专题2.3 等腰三角形九大几何模型与十一类题型（模型梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题2.3 等腰三角形九大几何模型与十一类题型（模型梳理与题型分类讲解） 第一部分【模型归纳与题型目录】 模型1:角平分线+平行线→等腰三角形 模型2:角平分线+垂线→等腰三角形 模型3:角平分线+中线→等腰三角形 模型4:直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形 模型5:等腰和定值模型 模型6:等边三角形中含定角问题 模型7:等边三角形中含“手拉手” 模型8:倍半角+角平分线→等腰三角形 模型9:倍长腰模型 题型目录 【题型1】角平分线+平行线→等腰三角形...........................4 【题型2】角平分线+垂线→等腰三角形.............................5 【题型3】角平分线+中线→等腰三角形.............................5 【题型4】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形.......7 【题型5】等腰和定值模型........................................8 【题型6】等边三角形中含定角问题................................9 【题型7】等边三角形中含“手拉手”..............................10 【题型8】倍半角+角平分线→等腰三角形...........................12 【题型9】倍长腰模型............................................12 【题型10】直通中考.............................................13 【题型11】拓展延伸.............................................14 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】角平分线+平行线→等腰三角形 【例1】（23-24八年级上·上海·阶段练习）如图，在三角形中，是边上的一点，过点作，交的平分线于点，交的邻补角的平分线于点，求证：． 【变式1】（23-24八年级上·辽宁·期中）如图，在中，．过点作的平行线交的角平分线于点，连接．若，则 ． 【变式2】（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）如图，中，，，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①和都是等腰三角形；②；③的周长等于14；④．其中正确的有 ．（写出所有正确结论的序号） 【题型2】角平分线+垂线→等腰三角形 【例2】（22-23八年级上·广东广州·期末）如图，中，，点是上一点，，连接，是的角平分线，交于点，交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【变式1】（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图，中，为的角平分线，作垂直于D，的面积为8，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（23-24七年级下·四川达州·期末）如图，在等腰，，，为的角平分线，过点作交的延长线与点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【题型3】角平分线+中线→等腰三角形 【例3】（23-24八年级上·浙江金华·期末）【情境建模】我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”．小明尝试着逆向思考：如图1，点D在的边上，给出下列三个条件：①平分；②；③．由哪两个条件可以判定？（用序号写出所有成立的情形） 【推理论证】请选择上述情形中的一种情况，给出证明． 【应用内化】如图2，在中，，，是角平分线，过点A作的垂线交、分别于点E、F．若，则 ； ．（结果用含a，b的代数式表示）． 【变式】（21-22八年级上·江苏南京·期中）小明在学习完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，继续探索，他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形”并进行证明． 已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，D为BC中点． 求证：△ABC是等腰三角形． 小明的证法：如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为点E、F． ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°． ∵ ① ，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE＝DF． ∵D为BC中点， ∴BD＝CD． 在Rt△BED和Rt△CFD中，∠BED＝∠CFD＝90°， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）． ∴ ② ． ∴AB＝AC． ∴△ABC是等腰三角形． 请把小明的证法补充完整，并用不同的方法完成证明． 【题型4】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形 【例4】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，是边上的高，是的角平分线，与交于点F，求证：是等腰三角形． 【变式1】（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，在中，垂足为D．是的角平分线，分别交于点P．E．其中正确的结论的个数为（    ） ①；②是等边三角形；③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，，高与角平分线相交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长度． 【题型5】等腰和定值模型 【例5】（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）阅读材料：如图，中，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值），即为定值． (1)深入探究 将“在中，为上一点”改成“为等边三角形内一点”，作，，垂足分别为、，有类似结论吗?请写出结论并证明； (2)理解与应用 当点在外，（1）结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，和之间又有怎样的关系，并说明理由． 【变式1】（2024·福建厦门·二模）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．主要内容为“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”．如图，在等腰中，，，点为边上一动点，过作，，则根据出入相补原理，我们可发现，一定为定值，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，是等腰三角形，，点在边上运动（与，不重合），点、分别在边，上，且始终有，，连接，，设与交于点． (1)求证：； (2)若，随着点的运动，的大小是否为定值？如果是定值，请求出的度数；如果不是定值，请说明理由． 【题型6】等边三角形中含定角问题 【例6】（23-24七年级下·山东烟台·期末）【阅读材料】学完“全等三角形”相关内容后，小明做了这样一道题：如图1，已知是等边三角形，点D，E分别在上，且．连结交于点F．求证：． 小明完成后，发现可以利用全等结论推出的度数为定值． 【解决问题】（1）的度数为 ； 【拓展探究】小明继续进行了如下思考： （2）在上题中，若点D，E分别在的延长线上，的延长线与交于点F，如图2，其他条件不变． ①与有怎样的数量关系？ ②的度数是否仍为定值？ 请你思考这两个问题，给出相应的结论并写出证明过程． 【变式1】（2021九年级·全国·专题练习）等边三角形ABC中，只要满足BD＝CE，连接AD、BE 交于点F，则∠AFE是定值． 【变式2】（23-24八年级上·重庆潼南·期末）如图1，是等边三角形，点M，N分别是边上的动点，点M，N以相同的速度，分别从点A，B同时出发． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图1，当点M，N分别在边上运动时（端点除外），相交于点，试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数，若不是，请说明理由； (3)如图2，当点M，N分别在的延长线上运动时，直线相交于点，试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数，若不是，请说明理由． 【题型7】等边三角形中含“手拉手” 【例7】（23-24七年级下·甘肃酒泉·期末）阅读学习“手拉手”模型：如图1， 条件：（1）和都是等腰三角形； （2）（顶角相等） 结论：． 解题思路：左手拉左手（B连D），右手拉右手（C连E），易证：，利用边角边证得． 解决问题：如图2，和都是等边三角形．B，C，D三点共线，与相交于点O，与交于点F，与交于点G． (1)找出图中的一对全等三角形，并说明理由． (2)求的度数． 【变式1】（20-21八年级上·湖南娄底·期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点，重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论错误的是（    ）    A．∠AOB=60° B．AP=BQ C．PQ∥AE D．DE=DP 【变式2】（19-20八年级上·湖北黄石·期末）在△ABC中，点D是直线BC上一动点， 连接AD，在直线的右侧作等边，连接CE，当线段CE的长度最小时，线段的长度为 ． 【题型8】倍半角→等腰三角形 【例8】（22-23八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，，D是上的一点，且，点E是的中点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的周长． 【变式】（22-23八年级上·北京·期中）如图，在中，，为上一个动点． (1)已知，求证：． 下面是两位同学分享的思路： 小快同学：从求证目标出发，倍长到，即，又，则只需证． 小乐同学：从已知条件角的关系出发，发现若将关于直线对称得到，则可证为等腰三角形． 请你选择一种思路，完成证明 (2)已知，，请直接写出的大小（用含式子表示）． 【题型9】倍长腰模型 【例9】．（23-24八年级上·北京房山·期末）如图，在中，，平分，于点，若，，求的长． 【变式1】（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，为的中线，． (1)请用无刻度的直尺与圆规进行基本作图：作的角平分线，交于点E，交于点F；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，求证：； (3)在（1）（2）条件下，若，，求的面积． 【变式2】（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，D，E分别是上的动点，将沿折叠． (1)当点B与点C重合时，如图1．若，则的周长为 ． (2)定义：若在三角形中，其中一条边是另一条边的2倍，则称这个三角形为“倍边三角形”．当点B与点A重合时，如图2．若，则是倍边三角形吗？请说明理由． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型10】直通中考 【例1】（2022·湖北黄石·中考真题）如图，等边中，，点E为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则 ，的最小值为 ． 【例2】（2021·湖南娄底·中考真题）如图，中，是上任意一点，于点于点F，若，则 ． 【题型11】拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有 ．（只填序号） 【例2】（23-24八年级上·上海普陀·期末）【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系． 如图1，已知在中，BD是的角平分线，是的中线，，垂足为点F． （1）根据图1，写出中小普同学所发现的结论，并给出证明； 【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究： （2）在如图1中，“线垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度数；如果不可以，请说明理由； （3）已知线段，是否存在一点P，使得以为一边的“线垂”三角形PMN为等腰三角形？如果存在，请在图2中用直尺和圆规做出为“分角”的“线垂”等腰三角形（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点P），并用文字语言归纳表述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有关的真命题；如果不存在，请说明理由．                 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 等腰三角形九大几何模型与十一类题型（模型梳理与题型分类讲解） 第一部分【模型归纳与题型目录】 模型1:角平分线+平行线→等腰三角形 模型2:角平分线+垂线→等腰三角形 模型3:角平分线+中线→等腰三角形 模型4:直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形 模型5:等腰和定值模型 模型6:等边三角形中含定角问题 模型7:等边三角形中含“手拉手” 模型8:倍半角+角平分线→等腰三角形 模型9:倍长腰模型 题型目录 【题型1】角平分线+平行线→等腰三角形...........................4 【题型2】角平分线+垂线→等腰三角形.............................7 【题型3】角平分线+中线→等腰三角形.............................10 【题型4】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形.......15 【题型5】等腰和定值模型........................................18 【题型6】等边三角形中含定角问题................................23 【题型7】等边三角形中含“手拉手”..............................27 【题型8】倍半角+角平分线→等腰三角形...........................31 【题型9】倍长腰模型............................................35 【题型10】直通中考.............................................39 【题型11】拓展延伸.............................................42 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】角平分线+平行线→等腰三角形 【例1】（23-24八年级上·上海·阶段练习）如图，在三角形中，是边上的一点，过点作，交的平分线于点，交的邻补角的平分线于点，求证：． 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，由是的角平分线结合平行线的性质得出，从而得出，同理可得：，即可得证，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边是解此题的关键． 证明：是的角平分线， ， ， ， ， ， 同理可得：， ． 【变式1】（23-24八年级上·辽宁·期中）如图，在中，．过点作的平行线交的角平分线于点，连接．若，则 ． 【答案】70 【分析】根据两直线平行同旁内角互补可得，由两直线平行内错角相等和等边对等角可得，结合角平分线的性质及等角对等边得到，再利用三角形内角和定理即可求解． 解：，， ， ， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：70． 【点拨】本题考查了平行线的性质，三角形角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，证明是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）如图，中，，，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①和都是等腰三角形；②；③的周长等于14；④．其中正确的有 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【模型】等腰三角形的性质和判定、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的定义及平行线的性质，题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形，等量代换的利用是解答本题的关键． ①根据平行线性质和角平分线定义可以得，，从而得到，都是等腰三角形； ②同①有，，进而可判断②； ③由②得：的周长； ④根据题意得到不一定等于，进而得到不一定等于，然后得出与不一定相等． 解：∵， ∴，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴，， ∴，都是等腰三角形．故①正确； ∴，，即有，故②正确； ∴的周长=，故③正确； ∵不一定等于， ∴不一定等于， ∴与不一定相等，故④错误； 综上所述，其中正确的有①②③． 故答案为：①②③． 【题型2】角平分线+垂线→等腰三角形 【例2】（22-23八年级上·广东广州·期末）如图，中，，点是上一点，，连接，是的角平分线，交于点，交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据角平分线定义和直角三角形两锐角互余即可解决问题； （2）证明，即可解决问题． 解：（1）在中，， ， ， ，是的角平分线， ，， ，， ； （2）证明：在和中， ， ， ． 【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形． 【变式1】（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图，中，为的角平分线，作垂直于D，的面积为8，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】如图所示，延长交于E，利用证明，得到，进而推出，即可得到． 解：如图所示，延长交于E， ∵为的角平分线，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 故选B． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式2】（23-24七年级下·四川达州·期末）如图，在等腰，，，为的角平分线，过点作交的延长线与点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，延长交的延长线于点，证明，得，再证，得，然后由等腰三角形的性质得，即可得出结论．掌握等腰三角形三线合一性质是解题的关键． 解：如图，延长交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：B． 【题型3】角平分线+中线→等腰三角形 【例3】（23-24八年级上·浙江金华·期末）【情境建模】我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”．小明尝试着逆向思考：如图1，点D在的边上，给出下列三个条件：①平分；②；③．由哪两个条件可以判定？（用序号写出所有成立的情形） 【推理论证】请选择上述情形中的一种情况，给出证明． 【应用内化】如图2，在中，，，是角平分线，过点A作的垂线交、分别于点E、F．若，则 ； ．（结果用含a，b的代数式表示）． 【答案】情境建模①②或②③，证明见解析；推理论证：见解析；应用内化：， 【分析】情境建模：选①②时，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰三角形的判定定理得到结论；选②③时，根据垂直平分线的性质证明即可； 推理论证：选①②，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰三角形的判定定理得到结论； 应用内化：根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，，求得，得到．于是得到结论． 解：情境建模：①②或②③， 当平分、时，证明过程如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当、时，证明过程如下： ∵、， ∴垂直平分， ∴； 推理论证：①②，证明过程如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 应用内化：∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴， 故答案为：，． 【点拨】本题考查角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【变式】（21-22八年级上·江苏南京·期中）小明在学习完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，继续探索，他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形”并进行证明． 已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，D为BC中点． 求证：△ABC是等腰三角形． 小明的证法：如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为点E、F． ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°． ∵ ① ，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE＝DF． ∵D为BC中点， ∴BD＝CD． 在Rt△BED和Rt△CFD中，∠BED＝∠CFD＝90°， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）． ∴ ② ． ∴AB＝AC． ∴△ABC是等腰三角形． 请把小明的证法补充完整，并用不同的方法完成证明． 【答案】AD平分∠BAC；∠B=∠C．证法2见解析 【分析】根据题意和全等三角形的判定、等腰三角形的判定可以证明结论成立． 证法2：延长AD至E，使得DE＝AD，利用SAS证明△ACD≌△EBD．推出AC＝BE，∠ CAD＝∠DEB，再根据角平分线的定义，推出∠BAD＝∠DEB，即可证明AB＝AC． 解：证明：如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为点E、F． ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED=∠CFD=90°． ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF． ∵D为BC中点， ∴BD=CD． 在Rt△BED和Rt△CFD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）． ∴∠B=∠C． ∴AB=AC． ∴△ABC是等腰三角形． 故答案为：AD平分∠BAC；∠B=∠C． 证法2： 延长AD至E，使得DE＝AD， ∵ D为BC中点， ∴BD＝CD， 在△ACD与△EBD中， ∵AD＝DE，∠CDA＝∠EDB，CD＝BD， ∴△ACD≌△EBD．   ∴AC＝BE，∠CAD＝∠DEB， 又∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD，    ∴∠BAD＝∠DEB， ∴AB＝BE，   ∵AC＝BE， ∴AB＝AC ． 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【题型4】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形 【例4】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，是边上的高，是的角平分线，与交于点F，求证：是等腰三角形． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形来那个锐角互余，三角形外角性质，角平分线的定义等知识，首先根据直角三角形两锐角互余求得，然后根据三角形外角的性质求得，根据等角对等边求得，从而求得是等腰三角形． 证明：在中，， ， 是边上的高， ， ， 是的角平分线， ， ，即， ， 是等腰三角形． 【变式1】（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，在中，垂足为D．是的角平分线，分别交于点P．E．其中正确的结论的个数为（    ） ①；②是等边三角形；③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，根据直角三角形两锐角互余求出，，求出，根据三角形外角的性质求出，再逐个判断即可 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴ ∴ ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴是等边三角形，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，故③错误， 故选：C 【变式2】（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，，高与角平分线相交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，对顶角相等，等边三角形的判定和性质． （1）根据直角三角形两个锐角互余可得，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线求出，根据直角三角形两个锐角互余可得，，结合对顶角相等得出，即可证明； （2）根据直角三角形两个锐角互余可得，根据等角对等边可得，根据等边三角形的三条边相等可得，根据根据直角三角形中所对的边是斜边的一半求得，即可求解． 解：（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， 故． 【题型5】等腰和定值模型 【例5】（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）阅读材料：如图，中，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值），即为定值． (1)深入探究 将“在中，为上一点”改成“为等边三角形内一点”，作，，垂足分别为、，有类似结论吗?请写出结论并证明； (2)理解与应用 当点在外，（1）结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，和之间又有怎样的关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析; (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积； （1）连接、、，利用计算即可； （2）连接、、，利用计算即可． 解：（1），理由如下： 连接、、，则 ∵等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 连接、、，则 ∵等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2024·福建厦门·二模）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．主要内容为“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”．如图，在等腰中，，，点为边上一动点，过作，，则根据出入相补原理，我们可发现，一定为定值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，等面积法的应用，解题的关键是学会应用面积法解决问题． 先连接，过作于，求解及，再利用等面积法可得答案． 解：连接，过作于， 等腰，，， ， ， ； ，， ， ， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，是等腰三角形，，点在边上运动（与，不重合），点、分别在边，上，且始终有，，连接，，设与交于点． (1)求证：； (2)若，随着点的运动，的大小是否为定值？如果是定值，请求出的度数；如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1)证明见详解； (2)，是定值，理由见详解； 【分析】（1）本题考查等腰三角形性质，三角形全等的判定与性质，根据等腰三角形性质得到，证明即可得到答案； （2）本题考查全等三角形的性质及三角形内外角关系，根据得到，结合内外角关系即可得到答案； 解：（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴； （2），是定值，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【题型6】等边三角形中含定角问题 【例6】（23-24七年级下·山东烟台·期末）【阅读材料】学完“全等三角形”相关内容后，小明做了这样一道题：如图1，已知是等边三角形，点D，E分别在上，且．连结交于点F．求证：． 小明完成后，发现可以利用全等结论推出的度数为定值． 【解决问题】（1）的度数为 ； 【拓展探究】小明继续进行了如下思考： （2）在上题中，若点D，E分别在的延长线上，的延长线与交于点F，如图2，其他条件不变． ①与有怎样的数量关系？ ②的度数是否仍为定值？ 请你思考这两个问题，给出相应的结论并写出证明过程． 【答案】（1）；（2）①，见解析；②的度数仍为定值，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，以及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键． 【解决问题】由“”可证，可得，由三角形内角和定理可求解； 【拓展探究】①由“”可证； ②由可得，由外角性质可求解． 解：【解决问题】是等边三角形， ，， ，，， ， ， 又， ， ； 故答案为：； 【拓展探究】解：①仍成立． 理由如下：是等边三角形， ，， ， 又， ． ②的度数仍为定值． 理由如下：由（1）知，， ， 而，，， ． 【变式1】（2021九年级·全国·专题练习）等边三角形ABC中，只要满足BD＝CE，连接AD、BE 交于点F，则∠AFE是定值． 【分析】由SAS证得△ABD≌△BCE，得出∠BAD＝∠EBC，由三角形外角性质得出∠AFE＝∠ABF＋∠BAF，即可推出∠AFE＝∠ABF＋∠EBC＝∠ABC＝60°． 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD＝∠EBC， ∵∠AFE＝∠ABF＋∠BAF， ∴∠AFE＝∠ABF＋∠EBC＝∠ABC＝60°， ∴∠AFE是定值． 【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，推出△ABD≌△BCE是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级上·重庆潼南·期末）如图1，是等边三角形，点M，N分别是边上的动点，点M，N以相同的速度，分别从点A，B同时出发． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图1，当点M，N分别在边上运动时（端点除外），相交于点，试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数，若不是，请说明理由； (3)如图2，当点M，N分别在的延长线上运动时，直线相交于点，试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数，若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是， (3)是， 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形外角的性质： （1）根据题意得到，再由等边三角形的性质得到，，据此可利用证明； （2）根据全等三角形的性质，则由三角形外角的性质可得； （3）先证明，再由等边三角形的性质推出，，进而证明得到，则． 解：（1）证明：点M，N以相同的速度，分别从点A，B同时出发 ， 是等边三角形 ，， 在和中， ； （2）解：，是定值，理由如下： ， ； （3）解：，是定值，理由如下： 点M，N以相同的速度，分别从点A，B同时出发 ， 是等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， 【题型7】等边三角形中含“手拉手” 【例7】（23-24七年级下·甘肃酒泉·期末）阅读学习“手拉手”模型：如图1， 条件：（1）和都是等腰三角形； （2）（顶角相等） 结论：． 解题思路：左手拉左手（B连D），右手拉右手（C连E），易证：，利用边角边证得． 解决问题：如图2，和都是等边三角形．B，C，D三点共线，与相交于点O，与交于点F，与交于点G． (1)找出图中的一对全等三角形，并说明理由． (2)求的度数． 【答案】(1)，详见解析 (2) 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）根据等边三角形的性质，结合证明即可； （2）全等三角形的性质，结合三角形的外角，得到，利用平角的定义，即可求出的度数． 解：（1） 理由：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（20-21八年级上·湖南娄底·期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点，重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论错误的是（    ）    A．∠AOB=60° B．AP=BQ C．PQ∥AE D．DE=DP 【答案】D 【分析】利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，得出A正确；根据△CQB≌△CPA（ASA），得出B正确；由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，得出C正确；根据∠CDE=60°，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，可知∠DQE≠∠CDE，得出D错误． 解：∵等边△ABC和等边△CDE， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE， 在△ACD与△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠CBE=∠DAC， 又∵∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ， 又∵AC=BC， 在△CQB与△CPA中， ， ∴△CQB≌△CPA（ASA）， ∴CP=CQ， 又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形， ∴∠PQC=∠DCE=60°， ∴PQ∥AE， 故C正确， ∵△CQB≌△CPA， ∴AP=BQ， 故B正确， ∵AD=BE，AP=BQ， ∴AD-AP=BE-BQ， 即DP=QE， ∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°， ∴∠DQE≠∠CDE，故D错误； ∵∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠BCD=60°， ∵等边△DCE， ∠EDC=60°=∠BCD， ∴BC∥DE， ∴∠CBE=∠DEO， ∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°， 故A正确． 故选：D． 【点拨】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，解题的关键是找到不变量． 【变式2】（19-20八年级上·湖北黄石·期末）在△ABC中，点D是直线BC上一动点， 连接AD，在直线的右侧作等边，连接CE，当线段CE的长度最小时，线段的长度为 ． 【答案】 【分析】在的左侧作等边三角形，连接、、、，再证明 可得 再利用时，最短，从而可得答案. 解： 在的左侧作等边三角形，连接、、、， 则 则， 故点、关于对称， 则，， 均为等边三角形， ，， ， ， ， 当时，最小， 由 故， 故的长度为， 故答案为： 【点拨】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，含的直角三角形的性质，灵活运用以上知识解题是解题的关键. 【题型8】倍半角→等腰三角形 【例8】（22-23八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，，D是上的一点，且，点E是的中点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的周长． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)25 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质得出，再由等边对等角及三角形外角的性质即可证明； （2）根据（1）中结论及直角三角形斜边上的中线的性质即可证明； （3）根据直角三角形斜边上的中线的性质及勾股定理即可求解． 解：（1）证明：∵， ∴为直角三角形． 又∵点E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴． （2）证明：由（1）可得， 又∵， ∴， ∴． （3）在中，， ∴， ∴的周长． 【点拨】题目主要考查直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理解三角形及等腰三角形的性质与判定等，理解题意，综合运用这些模型是解题关键． 【变式】（22-23八年级上·北京·期中）如图，在中，，为上一个动点． (1)已知，求证：． 下面是两位同学分享的思路： 小快同学：从求证目标出发，倍长到，即，又，则只需证． 小乐同学：从已知条件角的关系出发，发现若将关于直线对称得到，则可证为等腰三角形． 请你选择一种思路，完成证明 (2)已知，，请直接写出的大小（用含式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长到，使，连接．证得等腰，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可； （2）延长到E，使，连接CE，证得等腰和等腰，然后利用等三角形的性质与三角形外角的性质、三角形内角和定理即可求解． 解：（1）证明：延长到，使，连接． ∵， ∴为线段的中垂线， ∴， ∴． 在中，． 又， ∴． 在中，， ∴． ∴ ∴． 即． （2）解：延长到E，使，连接CE， ∵， ∴为线段的中垂线， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴ ， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点拨】本题考查等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，通过作辅助线构造等腰三角形是解题的关键． 【题型9】倍长腰模型 【例9】．（23-24八年级上·北京房山·期末）如图，在中，，平分，于点，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，延长到，使，连接，延长交于点，过点作于点，由等腰三角形的性质得到，，再证明，得到，，由平行线的性质得到，利用勾股定理即可求解，读懂题意，正确作出辅助线是解题的关键． 解：如图，延长到，使，连接，延长交于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，为的中线，． (1)请用无刻度的直尺与圆规进行基本作图：作的角平分线，交于点E，交于点F；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，求证：； (3)在（1）（2）条件下，若，，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【分析】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质． （1）利用基本作图作的平分线即可； （2）根据三角形中线的定义得到，求得，根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （3）由是的角平分线，可得，，由勾股定理得， 最后求解即可． 解：（1）如图所示，即为所求； （2）为的中线， ， ， ， 是的角平分线， ， 在与中， ， ． （3）∵是的角平分线， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴． 【变式2】（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，D，E分别是上的动点，将沿折叠． (1)当点B与点C重合时，如图1．若，则的周长为 ． (2)定义：若在三角形中，其中一条边是另一条边的2倍，则称这个三角形为“倍边三角形”．当点B与点A重合时，如图2．若，则是倍边三角形吗？请说明理由． 【答案】(1)16 (2)是，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的折叠问题，全等三角形的性质和判定及含30度角的直角三角形，正确理解题意是解题的关键． （1）将的周长转化为求与的和即可． （2）证明，求出即可． 解：（1）如图1中， 由折叠可得， ∴的周长． 故答案为：16． （2）如图2中， 由折叠可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是倍边三角形． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型10】直通中考 【例1】（2022·湖北黄石·中考真题）如图，等边中，，点E为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则 ，的最小值为 ． 【答案】 /30度 【模型】手拉手模型 【分析】①与为等边三角形，得到，，，从而证，最后得到答案． ②过点D作定直线CF的对称点G，连CG，证出为等边三角形，为的中垂线，得到， ，再证为直角三角形，利用勾股定理求出，即可得到答案． 解：①∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∵，， ∴， ， ∴， 在和中 ∴， 得； 故答案为：． ②（将军饮马问题） 过点D作定直线CF的对称点G，连CG， ∴为等边三角形，为的中垂线，， ∴， 连接， ∴， 又， ∴为直角三角形， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点拨】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，将军饮马，线段垂直平分线的判定及性质，勾股定理等内容，熟练运用将军饮马是解题的关键，具有较强的综合性． 【例2】（2021·湖南娄底·中考真题）如图，中，是上任意一点，于点于点F，若，则 ． 【答案】1 【模型】等腰三角形定值模型 【分析】将的面积拆成两个三角形面积之和，即可间接求出的值． 解：连接，如下图： 于点于点， ， ， ， 故答案是：1． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，利用面积法解决两边之和问题，解题的关键是：将的面积拆成两个三角形面积之和来解答． 【题型11】拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有 ．（只填序号） 【答案】②③④ 【模型】直角三角形斜边上的高+锐角平分线+直角边上的中线模型 【分析】此题考查了三角形的高、中线、角平分线等相关线段的性质，根据相关性质和角之间的关系逐项进行判断即可 ． 解：∵是的中线， ∴， 故④正确，符合题意； ∵是角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故②正确，符合题意； ∵， ∴， 故③正确，符合题意； 由已知条件不能确定， ∴与的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意； 根据已知条件无法证明，故①错误，不符合题意； 故答案为：②③④． 【例2】（23-24八年级上·上海普陀·期末）【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系． 如图1，已知在中，BD是的角平分线，是的中线，，垂足为点F． （1）根据图1，写出中小普同学所发现的结论，并给出证明； 【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究： （2）在如图1中，“线垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度数；如果不可以，请说明理由； （3）已知线段，是否存在一点P，使得以为一边的“线垂”三角形PMN为等腰三角形？如果存在，请在图2中用直尺和圆规做出为“分角”的“线垂”等腰三角形（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点P），并用文字语言归纳表述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有关的真命题；如果不存在，请说明理由．                  【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）见解析 【模型】综合模型 【分析】本题考查垂直平分线性质及画法，角平分线性质，中线定义 （1）利用角平分线性质及垂直的定义得到，即为等腰三角形，再根据中线定义即可得到本题答案； （2）根据（1）中结论即角平分线性质即可得到本题答案； （3）画出线段的垂直平分线找出点，根据垂直平分线性质写出真命题即可． 解：（1）解：，证明如下： ∵BD是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵AE是的中线， ∴， ∴， ∴； （2）解：可以，证明如下： 当， ∵， ∴， ∴， ∵BD是的角平分线， ∴， ∴； （3）解：存在， ∵根据题意描述，点在线段的垂直平分线上，作图如下： 真命题：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$