专题05 线段的垂直平分线与用尺规作三角形重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （湘教版）

专题05 线段的垂直平分线重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 线段垂直平分线的性质 题型二 线段垂直平分线的判定 题型三 作已知线段的垂直平分线 题型四 作垂线（尺规作图） 题型五 尺规作一个角等于已知角 题型六 尺规作角的和、差 题型七 尺规作图——作三角形 题型八 作等腰三角形（尺规作图） 知识点1：线段的垂直平分线 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质： ①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　 ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 求做线段AB的垂直平分线 作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD，CD即为所求直线． 要点归纳： 作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了． 【经典例题一 线段垂直平分线的性质】 【例1】（2024·贵州贵阳·一模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 D和E ；②作直线，分别交线段和于点 F 和G．连接．若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 1．（23-24年级上·全国·单元测试）如图， 中，边 的垂直平分线分别交 ， 于点 ，，， 的周长为 ，则 的周长是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，的垂直平分线与边分别交于点D，E，已知与的周长分别为和，则的长为 ．    3．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，则的长为多少？ 【经典例题二 线段垂直平分线的判定】 【例2】（23-24七年级上·山东威海·期中）如图，点在一条直线上，且，直线为线段的垂直平分线，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，点是边的中点，过点作的垂线交于点，已知，的周长为，则的周长是（  ） A．6 B． C．8 D． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中），点在线段的垂直平分线上． （填推理的依据） 3．（23-24八年级上·河南开封·期末）如图，在中，，、分别在、上，和相交于点，连接交于点，若，求证：点是的中点． 【经典例题三 线段垂直平分线的判定】 【例3】（23-24七年级下·广东清远·单元测试）如图， 在中， ，，观察图中尺规作图的痕迹， 则的长为（       ） A．2 B．3 C．4 D．6 1．（23-24八年级上·江西新余·期中）如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上任意一点，△BCF的周长的最小值是（　　） A．2 B．12 C．5 D．7 2．（23-24八年级下·甘肃张掖·期中）△ABC中，DE是AC的垂直平分线，DE交AC于点E，交BC于点D，AE＝3，△ABD周长为13，那么△ABC的周长为 ． 3．（24-25九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，已知，P为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点Q，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【经典例题四 作垂线（尺规作图）】 【例4】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，以为半径作弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点D，连接，则的周长为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）如图，已知，以A、B两点为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点M、N，连接与相交于点D，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．13 2．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，分到以A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点M和N，直线刚好经过点D，则的度数是 ．    3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知直线．在，所在的平面内求作直线l，使得，且l与间的距离恰好等于l与间的距离（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【经典例题五 尺规作一个角等于已知角】 【例5】（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，已知与上的点，点，小临同学现进行如下操作：①以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交第2步中所画的弧于点，连接．他得出结论的根据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．平行于同一条直线的两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 1．（2023·广西南宁·三模）如图，用直尺和圆规作一个角，使得，则此作图的依据是（    ） A．ASA B．SAS C．SSS D．HL 2．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，已知，，以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，过点作射线则 ． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，已知线段a，b和，求作三角形，使其有一内角等于，且此角的对边等于a，另一边等于b．保留作图痕迹，不写作法． 【经典例题六 尺规作角的和、差】 【例6】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列作图属于尺规作图的是（    ）． A．画线段 B．用量角器画出的平分线 C．用三角尺作过点A垂直于直线的直线 D．已知，用没有刻度的直尺和圆规作，使 1．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）下列作图属于尺规作图的是（    ） A．用量角器画出的平分线 B．已知，作，使． C．用刻度尺画线段 D．用三角板过点作的垂线 2．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为 ． 3．（2023七年级下·山西晋中·期中）如图，已知，求作：，使．（要求：在指定作图区域用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）    【经典例题七 尺规作图——作三角形】 【例7】（23-24八年级上·江苏扬州·期末）为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）下列条件中，不一定能作出唯一的一个三角形的是（     ） A．已知两边的长和夹角的三角形 B．已知两个角及夹边的长的三角形 C．已知两边的长及其中一边的对角的三角形 D．已知直角边和斜边的直角三角形 2．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，画出一个与全等的格点三角形(顶点都是小正方形的顶点的三角形称为格点三角形)，在图中共可以画出________个符合题意的三角形(不包括)?并画出其中4个． 3．（23-24七年级下·山东青岛·期末）已知：线段和 求作：，使得，，． 【经典例题八 作等腰三角形（尺规作图）】 【例8】（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）点是坐标平面上两定点，C是的图像上的动点，则满足上述条件的等腰可以画出（　　）个． A．1 B．3 C．4 D．5 1．（2023·山东泰安·二模）如图是一个直角三角形，若以这个直角三角形的一边为边画一个等腰三角形，使它的第三个顶点在这个直角三角形的其他边上，那么这样的等腰三角形在图中能够作出的个数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，，是已知圆上两点，用直尺和圆规求作以AB为一边的圆的内接等腰三角形，（保留作图痕迹），这样的三角形能作______个． 3．（23-24八年级上·山东青岛·期末）已知：内有一点 求作：等腰直角三角形，使它的直角顶点为，斜边落在边上． 1．（23-24七年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，点在的延长线上，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论正确的是（    ）    A． B．与是同旁内角 C． D． 2．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·广东深圳·阶段练习）如图，点C在的边上，用尺规作出了．以下是排乱的作图过程： ①以点C为圆心，长为半径画，交于点M．②作射线，则．③以点M为圆心，长为半径画弧，交于点D．④以点O为圆心，任意长为半径画，分别交，于点E，E则正确的作图顺序是（　　）    A．①②③④ B．③②④① C．④①③② D．④③①② 4．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）在中，．用无刻度的直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·天津红桥·三模）如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点M，N，连接，分别与边，相交于点D，E，若，的周长为17，则BC的长为（    ） A．7 B．10 C．12 D．17 6．（2022·浙江杭州·中考模拟）用直尺和圆规作△ABC，使 BC＝a，AC＝b，∠B＝30°，若这样的三角形只能作一个，则 a，b间满足的关系式是 ． 7．（2023七年级下·山东济南·专题练习）已知如图，在中，，的中垂线交于D，的中垂线交与E，则的周长等于 ．   8．（23-24八年级上·重庆梁平·期末）如图，小明用直尺和圆规作一个角等于已知角，则说明≌的依据是 ． 9．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）如图，的周长为，分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧交于点D、E，直线与边交于点F，与边交于点G，连接，的周长为，则的长为 ．    10．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，的垂直平分线分别与交于点D、E，的垂直平分线分别与交于点F、G，，，则的周长是 ． 11．（23-24七年级上·安徽·期末）如图，在给出的的基础上，用尺规作．（保留作图痕迹，不写作图过程） 12．（2023·陕西西安·三模）如图，在中，点是边上的一点，请用尺规作图法，在上求作一点，使．（不要求写作法，保留作图痕迹） 13．（23-24八年级下·山东青岛·期中）已知：如图公路两两相交． 求作：加油站，使得到两条公路的距离相等，且到两个村庄距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 14．（23-24八年级上·广西贵港·期末）如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于、两点，与相交于点． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 15．（2024·甘肃陇南·模拟预测）已知：如图1，在中，．求作：射线，使得． 下面是小甲同学设计的尺规作图过程， 作法：如图2 ①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于D，E两点； ②以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于F点； ③以点F为圆心，长为半径作弧，与②中作的弧在内部交于点G； ④作射线． 所以射线就是所求作的射线． 图1图2根据小甲同学设计的尺规作图过程，请使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 线段的垂直平分线重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 线段垂直平分线的性质 题型二 线段垂直平分线的判定 题型三 作已知线段的垂直平分线 题型四 作垂线（尺规作图） 题型五 尺规作一个角等于已知角 题型六 尺规作角的和、差 题型七 尺规作图——作三角形 题型八 作等腰三角形（尺规作图） 知识点1：线段的垂直平分线 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质： ①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　 ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 求做线段AB的垂直平分线 作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD，CD即为所求直线． 要点归纳： 作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了． 【经典例题一 线段垂直平分线的性质】 【例1】（2024·贵州贵阳·一模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 D和E ；②作直线，分别交线段和于点 F 和G．连接．若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了作图，垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．根据垂直平分线的性质即可得到结论． 【详解】由作图可知，垂直平分， ， ， ． 故选C． 1．（23-24年级上·全国·单元测试）如图， 中，边 的垂直平分线分别交 ， 于点 ，，， 的周长为 ，则 的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 的周长为， ， 的周长， 故选：D． 2．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，的垂直平分线与边分别交于点D，E，已知与的周长分别为和，则的长为 ．    【答案】4 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可得到结论． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 的周长是， ，即， 的周长是， ， ， ． 故答案为：4 3．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，则的长为多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质： （1）根据线段垂直平分线的性质可得，，等量代换可得； （2）先根据已知条件得出，再通过等量代换得出，进而得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【经典例题二 线段垂直平分线的判定】 【例2】（23-24七年级上·山东威海·期中）如图，点在一条直线上，且，直线为线段的垂直平分线，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质解答即可． 【详解】解：设直线与线段交于点，如下图， ∵直线为线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴，即直线为线段的垂直平分线， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线段的性质，理解并掌握垂直平分线段的性质是解题关键． 1．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，点是边的中点，过点作的垂线交于点，已知，的周长为，则的周长是（  ） A．6 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】由题意可知：垂直平分,故，结合，的周长为，即可得出答案． 【详解】解：∵点是边的中点， , ∴垂直平分, ∴， ∵，的周长为， ∴, ∴, ∴的周长是． 故选：C． 【点睛】此题考查了垂直平分线的性质和判定，掌握垂直平分线的性质和判定是解题的关键． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中），点在线段的垂直平分线上． （填推理的依据） 【答案】到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定定理． 根据“到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”解答即可． 【详解】解：， 点在线段的垂直平分线上（到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）． 故答案为：到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 3．（23-24八年级上·河南开封·期末）如图，在中，，、分别在、上，和相交于点，连接交于点，若，求证：点是的中点． 【答案】见解析 【分析】根据垂直平分线的判定定理证明即可． 本题考查了等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线， ∴是的中点． 【经典例题三 线段垂直平分线的判定】 【例3】（23-24七年级下·广东清远·单元测试）如图， 在中， ，，观察图中尺规作图的痕迹， 则的长为（       ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图-作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法． 根据作图过程可得是线段的垂直平分线，垂直平分线上的点与线段两个端点距离相等可得，进而可得的长． 【详解】解：根据作图过程可知：是线段的垂直平分线， ， ，， ， 故选：C． 1．（23-24八年级上·江西新余·期中）如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上任意一点，△BCF的周长的最小值是（　　） A．2 B．12 C．5 D．7 【答案】B 【分析】由于，关于直线为对称，所以和重合时，最小，最小值等于，即可求得的周长的最小值． 【详解】解：是线段的垂直平分线， ，关于直线为对称， 和重合时，最小， 即的周长的最小值， 是线段的垂直平分线， ， 的最小值， 的最小周长， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 2．（23-24八年级下·甘肃张掖·期中）△ABC中，DE是AC的垂直平分线，DE交AC于点E，交BC于点D，AE＝3，△ABD周长为13，那么△ABC的周长为 ． 【答案】19 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝CD，然后求出△ABD的周长＝AB＋BC，再根据三角形的周长公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图， ∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3， ∴AD＝CD，AE＝CE＝3， ∴AC＝6， ∵△ABD周长为13， ∴AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝13， ∴△ABC的周长为：AB+BC+AC＝13+6＝19． 故答案为：19． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出△ABD的周长＝AB＋BC是解题的关键． 3．（24-25九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，已知，P为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点Q，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了复杂作图，以及线段垂直平分线的性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质．根据线段垂直平分线的性质连接，作的垂直平分线交于点Q即可． 【详解】解：在边上求作一点Q，使， 只需要作的垂直平分线交于点Q即可， 如图，点Q即为所作． 【经典例题四 作垂线（尺规作图）】 【例4】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，以为半径作弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点D，连接，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 依据垂直平分，即可得出，进而得到，即可得出的周长． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴， ∴的周长为， 故选D 1．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）如图，已知，以A、B两点为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点M、N，连接与相交于点D，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知线段的垂直平分线），利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换得到的周长，熟知垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由作法得垂直平分， ， 的周长， ， ， ， ， ． 故选：C． 2．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，分到以A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点M和N，直线刚好经过点D，则的度数是 ．    【答案】/87度 【分析】本题考查了作图基本作图，角平分线的性质．先利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以，接着根据角平分线的定义得到，然后根据三角形内角和定理计算出的度数． 【详解】由作法得垂直平分， ， ， 平分， ， ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知直线．在，所在的平面内求作直线l，使得，且l与间的距离恰好等于l与间的距离（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的作法、垂直平分线的作法等知识点，掌握垂直平分线的作法成为解题的关键． 利用尺规作图方法，过直线上任意一点作的垂线，再根据垂直平分线的作法即可作出直线l． 【详解】解：如图：即为所求． 【经典例题五 尺规作一个角等于已知角】 【例5】（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，已知与上的点，点，小临同学现进行如下操作：①以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交第2步中所画的弧于点，连接．他得出结论的根据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．平行于同一条直线的两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】B 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，平行线的判定，熟练掌握基本作图，平行线的判定是解题的关键． 【详解】根据基本作图，得到， 故， 根据是内错角相等，两直线平行， 故选B． 1．（2023·广西南宁·三模）如图，用直尺和圆规作一个角，使得，则此作图的依据是（    ） A．ASA B．SAS C．SSS D．HL 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图-作相等角的依据，涉及三角形全等判定定理，由尺规作图-作相等角的过程可知，利用的是两个三角形全等的判定定理即可得到答案，熟记尺规作图-作相等角的操作步骤是解决问题的关键． 【详解】解：由尺规作图-作相等角可知， 在和中， ， ， 故选：C． 2．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，已知，，以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，过点作射线则 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了平行线的性质、基本作图—作一个角等于已知角，由平行线的性质得出，由作法可得，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由作法可得：， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，已知线段a，b和，求作三角形，使其有一内角等于，且此角的对边等于a，另一边等于b．保留作图痕迹，不写作法． 【答案】图见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 先作一个角等于已知角，再截取，然后以B点为圆心，以a的长为半径作圆弧交的另一边于点C，D，连接，则或即为所求作的三角形． 【详解】解：（1）作， （2）在的一条边上截取， （3）以点B为圆心，以a的长为半径作圆弧交的另一边于点C，D， （4）连接，则或即为所求作的三角形，如图： 【经典例题六 尺规作角的和、差】 【例6】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列作图属于尺规作图的是（    ）． A．画线段 B．用量角器画出的平分线 C．用三角尺作过点A垂直于直线的直线 D．已知，用没有刻度的直尺和圆规作，使 【答案】D 【详解】解：根据尺规作图的定义：只能用没有刻度的直尺和圆规作图，不难判断，只有D 选项属于尺规作图． 故选D． 【点睛】点睛：掌握尺规作图的概念． 1．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）下列作图属于尺规作图的是（    ） A．用量角器画出的平分线 B．已知，作，使． C．用刻度尺画线段 D．用三角板过点作的垂线 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图的定义，掌握尺规作图的定义是解题的关键．根据尺规作图的定义，逐项分析即可，尺规作图是指仅用没有刻度的直尺和圆规作图 【详解】解：A．用量角器画出的平分线借助了量角器，不符合题意 B.借助直尺和圆规作，使，符合题意； C.画线段，借助了带刻度的直尺或三角板，不符合题意； D．用三角尺过点P作的垂线，借助了三角尺的直角，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图的方法是解题的关键．由尺规作图的作法得到，代入数据即可得到答案． 【详解】解：由尺规作图可知，， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（2023七年级下·山西晋中·期中）如图，已知，求作：，使．（要求：在指定作图区域用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）    【答案】见解析 【分析】根据做一个角等于已知角的方法，再利用尺规作即可解答． 【详解】解：如图所示，       【点睛】本题考查了利用尺规作一个角等于已知角的方法以及利用尺规作角的和差，掌握尺规作图法是解题的关键． 【经典例题七 尺规作图——作三角形】 【例7】（23-24八年级上·江苏扬州·期末）为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，可确定取值范围． 【详解】解：若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则C点唯一即可， 当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一； 当x>a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有一个交点， x=a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有两个交点，一个与A重合， 所以，当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一， 故选为：A． 【点睛】本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键． 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）下列条件中，不一定能作出唯一的一个三角形的是（     ） A．已知两边的长和夹角的三角形 B．已知两个角及夹边的长的三角形 C．已知两边的长及其中一边的对角的三角形 D．已知直角边和斜边的直角三角形 【答案】C 【分析】三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上内容判断即可． 【详解】∵三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS， ∴A、根据SAS定理可知能作出唯一三角形，故本选项错误； B、根据ASA定理可知能作出唯一三角形，故本选项错误； C、根据已知两边及其中一边的对角不能作出唯一三角形，故本选项正确； D、根据HL定理可知能作出唯一三角形，故本选项错误. 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 2．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，画出一个与全等的格点三角形(顶点都是小正方形的顶点的三角形称为格点三角形)，在图中共可以画出________个符合题意的三角形(不包括)?并画出其中4个． 【答案】23 【分析】△ABC的三边分别为，分别画出各全等图形即可得出答案． 【详解】 结合图形可得有23个符合题意的三角形． 故答案是：23． 【点睛】考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是仔细思考，按照规律查找． 3．（23-24七年级下·山东青岛·期末）已知：线段和 求作：，使得，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作三角形，熟练掌握作三角形的尺规作图是解题关键．先作，再作，然后作，最后连接即可得． 【详解】解：即为所求． 【经典例题八 作等腰三角形（尺规作图）】 【例8】（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）点是坐标平面上两定点，C是的图像上的动点，则满足上述条件的等腰可以画出（　　）个． A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】分三种情况进行讨论：①当时；②当时；③当时．分别画出点C的位置． 【详解】解：如图所示， ①当时，满足条件的点为：； ②当时，满足条件的点为：； ③当时，满足条件的点为：； 综上所述，满足条件的等腰三角形可以画出5个； 故选D． 【点睛】此题考查等腰三角形的概念及画法，在点C不确定的情况下的分类讨论的思想方法是解答此题的关键． 1．（2023·山东泰安·二模）如图是一个直角三角形，若以这个直角三角形的一边为边画一个等腰三角形，使它的第三个顶点在这个直角三角形的其他边上，那么这样的等腰三角形在图中能够作出的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】1、以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD即可；2、以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于D，连接CD即可；3、作AB的垂直平分线，交AC于D，连接BD即可；4、以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于D，连接CD即可；5、以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于D，连接CD即可；6、作AC的垂直平分线，交AB于D，连接CD即可． 【详解】解：如图所示： ∴这样的等腰三角形在图中能够作出的个数为6种； 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是作图-应用与设计作图，判断出等腰三角形的腰长是解题的关键． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，，是已知圆上两点，用直尺和圆规求作以AB为一边的圆的内接等腰三角形，（保留作图痕迹），这样的三角形能作______个． 【答案】 【分析】①求作以为一腰的圆内接等腰三角形的个数；②可以分别以、为圆心,以为半径画弧,与圆相交,分别连结、与其交点,即可得到三角形. 【详解】①当以为一腰时，有两个等腰三角形可以作：分别以、两点为圆心，长为半径画弧交圆于、两点，如图： 和就是所求作的三角形. ②当以为底边时，有两个等腰三角形可以作：作的垂直平分线交圆于、两点，如图： 和就是所求作的三角形. ∴这样的三角形能作个. 故答案是： 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的作法.这类题目是一些基本作图的综合应用.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作. 3．（23-24八年级上·山东青岛·期末）已知：内有一点 求作：等腰直角三角形，使它的直角顶点为，斜边落在边上． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图——复杂作图，过点P作于点G，再以点G为圆心，长为半径画弧，交于点E，F，可得为线段的垂直平分线，进而可证为等腰直角三角形． 【详解】解：过点P作于点G， 再以点G为圆心，长为半径画弧，交于点E，F，连接，， 则，， 为线段的垂直平分线，， 为等腰直角三角形， 则即为所求． 1．（23-24七年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，点在的延长线上，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论正确的是（    ）    A． B．与是同旁内角 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，三角形的外角的性质，由图可得，结合三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解： A．不能判断，故该选项不正确，不符合题意； B． 与是不同旁内角，故该选项不正确，不符合题意； C．由已知条件不能判断，故该选项不正确，不符合题意； D．由作图可得， ∵ ∴，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，解题关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．依据线段垂直平分线的性质，即可得到，再根据角平分线的定义，即可得出的度数，根据三角形内角和定理，即可得到的度数． 【详解】解：垂直平分， ， 又平分， ， ， 故选：B． 3．（23-24七年级下·广东深圳·阶段练习）如图，点C在的边上，用尺规作出了．以下是排乱的作图过程： ①以点C为圆心，长为半径画，交于点M．②作射线，则．③以点M为圆心，长为半径画弧，交于点D．④以点O为圆心，任意长为半径画，分别交，于点E，E则正确的作图顺序是（　　）    A．①②③④ B．③②④① C．④①③② D．④③①② 【答案】C 【分析】根据作一个角等于已知角的作图过程即可判断． 【详解】解：根据作一个角等于已知角的过程可知： ④以为圆心，任意长为半径画，分别交，于点，． ①以为圆心，长为半径画，交于点． ③以为圆心，长为半径画弧，交于点． ②作射线，则． 故选：C． 【点睛】本题考查了作图基本作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的作图过程． 4．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）在中，．用无刻度的直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与作线段垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，作的垂直平分线，然后利用基本作图对各选项进行判断，即可解题． 【详解】解：，在边上确定一点P，使点P到点A，B的距离相等， 只需要做线段的垂直平分线即可， A、作图痕迹不是线段的垂直平分线，不符合题意； B、作图痕迹是线段的垂直平分线，符合题意； C、作图痕迹不是线段的垂直平分线，不符合题意； D、作图痕迹不是线段的垂直平分线，不符合题意； 故选：B． 5．（2024·天津红桥·三模）如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点M，N，连接，分别与边，相交于点D，E，若，的周长为17，则BC的长为（    ） A．7 B．10 C．12 D．17 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，由作图可知是的垂直平分线，得，再根据的周长得，进而可求解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，是的垂直平分线， ∴， ∵，的周长，即：， ∴， 故选：C． 6．（2022·浙江杭州·中考模拟）用直尺和圆规作△ABC，使 BC＝a，AC＝b，∠B＝30°，若这样的三角形只能作一个，则 a，b间满足的关系式是 ． 【答案】或 【分析】先确定，可知A点在的另一条延长线上，以点C为圆心画圆，当圆与的另一条延长线相切或者半径长大于等于a时，与的另一条延长线有且仅有一个交点，由这两种情况即可确定a，b间满足的关系式. 【详解】解：如图所示，可知A点在的另一条延长线上，以点C为圆心画圆，当圆与的另一条延长线相切时，即，这样的三角形只能作一个，因为；当圆的半径长大于等于a时，与的另一条延长线有且仅有一个交点，这样的三角形只能作一个，所以. 故答案为或 【点睛】本题考查了三角形与尺规作图，确定点A的唯一情况是解题的关键. 7．（2023七年级下·山东济南·专题练习）已知如图，在中，，的中垂线交于D，的中垂线交与E，则的周长等于 ．   【答案】8 【分析】本题考查的是线段垂直平分线，熟练掌握垂直平分线的性质与线段的等量代换是解题的关键，求周长即求各边长的和，利用线段的垂直平分线得到线段相等，进行等量代换后即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，的中垂线交于D，的中垂线交与E， ∴,, ∴的周长, 故选：C． 8．（23-24八年级上·重庆梁平·期末）如图，小明用直尺和圆规作一个角等于已知角，则说明≌的依据是 ． 【答案】SSS 【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得． 【详解】解：作图的步骤： ①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D； ②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； ③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′； ④过点D′作射线O′B′． 所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角； 在△OCD与△O′C′D′， ， ∴△OCD≌△O′C′D′（SSS）， 显然运用的判定方法是SSS． 故答案为：SSS． 【点睛】此题是一道综合题，不但考查了学生对作图方法的掌握，也是对全等三角形的判定的方法的考查． 9．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）如图，的周长为，分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧交于点D、E，直线与边交于点F，与边交于点G，连接，的周长为，则的长为 ．    【答案】/厘米 【分析】本题考查了作图基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：由画图可知： 是的垂直平分线， ，， 的周长为，即， ， 的周长为，即， ， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，的垂直平分线分别与交于点D、E，的垂直平分线分别与交于点F、G，，，则的周长是 ． 【答案】34 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再根据三角形周长公式推出的周长，据此可得答案． 【详解】解：∵分别是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为34， 故答案为：34． 11．（23-24七年级上·安徽·期末）如图，在给出的的基础上，用尺规作．（保留作图痕迹，不写作图过程） 【答案】见详解 【分析】此题考查的是基本作图，掌握利用尺规作图作一个角等于已知角是解决此题的关键． 先作，然后在其外部再作，则可得． 【详解】解：如图，先作，然后在其外部再作，则可得，如图所示，即为所求． 12．（2023·陕西西安·三模）如图，在中，点是边上的一点，请用尺规作图法，在上求作一点，使．（不要求写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解为基本作图，逐步操作． 连接，作的垂直平分线交于点，连接即可． 【详解】解：解：如图，点即为所求， 理由：由作图知是的垂直平分线， ， 13．（23-24八年级下·山东青岛·期中）已知：如图公路两两相交． 求作：加油站，使得到两条公路的距离相等，且到两个村庄距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见详解 【分析】此题主要考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质的应用以及作法，关键是熟练掌握角平分线、线段垂直平分线的基本作图方法． 作的平分线，再作线段的垂直平分线，两线的交点就是所求点． 【详解】解：如图，分别作的平分线、线段的垂直平分线，相交于点，则点即为所求． 14．（23-24八年级上·广西贵港·期末）如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于、两点，与相交于点． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形内角和定理求出，进而求出，结合图形计算即可． 【详解】（1）解：、分别垂直平分和， ，， 的周长， 故的周长为； （2）， ， ，， ， ， ，， ，， ， 故的度数为． 15．（2024·甘肃陇南·模拟预测）已知：如图1，在中，．求作：射线，使得． 下面是小甲同学设计的尺规作图过程， 作法：如图2 ①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于D，E两点； ②以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于F点； ③以点F为圆心，长为半径作弧，与②中作的弧在内部交于点G； ④作射线． 所以射线就是所求作的射线． 图1图2根据小甲同学设计的尺规作图过程，请使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定等知识，根据要求作出图形即可． 【详解】解：如图，射线即为所求． 学科网（北京）股份有限公司 $$