小升初拓展培优：容斥原理(讲义)-2023-2024学年六年级下册数学人教版

容斥原理 (知识精讲+典例分析+高频真题+答案解析) 1、解题方法： 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考． 2、容斥原理1：两量重叠问题 A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数 用符号可表示成：A∪B＝A+B﹣A∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）． 3、容斥原理2：三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数﹣既是B类又是C类的元素个数﹣既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数． 用符号表示为：A∪B∪C＝A+B+C﹣A∩B﹣B∩C﹣A∩C+A∩B∩C 【典例1】阳光小学四（2）班的同学中有18人喜欢打乒乓球，15人喜欢打羽毛球，9人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。全班喜欢打乒乓球和羽毛球的一共有多少人？ 【答案】24人。 【分析】根据容斥原理公式：总人数＝（A+B）﹣既A又B解答即可。 【解答】解：18+15﹣9 ＝33﹣9 ＝24（人） 答：全班喜欢打乒乓球和羽毛球的一共有24人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 【典例2】四年级（1）班有42名同学，其中会下象棋的有21人，会下围棋的有17人，两种棋都不会下的有10人。那么两种棋都会下的有多少人？ 【答案】6人。 【分析】先求出会下象棋的人数与围棋的人数和，再加上两样都不会下的人数，这样就比全班的总人数多算了一次两种棋都会下的人数，所以再减去总人数42，就是两种棋都会下的人数。 【解答】解：21+17+10﹣42 ＝48﹣42 ＝6（人） 答：两种棋都会下的有6人。 【点评】本题依据了容斥原理公式之一：既是A类又是B类的元素个数＝属于A类元素个数+属于B类元素个数+非A非B元素个数﹣元素总个数。 【典例3】学校文艺队有48人，每个同学在唱歌和跳舞方面至少有一项擅长。擅长唱歌的有30人，既擅长唱歌又擅长跳舞的有9人。擅长跳舞的有多少人？ 【答案】27人。 【分析】先用48减去30人求出只擅长跳舞的人数，然后再加上擅长唱歌又擅长跳舞的9人，就是擅长跳舞的有多少人。 【解答】解：48﹣30+9 ＝18+9 ＝27（人） 答：擅长跳舞的有27人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 【典例4】三（1）班有34人，在喜欢吃的水果中，每人至少选了苹果和西瓜中的一种．喜欢吃苹果的有20人，喜欢吃西瓜的有26人，两种水果都喜欢吃的有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据“喜欢吃苹果的有20人，喜欢吃西瓜的有26人，”可得两者的总人数：20+26＝46人，这其中把两种都喜欢的人数多计算了一次，所以根据容斥原理可得两种水果都喜欢吃的有：46﹣34＝12（人），据此解答即可． 【解答】解：20+26﹣34 ＝46﹣34 ＝12（人） 答：两种水果都喜欢吃的有12人． 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，解答规律是：总数量＝A+B﹣既A又B． 【典例5】四年级有60名同学．有35人参加了跳绳，有22人参加了踢毽子，这两项活动都参加的有6人，只参加跳绳的有多少人？两项活动都没参加的有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）用参加跳绳的人数减去这两项活动都参加的人数即可； （2）根据“A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数”求出至少参加一种的人数，用总人数60减去至少参加一种的人数即可． 【解答】解：（1）35﹣6＝29（人） （2）60﹣（35+22﹣6） ＝60﹣51 ＝9（人） 答：只参加跳绳的有29人，两项活动都没参加的有9人． 【点评】容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数． 1．班级在庆元旦文艺汇演中，合唱的有25人，跳舞的有15人，参加这两项演出的一共有30人。两项都参加的有多少人？ 2．在一批游客中，有的人是法国人，的人是西班牙人，两个国家的人中有懂得两国语言，另有10人不会说本国的语言．这批游客有多少人？ 3．全班有57人参加考试，每人至少有一门课考100分，其中：语文考100分的有30人，数学考100分的有36人，英语考100分的有28人，两门都考100分的有52人．有多少人三门都考了100分？ 4．杭城某小区共有143户住户，据统计订阅《都市快报》和《钱江晚报》这两种报纸情况如下：订阅《都市快报》的有80户，订阅《钱江晚报》的有75户，两种报纸都订的有25户．根据提供的材料你还能获取哪些信息？请补上一个问题，并解答． 5．幸福社区举行端午节庆祝活动，参加包粽子大赛的有85人，参加划龙舟比赛的有60人。参加这两项活动的一共有135人。两项都参加的有多少人？ 6．学校艺术节比赛，三（1）班报名参加唱歌和跳舞比赛的情况如图，参加唱歌和跳舞比赛的一共有多少人？ 7．在一次测试中，三年一班有30人获得语文A，有32人获得数学A，其中语文、数学均获得A的有25人，三年一班共有多少名学生？ 8．三年级有108个小朋友去秋游，带矿泉水的有68人，带水果的有87人，每人至少带一种，三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人？ 9．四一班参加了合唱和舞蹈兴趣小组的有35人，其中有8人只参加了合唱小组，有17人既参加了合唱又参加了舞蹈小组，有多少人只参加了舞蹈小组？ 10．逸夫小学组织学生参加周末公益活动。有66人参加周六的活动，90人参加周日的活动，其中有35人这两天的活动都参加。至少参加一天活动的有多少人？ 11．某小学共有学生540人，在一次自愿参加的线上心理辅导讲座活动中，共有50人向辅导老师进行了提问。提问的人中，有36人用文字进行了提问，25人用语音进行了提问，那么，既用文字又用语音提问的有多少人？ 12．三（1）班37名同学到动物园参观，其中参观金丝猴馆的有25人，参观斑马馆的有17人，既参观金丝猴馆又参观斑马馆的有多少人？ 13．学校的社团活动，三一班每个人都参加了书法或绘画活动。参加书法的有25人，参加绘画的有30人，两种活动都参加的有16人，三一班有多少人？算一算，填一填。 14．三年级一班有12人参加了数学竞赛，有15人参加了语文竞赛，有4人两项竞赛都参加了，三年级一班参加数学和语文竞赛的有多人？ 15．六（1）班有45人，有的同学订了《小学生数学报》，有的同学订了《小学生语文学习》，两种报纸都订的至少有多少人？ 16．五年级课后兴趣班有36人，其中喜欢踢足球的有19人，喜欢打篮球的有21人，既不喜欢踢足球又不喜欢打篮球的有4人，那么既喜欢踢足球又喜欢打篮球的有几人？ 17．三（1）班有31人参加阅读和书法两项竞赛，全部获奖。其中阅读获奖的有12人，书法获奖的有27人，两科都获奖的有多少人？ 18．一条公交线路从起点到终点有8个站，一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7站下车80人，则从前6站上车而在终点站下车的乘客有多少人？ 19．四（3）班有45人，会下象棋的有28人，会下围棋的有29人，两种棋都不会的有6人，两种棋都会的有多少人？ 我会借助图来分析： 我的解答：　 　 20．星光小学喜欢摄影或运动的老师共有54人，其中喜欢摄影的有35人，喜欢运动的有32人。 （1）既喜欢摄影又喜欢运动的有多少人？ （2）请把图片补充完整。 21．三（1）班参加数学兴趣小组和音乐兴趣小组的共有42人，其中参加数学兴趣小组的有23人，参加音乐兴趣小组的有26人，同时参加两个兴趣小组的有几人？ 22．三年级有45人，参加学校滑冰比赛的有30人，参加雪雕比赛的有24人，既参加滑冰比赛又参加雪雕比赛的有12人，两项比赛都没参加的有多少人？ 23．四年级有72人参加了“故事力”大赛的写故事和演故事比赛的两项活动，参加写故事的有56人，参加演故事的有27人。两项活动都参加的有多少人？ 24．杨老师给1801班的同学出了两道思考题，批改后发现：全班每人至少做对一题，第1题做对的有28人，第2题做对的有35人，两道题都做对的有15人，1801班一共有多少位学生？ 25．一次数学测验只有两道题，结果全班有12人全做对，其中第一道题有24人做对，第二道题有20人做错。两道题都做错的有多少人？ 26．四年级有60名同学。有35人参加跳绳，有22人参加踢毽子，这两项活动都参加的有6人，两项活动都没参加的有多少人？ 27．四（1）班有40名学生，喜欢诵读古诗词的有28名，喜欢读数学故事的有25名，且每人至少喜欢其中的一种．既喜欢诵读古诗词又喜欢读数学故事的有多少人？ 28．参加某项活动的人员中有47人会说英语，有38人会说法语，两种都会的有22人，另外15人只会讲汉语．一共有多少人参加了活动？ 29．红星小学四（1）班共有学生42人，会打乒乓球的有26人，会打羽毛球的有18人，两种球都不会打的有12人。两种球都会打的有多少人？ 30．张老师出了两道题，做对第一题的有15人，做对第二题的有24人，两道题都做对的有9人，没有两题都做错的。这个班共有多少人？ 1．【答案】10人。 【分析】根据“跳舞的有15人，合唱的有25人”可得两者的总人数：15+25＝40人，这其中把两种节目都参加的人数多计算了一次，所以根据容斥原理可得两项都参加的人数是：40﹣30＝10（人），据此解答即可。 【解答】解：25+15﹣30＝10（人） 答：两项都参加的有10人。 【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。 2．【答案】见试题解答内容 【分析】由题意可知，只懂法语＝懂法语﹣两种都懂，只懂英语＝懂英语﹣两种都懂，两种都不懂＝1﹣（只懂法语+只懂英语+两种都懂）＝1﹣（），因为两种都不懂有10人，占，因此这批游客有10100人． 【解答】解：只懂法语的：， 只懂英语的：， 两种都不懂的：1﹣（） ＝1 ， 这批游客有：10100（人） 答：这批游客有100人． 【点评】解答此题关键是求得两种都不懂的10人所占的分率． 3．【答案】见试题解答内容 【分析】根据容斥原理公式：A∩B∩C＝A∪B∪C﹣（A+B+C）﹣（A∩B+B∩C+A∩C），代入数据解答即可． 【解答】解：（30+36+28）﹣57﹣52 ＝109﹣57﹣52 ＝5（人） 答：有5人三门都考了100分． 【点评】本题考查了容斥原理2：三量重叠问题，即A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数﹣既是B类又是C类的元素个数﹣既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数． 4．【答案】见试题解答内容 【分析】因为两种报纸都订的有25户是重叠部分的户数，所以根据容斥原理求出订阅的户数是：80+75﹣25＝130（户），而杭城某小区共有143户住户，则相差的143﹣130＝13（户）就是没有订报纸的户数，由此得出提出问题并解答即可． 【解答】解：可提出问题：没有订报纸的一共有多少户？ 80+75﹣25＝130（户） 143﹣130＝13（户） 答：没有订报纸的一共有13户． 【点评】本题依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数． 5．【答案】10人。 【分析】根据容斥原理公式：既A又B＝A+B﹣总人数解答即可。 【解答】解：60+85﹣135 ＝145﹣135 ＝10（人） 答：两项都参加的有10人。 【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。 6．【答案】16人。 【分析】根据容斥原理，把图中把参加唱歌和跳舞比赛的人数相加，再减去两项都参加的人数就是总人数。 【解答】解：12+9﹣5 ＝21﹣5 ＝16（人） 答：参加唱歌和跳舞比赛的一共有16人。 【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。 7．【答案】37名。 【分析】用获得语文A的人数加上获得数学A的人数，再减去语文、数学均获得A的人数，即可求出三年一班的学生人数。 【解答】解：30+32﹣25 ＝62﹣25 ＝37（名） 答：三年一班共有37名学生。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 8．【答案】47人。 【分析】根据题意可知，带矿泉水的人数+带水果的人数﹣去秋游的总人数＝既带矿泉水又带水果的人数，依此列式并计算即可。 【解答】解：68+87﹣108 ＝155﹣108 ＝47（人） 答：三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有47人。 【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。 9．【答案】10人。 【分析】先用35减去17求出只参加一种的人数，然后再减去只参加合唱小组的人数，就是只参加舞蹈小组的人数。 【解答】解：35﹣17﹣8 ＝18﹣8 ＝10（人） 答：有10人只参加了舞蹈小组。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 10．【答案】121人。 【分析】根据容斥原理公式：总人数＝（A+B）﹣既A又B解答即可。 【解答】解：66+90﹣35 ＝156﹣35 ＝121（人） 答：至少参加一天活动的有121人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 11．【答案】11人。 【分析】根据“提问的人中，有36人用文字进行了提问，25人用语音进行了提问”，可得两者的总人数：36+25＝61（人），再减去总人数50就是重复计算的人数，也就是既用文字又用语音提问的人数。 【解答】解：36+25﹣50 ＝61﹣50 ＝11（人） 答：既用文字又用语音提问的有11人。 【点评】本题是典型的容斥原理问题，关键是熟练掌握容斥原理的解题规律：既A又B＝（A+B）﹣总人数。 12．【答案】5人。 【分析】根据容斥原理公式：既A又B＝（A+B）﹣总人数解答即可。 【解答】解：25+17﹣37 ＝42﹣37 ＝5（人） 答：既参观金丝猴馆又参观斑马馆的有5人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 13．【答案】；39人。 【分析】先用25减去16求出只参加书法的人数，同理求出只参加绘画的人数，然后填图，再把三部分的人数相加即可。 【解答】解：25﹣16＝9（人） 30﹣16＝14（人） 9+14+16＝39（人） 答：三一班有39人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 14．【答案】23人。 【分析】根据容斥原理公式：总人数＝A+B﹣既A又B解答即可。 【解答】解：12+15﹣4 ＝27﹣4 ＝23（人） 答：三年级一班参加数学和语文竞赛的有23人。 【点评】本题考查了容斥原理，知识点是容斥原理一：总人数＝A+B﹣既A又B。 15．【答案】7人。 【分析】先用总人数分别乘分率，求出订两种报纸的分别有多少人。根据容斥原理可知，订《小学生数学报》的人数+订《小学生语文学习》的人数﹣总人数＝两种报纸都订的人数。 【解答】解：4525（人） 4527（人） 25+27﹣45 ＝52﹣45 ＝7（人） 答：两种报纸都订的至少有7人。 【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。 16．【答案】8人。 【分析】既喜欢踢足球又喜欢打篮球的人数＝喜欢踢足球的人数+喜欢打篮球的人数﹣总人数+既不喜欢踢足球又不喜欢打篮球的人数。据此计算即可。 【解答】解：19+21﹣36+4 ＝40﹣36+4 ＝8（人） 答：既喜欢踢足球又喜欢打篮球的有8人。 【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。 17．【答案】8人。 【分析】阅读获奖的人数+书法获奖的人数﹣总人数＝两科都获奖的人数。 【解答】解：12+27﹣31 ＝39﹣31 ＝8（人） 答：两科都获奖的有8人。 【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。 18．【答案】20人。 【分析】首先弄清前6个车站共上车的100人，要么在前7个车站（包含第7个车站）下车，要么在第8个车站下车，由于所求的问题和第7个车站上车的人数无关，所以可以不考虑；这样的话，除终点站外前面各站共下车的80人就是100人中的80人，因此从100人中去掉80就是从前六站上车而在终点站下车的乘客；据此解答即可。 【解答】解：根据分析可得， 100﹣80＝20（人） 答：从前6站上车而在终点站下车的乘客共20人。 【点评】本题题干条件比较多，关键是理清关系，明确前6个车站共上车的100人，包括两部分，即在前7个车站（包含第7个车站）下车，和第8个车站下车。 19．【答案】两种棋都会的有18人。 【分析】根据容斥原理，会下象棋的人数+会下围棋的人数﹣两种棋都会的人数+两种棋都不会的人数＝总人数。计算并填韦恩图即可。 【解答】解：45﹣6＝39（人） 28+29﹣39＝18（人） 答：两种棋都会的有18人。 故答案为：两种棋都会的有18人。 【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。 20．【答案】（1）13人。 （2） 【分析】（1）用54减去35就是只喜欢运动的人数，同理，用54减去32就是只喜欢摄影的人数，然后用35减去只喜欢摄影的人数就是既喜欢摄影又喜欢运动的有多少人。 （2）根据问题一求出的数据，把图片补充完整即可。 【解答】解：（1）54﹣35＝19（人） 54﹣32＝22（人） 35﹣22＝13（人） 答：既喜欢摄影又喜欢运动的有13人。 （2）填图如下： 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。 21．【答案】7人。 【分析】先用26加上23求出这两个兴趣小组的人数和，然后再减去实际的总人数42，就是同时参加两个兴趣小组的有几人。 【解答】解：23+26﹣42 ＝49﹣42 ＝7（人） 答：同时参加两个兴趣小组的有7人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。 22．【答案】3人。 【分析】先根据公式“总人数＝（A+B）﹣既A又B”，用30加上24再减去12求出参加比赛的人数，然后再用45减去参加比赛的人数即可。 【解答】解：45﹣（30+24﹣12） ＝45﹣42 ＝3（人） 答：两项比赛都没参加的有3人。 【点评】本题考查了容斥原理，关键是求出至少参加一种的人数，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B。 23．【答案】11人。 【分析】根据容斥原理公式：既A又B＝（A+B）﹣总人数解答即可。 【解答】解：56+27﹣72 ＝83﹣72 ＝11（人） 答：两项活动都参加的有11人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 24．【答案】48位。 【分析】根据容斥原理可知，第1题做对的人数+第2题做对的人数﹣两道题都做对的人数＝总人数。 【解答】解：28+35﹣15 ＝63﹣15 ＝48（位） 答：1801班一共有48位学生。 【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。 25．【答案】8人。 【分析】第一道题有24人做对，包括只做对一道和两道都做对的，因此只做对第一道题的有（24﹣12）人；已知第二道题有20人做错，也包括只做错一道和两道都做错的，则两道都做错的有[20﹣（24﹣12）]人。 【解答】解：20﹣（24﹣12） ＝20﹣12 ＝8（人） 答：两道题都做错的有8人。 【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。 26．【答案】9人。 【分析】根据“A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数”求出至少参加一种的人数，用总人数60减去至少参加一种的人数即可。 【解答】解：60﹣（35+22﹣6） ＝60﹣51 ＝9（人） 答：两项活动都没参加的有9人。 【点评】容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。 27．【答案】见试题解答内容 【分析】先求出喜欢诵读古诗词和喜欢读数学故事的人数和，再用人数和减去全班的人数就是两样都喜欢的人数． 【解答】解：28+25﹣40 ＝53﹣40 ＝13（人） 答：既喜欢诵读古诗词又喜欢读数学故事的有13人． 【点评】本题题考查了容斥原理；知识点是：既A又B的人数＝（A+B）﹣总人数． 28．【答案】见试题解答内容 【分析】用47加上38求出它们的和，这样两种都会的多算了一次，然后减去22就是至少会一种的英语和法语，然后再加上15即可． 【解答】解：47+38﹣22+15 ＝63+15 ＝78（人） 答：一共有78人参加了活动． 【点评】本题为基本的容斥原理题目，其公式为：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数． 29．【答案】14人。 【分析】根据容斥原理公式：既A又B＝A+B﹣（总人数﹣非A非B）解答即可。 【解答】解：26+18﹣（42﹣12） ＝44﹣30 ＝14（人） 答：两种球都会打的有14人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 30．【答案】30人。 【分析】根据题干及题干中的分析，做对第一题的15个人里，有9个人也做对第二题，那么做对第二题的24个人里这9个人就又重复数了一次，因此把做对第一题的人数和做对第二题的人数合起来，再减去重复数的这9个人；由此即可解决问题。 【解答】解：15+24﹣9 ＝39﹣9 ＝30（人） 答：这个班一共有30人。 故答案为：30人。 【点评】此题是一个典型的容斥问题，利用容斥原理解答即可．A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$