江苏省镇江市外国语学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

江苏省镇江市外国语学校2024-2025学年九上数学第一次月考试卷 一.选择题(共9小题) 1.已知Rt ABC中,∠C=90 ,AC=3,BC=4,以C为圆心,r为半径的圆与边AB有两个交点,则r的取值范围是( ) A.r= B.r> C.3<r<4 D. 2.关于x的一元二次方程(a﹣1)x2+x+|a|﹣1=0的一个根是0,则实数a的值为( ) A.﹣1 B.0 C.1 D.﹣1或1 3.一个等腰三角形的两条边长分别是方程2x2﹣13x+15=0的两根,则该等腰三角形的周长是( ) A.8 B.11.5 C.10 D.8或11.5 4.已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根,则﹣的值为( ) A. B. C.﹣1 D.1 5.关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=﹣2,x2=1(a,m,b均为常数,a≠0),则方程a(x+m+2)2+b=0的解是( ) A.x1=﹣2,x2=1 B.x1=1,x2=3 C.x1=﹣4,x2=﹣1 D.无法求解 6.已知关于x的一元二次方程有实数根,设此方程的一个实数根为t,令y=4t2﹣4t﹣5m+4,则( ) A.y>﹣2 B.y≥﹣2 C.y≤﹣2 D.y<﹣2 7.已知关于x的方程ax2+bx+c=5的一个根是2,且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2,则这条抛物线的顶点坐标为( ) A.(2,﹣3) B.(2,1) C.(2,5) D.(5,2) 8.如图,在同一平面直角坐标系中,函数y=ax+2(a≠0)与y=﹣ax2﹣2x(a≠0)的图象可能是( ) A. B. C. D. 9.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点( ) A.(﹣3,﹣6) B.(﹣3,0) C.(﹣3,﹣5) D.(﹣3,﹣1) 二.填空题(共11小题) 10.已知关于x的方程(m+2)x2+4mx+1=0是一元二次方程,则m的取值范围是 . 11.方程x2﹣2021x=0中较小的根是 . 12.如图,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(0,1)和(,0),则 OAB外接圆的圆心坐标是 . 13.若一个三角形两条边长为和2和4,第三边长满足方程x2﹣7x+10=0,则此三角形的周长为 . 14.关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 . 15.如图,在等腰直角 ABC中,斜边AB的长度为8,以AC为直径作圆,点P为半圆上的动点,连接BP,取BP的中点M,则CM的最小值为 . 16.若一元二次方程x2﹣x+k=0有实数根,则k的取值范围是 . 17.已知a﹣b=8,ab+16≤0,则a+2b的值为 . 18.如图,在 AOB中,∠AOB=90 ,∠A=30 ,OB=4,以O为圆心,OB为半径画弧,分别交OA、AB于点C、D,则阴影部分面积为 (结果保留 ). 19.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点坐标为(4,0),其部分图象如图所示,下列结论:①抛物线过原点;②4a+b=0;③a﹣b+c<0;④b2>4ac;⑤当x<2时,y随x的增大而增大,你认为其中正确的是 .(填序号) 20.当x≤1时,二次函数y=﹣(x﹣m)2+m2+1有最大值4,则实数m的值为 . 三.解答题(共7小题) 21.如图,AD为 ABC外接圆的直径,AD⊥BC,垂足为点F,∠ABC的平分线交AD于点E,连接BD,CD. (1)求证:BD=CD; (2)请判断B,E,C三点是否在以D为圆心,以DB为半径的圆上?并说明理由. 22.已知一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为1,且a、b满足b=++3,求c的值. 23.