外角时，取的外角， ； 情况三：当，顶角为，且外角为一底角的外角时，取的外角， ， 顶角． 综上，的度数可能为或或． 题型五：等边三角形的判定与性质 ·等边三角形的判定方法 (1)三边都相等的三角形是等边三角形(定义法)； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形；  (3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形  ·等边三角形的面积 面积：S＝ah＝a2(h＝a) (其中a是边长，h是任一边上的高) 注意：①等边三角形三边都满足“三线合一”，其重心、内心、外心、垂心重合 ②等边三角形的判定方法重点记忆有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，但是如果一个三角形中出现2个60°的内角，也要考虑等边三角形. 1.如图，池塘旁边有一条笔直的小路和一棵小树A．测得的相关数据如下：．由上述数据可知__________m． 【答案】48 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质；证明是等边三角形，根据等边三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：48． 2.已知：如图，等边三角形的顶点分别在等边三角形的边上．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】证明，，对应边相等． 【详解】证明：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴． 3.如图，在中，，D为的中点，，垂足分别为E，F，且．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，掌握相关判定与性质是解题的关键． 先证明，推出，进而推出，即可证明是等边三角形． 【详解】证明：， ， 为的中点，， ． 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形． 4.如图，在等边三角形中，，分别是边，上的点，连接，，与交于点，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见详解； (2) 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质，关键是利用等边三角形三边相等、三角均为的性质，通过证明三角形全等，再结合全等三角形对应角相等和外角性质求解角度． （1）通过证明和全等，借助等边三角形三边相等、三个内角均为的性质，结合已知，用判定全等后得到对应边相等； （2）利用全等三角形的对应角相等进行角的转化，结合等边三角形内角为的性质，通过三角形外角的性质求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵，， ∴． 5．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，垂足为，且，，，的两边分别交，于点，，． (1)求证：是等边三角形． (2)求的长． 【答案】(1)见详解 (2)3 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． （1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论； （2）由是等边三角形，得出，，证出，由证明，得出，结合已知和即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． （2）证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴． ∴， ∴． 在与中， ， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴． 6．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，点在内部，连接、、，，，点在外部，连接、、，，． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定定理． （1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形判定出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解； （2）根据给出的条件判定出，得到，进而可得结论． 【详解】（1）解：，， 是等边三角形， ； （2）证明：， ，即， ，且由（1）得， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形． 7．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，为的中点，过点作于点，于点，已知，，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定，等角对等边，先证明，则，所以，从而得到是等腰三角形，再通过三角形内角和定理得，最后由等边三角形判定方法即可求证，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵是的中点， ∴， ∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 题型六：直角三角形的判定 ·直角三角形的判定方法： (1)有一个角是直角的三角形是直角三角形(定义法)； (2)有两个角互余的三角形是直角三角形； (3)勾股定理逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形. ·应用“一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形”判定直角三角形，需要应用等腰三角形的性质进行证明 注意：在证明直角时，可以借助角度的等量代换证明其等于已知的直角 1.由下列条件不能判断是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断，此题比较容易．利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，且，可求得，故不是直角三角形； B、不妨设，此时，故是直角三角形； C、，且，可求得，故是直角三角形； D、，满足勾股定理的逆定理，故是直角三角形； 故选：A． 2．的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（　　） A．，， B．， C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理等知识，根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理一一判断即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴， ∴是直角三角形， 故A选项不符合题意； B、∵，， ∴， ∴是直角三角形， 故B选项不符合题意； C、∵， ∴， ∴不是直角三角形， 故C选项符合题意； D、∵， ∴可以假设，，， ∴， ∴是直角三角形， 故D选项不符合题意； 故选：C． 3．已知的，和的对边分别是a，b和c，那么下列四个条件中能独立推出是直角三角形的有（   ）个 ①；②；③；④． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和、直角三角形的性质、三角形三边关系，根据三角形内角和可以判断①和④；根据三角形三边关系可以判断②；根据勾股定理的逆定理可以判断③． 【详解】解：∵ ∴最大的，故①不符合题意； ∵， ∴，该a、b、c三条线段构不成三角形，故②不符合题意； ∵， ∴， ∴，则该是直角三角形，故③符合题意； ∵， ∴，则该是直角三角形，故④符合题意； 故选：C． 4．某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米． (1)求证：． (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)米． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟记勾股定理的逆定理，勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可推出； （2）根据勾股定理求出的长，据此即可求解． 【详解】（1）解：米，米，米， ， ， ； （2）解：， ， （米）， （米）． 5．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为．已知，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟记勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理求出，进而推出，据此即可得出结论． 【详解】证明：， ， ，， ， ，，，， ， 是直角三角形，且为直角， ． 题型七：综合运用直角三角形的性质求线段长 ·面积：S△ABC＝ab＝ch(其中a，b分别为两条直角边长，c为斜边长，h为斜边上的高) ·等面积法： 直角三角形中已知两条边长，常用勾股定理求出第三条边长，再利用等面积法求斜边上的高 ·辅助线构造直角三角形 根据特殊角(30°，45°，60°，75°，105°，150°等)作辅助线构造直角三角形 ·解决直角三角形的相关计算问题时，常从以下几个方面考虑： ①30°角所对的直角边是斜边的一半； ②斜边上的中线等于斜边的一半； ③根据特殊角(30°，45°，60°，75°，105°，150°等)作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理或锐角三角函数求线段长或角度； ④在等腰直角三角形中，斜边长等于直角边长的倍. ·等腰直角三角形三边关系 ：若腰长为a，则底边长为a，三边比为1：1： ·含30°角的直角三角形的性质 （1）30°所对直角边是斜边的一半； （2）三边比为1：：2 1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在等边中，，是的中点，过点作于点，过点作于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形，由等边三角形性质得到，，根据含角的直角三角形求出，求出，再根据含角的直角三角形求出，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， 故选：C． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期末）将直角三角板与直角三角板如图摆放，点在边上，与相交于点，若，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含角的直角三角形，等腰直角三角形，关键是掌握含角的直角三角形的性质．根据含角的直角三角形的性质得，由得，即可求解． 【详解】解：直角三角板，，， ， 直角三角板，， ， ， ， ， 阴影部分的面积是． 故选：A ． 3．已知；如图，，，，，．求该图形的面积． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理，先根据勾股定理求出，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，作差即可得到图形中的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，， ∴, ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴图形面积为． 4．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了、和三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知，，米，米，米． (1)求四边形的面积； (2)小明和小林以相同的速度同时从点出发，分别沿和两条不同的路径散步，结果两人同时到达点，求线段的长度． 【答案】(1)四边形的面积为246平方米； (2)线段的长度为6米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据勾股定理求得米，进而根据勾股定理得出米，再根据三角形的面积公式，即可求解； （2）根据题意得出米，设米，则米，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵米，米， ∴米， ∵， ∴米， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积为 平方米； （2）解：依题意，米， 设米，则米， 在中，， ∴， 解得：，即线段的长度为米． 5．（24-25八年级下·陕西西安·期中）小明和爸爸妈妈一起去露营．如图是他们搭建帐篷的部分支架示意图．在中，两根支架与从帐篷顶点支撑在水平的支架上，一根支架于点．经测量，，，．按照要求，当帐篷支架与的夹角为直角时，帐篷符合要求．请通过计算说明他们搭建的帐篷是否符合要求． 【答案】符合要求,理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，先利用勾股定理求出，，再推出，则可利用勾股定理的逆定理证明，据此可得结论． 【详解】解：他们搭建的帐篷符合要求．理由如下： 在中，，， ． 在中，，， ． ∵． ∴，， ， 是直角三角形，且， 他们搭建的帐篷符合要求． 题型八：判定两个直角三角形全等 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在和中，，，，则能直接判断的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法即可解答，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴在和中， ， ∴， 故选：A． 2.如图，，，，垂足分别为E，F，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，利用证明，得到，再由直角三角形两锐角互余求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在和中，，，点A，D分别在上，且，求证： 【答案】见解析 【分析】由且，得到，即可证明全等即可． 本题考查全等三角形的判定，关键是掌握 【详解】证明：且， ， ， 在和中， ， 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，于点，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，直接利用可证明． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ． 题型九：命题的判断 涉及到逆命题的问题，先求逆命题再判断命题的真假。 1．下列命题中，是假命题的是（   ） A．全等三角形的对应边相等 B．有两个角相等的三角形是等腰三角形 C．有一个角是的三角形是等边三角形 D．三角形的内角和为 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定，判断真假命题．根据全等三角形的性质、等腰三角形的判定定理、等边三角形的判定定理、三角形内角和定理，逐项判断命题真假即可． 【详解】解：A、全等三角形的对应边相等，符合定义，为真命题，该选项不符合题意； B、有两个角相等的三角形是等腰三角形，为真命题，该选项不符合题意； C、仅一个内角为，其余两角可能不为，如和，故不一定是等边三角形，原命题为假命题，该选项符合题意； D、三角形的内角和为，为真命题，该选项不符合题意； 故选：C． 2．下列命题是真命题的是（   ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．周长相等的两个等腰三角形全等 C．等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合 D．点在线段上，如果，那么点是线段的中点 【答案】A 【分析】本题考查了命题的真假判断，等腰三角形的性质，选项A是等腰三角形的基本性质，真命题；选项B周长相等的等腰三角形不一定全等，假命题；选项C等腰三角形的角平分线、中线和高线不一定全部重合，仅顶角相关三线合一，假命题；选项D点C在线段上时恒成立，但C不一定是中点，假命题． 【详解】解：A等腰三角形的两腰相等，则两底角相等（等边对等角），故A正确，是真命题； B、周长相等的两个等腰三角形，如边长分别为5，5，6和4，6，6，周长均为16但不全等，故B错误，是假命题； C、等腰三角形仅顶角的角平分线、底边上的中线和高线互相重合，底角平分线等不一定重合，故C错误，是假命题； D、点C在线段上时，总有，但C不一定为中点，例如时C非中点，故D错误，是假命题； 故选：A． 3．下列命题中，是真命题的是（   ） A．两边及一角对应相等的两个三角形全等 B．等腰三角形的高、中线、角平分线重合 C．有一个角是的等腰三角形是等边三角形 D．同位角相等 【答案】C 【分析】本题需要根据三角形全等判定定理、等腰三角形性质、等边三角形判定定理、同位角的性质，逐一分析各选项命题的真假． 【详解】解：A.∵两边及夹角对应相等的两个三角形才全等，不能判定全等， ∴A是假命题； B.∵等腰三角形底边上的高、中线与顶角的角平分线重合，并非所有的高、中线、角平分线都重合， ∴B是假命题； C.该选项是真命题； D.∵只有两直线平行时，同位角才相等， ∴D是假命题； 故选：C． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．等腰三角形的两底角相等 C．对顶角相等 D．有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理，写出各定理的逆命题，再判断真假，逆命题为假命题的即符合题意． 【详解】解：A、直角三角形的两个锐角互余的逆命题是“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”，逆命题为真命题，故A不符合题意； B 、等腰三角形的两个底角相等的逆命题是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，逆命题为真命题，故B不符合题意； C 、对顶角相等的逆命题是“相等的两个角是对顶角”，逆命题是假命题，故C符合题意； D 、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形逆命题是等边三角形有一个角等于，且三角形是等腰三角形，逆命题是真命题，故D不符合题意； 故选：C． 5．已知命题“若，则”，写出这个命题的逆命题________． 【答案】若，则 【分析】本题考查的是写出命题的逆命题，通过互换原命题的条件和结论，即可解题． 【详解】解：原命题是“若，则”，根据逆命题的定义，将条件“”和结论“”互换，得到逆命题“若 ，则”． 故答案为：若，则． 题型十：折叠问题 ·折叠问题本质是轴对称问题 ①对应角相等，对应边相等； ②对应三角形全等 ·方程思想与角度等量代换 1.如图，在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则的度数是_______度． 【答案】64 【分析】本题主要考查三角形的外角定理，三角形折叠中的角度问题．解题的关键是熟知外角定理．根据三角形的外角定理即可求解． 【详解】解：∵， 又∵折叠， ∴， ∴， 故． 故答案为：64． 2．如图，平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，的度数为______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和平角的定义可推出，由三角形内角和定理可得的度数，据此结合角平分线的定义求出的度数，进而由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 题型十一：最值问题 ·转化思想：转化线段关系 模型： PC+CD+PD=P’C+CD+P’’C CD+PD=CD+P’D ·最值问题： ①两点之间线段最短； ②点到直线，垂线段最短； ③三角形中任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 1.（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接．在点运动的过程中，线段的长的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，线段最短问题，解题的关键是掌握相关知识，并正确作出辅助线．延长到点，使得，连接，，由，，，可得：，，证明是等边三角形，得到，结合是等边三角形，可证明，得到，推出，得到点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，得到，由可得，即可求解． 【详解】解：延长到点，使得，连接，， ，，， ，， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，点M，N为边上的两个定点，点P，Q为边上的两个动点．在点P，Q运动过程中，当四边形的周长最小时，的大小为_______． 【答案】/100度 【分析】本题主要考查轴对称—最短路径的运用，掌握最短路径的计算方法，等腰三角形的性质，三角形的内角和、外角和的综合运用是解题的关键． 根据题意，作点N关于的对称点D，作点M关于的对称点E，连接交于，点，则，根据两点之间线段最短可得，的值最小，从而得到四边形的周长最小值为：，根据三角形内角和定理可得，从而得到，再根据三角形的外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，作点N关于的对称点D，作点M关于的对称点E，连接交于，点，则， ∴根据两点之间线段最短可得，的值是的最小值， ∴四边形的周长为， ∴四边形的周长最小值为：， 在中，∵，， ∴， 在中，， ∴， 由对称的性质得：，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 即当四边形的周长最小时，的大小为． 故答案为： 1.尺规作图源于古希腊的数学课题，蕴含着丰富的几何原理．如图，在中，，按如下步骤尺规作图：①以点B为圆心，的长为半径作弧交边于点D；②以点A为圆心，的长为半径作弧交于点E；③连接与，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识．由作图可知：，，利用等边对等角和三角形内角和定理可求出，即可求解． 【详解】解：由作图可知：，， ∴，， ∴ ， 故选：A． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）如图，在中，，，点从点开始以的速度向点移动，当为等腰三角形时，那么满足条件的点的位置有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理．分三种情况：当点P与点C重合时；当时；当时，即可求解． 【详解】解：当点P与点C重合时，，满足为等腰三角形； 过点A作于点D，    ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当时，满足为等腰三角形； 当时，满足为等腰三角形；    此时， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的点的位置有3个． 故选：C 3.中国图象图形大会是涵盖图象图形各专业领域的学术盛会．在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中一个等腰三角形模型的示意图如图所示，它的顶角为，腰长为12m，则腰上的高是__________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等．作于点 D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据含30度角的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，利用等腰三角形的性质求出，最后根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过A作于D，过B作于E， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即腰上的高是． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图（1）是一把折叠椅实物图，支架与交于点，．如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），椅面与地面水平线平行，，，，那么椅子完全打开时高为____． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先求得，再根据勾股定理求得完全打开时的高度，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，    ∵， ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，． 故答案为∶ 5．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在△ABC中，，D为线段BC上的一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，以下三个结论：①；②若，则；③当时，．其中正确的是__________（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理和外角性质．①根据三角形外角的性质即可得到；②证明，即可判断；③结合三角形内角和定理、等腰三角形的判定求出，利用证明，根据全等三角形的性质求出． 【详解】解：①， ， ，， ， ，故①正确； ②， ， 由①知， ， ， ，故②正确； ③∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 综上正确符合题意的有①②③， 故答案为：①②③． 6.如图，小明利用一根长的竿子来测量路灯的高度．他的方法如下：在路灯前选一点，使，并测得的度数，然后把竖直的竿子在的延长线上来回移动，使与互余，此时测得．（竿子与路灯垂直于地面），请根据这些数据，计算出路灯的高度． 【答案】路灯的高度为． 【分析】本题考查同角的余角相等，直角三角形的两个锐角互余，三角形全等的判定和性质． 由已知可得，由直角三角形的两个锐角互余，结合同角的余角相等，可得，证明，可得，即可得路灯的高度． 【详解】解：∵竿子与路灯垂直于地面， ∴， ∴与互余， 又∵与互余， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴路灯的高度为． 7.如图，在中，，点E 在延长线上，，垂足为P，交于点 F．求证：是等腰三角形． 【答案】见详解 【分析】根据得，再根据垂直定义得，进而根据直角三角形的两个锐角互余得，，由此得，则，即可作答．此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，互为余角的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，互为余角的性质是解决问题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， 和是直角三角形， ，， 又有， ， ∵， ， ， 是等腰三角形． 8.如图，在中，，点是边上的一点，，沿折叠得到，延长交于点． (1)求的度数； (2)连接，若，，请说明平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查折叠的性质，三角形的外角与三角形的内角和定理的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据折叠的性质得出，然后根据三角形的外角即可得出答案； （2）根据三角形的内角和，可知，进而得到，证明平分． 【详解】（1）解：∵沿折叠得到，， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． （2）证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分． 9．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，平分，交于点，过点作，交于点． (1)求的度数． (2)若与的周长分别为和，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质、等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形是解题的关键． （1）由三角形内角和定理得到，由平分得到，由三角形外角的性质得到， （2）证明是等边三角形，则，由三角形周长得到，则，即可得到． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， （2）∵ ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵与的周长分别为和， ∴， ∴， ∴． 10．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知点D，E分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若 (1)求证：是等腰三角形； (2)点G是上一点，连接，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． (1)先利用角平分线的定义可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，最后利用等角对等边可得：，即可解答； (2)利用(1)的结论可得：，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得：，再利用平行线的性质即可解答． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：， ， ， ， ， ． 11．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在△ABC中，，，，点M从点A出发沿A→C方向运动，速度为每秒，同时，点N从点C出发沿C→B→A方向运动，速度为每秒，设运动的时间为t秒． (1)当第一次形成等腰三角形时， 秒； (2)当点N运动到上时，是等腰三角形，且是其中的一条腰长，求出此时点N的运动时间t的值．（提示：分两种情况，，） 【答案】(1) (2)点N的运动时间t的值是6秒或6.6秒． 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，关键是要分两种情况讨论． （1）求出，，得到，由，得到，求出答案即可； （2）当时，N运动的路程是，即可求出N运动的时间；当时，过C作于H，得到，由勾股定理求出，由三角形的面积公式结合勾股定理求出，得到N运动的路程，据此计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵M、N运动的速度分别是每秒，每秒， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当第一次形成等腰三角形时，秒； 故答案为：； （2）解：如图，当时， ∴N运动的路程是， ∴N运动的时间（秒）； 如图，当时， 过C作于H， ∴， ∵，，， ∴， ∵的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴N运动的路程是， ∴N运动的时间（秒）， ∴点N的运动时间t的值是6秒或6.6秒． 12.在学习中，我们知道直角三角形具有一种特性，即斜边上的中线可以把直角三角形分成两个等腰三角形． (1)圆圆发现，某些特殊的三角形也可以经过某一顶点作一条线段将其分成两个等腰三角形，请你在图①的三角形中画出一条线段，把它们分成两个等腰三角形． （画出分割线，在图上标出所有等腰三角形底角的度数或含x的代数式以下要求与此相同） (2)满满发现，在某些情况下，三角形的内角满足如图②所示的关系时，也可以经过某一顶点作一条线段将其分成两个等腰三角形，请你尝试解决．（设） (3)如图④，乐乐发现对于顶角是的等腰三角形，可以通过2条线段将其分成3个等腰三角形，请你按照乐乐的方式用两种不同的方法将顶角为的等腰三角形分成3个等腰三角形． (4)如图⑤，在中，，设，请按乐乐的方式用三种不同的方法将分成3个等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理的应用； （1）根据题意，将顶角分为和，把它们分成两个等腰三角形； （2）将顶角分出一个的角，即可求解； （3）构造顶角为的两个等腰三角形，即可求解； （4）仿照（3）的方法即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：如图所示， （3）解：如图所示， （4）解：如图所示， 13．在直角三角形中，三边存在特殊的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方，如图1，因为，所以．这种特殊的关系被称为勾股定理． 勾股定理的证明方法非常丰富，达数百种之多，其中比较出名的，有东汉数学家赵爽的“勾股圆方图”（见《周髀算经》）和政几里得的证法（见《欧几何原本》）． (1)赵爽的证明方法：如图2，四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形，中间空白的部分是小正方形，设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则小正方形的边长为；在此基础上，大正方形的面积可以直接表示为_________，还可以表示为四个直角三角形与小正方形的面积之和，为__________________．于是得到等式__________________；化简后可得． (2)欧几里得的证明方法： ①如图3，设的两条直角边分别为a和b，斜边为c，分别以这三条边为边，向外做三个正方形，得到正方形ADEB，正方形ACFG和正方形BHKC，连接EC与AH，做交HK于N，交BC于M，首先请证明 ② 正方形ADEB与同底等高，长方形BHNM与同底等高， =______________， __________________， 同理可得 所以： 即. 【答案】(1)， ，= (2) 【详解】（1）大长方形的面积为，还等于 ， 可得= （2） 四边形BCKH和四边形ABED是正方形， ∴ 即 在中 由题干知 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点01 三角形的证明及其应用 考点一：三角形内角和定理的证明和应用 三角形内角和定理内容：三角形三个内角的和等于 . 几何语言：在中，． 图形 方法 证明过程 构造180°角， 运用转化思想和平行线性质转化等角关系 证明：如图，过点作直线， ， ， ， ， 考点二：三角形外角的相关定理的证明和应用 定义：三角形的一边与另一边的 组成的角，叫做三角形的 . 性质1：三角形的外角等于与它 的两个 . 几何语言：在中，若∠ACD为∠C的一个外角，则． 图形 方法 证明过程 转化等角关系 证明： ∵ ∴ 性质2：三角形的一个外角大于任何一个与它 的 . 几何语言：在中，若∠ACD为∠C的一个外角，则． 考点三：多边形的内角和与外角和 1.多边形的内角和：n边形的内角和等于 . 图形 方法 证明过程 内部划分三角形 利用三角形的内角和180°求多边形内角和 六边形：从一个顶点出发作对角线有 条， 划分出 个三角形， ∴六边形的内角和为4×180°=720° n边形：从一个顶点出发作对角线有 条， 划分出 个三角形， ∴六边形的内角和为 2.多边形的外角和：n边形的内角和等于 . 图形 方法 证明过程 利用平角和多边形内角和求外角和 证明： 三角形： ∵∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∴∠ACD+∠CBF+∠BAE=360° n边形： 外角和=n·180°-(n-2)·180°=360° . 考点四：等腰三角形的性质证明 ·等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 几何语言：中，∵ ，∴ ． ·等腰三角形的性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（三线合一） 性质 1 图形 方法 证明过程 构造全等 已知AB=AC，求证． 证明：取BC的中点，设为点D，BD=CD ∵，BD=CD，AD=AD ∴△ABD≌△ACD(SSS) ∴ 性质 2 已知AB=AC，D为BC的中点， 求证AD⊥BC， ∠BAD=∠CAD． 可证△ABD≌△ACD(SSS) ∴， ·等边三角形的性质：①等边三角形的三个内角相等，都等于60° 几何语言：中，∵ ，∴ ． ②顶角的平分线、三边上的中线、高重合 考点五：等腰三角形的判定证明 ·等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 几何语言：中，∵，∴AB=AC． 图形 方法 证明过程 构造全等 已知，求证． 证明：取BC的中点，设为点D，BD=CD ∵，BD=CD，AD=AD ∴△ABD≌△ACD(SSS) ∴ ·等边三角形的判定1：有三个角相等的三角形是等边三角形（等角对等边） 几何语言：中，∵ ，∴． ·等边三角形的判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 几何语言：∵ ，∴AB=AC=BC．(顶角为60°) （底角为60°：∵，，∴AB=AC=BC．) 考点六：直角三角形的证明 ·直角三角形的性质1：直角三角的两个锐角互余 几何语言：中，∵∠C=90°，∴ ． ·直角三角形的性质2（勾股定理）：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 几何语言：中，∵∠C=90°，∴ ·直角三角形的判定1：有两个角互余的三角形是直角三角形 几何语言：中，∵ ，∴． ·直角三角形的判定2：如果三角形两条边的平方和等于第三条斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形 几何语言：中，∵CA2+CB2=AB2，∴∠C=90°． 考点七：直角三角形全等的判定 1.已知斜边和直角边尺规作一个直角三角形： 作图要求 图形 关键步骤 已知AC=a，AB=b，∠C=90° 求作Rt△ABC b a ①通过作平角角平分线或垂直平分线作直角∠C； ②作线段CA、CB 2.直角三角形全等的判定方法：斜边和一条直角边分布相等的两个三角形全等（HL） 图形 结论 几何语言 △ ∵'，'C’，∠C=∠C’ ∴（HL） 考点八：命题与定理 1.命题与逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，如果把其中一个称为原命题，那么另一个命题就称为它的 注意：原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。 2.反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾判定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做 . 例如：可以用反证法证明平行线的性质：两直线平行，同位角相等 3.定理与逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的 。 题型一：利用三角形的内角和进行角度推理 ·在三角形内角和为180°的基础上应用方程思想求角度 “三线合一”性质的应用 ·三角形内角和的倒角模型： 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 由三角形的内角和定理易得 ∠A+∠B=∠C+∠D. 1．如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，则的值为（    ） A．135 B．140 C．145 D．150 3.将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组直角边．已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4.拼装智能生产线时，所需一个零件的形状如图所示，按规定，比大，则的度数应该为____________． 5.如图，点D是内一点，，，则的度数为______． 题型二：根据三角形外角的性质进行角度推理 外角模型：∠DBC=∠A+∠ACB；∠ABC=∠D+∠BCD 1．如图，在中，点为边上的点，连接．已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明做的一个帆船模型抽象的几何图形，已知，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，D是延长线上一点，，则（   ） A． B． C． D． 4．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（    ） A． B． C． D． 5.如图，______ ． 6.如图，把一副直角三角板叠放在一起，已知，则∠的度数为_________． 7．如图，，，则的度数为 ．（用含，的式子表示） 8.如下图，是的边延长线上的一点，是上一点，连接．求证：． 题型三：等腰三角形的判定与性质 等腰三角形“三线合一”的性质：出现“等腰”+“一线”的条件可得这一线是中线、高线、角平分线： ①等腰+底边中线→中线平分顶角、中线垂直底边； ①等腰+顶角角平分线→角平分线平分底边、角平分线垂直底边； ①等腰+底边高线→高线平分顶角、高线平分底边 ·等腰三角形的相关计算，需要注意三个重要信息：“等角对等边”“等边对等角”和“三线合一”. ·等腰三角线得判定方法：(1)有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)； (2)有两边相等的三角形是等腰三角形(定义法) ·特别地，当一个三角形的角平分线、高、中线重合时，虽然不能直接得到等腰三角形，但是可以用三角形全等来证明该三角形是等腰三角形. 1．如图，的周长是，，平分交于点，则的长为（  ） A． B． C． D． 2．如图，在等腰三角形中，是中线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3.如图，在中，，，点E、D、F分别在、、上，根据图上标注的已知条件，与不一定全等的是（   ） A．B．C． D． 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）某卡通形象如图所示，其中射线是的外角平分线，且．请判断该卡通形象头部的形状，并说明理由． 5．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，且，，求的长． 6．（24-25八年级下·陕西汉中·月考）如图，在中，，，点D、E、F分别在，，边上，且，． (1)若，求的长度； (2)求的度数． 7．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，是上的一点，过点作的垂线，分别交于点，交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 题型四：分类讨论等腰三角形的内角度数 ·已知等腰三角形两边长，求第三边的长时，若没有明确腰和底边，需要分类讨论； ·已知等腰三角形一角的度数，求另外两个角的度数时，若没有明确底角与顶角，需要分类讨论 1．（25-26八年级上·陕西西安·期末）若等腰三角形的一个外角是，则它的一个底角的大小为（   ） A． B． C． D． 2．已知等腰三角形的一个角为，则其顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D． 3．已知一个等腰三角形的顶角为，则该三角形的底角的度数为________． 4.已知为等腰三角形，它的一个外角为，则的度数是_______． 题型五：等边三角形的判定与性质 ·等边三角形的判定方法 (1)三边都相等的三角形是等边三角形(定义法)； (2)三个角______________的三角形是等边三角形；  (3)有一个角是_______的等腰三角形是等边三角形  ·等边三角形的面积 面积：S＝ah＝a2(h＝a) (其中a是边长，h是任一边上的高) 注意：①等边三角形三边都满足“三线合一”，其重心、内心、外心、垂心重合 ②等边三角形的判定方法重点记忆有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，但是如果一个三角形中出现2个60°的内角，也要考虑等边三角形. 1.如图，池塘旁边有一条笔直的小路和一棵小树A．测得的相关数据如下：．由上述数据可知__________m． 2.已知：如图，等边三角形的顶点分别在等边三角形的边上．求证：． 3.如图，在中，，D为的中点，，垂足分别为E，F，且．求证：是等边三角形． 4.如图，在等边三角形中，，分别是边，上的点，连接，，与交于点，． (1)求证：； (2)求的度数． 5．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，垂足为，且，，，的两边分别交，于点，，． (1)求证：是等边三角形． (2)求的长． 6．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，点在内部，连接、、，，，点在外部，连接、、，，． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 7．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，为的中点，过点作于点，于点，已知，，求证：是等边三角形． 题型六：直角三角形的判定 ·直角三角形的判定方法： (1)有一个角是直角的三角形是直角三角形(定义法)； (2)有两个角互余的三角形是直角三角形； (3)勾股定理逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形. ·应用“一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形”判定直角三角形，需要应用等腰三角形的性质进行证明 注意：在证明直角时，可以借助角度的等量代换证明其等于已知的直角 1.由下列条件不能判断是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 2．的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（　　） A．，， B．， C． D． 3．已知的，和的对边分别是a，b和c，那么下列四个条件中能独立推出是直角三角形的有（   ）个 ①；②；③；④． A．4 B．3 C．2 D．1 4．某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米． (1)求证：． (2)求的长． 5．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为．已知，，，，求证：． 题型七：综合运用直角三角形的性质求线段长 ·面积：S△ABC＝ab＝ch(其中a，b分别为两条直角边长，c为斜边长，h为斜边上的高) ·等面积法： 直角三角形中已知两条边长，常用勾股定理求出第三条边长，再利用等面积法求斜边上的高 ·辅助线构造直角三角形 根据特殊角(30°，45°，60°，75°，105°，150°等)作辅助线构造直角三角形 ·解决直角三角形的相关计算问题时，常从以下几个方面考虑： ①30°角所对的直角边是斜边的一半； ②斜边上的中线等于斜边的一半； ③根据特殊角(30°，45°，60°，75°，105°，150°等)作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理或锐角三角函数求线段长或角度； ④在等腰直角三角形中，斜边长等于直角边长的倍. ·等腰直角三角形三边关系 ：若腰长为a，则底边长为a，三边比为1：1： ·含30°角的直角三角形的性质 （1）30°所对直角边是斜边的一半； （2）三边比为1：：2 1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在等边中，，是的中点，过点作于点，过点作于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期末）将直角三角板与直角三角板如图摆放，点在边上，与相交于点，若，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 3．已知；如图，，，，，．求该图形的面积． 4．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了、和三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知，，米，米，米． (1)求四边形的面积； (2)小明和小林以相同的速度同时从点出发，分别沿和两条不同的路径散步，结果两人同时到达点，求线段的长度． 5．（24-25八年级下·陕西西安·期中）小明和爸爸妈妈一起去露营．如图是他们搭建帐篷的部分支架示意图．在中，两根支架与从帐篷顶点支撑在水平的支架上，一根支架于点．经测量，，，．按照要求，当帐篷支架与的夹角为直角时，帐篷符合要求．请通过计算说明他们搭建的帐篷是否符合要求． 题型八：判定两个直角三角形全等 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在和中，，，，则能直接判断的依据是（   ） A． B． C． D． 2.如图，，，，垂足分别为E，F，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在和中，，，点A，D分别在上，且，求证： 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，于点，，，求证：． 题型九：命题的判断 涉及到逆命题的问题，先求逆命题再判断命题的真假。 1．下列命题中，是假命题的是（   ） A．全等三角形的对应边相等 B．有两个角相等的三角形是等腰三角形 C．有一个角是的三角形是等边三角形 D．三角形的内角和为 2．下列命题是真命题的是（   ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．周长相等的两个等腰三角形全等 C．等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合 D．点在线段上，如果，那么点是线段的中点 3．下列命题中，是真命题的是（   ） A．两边及一角对应相等的两个三角形全等 B．等腰三角形的高、中线、角平分线重合 C．有一个角是的等腰三角形是等边三角形 D．同位角相等 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．等腰三角形的两底角相等 C．对顶角相等 D．有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 5．已知命题“若，则”，写出这个命题的逆命题________． 题型十：折叠问题 ·折叠问题本质是轴对称问题 ①对应角相等，对应边相等； ②对应三角形全等 ·方程思想与角度等量代换 1.如图，在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则的度数是_______度． 2．如图，平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，的度数为______． 题型十一：最值问题 ·转化思想：转化线段关系 模型： PC+CD+PD=P’C+CD+P’’C CD+PD=CD+P’D ·最值问题： ①两点之间线段最短； ②点到直线，垂线段最短； ③三角形中任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 1.（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接．在点运动的过程中，线段的长的最小值为______． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，点M，N为边上的两个定点，点P，Q为边上的两个动点．在点P，Q运动过程中，当四边形的周长最小时，的大小为_______． 1.尺规作图源于古希腊的数学课题，蕴含着丰富的几何原理．如图，在中，，按如下步骤尺规作图：①以点B为圆心，的长为半径作弧交边于点D；②以点A为圆心，的长为半径作弧交于点E；③连接与，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）如图，在中，，，点从点开始以的速度向点移动，当为等腰三角形时，那么满足条件的点的位置有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.中国图象图形大会是涵盖图象图形各专业领域的学术盛会．在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中一个等腰三角形模型的示意图如图所示，它的顶角为，腰长为12m，则腰上的高是__________． 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图（1）是一把折叠椅实物图，支架与交于点，．如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），椅面与地面水平线平行，，，，那么椅子完全打开时高为____． 5．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在△ABC中，，D为线段BC上的一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，以下三个结论：①；②若，则；③当时，．其中正确的是__________（填序号） 6.如图，小明利用一根长的竿子来测量路灯的高度．他的方法如下：在路灯前选一点，使，并测得的度数，然后把竖直的竿子在的延长线上来回移动，使与互余，此时测得．（竿子与路灯垂直于地面），请根据这些数据，计算出路灯的高度． 7.如图，在中，，点E 在延长线上，，垂足为P，交于点 F．求证：是等腰三角形． 8.如图，在中，，点是边上的一点，，沿折叠得到，延长交于点． (1)求的度数； (2)连接，若，，请说明平分． 9．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，平分，交于点，过点作，交于点． (1)求的度数． (2)若与的周长分别为和，求的长． 10．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知点D，E分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若 (1)求证：是等腰三角形； (2)点G是上一点，连接，若，，求的度数． 11．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在△ABC中，，，，点M从点A出发沿A→C方向运动，速度为每秒，同时，点N从点C出发沿C→B→A方向运动，速度为每秒，设运动的时间为t秒． (1)当第一次形成等腰三角形时， 秒； (2)当点N运动到上时，是等腰三角形，且是其中的一条腰长，求出此时点N的运动时间t的值．（提示：分两种情况，，） 12.在学习中，我们知道直角三角形具有一种特性，即斜边上的中线可以把直角三角形分成两个等腰三角形． (1)圆圆发现，某些特殊的三角形也可以经过某一顶点作一条线段将其分成两个等腰三角形，请你在图①的三角形中画出一条线段，把它们分成两个等腰三角形． （画出分割线，在图上标出所有等腰三角形底角的度数或含x的代数式以下要求与此相同） (2)满满发现，在某些情况下，三角形的内角满足如图②所示的关系时，也可以经过某一顶点作一条线段将其分成两个等腰三角形，请你尝试解决．（设） (3)如图④，乐乐发现对于顶角是的等腰三角形，可以通过2条线段将其分成3个等腰三角形，请你按照乐乐的方式用两种不同的方法将顶角为的等腰三角形分成3个等腰三角形． (4)如图⑤，在中，，设，请按乐乐的方式用三种不同的方法将分成3个等腰三角形． 13．在直角三角形中，三边存在特殊的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方，如图1，因为，所以．这种特殊的关系被称为勾股定理． 勾股定理的证明方法非常丰富，达数百种之多，其中比较出名的，有东汉数学家赵爽的“勾股圆方图”（见《周髀算经》）和政几里得的证法（见《欧几何原本》）． (1)赵爽的证明方法：如图2，四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形，中间空白的部分是小正方形，设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则小正方形的边长为；在此基础上，大正方形的面积可以直接表示为_________，还可以表示为四个直角三角形与小正方形的面积之和，为__________________．于是得到等式__________________；化简后可得． (2)欧几里得的证明方法： ①如图3，设的两条直角边分别为a和b，斜边为c，分别以这三条边为边，向外做三个正方形，得到正方形ADEB，正方形ACFG和正方形BHKC，连接EC与AH，做交HK于N，交BC于M，首先请证明 ② 正方形ADEB与同底等高，长方形BHNM与同底等高， =______________， __________________， 同理可得 所以： 即. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $