专题05 全等三角形判定的三种类型（3大题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（湘教版）

专题05 全等三角形判定的三种类型 类型1：已知两边型 类型2：已知一边一角型 类型3：已知两角型 类型1：已知两边型 如图，已知和中，，，，BE交FC于O点． (1)当时，判断BE与CF的关系并证明． (2)当时，直接写出∠BOC的度数为______（用含的式子表示）． 【答案】(1)，；证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定和三角形内角和定理的应用， （1）推出，证明，推出，，根据三角形内角和定理推出即可； （2）求出，求出，即可得出答案； 解题的关键是掌握：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 【详解】（1）解：与的关系：，． 证明：设交于点， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，设交于点， ∵， ∴， 同（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 一．解答题（共5小题） 1．已知：如图，在中，，是边上的中线，求证：． 2．如图，在长方形中，于E，交于F，连接． (1)图中有全等三角形吗？ (2)图中有面积相等但不全等的三角形吗？ 3．如图，在中，，点D，E分别在上，连结并延长交的延长线于点F，连结．已知E为中点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 4．如图，已知点、是内两点，且，，，． (1)求证：≌； (2)延长、交于点，若，，求的度数． 5．如图，在中，，垂直平分，垂直平分． (1)试说明：； (2)若，，试说明：； (3)在（2）的条件下，若，，求的周长． 类型2：已知一边一角型 如图，在中，是高，点E是上一点，，，M，N分别是，上的点，且． (1)试说明：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握运用全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据垂直的定义得出，然后利用全等三角形的判定进行证明即可； （2）利用全等三角形的性质得出，再根据全等三角形的判定得出，可证结论成立． 【详解】（1）证明：∵是的高， ∴． 在和中， ，，， ∴． （2）证明∵， ∴． 在和中， ，，， ∴． ∴． 一．解答题（共4小题） 1．已知，，，求证． 2．如图，在中，，点在边上（点不与点、点重合），作，交边于点．    (1)求证：； (2)若，求证：； 3．【探究与证明】 【问题呈现】如图①所示，已知在中，，，是的中线，过点作，垂足为，且交于点． 【问题提出】（1）小虎通过度量发现，请你帮他说明理由； 【尝试探究】（2）如图②所示，小明在图中添加了一条线段，且平分交于点，即可得，该结论正确吗？请说明理由； 4．如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点重合），连接，作，交线段于点． (1)当时，_____，______． (2)若，试说用． 类型3：已知两角型 如图，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据平行线的性质得到，由，根据同角的补角相等得到，根据全等三角形的判定，即可求证， 本题考查了平行线的性质，同角的补角相等，全等三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， 又∵（邻补角互补）， ∴（同角的补角相等）， 在与中， ∴（AAS）． 一．解答题（共6小题） 1．某同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点B在上，点A和D分别与木墙的顶端重合．    (1)求证：； (2)求两堵木墙之间的距离． 2．在中，，． (1)如图，于点，于点，求证：； (2)如图，于点，交于点，若，，则的长为_______． 3．如图，在中，点E，F分别是边上的点，且，连接交于点D，．    (1)求证：； (2)直线是线段的垂直平分线吗？请说明理由； (3)若，，求的度数． 4．如图，D是的边上一点．，交于点E，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 5．如图，在和中，点在边上，，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 6．如图，为等边三角形，点D是延长线上一点，且，的垂直平分线交于，过作交于． (1)求证：为等边三角形； (2)若，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 全等三角形判定的三种类型 类型1：已知两边型 类型2：已知一边一角型 类型3：已知两角型 类型1：已知两边型 如图，已知和中，，，，BE交FC于O点． (1)当时，判断BE与CF的关系并证明． (2)当时，直接写出∠BOC的度数为______（用含的式子表示）． 【答案】(1)，；证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定和三角形内角和定理的应用， （1）推出，证明，推出，，根据三角形内角和定理推出即可； （2）求出，求出，即可得出答案； 解题的关键是掌握：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 【详解】（1）解：与的关系：，． 证明：设交于点， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，设交于点， ∵， ∴， 同（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 一．解答题（共5小题） 1．已知：如图，在中，，是边上的中线，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．根据即可证明． 【详解】证明：∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴． 2．如图，在长方形中，于E，交于F，连接． (1)图中有全等三角形吗？ (2)图中有面积相等但不全等的三角形吗？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定，长方形的性质，以及等底等高的三角形的面积相等． （1）根据长方形的对边相等，可得，然后利用“边边边”证明和全等； （2）根据等底等高的三角形面积相等解答． 【详解】（1）解：图中全等的三角形有：． ∵四边形是矩长方形， ∴． ∵， ∴． （2）解：图中面积相等但不全等的三角形有：． 证明：∵四边形是长方形， ∴， ， ． ∵， ∴． 同理可证． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 3．如图，在中，，点D，E分别在上，连结并延长交的延长线于点F，连结．已知E为中点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正确地找出辅助线是解题的关键． （1）根据线段中点的定义得到，等量代换得到，求得，即，根据全等三角形的性质得到； （2）过点作，交于，根据平行线的性质得到，再利用直角三角形的性质及等腰三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）证明：为中点， ， ， ， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）解：过点作，交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 4．如图，已知点、是内两点，且，，，． (1)求证：≌； (2)延长、交于点，若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，正确的找出全等三角形的对应边和对应角是解题的关键． （1）先由推导出，再根据全等三角形的判定定理“”证明； （2）由求得，再由全等三角形的对应角相等求得，则，再由求得的度数． 【详解】（1）， ， ， 在和中， ， ∴≌． （2）， ， ， ． 5．如图，在中，，垂直平分，垂直平分． (1)试说明：； (2)若，，试说明：； (3)在（2）的条件下，若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)24 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）利用线段垂直平分线的性质得出，，利用等边对等角得出，，然后利用三角形内角和定理，等量代换可得出，即可得证； （2）结合（1）中结论可得出，，，利用证明即可； （3）利用（1）、（2）的结论得出，，然后利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】（1）证明∶ ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1） 知，，， ∵，， ∴，， ∴在和中， ∴； （3）解： 由（1） 知，， 由 （2） 知，， ∴，， ∴． 类型2：已知一边一角型 如图，在中，是高，点E是上一点，，，M，N分别是，上的点，且． (1)试说明：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握运用全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据垂直的定义得出，然后利用全等三角形的判定进行证明即可； （2）利用全等三角形的性质得出，再根据全等三角形的判定得出，可证结论成立． 【详解】（1）证明：∵是的高， ∴． 在和中， ，，， ∴． （2）证明∵， ∴． 在和中， ，，， ∴． ∴． 一．解答题（共4小题） 1．已知，，，求证． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和， ， ∴． 2．如图，在中，，点在边上（点不与点、点重合），作，交边于点．    (1)求证：； (2)若，求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据三角形的外角性质即可得到结论； （2）根据全等三角形的判定定理“”即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴． （2）证明：由（1）知：， 在和中， ， ∴． 3．【探究与证明】 【问题呈现】如图①所示，已知在中，，，是的中线，过点作，垂足为，且交于点． 【问题提出】（1）小虎通过度量发现，请你帮他说明理由； 【尝试探究】（2）如图②所示，小明在图中添加了一条线段，且平分交于点，即可得，该结论正确吗？请说明理由； 【答案】（1）见解析；（2）正确，理由见解析 【分析】本题考查同角的余角相等，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定，角平分线的定义．掌握等腰直角三角形的性质和三角形全等的判定定理是解题关键． （1）结合题意，根据同角的余角相等证明即可； （2）由等腰直角三角形的性质，角平分线的定义可得出，再结合题意，利用证明即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∴； （2）正确，理由如下， ∵，， ∴． ∵平分， ∴， 又∵，， ∴． 4．如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点重合），连接，作，交线段于点． (1)当时，_____，______． (2)若，试说用． 【答案】(1)，； (2)证明见解析． 【分析】（）根据角的和差关系可求出，由等腰三角形的性质可得，再利用三角形外角性质即可求出； （）由三角形外角性质可得，由等腰三角形的性质可得，进而由即可证明； 本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴． 类型3：已知两角型 如图，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据平行线的性质得到，由，根据同角的补角相等得到，根据全等三角形的判定，即可求证， 本题考查了平行线的性质，同角的补角相等，全等三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， 又∵（邻补角互补）， ∴（同角的补角相等）， 在与中， ∴（AAS）． 一．解答题（共6小题） 1．某同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点B在上，点A和D分别与木墙的顶端重合．    (1)求证：； (2)求两堵木墙之间的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)两堵木墙之间的距离为50 【分析】本题考查全等三角形的应用． （1）根据题意可得，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可； （2）利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】（1）由题意得：， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）由题意得：， ∵， ∴ ∴， 答：两堵木墙之间的距离为50． 2．在中，，． (1)如图，于点，于点，求证：； (2)如图，于点，交于点，若，，则的长为_______． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由垂直可得，，又由可得，利用即可求证； （）过点作与点，同理（）可证得，得到，再根据等腰三角形三线合一可得； 本题考查了余角性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵于点，于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：过点作与点， 同理（）可证得， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，点E，F分别是边上的点，且，连接交于点D，．    (1)求证：； (2)直线是线段的垂直平分线吗？请说明理由； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)是；理由见解析； (3)． 【分析】题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与等边三角形的判定与性质： （1）利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质及角的和差求出，则，根据线段垂直平分线的判定定理即可得解； （3）根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，结合（2）推出是等边三角形，根据等边三角形的性质及三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴； （2）解：直线是线段的垂直平分线； 理由：由，得， ∴， ∴，即， ∴． ∵， ∴直线是线段的垂直平分线； （3）解：∵， ∴． 由（2）得． 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 4．如图，D是的边上一点．，交于点E，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长是3； 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质， （1）根据平行线得到角度关系，再根据角角边判定直接证明即可得到答案； （2）根据三角形全等对应边相等直接求解即可得到答案； 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 在和中， ∵， ∴； （2）解：由（1）可知， ∵，， ∴， ， ∴，即的长是3． 5．如图，在和中，点在边上，，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，利用“”证明是解题关键． （1）首先证明，然后利用“”证明即可； （2）首先根据全等三角形的性质可得，，再结合等腰三角形“等边对等角”的性质可得，然后由求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）∵，， ∴，， ∴， ∴． 6．如图，为等边三角形，点D是延长线上一点，且，的垂直平分线交于，过作交于． (1)求证：为等边三角形； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质及证明三角形全等是解题的关键； （1）根据等边三角形的性质得，根据平行线的性质得，等量代换，然后根据等边三角形的判定即可得出结论 （2）首先由平行线性质和垂直平分线的性质证得出再根据等边三角形性质，可得出，即可解答； 【详解】（1）为等边三角形， ， ， ， 为等边三角形． （2）在的垂直平分线上， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， 由（1）可知， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$