拓展3-1 基本不等式求最值-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第一册）

拓展3-1 基本不等式求最值 一、直接法求最值 五、消元法求最值 二、配凑法求最值 六、两次基本不等式求最值 三、商式求最值 七、等式有积有和求最值 四、“1”的代换求最值 一、直接法求最值 方法点拨：①积，和和平方和三者之间的不等式关系： ②求最值时要求“一正、二定、三相等” 1．已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 2．若，则的最小值（　　　） A．4 B．5 C．6 D．7 3．若，且，则的最大值为（    ） A．9 B．18 C．36 D．81 4．已知，则的最大值为 ，此时 ． 5．若，，则的最小值为 ． 6．已知正实数满足，则的最小值是 . 7．若直角三角形斜边长等于cm，则直角三角形面积的最大值为 . 二、配凑法求最值 方法点拨：将目标函数恒等变形或适当放缩,配凑出两个式子的和或积为定值.实质在于代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键. 8．当时，函数的最小值是（　　） A． B．4 C．5 D．9 9．已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 10．已知，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 11．已知，则的最小值为 ，此时等于 . 12．若，则的最大值是 . 13．若，且，则的最大值为 ． 14．（1）已知，求的最小值. （2）已知，求的最大值. 15．已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 三、商式求最值 方法点拨：利用通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。 即化为恒正或恒负的形式,然后运用基本不等式来求最值。 16．已知，则的最小值是 ． 17．已知，则的最大值是 18．已知，当 时，取得最大值 . 19．求下列函数的最小值 （1）； （2）. 20．求函数的最小值. 21．设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 22．若存在，使成立，则的取值范围是 . 四、“1”的代换求最值 方法点拨：①根据已知条件或其变形确定定值(常数);②把确定的定值(常数)变形为1;③把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式;④利用基本不等式求解最值. 23．在中，角的对边分别为，已知周长为3，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 24．已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 25．若正实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 26．若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 27．已知，则的最大值为 . 28．已知均为实数且，则的最小值为 . 29．已知，，则的最小值为 . 五、消元法求最值 方法点拨：从简化问题的角度来思考,消去一个变量,转化为只含有一个变量的函数,然后转化为函数的最值求解，有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解注意所保留变量的取值范围 30．设，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 31．已知正数x，实数y满足，则的最小值为 . 32．已知，，且，则的最小值为 ． 33．已知，，且，则的最小值为 . 34．已知正实数满足，求的最小值为 ． 35．已知，且，则的最小值为 ． 六、两次基本不等式求最值 方法点拨：注意两点:一是由基本不等式进行放或缩一定要考虑到不等号的方向与不等式传递性相一致,即多次放大或者多次缩小,一般不可以既放大又缩小;二是多次使用基本不等式后要考虑等号成立的条件,只有多个等号能够同时成立时方可. 36．已知实数，当取得最小值时， . 37．已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 38．已知，都为正实数，则的最小值为 . 39．若实数a，b满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 40．若a，，，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 41．已知，当取到最小值时，则 . 七、等式有积有和求最值 方法点拨：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。 42．已知，且则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 43．若，，，则ab的取值范围是（    ） A． B． C． D． 44．已知，，且满足，则的最大值为 ． 45．已知实数a，b满足，则的最大值为 . 46．（多选）已知实数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 47．已知，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展3-1 基本不等式求最值 一、直接法求最值 五、消元法求最值 二、配凑法求最值 六、两次基本不等式求最值 三、商式求最值 七、等式有积有和求最值 四、“1”的代换求最值 一、直接法求最值 方法点拨：①积，和和平方和三者之间的不等式关系： ②求最值时要求“一正、二定、三相等” 1．已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】D 【详解】且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为8. 故选：D 2．若，则的最小值（　　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】，当且仅当时取等号. 故选：C 3．若，且，则的最大值为（    ） A．9 B．18 C．36 D．81 【答案】A 【详解】因为，， 所以，当且仅当时等号成立． 即的最大值是9． 故选：A． 4．已知，则的最大值为 ，此时 ． 【答案】 /0.25 /0.5 【详解】， ， ， 当且仅当，即时取等号. 即当时取得最大值为. 故答案为：；. 5．若，，则的最小值为 ． 【答案】/0.16 【详解】由，得，则，即，当且仅当时取等号， 所以当时，的最小值为. 故答案为： 6．已知正实数满足，则的最小值是 . 【答案】 【详解】正实数满足，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 7．若直角三角形斜边长等于cm，则直角三角形面积的最大值为 . 【答案】25 【详解】设两条直角边的边长分别为，则， 故即，当且仅当时等号成立， 故直角三角形面积的最大值为， 故答案为： 二、配凑法求最值 方法点拨：将目标函数恒等变形或适当放缩,配凑出两个式子的和或积为定值.实质在于代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键. 8．当时，函数的最小值是（　　） A． B．4 C．5 D．9 【答案】A 【详解】∵，∴，, ∴， 当且仅当，即时取等号． 故选：A 9．已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】因为， 所以， 当且仅当时取等号，因为，解得， 故选：B 10．已知，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】因为，，，则，， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值是. 故选：A. 11．已知，则的最小值为 ，此时等于 . 【答案】 21 11 【详解】由于，所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 故答案为：； 12．若，则的最大值是 . 【答案】 【详解】由得，，， 因为，，所以利用基本不等式可得， 整理得，即，即，当且仅当即时，等号成立， 所以.故当时，的最大值为. 故答案为. 13．若，且，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】因为，可得且， 又因为，可得， 则，当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：5 14．（1）已知，求的最小值. （2）已知，求的最大值. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）， ， ， 当且仅当，即时取等号. 当时，的最小值为. （2）， ， ， ， 当且仅当，即时取等号， 即当时，的最大值为. 15．已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知为正实数，且， 得，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：A. 三、商式求最值 方法点拨：利用通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。 即化为恒正或恒负的形式,然后运用基本不等式来求最值。 16．已知，则的最小值是 ． 【答案】2 【详解】因为， 所以， 当且仅当．即时，等号成立． 故答案为：2 17．已知，则的最大值是 【答案】 【详解】，则， 所以，， 当且仅当时，因为，即当时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 18．已知，当 时，取得最大值 . 【答案】 【详解】，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立，因此，当时，函数取得最大值， 故答案为；. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是对代数式进行合理配凑，同时注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查运算求解能力，属于中等题. 19．求下列函数的最小值 （1）； （2）. 【答案】（1）3；（2）10. 【详解】（1） ∵（当且仅当，即x=1时取等号） 的最小值为3； （2）令，则， 当且仅当即t=3时取等号 y的最小值为10 20．求函数的最小值. 【答案】最小值为2. 【解析】先求出函数的定义域，再将函数化简到，然后利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】函数的定义域为，. ， 当且仅当，即时取到“”. 所以当时，函数的最小值为2. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 21．设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 22．若存在，使成立，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】解：依题意存在，使成立，即存在，使得，即，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，即的最大值为，所以，即； 故答案为： 四、“1”的代换求最值 方法点拨：①根据已知条件或其变形确定定值(常数);②把确定的定值(常数)变形为1;③把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式;④利用基本不等式求解最值. 23．在中，角的对边分别为，已知周长为3，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【详解】由题意得，，所以， 则， 当且仅当时，即等号成立， 故当时，取到最小值. 故的最小值为. 故选：C. 24．已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等. 故的最小值为. 故选：B. 25．若正实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，， ， 当且仅当，即，时等号成立， . 故选：A. 26．若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，取得最小值， 故选：D． 27．已知，则的最大值为 . 【答案】 【详解】因为 所以 当且仅当，且，即时等号成立. 所以 所以 故答案为： 28．已知均为实数且，则的最小值为 . 【答案】1 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即等号成立， 所以的最小值为1. 故答案为：1. 29．已知，，则的最小值为 . 【答案】 【详解】令，则，且， 所以，又， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是换元法后利用“1”的代换，使用基本不等式求解最值. 五、消元法求最值 方法点拨：从简化问题的角度来思考,消去一个变量,转化为只含有一个变量的函数,然后转化为函数的最值求解，有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解注意所保留变量的取值范围 30．设，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，解得：， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为. 31．已知正数x，实数y满足，则的最小值为 . 【答案】/0.75 【详解】由正数x，实数y满足，得， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 32．已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】2 【详解】由题意，所以， 所以，等号成立当且仅当， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 33．已知，，且，则的最小值为 . 【答案】8 【详解】因为， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以，当且仅当即时取等． 则的最小值为. 故答案为：. 34．已知正实数满足，求的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】因为正实数满足， 所以，， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：. 35．已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由已知，且， 则，即， 所以 ， 当且仅当且，结合， 即时等号成立， 即的最小值为， 故答案为： 六、两次基本不等式求最值 方法点拨：注意两点:一是由基本不等式进行放或缩一定要考虑到不等号的方向与不等式传递性相一致,即多次放大或者多次缩小,一般不可以既放大又缩小;二是多次使用基本不等式后要考虑等号成立的条件,只有多个等号能够同时成立时方可. 36．已知实数，当取得最小值时， . 【答案】-1 【详解】由题意，可知， 故， 当且仅当且，即时等号成立， 故， 故答案为： 37．已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】方法一：， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 方法二：， 故， 当且仅当，且时，即时，等号成立． 故的最小值为4； 故选：D 38．已知，都为正实数，则的最小值为 . 【答案】 【详解】∵，都为正实数， ∴ 当且仅当及时，即时取等号. 故答案为： 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； (2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 39．若实数a，b满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：因为，则， 当且仅当且时取等号，即时取等号， 此时取得最小值3． 故选：B． 【点睛】本题考查用基本不等式求最小值，本题两次应用了基本不等式，应强调两次应用基本不等式时等号成立的条件必须相同，即等号同时取到． 40．若a，，，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】，当且仅当时，等号成立； 又，当且仅当时，即，等号成立； ，解得，， 所以的最大值为 故选：A 41．已知，当取到最小值时，则 . 【答案】 【详解】由题意知：， 当且仅当，即时取等. 故当取到最小值时，. 故答案为：. 七、等式有积有和求最值 方法点拨：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。 42．已知，且则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，（当且仅当时等号成立） 又，，上式去分母化简得：， 即，则的取值范围是．所以ab的取值范围是， 当且仅当或时等号成立． 故选：D 43．若，，，则ab的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，由基本不等式可得， 即，解得或（舍去），即， 当且仅当，即时，等号成立， 故ab的取值范围是． 故选：D． 44．已知，，且满足，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解法1、由，可得， 由基本不等式得，可得， 所以，当且仅当时取等号， 联立方程组，解得，，故的最大值为2． 解法2、由，可得， 因为，由权方和不等式得，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 联立方程组，解得，，故的最大值为2． 故答案为：. 45．已知实数a，b满足，则的最大值为 . 【答案】4 【详解】，则， 解得，则的最大值为4，当且仅当时等号成立， 故答案为：4. 46．（多选）已知实数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，由 当且仅当时等号成立，即，故A错误； 对于B，由，得， 即， 当且仅当时等号成立，即，故B正确； 对于C，由，得， 当且仅当时等号成立，即，故C正确； 对于D，由，得， 即，即，故D正确. 故选：BCD. 47．已知，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，则，所以． 又， 即，即，解得， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 即的取值范围为. 故选：D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$