江苏省苏州市吴中区临湖实验中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

江苏省苏州市吴中区临湖实验中学2024-2025学年‌九上数学第一次月考试卷 一．选择题（共9小题） 1．如图，P为∠AOB边OA上一点，∠AOB＝30°，OP＝10cm，以P为圆心，5cm为半径的圆与直线OB的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 2．下列说法中正确的是（　　） A．长度相等的弧是等弧 B．圆心角相等，它们所对的弧也相等 C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．等弧所对的弦相等 3．如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点E，连接OC，BD．若∠ABD＝20°，∠AED＝80°，则∠COB的度数为（　　） A．80° B．100° C．120° D．140° 4．将半径为3的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（　　） A． B． C． D． 5．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A．+1 B．+ C．2+1 D．2﹣ 6．若点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），P（8，y3）在抛物线y＝x2+2x上，则下列结论正确的是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2 7．某商品进货价为每件50元，售价每件90元时平均每天可售出20件，经调查发现，如果每件降价2元，那么平均每天可以多出售4件，若每天想盈利1000元，设每件降价x元，可列出方程为（　　） A．（40﹣x）（20+x）＝1000 B．（40﹣x）（20+2x）＝1000 C．（40﹣x）（20﹣x）＝1000 D．（40﹣x）（20+4x）＝1000 8．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（　　） A．（，） B．（2，2） C．（，2） D．（2，） 9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＜0；④b﹣4a＝0；⑤方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣4，其中正确的结论有（　　） A．①③④ B．②④⑤ C．①②⑤ D．②③⑤ 二．填空题（共8小题） 10．如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角α＝　 　度． 11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE＝　 　． 12．如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是　 　． 13．如图，在平面直角坐标系中，以点A（0，4）为圆心，4为半径的圆交y轴于点B．已知点C（4，0），点D为⊙A上的一动点，以D为直角顶点，在CD左侧作等腰直角三角形CDE，连接BC，则△BCE面积的最小值为 　 　． 14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为　 　． 15．已知m，n是方程x2﹣2x﹣2021＝0的两个根，那么m2+mn+2n＝　 　． 16．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点为（2，0），若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整数根，则p的值有　 　个． 17．如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1＝x2（x≥0）与y2＝（x≥0）的图象于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC，交y2的图象于点E，则＝　 　． 三．解答题（共5小题） 18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE． （1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若CD＝3，DE＝，求⊙O的直径． 19．请阅读下列材料，并完成相应的任务： 阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年﹣公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家． 阿拉伯Al﹣Binmi（973年﹣1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD． 小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下： 证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG． ∵M是的中点，∴MA＝MC，… 任务： （1）请按照上述思路，写出该证明的剩余部分； （2）如图3，在⊙O中，BD＝CD，DE⊥AC，若AB＝4，AC＝10，则AE的长度为 　 　； （3）如图4，已知等边△ABC内接于⊙O，AB＝8，D为上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD于点E，求△BDC的周长． 20．已知二次函数y1＝x2+bx﹣3的图象与直线y2＝x+1交于点A（﹣1，0）、点C（4，m）． （1）求y1的表达式和m的值； （2）当y1＞y2时，求自变量x的取值范围； （3）将直线AC沿y轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移后的直线表达式． 21．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B． （1）若直线y＝mx+n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标； （3）设P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标． 22．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． （1）求抛物线的解析式及直线AC的解析式； （2）P是线段AC上的一个动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值； （3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题（共9小题） 1．【解答】解：过点P作PD⊥OB于点D， ∵∠AOB＝30°，OP＝10cm， ∴PD＝OP＝5cm， ∴以P为圆心，5cm为半径的圆与直线OB相切． 故选：C． 2．【解答】解：A、能够重合的弧是等弧，故说法错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，圆心角相等则它们所对的弧相等，故说法错误，不符合题意； C、平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，故说法错误，不符合题意； D、等弧所对的弦相等，故说法正确，符合题意． 故选：D． 3．【解答】解：∵∠ABD＝20°，∠AED＝80°， ∴∠D＝∠AED﹣∠ABD＝80°﹣20°＝60°， ∴∠COB＝2∠D＝120°， 故选：C． 4．【解答】解：过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C， 由折叠的性质可知，OD＝OC＝OA， 由此可得，在Rt△AOD中，∠A＝30°， 同理可得∠B＝30°， 在△AOB中，由内角和定理， 得∠AOB＝180°﹣∠A﹣∠B＝120° ∴弧AB的长为＝2π 设围成的圆锥的底面半径为r， 则2πr＝2π ∴r＝1 ∴圆锥的高为＝2． 故选：A． 5．【解答】解：如图， ∵点C为坐标平面内一点，BC＝1， ∴C在⊙B上，且半径为1， 取OD＝OA＝2，连接CD， ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OM＝CD， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°， ∴BD＝2， ∴CD＝2+1， ∴OM＝CD＝，即OM的最大值为+； 故选：B． 6．【解答】解：x＝﹣2时，y＝x2+2x＝×（﹣2）2+2×（﹣2）＝2﹣4＝﹣2， x＝﹣1时，y＝x2+2x＝×（﹣1）2+2×（﹣1）＝﹣2＝﹣， x＝8时，y＝x2+2x＝×82+2×8＝32+16＝48， ∵﹣2＜﹣＜48， ∴y1＜y2＜y3． 故选：A． 7．【解答】解：设每件应降价x元， 由题意，得（90﹣50﹣x）（20+2x）＝1000， 即：（40﹣x）（20+2x）＝1000， 故选：B． 8．【解答】解：∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上， ∴4＝a×（﹣2）2， 解得：a＝1 ∴解析式为y＝x2， ∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）， ∴OB＝OD＝2， ∵Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD， ∴CD∥x轴， ∴点D和点P的纵坐标均为2， ∴令y＝2，得2＝x2， 解得：x＝±， ∵点P在第一象限， ∴点P的坐标为：（，2） 故选：C． 9．【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵﹣＝﹣2， ∴b＝4a，ab＞0， ∴①错误，④正确， ∵抛物线与x轴交于﹣4，0处两点， ∴b2﹣4ac＞0，方程ax2+bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣4， ∴②⑤正确， ∵当x＝﹣3时y＞0，即9a﹣3b+c＞0， ∴③错误， 故正确的有②④⑤． 故选：B． 二．填空题（共8小题） 10．【解答】解：连接OA、OB、OC、OD， ∵OA＝OB＝OC＝OD＝1，AB＝，CD＝1， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴△AOB是等腰直角三角形， △COD是等边三角形， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∠ODC＝∠OCD＝60°， ∵∠CDB＝∠CAB，∠ODB＝∠OBD， ∴α＝180°﹣∠CAB﹣∠OBA﹣∠OBD＝180°﹣∠OBA﹣（∠CDB+∠ODB）＝180°﹣45°﹣60°＝75°． 11．【解答】解：如图，连接DC， ∵∠DBC＝90°， ∴DC是⊙O的直径， ∵点B是的中点， ∴∠BCD＝∠BDC＝45°， 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°， ∴∠ACB＝90°﹣32°＝58°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝58°﹣45°＝13°＝∠ABE， 故答案为：13°． 12．【解答】解：连接OB， ∵四边形OABC是菱形， ∴AB＝OA＝OB＝BC， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠ADC＝60°，∠AD′C＝120°． 故答案为：60°或120°． 13．【解答】解：如图，设E（m，n）， 过点D作FG∥x轴，过点E作EF⊥FG，过点C作CG⊥FG， ∴∠CGD＝∠DFE＝90°， ∴∠CDG+∠DCG＝90°， ∵△CDE是等腰直角三角形， ∴∠CDE＝90°，CD＝DE， ∴∠CDG+∠EDF＝90°， ∴∠DCG＝∠EDF， ∴△CDG≌△DEF（AAS）， ∴DG＝EF＝4﹣xD，CG＝DF＝xD﹣m， ∵n+4﹣xD＝xD﹣m， ∴xD＝，yD＝xD﹣m＝， ∴D（，）， ