精品解析：吉林省第二实验学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

吉林省第二实验学校2024—2025学年度上学期九年级第一次月考 数学试题（四年制） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 根据有理数减法法则，计算过程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的减法，根据有理数的减法法则计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：D． 2. 如图所示的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图所看的方向：从上面看所得到的图形． 根据俯视图是从上面看所得到的图形即可得出答案． 【详解】解：从上面看，下层是一个小正方形，上层是二个小正方形． 如图： 故选：A． 3. 如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（　　　） A. 80° B. 50° C. 30° D. 20° 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠2的同位角，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解． 【详解】如图，∵∠2＝50°，纸条的两边互相平行， ∴∠4＝∠2＝50°， ∵∠1＝30°， ∴∠3＝∠4−∠1＝50°−30°＝20°． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键． 4. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘单项式、同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 根据单项式乘单项式法则计算并判定A；根据同底数幂运算法则计算并判定B；根据积的乘方法则计算并判定C；根据幂的乘方法则计算并判定D． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算正确，故此选项符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 5. 若，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题关键． 根据不等式的性质逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、∵，∴，故此选项不符合题意； B、∵，∴，故此选项不符合题意； C、∵，∴，故此选项符合题意； D、∵，∴，故此选项不符合题意； 故选：C． 6. 许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．某商场“飞梯”从2层直达5层，“飞梯”的截面如图，的长为50米，与的夹角为，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据图形和锐角三角函数，可以表示出的值． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴（米）， 故选：A． 7. 如图，在中，．小聪同学利用直尺和圆规完成了如下作图： ①分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，过点作直线与交于点； ②连接，以点为圆心，以一定长为半径画弧，交于点，交于点，以点为圆心，以同样定长为半径画弧，与交于点，以点为圆心，以长为半径画弧与前弧交于点．作射线与交于点． 请根据以上操作，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. 平分 C. 垂直平分 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规基本作图，平行线的判定与性质，熟练掌握尺规基本作图：1．作一角等于已知角，2．作线段垂直平分线是解题的关键． 根据尺规基本作图：作一角等于已知角，可判定A、B；根据尺规基本作图：作线段垂直平分线，可判定C；证明，利用平行线的性质即可判定D． 【详解】解：A、由②作法可知，故此选项不符合题意； B、由②作法可知，不是作的的平分线，∴平分不成立，故此选项符合题意； C、由①作法可知垂直平分，故此选项不符合题意； D、∵垂直平分，∴，∵，∴，∴，故此选项不符合题意； 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与反比例函数，在第一象限内的图像交于点B，连接，若，，则m的值是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】先根据直线求得点C的坐标，然后根据求得，然后利用正切的定义求得，从而求得点B的坐标，求得结论． 【详解】解：∵直线与y轴交于点C，当时，， ∴点C的坐标为， ∴， 过B作轴于D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∵反比例函数，在第一象限内的图像经过点B， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，正切的含义，解题的关键是作辅助线构造直角三角形． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 单项式的系数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据单项式的系数概念解答即可． 【详解】解：的系数为 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式的系数：单项式中的数字因数，正确把握单项式的系数概念是解题的关键． 10. 计算=_____． 【答案】 【解析】 【分析】先把化为最简二次根式，再合并同类二次根式计算结果． 【详解】解： ． 11. 若抛物线和x轴有交点，则k的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线和x轴有交点，可得 ，解出即可． 【详解】解：∵抛物线和x轴有交点， ∴ ，即 ， 解得： ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了抛物线与 轴的交点问题，熟练掌握抛物线，若 ，抛物线与 轴有两个交点；若 ，抛物线与 轴有一个交点；若 ，抛物线与 轴没有交点是解题的关键． 12. 如图，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点，、，那么不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式，掌握数形结合思想成为解题的关键． 根据函数图像直接写出不等式的解集即可． 【详解】解：由函数图像可知：不等式的解集为． 故答案为：． 13. 如图，A，B是上的两点，，点C在优弧上，则______度 【答案】45 【解析】 【分析】先利用垂直的定义得到，然后根据圆周角定理计算的度数． 【详解】， ， ． 故答案为45 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 14. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①； ②（为任意实数）； ③； ④若是抛物线上不同的两个点，则． 其中正确的结论有______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能数形结合是关键． 依据题意，由抛物线图象与性质，即可逐个判断得解． 【详解】解：由题意，抛物线开口向下， ． 又抛物线的对称轴是直线， ． 又抛物线交轴正半轴， 当时，． ，故①正确． 由题意，当时，取最大值为， 对于抛物线上任意的点对应的函数值都． 对于任意实数，当时，． ，故②正确． 由图象可得，当时，， 又， ，故③正确． 由题意抛物线为， ，故④错误． 综上，正确的有①②③共2个． 故答案为：①②③． 三、解答题（本题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键，根据分式混合运算法则化简，再代入求值即可． 【详解】解： 原式 ． 当时， 原式． 16. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，经过点，且与两坐标轴分别交于点A与点，点A的坐标为，是圆上一点，． （1）求的度数． （2）圆心的坐标为______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用圆内接四边形的性质求得，再利用三角形内角和即可求解； （2）过作于，证明，利用相似三角形的性质求出，，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点A、B、O、M在上， ∴四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：过作于， ∵点A的坐标为， ∴， ∵为坐标原点，经过点，且与两坐标轴分别交于点A与点， ∴是的直径， ∴， 由（1）知 ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点C在第二象限内， ∵点坐标为． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 17. 有甲、乙两种车辆参加来宾市“桂中水城”建设工程挖渠运土，已知5辆甲种车和4辆乙种车一次可运土共140立方米，3辆甲种车和2辆乙种车一次可运土共76立方米．求甲、乙两种车每辆一次可分别运土多少立方米？ 【答案】甲、乙两种车每辆一次可分别运土12和20立方米 【解析】 【分析】设甲中车辆一次运土x立方米，乙车辆一次运土y立方米，根据题意所述的两个等量关系得出方程组，解出即可得出答案． 【详解】设甲中车辆一次运土x立方米，乙车辆一次运土y立方米， 由题意得，， 解得： ． 答：甲、乙两种车每辆一次可分别运土12和20立方米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找准等量关系，准确列出相应方程是解题的关键． 18. 函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题： （1）方程的两个根为______，______； （2）当时，则的取值范围为______；当时，自变量的取值范围为______； （3）若方程有实数根，取值范围是______． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据函数图象即可得出答案； （2）根据函数图象结合当时，即可得出答案； （3）根据函数图象即可得出答案． 【小问1详解】 解：由图象可得：方程的两个根为，； 【小问2详解】 解：由图象可得：当时，则的取值范围为， ∵， ∴当时，， ∴当时，自变量的取值范； 【小问3详解】 解：若方程有实数根，取值范围是． 19. 如图，已知是的直径，弦平分，过点C作直线，使得于D． （1）求证：直线与相切； （2）若，，求直径的长． 【答案】（1） 证明：连接 平分 ， ． 又是的半径， 直线与相切于点 （2）4 【解析】 【分析】此题主要考查了切线的性质与判定，解题时 首先利用切线的判定证明切线，然后利用切线的想这已知条件证明三角形相似即可解决问题． （1）连接，由可以得到，然后利用角平分线的性质可以证明，接着利用平行线的判定即可得到，然后就得到，由此即可证明直线与相切于点； （2）连接，根据圆周角定理的推理得到，又，由此可以得到，然后利用相似三角形的性质即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，则． ，， ， ， ． 【点睛】 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作格点图形． （1）在图①中，作，使其面积为； （2）在图②中，作，使其面积为2； （3）在图③中，作四边形，使其是轴对称图形且面积为3． 【答案】（1） 如图1-1所示，或或即为所求； 如图1-2， （2） 如图2所示，或即为所求； （3） 如图3所示，四边形或四边形即为所求； 【解析】 【分析】本题考查格点作图，轴对称图形，熟练掌握利用网格特征作图，轴对称图形的性质是解答本题的关键． （1）画高与底分别为2与3或3与2，或底与高为与的三角形即可； （2）画高与底分别为与的三角形即可； （3）结合轴对称图形的性质，使四边形的对角线相互垂直平分，且对角线的长分别为2和3即可． 【小问1详解】 解：如图1-1所示，或或即为所求； ， 如图1-2， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图2所示，或即为所求； ∵，， ． 【小问3详解】 解：如图3所示，四边形或四边形即为所求； ． 21. “绿色出行，低碳环保”，共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有甲、乙两种品牌的共享电动车，收费标准y（元）与骑行时间x（分）之间的函数关系如图所示，请根据图象信息，解答下列问题： （1）甲品牌共享电动车每分钟收费_____________元． （2）当骑行时间不低于10分钟时，求乙品牌共享电动车y与x之间的函数关系式． （3）已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，若小明需要骑行共享电动车去上班，小明家到单位的距离为，请通过计算帮小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱． 【答案】（1）0.2 （2） （3）小明选择甲品牌的共享电动车更省钱 【解析】 【分析】（1）由20分钟收4元即可得甲品牌共享电动车每分钟收费； （2）用待定系数法可得乙品牌共享电动车在骑行时间不低于10分钟时y与x之间的函数关系式； （3）求出骑行时间，由图象直接可得答案． 【小问1详解】 解：由图可得：甲品牌共享电动车每分钟收费（元） 故答案为：0.2； 【小问2详解】 当时，设乙品牌共享电动车y与x之间的函数关系式是 将，代入得： ， 解得， ∴； 【小问3详解】 小明需要骑行的时间是（分）， 从图象可知，当时，，即骑行甲品牌的共享电动车更省钱， ∴小明选择甲品牌的共享电动车更省钱． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的根据是读懂题意，能正确识图． 22. 【问题原型】 如图1，线段是一条弦，，点在上，，求的半径长．小元的解法如下，请你帮他补全适当的理由： 解：连结并延长交于点，连结， 为直径，点在圆上， ，（______） ， ，（______） 在中，， ， ． ． ， ． 即的半径长为2． 【逆向思考】 如图2，线段是一条弦，若、在的异侧，，的半径为1，求弦的长． 【模型应用】 如图3，为边上一点，以为直径作圆，交直线于点，交直线于点，连结．，，，则线段的最小值为______（有含的代数式表示）． 【答案】[问题原型]直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等 [逆向思考] [模型应用] 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，特殊角的三角函数值，圆内接四边形的性质，熟练掌握这些性质，并掌握题中给出的方法是解题的关键． [问题原型]根据题中推理写出根据即可； [逆向思考]连结并延长交于点，连结，利用题中方法求解即可； [模型应用]设圆的圆心为，连结，，连结并延长交于点，连结，利用题中方法得出和直径的关系，再求出的最小值即可求解． 【详解】[问题原型] 解：连结并延长交于点，连结， 为直径，点在圆上， ，（直径所对的圆周角是直角） ， ，（同弧所对的圆周角相等） 在中，， ， ， ， ， ， 即的半径长为2； 故答案为：直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等； [逆向思考] 解：连结并延长交于点，连结， 为直径，点在圆上， ， ， ， 在中，， ∵， ， 即； [模型应用] 解：设圆的圆心为，连结，，连结并延长交于点，连结，如图， ∵，， ∴， ∴， 为直径，点在圆上， ， ， ， 在中，， ， ∴当最小时，最小， ∵为边上一点， ∴当时，最小， 此时，由， ∴， ∴， 故答案为：． 23. 如图，在中，，，，点为边上一点，当点不与点重合时，过点作于点，以为边向右侧作正方形． （1）______； （2）当是等腰直角三角形时，求线段的长； （3）连接，求线段的最小值； （4）连接，设线段与线段交点为，当点为线段的三等分点时，直接写出此时的线段的长． 【答案】（1）1 （2）线段的长为5或； （3）线段的最小值为； （4）线段的长为或． 【解析】 【分析】（1）作于点，利用三角二次函数的定义结合勾股定理求得，，，得到是等腰三角形，据此即可求解； （2）分两种情况讨论，当，时，利用平行线分线段成比例定理即可求解，点与点重合时，； （3）以为对角线，构造正方形，点在线段上，当时，线段取得最小值，据此求解即可； （4）分两种情况讨论，当和时，推出，利用平行线分线段成比例定理即可求解即可． 【小问1详解】 解：作于点， ∵，∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴． 故答案为：1； 【小问2详解】 解：当，时，是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴，， 由题意知， ∴，即， ∴； 显然，点与点重合时，是等腰直角三角形， 此时，； 综上，线段的长为5或； 【小问3详解】 解：如图，以为对角线，构造正方形，连接， ∴，， ∴点在线段上，当时，线段取得最小值， 由题意得， ∴， ∵， ∴， 即线段的最小值为； 【小问4详解】 解：设正方形的边长为， 当时，如图， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，则， ∵， ∴， 解得，经检验是原方程的解， 即，， ∴； 当时，如图， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，则， ∵， ∴，解得， 经检验是原方程的解， 即，， ∴； 综上，线段的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理、三角函数的定义等知识；本题综合性强，熟练掌握三角函数定义、分类讨论是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）经过点和点，点是抛物线上一动点，其横坐标为，过点作轴垂线交直线于点，分别作点关于轴的对称点，构造矩形． （1）求此二次函数的解析式． （2）当抛物线顶点落在矩形的边上时，求矩形的面积． （3）当抛物线在矩形内部的图象随的增大而减小时，求的取值范围． （4）抛物线在矩形内部（包括边界）的最高点与最低点的纵坐标之和的绝对值为2时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）12或36 （3）或 （4）或或或 【解析】 【分析】（1）直接把，代入，求解即可； （2）分两种情况：当抛物线顶点落在矩形的边上时，当抛物线顶点落在矩形的边上时，分别 求解即可； （3）画出动点P的几种情况图，利用数形结合求解即可； （4）根据抛物线在矩形内部（包括边界）的最高点与最低点的纵坐标之和的绝对值为2，当时，当时，当时，当时，当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入，得 ， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解： ∵ ∴抛物线顶点坐标为， 当抛物线顶点落在矩形的边上时，如图， ∵P、N是关于轴的对称点， ∴轴， ∴点P纵坐标为， ∴点P与抛物线的顶点重合， 即， ∴点， ∴， ∵过点作轴垂线交直线于点， ∴点横坐标为1， 当时， ∴， ∴ ∴矩形的面积； 当抛物线顶点落在矩形的边上时，如图， 同理可得点Q的纵坐标为， 当时，则， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴P点的横坐标为， 当时，则， ∴， ∴， ∴矩形的面积； 综上，矩形的面积为12或36． 【小问3详解】 解：由题意得， 当点P在第二象限，点M恰好在抛物线上时，如图： 则， ∴， 解得：或（舍）， 此时符合抛物线在矩形内部的图像y随x的增大而减小， 当点P向右运动，此时时，符合抛物线在矩形内部的图像y随x的增大而减小，如图： 当点继续向右运动与点重合时，此时矩形不存在，如图： 此时，， 解得：或（舍）， 当点向右运动，点在点下方时，如图： 此时不符合题意， ∴当，符合抛物线在矩形内部的图像y随x的增大而减小； 当点与点重合时，矩形不存在， 当点继续向右运动，在第四象限时，此时，如图，符合题意： 当点继续向右运动，均符合题意，如图： 当点与点重合时，矩形不存在，此时， 解得：或（舍）， 当点继续向右运动，在点上方时，不符合题意 ，如图： ， ∴当，符合抛物线在矩形内部的图像y随x的增大而减小， 综上所述，m的取值范围为：或； 【小问4详解】 解：∵， ∴顶点为，而， 联立， 解得：或， ①当且时，即：，如图： 此时，而， ∴， 解得：（舍）或（舍）或； ②当，即时，记顶点为点，如图： 此时， 则， 整理得，或， 解得：或（舍）或（舍）或（舍）； ③当时， 此时：， 即：， 整理得，， 解得：或（舍）或（舍）； ④时， 此时， 即： 解得：或（舍）或（舍）或（舍）； ⑤当时，不存在． 综上所述：或或或． 【点睛】本题属二次函数综合题目，主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象性质，矩形的性质，关于y轴对称点的坐标特征，一次函数图象上的点的坐标特征，二次函数最高点与最低点等知识，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键，注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省第二实验学校2024—2025学年度上学期九年级第一次月考 数学试题（四年制） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 根据有理数减法法则，计算过程正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（　　　） A. 80° B. 50° C. 30° D. 20° 4. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．某商场“飞梯”从2层直达5层，“飞梯”的截面如图，的长为50米，与的夹角为，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，．小聪同学利用直尺和圆规完成了如下作图： ①分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，过点作直线与交于点； ②连接，以点为圆心，以一定长为半径画弧，交于点，交于点，以点为圆心，以同样定长为半径画弧，与交于点，以点为圆心，以长为半径画弧与前弧交于点．作射线与交于点． 请根据以上操作，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. 平分 C. 垂直平分 D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与反比例函数，在第一象限内的图像交于点B，连接，若，，则m的值是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 单项式的系数是_______． 10. 计算=_____． 11. 若抛物线和x轴有交点，则k的取值范围是_____． 12. 如图，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点，、，那么不等式的解集为______． 13. 如图，A，B是上的两点，，点C在优弧上，则______度 14. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①； ②（为任意实数）； ③； ④若是抛物线上不同的两个点，则． 其中正确的结论有______． 三、解答题（本题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，经过点，且与两坐标轴分别交于点A与点，点A的坐标为，是圆上一点，． （1）求的度数． （2）圆心的坐标为______． 17. 有甲、乙两种车辆参加来宾市“桂中水城”建设工程挖渠运土，已知5辆甲种车和4辆乙种车一次可运土共140立方米，3辆甲种车和2辆乙种车一次可运土共76立方米．求甲、乙两种车每辆一次可分别运土多少立方米？ 18. 函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题： （1）方程的两个根为______，______； （2）当时，则的取值范围为______；当时，自变量的取值范围为______； （3）若方程有实数根，取值范围是______． 19. 如图，已知是的直径，弦平分，过点C作直线，使得于D． （1）求证：直线与相切； （2）若，，求直径的长． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作格点图形． （1）在图①中，作，使其面积为； （2）在图②中，作，使其面积为2； （3）在图③中，作四边形，使其是轴对称图形且面积为3． 21. “绿色出行，低碳环保”，共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有甲、乙两种品牌的共享电动车，收费标准y（元）与骑行时间x（分）之间的函数关系如图所示，请根据图象信息，解答下列问题： （1）甲品牌共享电动车每分钟收费_____________元． （2）当骑行时间不低于10分钟时，求乙品牌共享电动车y与x之间的函数关系式． （3）已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，若小明需要骑行共享电动车去上班，小明家到单位的距离为，请通过计算帮小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱． 22. 【问题原型】 如图1，线段是一条弦，，点在上，，求的半径长．小元的解法如下，请你帮他补全适当的理由： 解：连结并延长交于点，连结， 为直径，点在圆上， ，（______） ， ，（______） 在中，， ， ． ． ， ． 即的半径长为2． 【逆向思考】 如图2，线段是一条弦，若、在的异侧，，的半径为1，求弦的长． 【模型应用】 如图3，为边上一点，以为直径作圆，交直线于点，交直线于点，连结．，，，则线段的最小值为______（有含的代数式表示）． 23. 如图，在中，，，，点为边上一点，当点不与点重合时，过点作于点，以为边向右侧作正方形． （1）______； （2）当是等腰直角三角形时，求线段的长； （3）连接，求线段的最小值； （4）连接，设线段与线段交点为，当点为线段的三等分点时，直接写出此时的线段的长． 24. 在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）经过点和点，点是抛物线上一动点，其横坐标为，过点作轴垂线交直线于点，分别作点关于轴的对称点，构造矩形． （1）求此二次函数的解析式． （2）当抛物线顶点落在矩形的边上时，求矩形的面积． （3）当抛物线在矩形内部的图象随的增大而减小时，求的取值范围． （4）抛物线在矩形内部（包括边界）的最高点与最低点的纵坐标之和的绝对值为2时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $