第二章 有理数及其运算第4节有理数的乘方（第1课时）教案2024-2025学年北师大版数学七年级上册

第二章 有理数及其运算第4节有理数的乘方（第1课时） 一、学习任务分析 有理数的乘方既是小学平方、立方和本章有理数乘法的推广和延续，又是后续学习有理数的混合运算、实数开方运算的必备知识，有着承上启下的作用。 “有理数的乘方”共2个课时，主要内容为乘方的意义和相关概念名称，科学记数法。第1课时通过细胞分裂等情境，引入有理数乘方的概念，根据乘方的意义进行乘方运算，通过具体实例感受乘方运算结果的增长规律；第2课时在探究底数为10的幂的规律的基础上，引入科学记数法，用科学记数法表示绝对值较大的数，并感受大数。作为本节的第1课时，主要是在现实背景中，理解有理数乘方的意义，感受乘方运算结果的增长规律，能进行简单的乘方运算。 二、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生在小学已经学过正数的平方与立方，对乘法是几个相同加数的和的意义有所了解。在本章前面几节课中，已经学习了有理数的乘法法则，会运用乘法法则解决问题。 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了操作、观察、类比、归纳、转化等一系列数学活动，知道研究一类新运算要经历定义、归纳、应用等一系列过程，积累了一定的数学活动经验基础。同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具备一定的合作学习的经验及合作与交流的能力。 三、教学目标 1.在现实背景中，理解有理数乘方的意义。 2.知道乘方运算和乘法运算的关系，能进行有理数的乘方运算。 3.在具体情境中感受乘方运算结果的增长规律。 教学重点：有理数乘方的意义。 教学难点：有理数乘方和乘法的联系与区别；负数、分数的乘方运算。 四、教学过程设计 本节课设计了六个教学环节：【第一环节】课前小测，情境引入；【第二环节】思考交流，牛刀小试；【第三环节】例题解析，强化概念；【第四环节】拓展提升，应用新知；【第五环节】课堂回顾，总结提升；【第六环节】分层作业，因材施教。 【第一环节（一）】课前小测，情境引入 1.活动内容 课前小测 （1）计算 ①(−2)+(−2)+(−2)+(−2) ； ②2+2+2+…+2= ； ③ ； ④边长为2的正方形面积为 ，列式表示为 ，简便记为 ； ⑤边长为2的正方体体积为 ，列式表示为 ，简便记为 。 （2）教师简单评价学生的完成情况并提问学生： ①你是怎么算的？ ②通过以上5个题目，你能回想起哪些学过的知识？你有哪些想提醒同学们注意的？ 2.活动目的 课前通过一组问题串唤醒学生的已有数学知识和活动经验，以题代讲引导学生回顾乘法的意义以及正数的平方、立方的相关知识，渗透数学的简洁之美，为本节课有理数的乘方的学习搭好脚手架。 3.活动注意事项 学生基于小学及本章的学习基础，课前小测完成得应该比较好，但是教师要注意基于此基础进行提问。问题①让学生回溯自己的思维历程，学生不难回忆起乘法的意义，将200个相加转化成×200，然后利用乘法法则进行计算。由此，教师可以板书“加法→乘法”，指明乘法相对于加法，形式上更简洁，计算上更容易，借此回顾乘法法则。对于问题②，要鼓励学生畅抒己见，如负因数要加括号等，为本节课的教与学奠定基础。 【第一环节（二）】课前小测，情境引入 1.活动内容 情境引入 如图，某种细胞每过30min便由1个分裂成2个。经过5h，这种细胞能由1个分裂成多少个？ 2.活动目的 教师通过简单而有趣的细胞分裂问题导入乘方的定义，这里引导学生利用乘法的意义理解乘方的意义，感受乘方在形式上的简洁性以及乘方在运算上同乘法的一致性，为后续的乘方运算程序以及有理数的混合运算顺序奠定基础。既体现了让学生自己建构数学概念的新课程理念，又有效地激发学生学习有理数乘方的兴趣，渗透了数学的简洁美，发展学生的逻辑推理能力和模型观念，符合学生的认知发展规律。 3.活动注意事项 这里鼓励学生用数学语言阐述自己对于细胞分裂问题的思考，教师赋之以直观的动画演示，补充学生的讲解。 （1）注意引导学生从特殊到一般、从简单到复杂解决下列问题： ①经过30min分裂了几次？会有多少个细胞？ ②经过1h分裂了几次？会有多少个细胞？请列式表示。还可以怎样表示？ ③经过1.5h呢？5h呢？ （2）根据学生的列式，引导学生思考： ①前面我们知道了10个2相加记作2×10，那么猜想一下10个2相乘有什么简单表示方法吗？你是怎么得到结果的？ ②现有1个细胞，分裂n次能分裂成几个细胞？我们可以怎样表示？ ③刚才我们表示了n个2相乘，那么n个a相乘应如何表示？ 引出乘方的定义：求n个相同因数a的积的运算叫作乘方。乘方的结果叫作幂，a叫作底数，n叫作指数，an读作“a的n次方”或“a的n次幂”。另外，一个数可以看作这个数本身的一次方。 在对以上3个问题的思考过程中，由于学生之前有过关于乘方、立方的表示经验，课前小测时复习了乘法的意义，因此应该不难想到将问题①中10个2相乘可以表示为210，然后遵循研究运算对象的一般思路，鼓励学生计算结果，从而让学生初步感受乘方运算在形式上的简洁性，为接下来的探究奠定基础的同时也让学生初步感受到底数为正数时乘方运算增长的迅速。从特殊到一般，引导学生基于自己的实际思考经验用自己的语言归纳定义，更能加深学生对乘方定义的理解，为下一环节的实际应用打好基础。 【第二环节（一）】思考交流，牛刀小试 1.活动内容 思考·交流 你能举出有关乘方运算的实例吗？与同伴进行交流。 组内畅所欲言后，找两个小组代表发言。 2.活动目的 对于学生举出的每一个乘方运算的实例，教师引导学生说出算式的意义和结果。引导学生进一步感受乘方在形式上较乘法而言更简洁，但是在运算上同乘法是一致的，无特殊运算法则，运算时要转化成乘法进行运算，为接下来的运算奠定基础。 3.活动注意事项 在思考交流乘方运算的实例环节，鼓励学生各抒己见，既可以举出自己身边的乘方实例，也可以举出乘方的式子。对于学生举出的底数是正数、负数、0等各种情况的式子，教师应鼓励他们写到黑板上进行分类，并说出意义进行计算。同时，如果有学生将所有底数为负数的式子归纳到一起，结合乘法运算中的规律“积的符号是由负因数的个数决定的”，推测出“当底数是正数时，幂为正数；当底数为负数时，指数为奇数时幂为负，指数为偶数时幂为正”这一结论，教师应作出回应，并期待学生下一环节对此探究结果的应用。 【第二环节（二）】思考交流，牛刀小试 1.活动内容 （1）请你读出下列各数，并填空。（引导学生先思考，再随机找学生口答） 中，底数是 ，指数是 ，意义是 。 中，底数是 ，指数是 ，意义是 。 中，底数是 ，指数是 ，意义是 。 中，底数是 ，指数是 ，意义是 。 （2）请你将和写成几个因数相乘的形式。 （3）请将下列相同的因数的乘积写成幂的形式，并说明底数和指数。 ①(−6)×(−6)×(−6)； ②。 2.活动目的 牛刀小试以口头回答的形式引导学生夯实乘方的读法、构成元素和意义。第（1）小题的设置帮助学生体会底数如果是分数或负数时，底数要写在括号里。第（2）小题和第（3）小题则展现了因式的形式和幂的形式的相互转换，既帮助学生进一步理解乘方的意义，又明确了底数如果是分数或负数时，底数要写在括号里的原因，为之后的例题解决奠定基础。 3.活动注意事项 对概念的理解会直接影响概念的应用，通过“牛刀小试”活动，教师可及时发现并纠正学生在概念理解中出现的问题，同时从概念的角度对出现的错误进行分析。 【第三环节】例题解析，强化概念 1.活动内容 例1 根据乘方的意义进行计算。 ； ； ； 。 变式：请指出下列各个数所表示的意义，并进行计算。 2.活动目的 乘方运算是本节课的重点也是难点，例题帮助学生由浅入深、层层递进地进行运算练习。基于上一环节的知识基础，学生知道应先根据乘方和幂的意义分析式子，再根据乘方的定义计算结果，这样既巩固了乘方和幂的意义，又有利于学生正确地进行乘方运算。 3.活动注意事项 对于例题的第（1）小题，教师板演规范步骤，第（2）（3）小题要求学生独立完成，并找两位学生上台板演。学生做题前先思考“每个乘方运算中，底数分别是什么”，然后再进行计算，全部完成后师生共同批阅，并请学生分享乘方运算中的易错点。为了让学生感受括号对幂的意义具有重要作用，在第（4）小题之前可以再设置两道题目和，连同第（4）小题共三道题目，由三对“师徒”上台进行展示，展示时“学徒”先结合乘方的意义书写并讲解，然后“学师”对“学徒”的回答进行评价和补充，通过“师徒”结对辨析，对易混淆的几个式子进行辨析。 经过变式中的三道题目，帮助学生加深对幂的意义的理解。此处学生可能对于底数是分数时括号加在哪、怎么加的问题出现困惑，老师可以追问“这里底数是几？哪部分参与了乘方运算？”推动学生思考。 【第四环节】拓展提升，应用新知 1.活动内容 尝试·思考 有一张厚度是0.1mm的纸，将它对折1次后，厚度为2×0.1mm。 （1）将这张纸对折2次后，厚度为多少毫米？ （2）假设可以将这张纸对折 20 次，那么对折 20 次后厚度为多少毫米？每层楼平均高度为3m，这张纸对折20次后有多少层楼高？ （要求学生先动手尝试，再用乘方依次表示对折1次、2次、……、20次时的层数和厚度，计算结果时先猜测再实际计算） 2.活动目的 此处留给学生充分的时间与空间去尝试和计算，目的是使学生进一步体会，当指数不断增加时，底数为2的幂的增长速度是很快的，同时让学生进一步加深对乘方意义的理解。 3.活动注意事项 这里看到问题时，学生可能想不到厚度的计算方式，此时教师可以将大问题拆成几个小问题，给“求厚度”铺一个“求层数”的“台阶”，帮助学生解决问题，如果学生可以独立解决此问题，那么应鼓励学生有条理地对思路进行叙述。对于第（2）小题，绝大多数学生可能想象不到，教师可以通过计算器现场计算后，促使学生对“指数爆炸”有更深切的体会。 【第五环节（一）】课堂回顾，总结提升 1.活动内容 你学到了什么？经历了怎样的研究过程？ 2.活动目的 鼓励学生结合本节课所学内容，谈谈自己的收获与感想，包括知识技能、思想方法方面的收获，同时让学生结合有理数的其他运算，对“我们是怎样研究有理数的乘方运算的”进行持续思考，体会一般的研究思路，为之后学习其他运算奠定基础。学生巩固知识的同时，养成总结反思的习惯，将数学操作经验进行迁移、提升和应用，在数学上得到更长远的发展。 3.活动注意事项 鼓励学生畅所欲言，学生充分表达自己的切身感受与实际收获后，教师做补充和提升，同时教师也要引导学生对自己的表现进行客观评价，以便更好地实现教学评一致性。师生共同总结研究有理数运算的一般思路。 【第五环节（二）】课堂回顾，总结提升 1.活动内容 随堂练习 （1）填空： ①在74中，底数是 ，指数是 ； ②在中，底数是 ，指数是 。 （2）计算： ①(−3)3； ②(−1.5)2； ③； ④−(−3)2； ⑤。 2.活动目的 通过练习巩固所学内容，为接下来的学习奠定基础。 3.活动注意事项 选自课本的随堂练习，相对比较基础，教师尽量在课堂上批改，鼓励学生对自己出现的问题进行自我更正。 【第六环节】分层作业，因材施教 1.活动内容 1.必做：习题2.4 第1，2，5，6，7，8题。 2.选做：习题2.4 第10，11题。 2.活动目的 课后作业既是对本节课知识的一个检测评价，又有助于知识的拓展和提升。 3.活动注意事项 分层次布置作业，为学生搭建不同高度的学习平台，满足不同层次学生学习数学的需要，鼓励学有余力的学生课外自主探究。必做作业旨在引导学生巩固本节课所学知识，选做作业是为下节课的学习做准备。 五、教学设计反思 本节课作为一节概念新授课，具有承上启下的作用。授课时应关注将“乘方”这一新概念的学习纳入整个运算系统中，因此，本节课建议教师类比有理数的乘法进行教学，让学生经历定义、归纳、应用等一系列过程，从而感受到加法、乘法、乘方是一个不断进阶的过程，也为之后有理数的混合运算的学习奠定基础。本节课的教学设计对象聚焦于基础较为薄弱的七年级学生，因此无论是对于细胞分裂情境下的乘方定义的引出，还是之后应用提高部分的折纸问题，都采用了问题串引发学生思考。教师的提问不应替代学生的思考，如果学生基础较好，应更好地放手交给学生独立解决并说理。另外，在学完乘方定义之后的举例环节需要引起教师的重视，如果有学生能举出生活中的实例，应给予肯定，并由师生共同尝试解决问题；如果学生没有举出生活中的实例，对于学生举出的乘方式子，教师也应予以鼓励，并将其作为本节课学习乘方运算的学习资料，尤其是对于学生举出的底数是负数和分数的乘方算式，可以进行深入辨析，这样基于学生提出的问题进行解决，学生的学习兴趣更容易被激发。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$