江苏省苏州市吴中区临湖实验中学2024-2025学年 八年级上学期数学第2周创优班数学试题

江苏省苏州市吴中区临湖实验中学2024-2025学年‌八上数学第2周创优班数学试题 一．选择题（共3小题） 1．如图，在△ABC中，作边AB的垂直平分线，交边BC于点D，连接AD．若∠B＝35°，∠C＝60°，则∠DAC的度数为（　　） A．50° B．40° C．35° D．30° 2．把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O在原点上，OA边在x轴的正半轴上AB⊥x轴，AB＝CB＝2，OA＝OC，∠AOC＝60°，将四边形OABC绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（　　） A．（﹣3，） B．（3，﹣） C．（﹣，1） D．（1，﹣） 二．填空题（共9小题） 4．如图，在扇形OBA中，∠AOB＝90°，C、D分别是OA，OB的中点，连接AD和BC交于点E，若OA＝2，则图中阴影部分的面积为 　 　． 5．如图，正方形ABCD的边长为5，E是边AD上一动点，将正方形沿CE翻折，点D的对应点为D'，过点D'作折痕CE的平行线，分别交正方形ABCD的边于点M，N（点M在点N上方），若2AM＝CN，则DE的长为 　 　． 6．已知n个自然数之积是2007，这n个自然数之和也是2007，那么n的值最大是 　 　． 7．甲、乙两筐苹果各有若干千克，从甲筐拿出20%到乙筐后，又从乙筐拿出25%到甲筐，这时甲、乙两筐苹果的质量相等，则原来乙筐的苹果质量是甲筐的 　 　%． 8．如图，OM平分∠AOB，ON平分∠COD．若∠MON＝48°，∠BOC＝14°，则∠AOD＝　 　． 9．如图，一个瓶子的容积为1升，瓶内装着一些溶液，当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为20cm，倒放时，空余部分的高度为5cm．瓶内溶液的体积为 　 　升． 10．为了庆祝中共二十大胜利召开，某初中举行了以“二十大知多少”为主题的知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．若某参赛同学有1道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了 　 　道题． 11．《算法统宗》中记有“李白沽酒”的故事．诗云：今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士：如何知原有？（古代一斗是10升） 大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒．则李白的酒壶中原有　 　升酒． 12．学校组织劳动实践活动，组织一组同学把两片草地的草割完．已知两片草地一大一小，大的比小的大一倍，大家先都在大片草地上割了半天，午后分成两组，一半人继续在大片草地上割，到下午收工时恰好割完，另一半人到小片草地割，到收工时还剩一小块，且这一小块草地恰好是一个人一天的工作量，由此可知，此次参加社会实践活动的人数为 　 　人． 三．解答题（共5小题） 13．国家“双减”政策实施后．某校开展了丰富多彩的社团活动，其中分同学报名参加了中国象棋和围棋两个社团，该校为参加社团的同学去商场购买中国象棋和围棋．已知购买5副中国象棋和3副围棋共花费165元，购买4副中国象棋和6副围棋共花费240元． （1）求每副中国象棋和围棋的价格各是多少元． （2）在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下： 方案一：购买围棋不超过20副时，围棋和中国象棋均按原价付款；超过20副时，超过的部分每购买1副围棋赠送1副中国象棋； 方案二：按购买总金额的八折付款． 若该校共需购买40副围棋和x（x≥10）副中国象棋，请通过计算说明该校选择哪种方案更划算． 14．已知一次函数y＝ax+b（a≠0）与反比例函数y＝的图象都经过点A（1，﹣5），B（m，）． （1）求一次函数与反比例函数的解析式；并在网格中画出一次函数的图象； （2）若点C与点A关于原点成中心对称，连接BC、AC．求△ABC的面积； （3）根据图象，不等式≥ax+b的解集． 15．如果一个自然数M能分解成p2+q，其中P与q都是两位数，p与q的十位数字相同，个位数字之和为9，则称数M为“好数”，并把数M＝p2+q的过程，称为“好分解”，例如：139＝112+18，11与18的十位数字相同，1+8＝9，所以139是“好数”；470＝212+29，21与29的十位数字相同，但1+9≠9，所以470不是“好数”． （1）判断268，1061是否是“好数”？并说明理由； （2）把一个四位“好数”M进行“好分解”，即M＝p2+q，并将p放在q的左边组成一个新的四位数N，若N能被4整除，且N的各个数位数字之和能被5整除，求出所有满足条件的M． 16．设a，b，c，d为自然数，且a＜b＜c＜d，，求a，b，c，d． 17．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式x2+的值． 解：∵，∴＝4即＝4 ∴x+＝4∴x2+﹣2＝16﹣2＝14 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值． 解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则x＝，y＝，z＝，∴ 根据材料回答问题： （1）已知，求x+的值． （2）已知（abc≠0），求的值． （3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝5，求xyz的值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共3小题） 1．【解答】解：∵∠B＝35°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝85°， ∵点D在AB的垂直平分线上， ∴DA＝DB， ∴∠B＝∠BAD＝35°， ∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝85°﹣35°＝50°， 故选：A． 2．【解答】解：解不等式x+5＞2，得x＞﹣3； 解不等式1﹣3x≥x﹣7，得x≤2； ∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2． 故选：A． 3．【解答】解：连接OB，过点C作CP⊥OA，垂足为P，如图所示， ∵AB＝CB＝2，OA＝OC，OB＝OB， ∴△AOB≌△COB（SSS）， ∴， 在Rt△AOB中，AB＝2，∠AOB＝30°， ∴， ∴， 在Rt△COP中，， ∴， ∴点C的坐标为， ∵每次旋转90°，360°÷90°＝4， ∴每旋转4次为一个循环． ∵2023÷4＝505⋅⋅⋅3， ∴第2023次旋转结束时点C的位置和第3次旋转结束时点C的位㨁相同， ∴第2023次旋转结束时，点C的坐标为， 故选：B． 二．填空题（共9小题） 4．【解答】解：如图，连接OE， ∵OA＝2，点C是OA的中点，点D是OB的中点， ∴OC＝OD＝1，S△ACE＝S△OEC，S△OED＝S△BED， ∵∠AOD＝90°＝∠BOC， ∴△AOD≌△BOC（SAS）， ∴∠CAE＝∠DBE， ∵∠AEC＝∠BED，AC＝BD＝1， ∴△AEC≌△BED（AAS）， ∴S△ACE＝S△OEC＝S△OED＝S△BED＝S△AOD＝××2×1＝， ∴S阴影部分＝S扇形AOB﹣4S△DOE ＝﹣4× ＝， 故答案为：． 5．【解答】解：∵四边形ABCD是边长为5的正方形， ∴AD＝5，AD∥BC， ∵MN∥CE， ∴四边形CEMN为平行四边形， ∴∠D′ME＝∠ECN，CN＝EM， ∵2AM＝CN， ∴EM＝2AM， 设AM＝x，则EM＝2x， ∴DE＝AD﹣AM﹣EM＝5﹣3x， 根据折叠的性质可得，DE＝D′E＝5﹣3x，∠DEC＝∠D′EC， ∵AD∥BC， ∴∠DEC＝∠ECN＝∠D′ME， ∵MN∥CE， ∴∠D′EC＝∠MD′E， ∴∠D′ME＝∠MD′E， ∴EM＝D′E， ∴2x＝5﹣3x， 解得：x＝1， ∴DE＝5﹣3x＝2． 故答案为：2． 6．【解答】解：2007的质因数分解式是2007＝3×3×223，3+3+223＝229，还需要补2007﹣229＝1778个1；1778+3＝1781，那么n的值最大是1781． 故答案为：1781． 7．【解答】解：设甲、乙两筐苹果各有xkg、ykg， 从甲筐拿出20%到乙筐后， 甲、乙两筐苹果分别为：80%xkg，（y+20%x ）kg， 从乙筐拿出25%到甲筐后， 甲、乙两筐苹果分别为：80%x+25%×（y+20%x）＝，75%×（y+20%x）＝， 由题意可知：＝， 解得：y＝， 则原来乙筐的苹果质量是甲筐的：×100%＝×100%＝140%． 8．【解答】解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD， ∴∠AOB＝2∠BOM，∠COD＝2∠CON， ∵∠MON＝48°，∠BOC＝14°， ∴∠BOM+∠CON＝∠MON﹣∠BOC＝48°﹣14°＝34°， ∴∠AOB+∠COD＝2（∠BOM+∠CON）＝2×34°＝68°， ∴∠AOB+∠COD+∠BOC＝68°+14°＝82°， ∵∠AOD＝∠AOB+∠COD+∠BOC， ∴∠AOD＝82°， 故答案为：82°． 9．【解答】解：设瓶子的底面积为Scm2，1升＝1000cm3， 根据题意列方程得，20S+5S＝1000， 解得S＝40， 40×20＝800（cm2）， 800cm3＝0.8L， 故答案为：0.8． 10．【解答】解：设该同学一共答对了x道题， ∵一共有25道题，有1道题没有作答， ∴该同学答错了（25﹣1﹣x）道题， 由题意，得：4x﹣（25﹣1﹣x）×1＝86， 解得：x＝22； ∴该参赛同学一共答对了22道题； 故答案为：22． 11．【解答】解：设壶中原有x升酒， 根据题意得：2[2（2x﹣5）﹣5]＝5， 解得：x＝． 答：壶中原有升酒． 故答案为：． 12．【解答】解：由题可知每人每天除草量是一定的， 设此次参加社会实践活动的人数为x人，每人每天除草量为y， 则上午在大片草地除草量为0.5xy， 下午在大片草地除草量为0.5×0.5xy， 下午在小片草地除草量为0.5×0.5xy， 一个人刚好把剩下一块的小片地除完则为y，又因为大片地的面积是小片地的2倍，列出方程， 0.5xy+0.5×0.5xy＝2×（0.5×0.5xy+y）， 0.5xy+0.25xy＝0.5xy+2y， 0.75xy﹣0.5xy＝2y， 0.25xy＝2y， 0.25x＝2， x＝8． 答：此次参加社会实践活动的人数为8人． 故答案为：8． 三．解答题（共5小题） 13．【解答】解：（1）设每副中国象棋的价格是a元，每副围棋的价格是b元． 依题意有， 解得：， 答：每副中国象棋的价格是15元，每副围棋的价格是30元； （2）设选择方案一所需的费用为y1元，选择方案二所需的费用为y2元． 根据题意得：y1＝40×30+（x﹣20）×15＝15x+900； y2＝（15x+30×40）×0.8＝12x+960． 若y1＜y2，则15x+900＜12x+960，解得x＜20； 若y1＝y2，则15x+900＝12x+960，解得x＝20； 若y1＞y2，则15x+900＞12x+960，解得x＞20． ∵x≥20， ∴若y1＜y2，则10≤x＜20． 答：当10≤x＜20时，该校选择方案一更划算；当x＞20时，该校选择方案二更划算；当x＝20时，该校选择两种方案一样划算． 14．【解答】解：（1）∵点A（1，﹣5））和B（m，）在反比例函数y＝的图象上， ∴k＝1×（﹣5）＝m＝﹣5， ∴反比例函数的表达式为y＝﹣，m＝﹣3； ∴点B的坐标为（﹣3，）． 将A（1，﹣5），B（﹣3，）代入y＝ax+b，得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为y＝﹣x﹣； 图象如图1所示： （2）如图2，∵点A的坐标为（1，﹣5），点C与点A关于原点成中心对称， ∴点C的坐标为（﹣1，5）， ∵点B的坐标为（﹣3，）， ∴S△ABC＝4×10﹣×4×（5+）﹣×2×10﹣×＝． （3）观察函数图象，可知：当x≥1或﹣3≤x＜0时，反比例函数图象在一次函数图象的上方， ∴不等式≥ax+b的解集是x≥1或﹣3≤x＜0． 15．【解答】解：（1）268不是“好数”，1061是“好数”； 理由：268不是268＝162+12，16和12的十位数相同，但是2+6≠9，所以268不是“好数”； 1061＝322+37，32与37的十位数字相同，2+7＝9，所以1061是“好数”； （2）设p的十位数是m，个位数是n，则q的十位数是m，个位数是9﹣n， ∴N的各位数字之和是m+n+m+9﹣n＝2m+9， ∵N的各个数位数字之和能被5整除， ∴m＝3或8， 当m＝3时，N＝1000m+100n+100m+9﹣n＝1010m+99n+9＝3039+99n， ∵N能被4整除， ∴n＝3或7， ∴M＝332+36＝1125或M＝372+32＝1401， 即M＝1125或1401； 当m＝8时，N＝1010m+99n+9＝8089+99n， ∵N能被4整除， ∴n＝1或5或9， ∴M＝812+88＝6649或M＝852+84＝7309或M＝892+80＝8001， 即M＝6649或7309或8001； 综上所述：满足条件的M有1125或1401或6649或7309或8001． 16．【解答】解：∵a＜b＜c＜d， ∴， ∴1＝＜＝， ∴a＜4， ∵a，b，c，d为自然数， ∴a＝2或3， 当a＝2时，＜， ∴b＜6， ∴b＝3或4或5， 当b＝3时，＜， ∴c＜12， ∴c＝4或5或6或7或8或9或10或11． 由，依次代入经过计算可得， （a，b，c，d）＝（2，4，6，12），（2，4，5，20），（2，3，7，42），（2，3，8，24），（2，3，9，18），（2，3，10，15）． 当a＝3时，＜， ∴b＜4.5， ∴b＝4， 此时， ∴c＜4.8， ∵c＞b，故不存在这样的自然数c，故a＝3舍去． 综上：（a，b，c，d）＝（2，4，6，12），（2，4，5，20），（2，3，7，42），（2，3，8，24），（2，3，9，18），（2，3，10，15）． 17．【解答】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）设，则a＝5k，b＝4k，c＝3k， ∴； （3）设， ∴①， ②， ③， ①+②+③，得 ， ④， ④﹣①，得：， ④﹣②，得：， ④﹣③，得：， ∴，，， ∵ ∴， ∴， 解得，k＝4， ∴，，， ∴． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/9/21 9: 学科网（北京）股份有限公司 $$