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2=0. (1)求证:该方程有两个不相等的实数根; (2)若该方程的两个实数根x1,x2满足x1x2+x1+x2=3,求m的值. 24.矩形ABCD中,AB=17,BC=,点P在AB边上,且满足AP=3PC,求PB之长. 25.已知CD为 ABC的中线,∠A及∠BDC的度数分别是方程x2﹣75x+1350=0的两根. (1)求∠A及∠BDC的度数; (2)求∠B的度数. 26.在学了乘法公式“(a b)2=a2 2ab+b2”的应用后,王老师提出问题:求代数式x2+4x+5的最小值.要求同学们运用所学知识进行解答. 同学们经过探索、交流和讨论,最后总结出如下解答方法; 解:x2+4x+5=x2+4x+22﹣22+5=(x+2)2+1, ∵(x+2)2≥0,∴(x+2)2+1≥1. 当(x+2)2=0时,(x+2)2+1的值最小,最小值是1. ∴x2+4x+5的最小值是1. 请你根据上述方法,解答下列各题: (1)直接写出(x﹣1)2+3的最小值为 . (2)求代数式x2+10x+32的最小值. (3)你认为代数式﹣+2x+5有最大值还是有最小值?求出该最大值或最小值. (4)若7x﹣x2+y﹣11=0,求x+y的最小值. 27.如图一,AB是⊙O的直径,AC是弦,直线EF和⊙O相切于点C,AD⊥EF,垂足为D. (1)求证:∠CAD=∠BAC; (2)如图二,若把直线EF向上移动,使得EF与⊙O相交于G,C两点(点C在点G的右侧),连接AC,AG,若题中其他条件不变,这时图中是否存在与∠CAD相等的角?若存在,找出一个这样的角,并证明;若不存在,说明理由. 参考答案与试题解析 一.选择题(共9小题) 1.【解答】解:如图, ∵BC>AC, ∴以C为圆心,R为半径所作的圆与斜边AB有两个交点,则圆的半径应大于CD,小于或等于AC, 由勾股定理知,AB==5. ∵S ABC=AC•BC=CD•AB= 3 4= 5•CD, ∴CD=, 即R的取值范围是<r≤3. 故选:D. 2.【解答】解:把x=0代入方程得: |a|﹣1=0, ∴a= 1, ∵a﹣1≠0, ∴a=﹣1. 故选:A. 3.【解答】解:解方程2x2﹣13x+15=0得:x=5或1.5, ①当等腰三角形的三边为5,5,1.5时,能组成三角形,三角形的周长是5+5+1.5=11.5, ②当等腰三角形的三边为1.5,1.5,5时,,1.5+1.5<5,不符合三角形的三边关系定理,不能组成三角形,舍去, ∴该等腰三角形的周长是11.5. 故选:B. 4.【解答】解:∵知a是方程x2+x﹣1=0的一个根, ∴a2+a﹣1=0, ∴a2+a=1,即a(a+1)=1, ∴﹣===1. 故选:D. 5.【解答】解:∵关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=﹣2,x2=1(a,m,b均为常数,a≠0), 在方程a(x+m+2)2+b=0中, x+2=﹣2或x+2=1, 解得x1=﹣4,x2=﹣1, 故选:C. 6.【解答】解:∵方程有实数根, ∴ =(﹣1)2﹣4 m≥0, 解得m≤1, ∵方程x2﹣x+m=0的根为t, ∴t2﹣t+m=0, ∴4t2﹣4t+m=0, 即4t2﹣4t=﹣m, ∴y=4t2﹣4t﹣5m+4=﹣m﹣5m+4=﹣6m+4, ∵m≤1, ∴y≥﹣2. 故选:B. 7.【解答】解:∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2,方程ax2+bx+c=5的一个根是2, ∴当x=2时,y=ax2+bx+c=5, ∴抛物线的顶点坐标是(2,5). 故选:C. 8.【解答】解:∵y=ax+2, ∴b=2, ∴一次函数图象与y轴的正半轴相交, ①当a>0时, 则二次函数y=﹣ax2﹣2x(a≠0)的图象开口向下,经过原点且对称轴为直线x=﹣=﹣<0, ②当a<0时, 则二次函数y=﹣ax2﹣2x(a≠0)的图象开口向上,经过原点且对称轴为直线x=﹣=﹣>0, 故D正确; 故选:D. 9.【解答】解:∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1, ∴该定弦抛物线过点(0,0)、(2,0), ∴该抛物线解析式为y=x(x﹣2)=x2﹣2x=(x﹣1)2﹣1. 将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到新抛物线的解析式为y=(x﹣1+2)2﹣1﹣3=(x+1)2﹣4. 当x=﹣3时,y=(x+1)2﹣4=0, ∴得到的新抛物线过点(﹣3,0). 故选:B. 二.填空题(共11小题) 10.【解答】解:由题意得:m+2≠0, 解得:m≠﹣2, 故答案为:m≠﹣2. 11.【解答】解:∵x2﹣2021x=0, ∴x(x﹣2021)=0, 则x=0或x﹣2021=0, 解得x1=0,x2=2021, ∴方程x2﹣2021x=0中较小的根是0, 故答案为:0. 12.【解答】解:∵ AOB是直角三角形, ∴ OAB外接圆的圆心是斜边AB的中点, ∵点A、B的坐标分别为(0,1)和(,0), ∴ OAB外接圆的圆心坐标是(,), 故答案为:(,). 13.【解答】解:∵x2﹣7x+10=0, ∴(x﹣2)(x﹣5)=0, 则x﹣2=0或x﹣5=0, 解得:x=2或x=5, 当x=2时,三边2+2=4,不能构成三角形; 当x=5时,此三角形的周长为2+4+5=11, 故答案为:11 14.【解答】解:由已知得:, 即, 解得:k>﹣1且k≠0. 故答案为:k>﹣1且k≠0. 15.【解答】解:如图,连接PA、PC,取AB、BC的中点E、F,连接EF、EM、FM,取EF的中点O,连接OM,OC,CM. ∵AC是直径, ∴∠APC=90 , ∵BE=EA,BM=MP, ∴EM∥PA, 同理FM∥PC, ∴∠BME=∠BPA,∠BMF=∠BPC, ∴∠BME+∠BMF=∠BPA+∠BPC=90 , ∴∠EMF=90 , ∴点M的轨迹是(EF为直径的半圆,图中红线部分), ∵BC=AC,∠ACB=90 ,AB=8, ∴AC=BC=4, ∵AE=EB,BF=CF=2, ∴EF=AC=2,EF∥AC, ∴∠EFB=∠EFC=∠ACB=90 ,OE=OF=OM=, ∴OC===, ∵CM≥OC﹣OM, ∴CM≥﹣. 则CM的最小值为. 故答案为:﹣. 16.【解答】解:由一元二次方程x2﹣x+k=0可知,a=1,b=﹣1,c=k, ∵方程有实数根, ∴ =b2﹣4ac≥0,即(﹣1)2﹣4k≥0,解得k≤. 故答案为:k≤. 17.【解答】解:∵a﹣b=8, ∴a=8+b, ∵ab+16≤0, ∴(8+b)b+16=b2+8b+16=(b+4)2≤0, ∴(b+4)2=0, ∴b=﹣4,a=4, ∴a+2b=4+2 (﹣4)=﹣4, 故答案为:﹣4. 18.【解答】解:在 AOB中,∠AOB=90 ,∠A=30 , ∴∠B=60 ,AB=2OB=8, ∴OA===4, ∵OB=OD, ∴ OBD是等边三角形, ∴∠BOD=60 , ∴∠DOA=∠AOB﹣∠BOD=30 , ∴∠DOA=∠A, ∴DO=DA,过D作DC⊥OA于C, ∴OC=AC=OA=2, 在Rt ODC中, ∵∠DOA=30 , ∴CD=OD=OB= 4=2, ∴S阴影=S AOD﹣S扇形= 4 2﹣=4﹣, 故答案为:4﹣. 19.【解答】解:①∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点坐标为(4,0), ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(0,0),结论①正确; ②∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2,且抛物线过原点, ∴﹣=2,c=0, ∴b=﹣4a,c=0, ∴4a+b=0,结论②正确; ③∵当x=﹣1时,y值为正, ∴a﹣b+c>0,结论③错误; ④由图象得二次函数与x轴交点有两个知,b2﹣4ac>0,即b2>4ac,结论④正确; ⑤观察函数图象可知:当x<2时,y随x增大而减小,结论⑤错误. 综上所述,正确的结论有:①②④. 故答案为:①②④. 20.【解答】解:二次函数对称轴为直线x=m, ①m≤1时,x=m取得最大值,m2+1=4, 解得m= , ∵m=都不满足﹣1≤m≤1的范围, ∴m=﹣; ②m>1时,x=1取得最大值,﹣(1﹣m)2+m2+1=4, 解得m=2. 综上所述,m=﹣或2时,二次函数有最大值4. 故答案为:2或. 三.解答题(共7小题) 21.【解答】(1)证明:∵AD为直径,AD⊥BC, ∴由垂径定理得: ∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得:BD=CD. (2)解:B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上. 理由:由(1)知:, ∴∠1=∠2, 又∵∠2=∠3, ∴∠1=∠3, ∴∠DBE=∠3+∠4,∠DEB=∠1+∠5, ∵BE是∠ABC的平分线, ∴∠4=∠5, ∴∠DBE=∠DEB, ∴DB=DE. 由(1)知:BD=CD ∴DB=DE=DC. ∴B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.(7分) 22.【解答】解:∵a﹣2≥0,a﹣2≤0, ∴a=2, ∴b=3, ∵一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是1, ∴a+b+c=0, ∴2+3+c=0, ∴c=﹣5. 23.【解答】(1)证明: =b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4 (﹣m2)=16+4m2. ∵m2≥0, ∴16+4m2>0,即 >0, ∴该方程有两个不相等的实数根. (2)解:∵方程x2﹣4x﹣m2=0的两个实数根分别为x1、x2, ∴x1+x2=4,x1x2=﹣m2. 又∵x1x2+x1+x2=3, ∴﹣m2+4=3,即m2=1, 解得m= 1. 故m的值为 1. 24.【解答】解:设PB为x,则AP=17﹣x, ∵AP=3PC, ∴PC=, 在Rt PBC中,PC2=PB2+BC2, ∴x2+21=()2, ∴4x2﹣17x﹣50=0, 解得:x1=2,x2=﹣(不符合题意舍去), 答:PB之长为2. 25.【解答】解:(1)x2﹣75x+1350=0, (x﹣30)(x﹣45)=0, x﹣30=0或x﹣45=0, x1=30,x2=45, ∵∠BDC=∠A+∠ACD, ∴∠BDC>∠A, ∴∠BDC=45 ,∠A=30 ∴∠A的度数为30 ,∠BDC的度数为45 ; (2)过点B作BH⊥AC,垂足为H,连接HD, ∴∠AHB=∠CHB=90 , ∵∠A=30 , ∴∠ABH=90 ﹣∠A=60 , ∵DH是斜边AB上的中线, ∴DH=BD=AB, ∴ BHD是等边三角形, ∴HD=HB,∠HDB=∠ABH=60 , ∵∠BDC=45 , ∴∠HDC=∠HDB﹣∠BDC=15 , ∵∠ACD=∠BDC﹣∠A=15 , ∴∠ACD=∠HDC=15 , ∴HD=HC, ∴HB=HC, ∴∠HBC=∠HCB=45 , ∴∠ABC=∠ABH+∠HBC=105 , ∴∠ABC的度数为105 . 26.【解答】解:(1)(x﹣1)2+3的最小值为3. 故答案为:3; (2)x2+10x+32 =x2+10x+52﹣52+32 =(x+5)2+7, ∵(x+5)2≥0, ∴(x+5)2+7≥7, ∴当(x+5)2=0时,(x+5)2+7的值最小,最小值为7, ∴x2+10x+32的最小值为7; (3)﹣+2x+5=﹣(x2﹣6x+9)+8=﹣(x﹣3)2+8, ∵﹣(x﹣3)2≤0, ∴﹣(x﹣3)2+8≤8, ∴代数式﹣+2x+5有最大值,最大值为8; (4)∵7x﹣x2+y﹣11=0, ∴y=x2﹣7x+11, ∴x+y=x2﹣7x+11+x=x2﹣6x+11=x2﹣6x+32﹣32+11=(x﹣3)2+2, ∵(x﹣3)2≥0, ∴(x﹣3)2+2≥2, 当(x﹣3)2=0时,(x﹣3)2+2的值最小,最小值为2, ∴x+y的最小值为2. 27.【解答】(1)证明:如图一,连接OC,则OC⊥EF,且OC=OA, 易得∠OCA=∠OAC. ∵AD⊥EF, ∴OC∥AD. ∴∠OCA=∠CAD, ∴∠CAD=∠OAC. 即∠CAD=∠BAC. (2)解:与∠CAD相等的角是∠BAG. 证明如下: 如图二,连接BG. ∵四边形ACGB是⊙O的内接四边形, ∴∠ABG+∠ACG=180 . ∵D,C,G共线, ∴∠ACD+∠ACG=180 . ∴∠ACD=∠ABG. ∵AB是⊙O的直径, ∴∠BAG+∠ABG=90 ∵AD⊥EF ∴∠CAD+∠ACD=90 ∴∠CAD=∠BAG. 学科网(北京)股份有限公司 $$