精品解析：广西柳州市第六中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

柳州市第六中学2024年高二上学期开学考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知集合，则是的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件 3. 已知个数的平均数为，方差为，则数据的平均数和方差分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 5. 某学生参与一种答题游戏，需要从A，B，C三道试题中选出一道进行回答，回答正确即可获得奖品.若该学生选择A，B，C的概率分别为0.3，0.4，0.3，答对A，B，C的概率分别为0.4，0.5，0.6，则其获得奖品的概率为（ ） A. 0.5 B. 0.55 C. 0.6 D. 0.75 6. 已知，且，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，令，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的增区间为 B. 当有3个零点时， C. 当时，的所有零点之和为 D. 当时，有1个零点 二、选择题，本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得6分，选对一个选项得2分，选对一半选项得3分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与的夹角为 D. 若，则 10. 已知直线是函数图象的一条对称轴，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递减 11. 已知一个正八面体如图所示，，则（ ） A. 平面 B. 点到平面的距离为1 C. 异面直线与所成的角为 D. 四棱锥外接球的表面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 设均为正数，且，则的最小值为_______. 13. 函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则函数的解析式为_______. 14. 18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体的统一体积公式（其中，，，分别为的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高），我们也称为“万能求积公式”.例如，已知球的半径为，可得该球的体积为；已知正四棱锥的底面边长为，高为，可得该正四棱锥的体积为.类似地，运用该公式求解下列问题：如图，已知球的表面积为，若用距离球心都为1cm的两个平行平面去截球，则夹在这两个平行平面之间的几何体的体积为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知在中，点在线段上，且，延长到，使.设，. （1）用、表示向量、； （2）若向量与共线，求的值. 16. 已知． （1）若角的终边过点求； （2）若，求的值． 17. 某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图. （1）求图中的值； （2）求这组数据的平均数和中位数； （3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率. 18. 已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，满足． （1）求A； （2）若的面积为，且，点D为边BC的中点，求AD的长． 19. 如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. （1）求证：平面； （2）求与平面所成的角； （3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柳州市第六中学2024年高二上学期开学考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算和复数的虚部概念即可. 【详解】，故该复数的虚部为2. 故选：D. 2. 已知集合，则是的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】若求出的取值，当时判断是否正确，判断时，是否可能为. 【详解】若，则且， 所以或，故当时有， 而时，不一定是， 故是的充分而不必要条件. 故选：A. 3. 已知个数的平均数为，方差为，则数据的平均数和方差分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用平均数与方差的性质求解即可. 【详解】因为的平均数为，方差为， 所以数据的平均数为，方差为. 故选：D. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数齐次式进行弦化切，从而代入即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 5. 某学生参与一种答题游戏，需要从A，B，C三道试题中选出一道进行回答，回答正确即可获得奖品.若该学生选择A，B，C的概率分别为0.3，0.4，0.3，答对A，B，C的概率分别为0.4，0.5，0.6，则其获得奖品的概率为（ ） A. 0.5 B. 0.55 C. 0.6 D. 0.75 【答案】A 【解析】 【分析】利用互斥事件和独立事件的概率求解. 【详解】解：该学生获得奖品的概率为. 故选：A 6. 已知，且，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】转化，由空间向量数量积的坐标表示即可得解. 【详解】由题意，， 又， 故，解得. 故选：C. 7. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性求得的范围，根据指数函数的单调性得的范围，即可比较大小. 【详解】因为在上单调递减，所以，即， 因为在上单调递增，所以，即， 因为在上单调递增，所以，即， 综上，. 故选：D 8. 已知函数，令，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的增区间为 B. 当有3个零点时， C. 当时，的所有零点之和为 D. 当时，有1个零点 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数图象，数形结合判断函数单调区间和零点个数. 【详解】函数，结合二次函数和对数函数的图像和性质，作函数的图象如图所示， 由图象可知，函数的增区间为和，A选项错误； 的零点，是函数和图象交点的横坐标， 由图象可知，当有3个零点时，，B选项错误； 解方程可知，当时，有两个零点，和，所有零点之和为，C选项错误； 当时，函数和的图象有1个交点，即有1个零点，D选项正确. 故选：D 二、选择题，本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得6分，选对一个选项得2分，选对一半选项得3分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与的夹角为 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求解判断各选项． 【详解】选项A，，，即，所以，A正确； 选项B，，，，B错； 选项C，，，，C错； 选项D，，，，D正确． 故选：AD． 10. 已知直线是函数图象的一条对称轴，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线是函数图象的一条对称轴，求得，再逐项判断. 【详解】解：因为直线是图象的一条对称轴，所以，．又，所以．A不正确． 当时，，所以的图象关于点对称．B正确． 因为，所以C正确． 当时，，单调递减．D正确． 故选：BCD 11. 已知一个正八面体如图所示，，则（ ） A. 平面 B. 点到平面的距离为1 C. 异面直线与所成的角为 D. 四棱锥外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面平行的判定、异面直线的夹角、外接球等知识点逐项判断即可； 【详解】将正八面体置于一个正方体中，如图所示，该正八面体的顶点为正方体六个面的中心，，则正方体的边长为2， 由图可知，， 因为平面平面，所以平面，A正确． 连接，由图可知，点到平面的距离为，B正确． 由图可知，，则直线与所成角即与所成角， 因为为正三角形，所以，C错误． 四棱锥外接球的球心为正方形的中心，所以外接球的半径为1， 故四棱锥外接球的表面积为，D正确． 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：将正八面体放到正方体中是本题的突破点，然后根据线面平行的判定、异面直线的夹角、外接球等知识点逐项判断. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 设均为正数，且，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合基本不等式，准确计算，即可求解. 【详解】由均为正数，且，可得， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 13. 函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则函数的解析式为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由函数的图象，利用三角函数的性质，求得函数的解析式，结合三角函数的图象变换，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得，解得， 又由，可得，解得， 因为，则，所以， 又因为将的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象， 所以. 故答案为：. 14. 18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体的统一体积公式（其中，，，分别为的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高），我们也称为“万能求积公式”.例如，已知球的半径为，可得该球的体积为；已知正四棱锥的底面边长为，高为，可得该正四棱锥的体积为.类似地，运用该公式求解下列问题：如图，已知球的表面积为，若用距离球心都为1cm的两个平行平面去截球，则夹在这两个平行平面之间的几何体的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】先由球的表面积得球的半径，再由勾股定理求出截面小圆的半径，最后代入“万能求积公式”计算即可求解. 【详解】如图： 设上下截面小圆圆心分别为E，F，上底面截面小圆上一点A，连接OA， 因为球的表面积为，所以球的半径，所以， 又，，所以截面小圆半径， 根据“万能求积公式”可得所求几何体的体积为：. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知在中，点在线段上，且，延长到，使.设，. （1）用、表示向量、； （2）若向量与共线，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知为的中点，利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，结合平面向量的减法可得出关于、的表达式； （2）分析可知，存在，使得，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得实数的值. 【小问1详解】 解：因为，结合图形可知为的中点， 所以，， 因为，则， 所以，. 【小问2详解】 解：因为， 因为向量与共线，则存在，使得， 即，所以，，解得. 16. 已知． （1）若角的终边过点求； （2）若，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用诱导公式化简函数式，再由终边上的点有，即可得答案； （2）由题设有，应用平方关系及齐次式化弦为切求值. 【小问1详解】 ， 若角终边过点，则，所以； 【小问2详解】 若，则， 所以． 17. 某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图. （1）求图中的值； （2）求这组数据的平均数和中位数； （3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率. 【答案】（1）；（2）平均数为，中位数设为；（3）. 【解析】 【分析】 （1）由各组的频率和为1，列方程可求出的值； （2）由平均数的公式直接求解，由图可得中位数在第3组，若设中位数设为，则，从而可求得的值； （3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人，从5人中选2人，用列举法列出所有情况，利用概率公式求解即可 【详解】（1）由，解得. （2）这组数据的平均数为. 中位数设为，则，解得. （3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人.记为， 记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件， 从5人中抽取2人有：，，，，， ，，，， 所以总基本事件个数为10个，包含的基本事件个数为3个， 所以 . 18. 已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，满足． （1）求A； （2）若的面积为，且，点D为边BC的中点，求AD的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得到，再利用余弦定理求出； （2）在第一问的基础上，结合，利用三角恒等变换求出，进而由三角形面积得到，由余弦定理求出答案. 【小问1详解】 ，， 即 即， 所以由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得， 又，所以． 【小问2详解】 因为， 所以， 即， 又，则，所以， 所以，， 所以， 所以，故，， 故在中，由余弦定理可得， 则． 19. 如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. （1）求证：平面； （2）求与平面所成的角； （3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 如图，在梯形ABCD中，连接DE，因为 E是BC 的中点， 所以，又因为，且， 故四边形是菱形，从而， 所以沿着AE翻折成后，平面，因为平面， 则 有，又平面， 所以平面， 由题意，易知,所以四边形是平行四边形，故， 所以平面. （2） （3）存在，此时点是线段的中点且，理由如下： 假设线段上存在点，使得平面， 过点作交于，连接，如图所示： 所以，所以四点共面， 又因为平面，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以是的中点， 故在线段上存在点，使得平面，且. 【解析】 【分析】（1）首先根据已知条件并结合线面垂直的判定定理证明平面，再证明即可证出结论； （2）根据（1）中线面垂直的结论并结合线面角的概念找出所求角，再结合已知条件即可求解； （3）首先假设存在，然后根据线面平行的性质以及已知条件，看是否能求出点的具体位置，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，所以线段在平面内的射影为线段， 所以与平面所成的角为， 由已知条件，可知，， 所以是正三角形，所以平分，所以， 所以与平面所成的角为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $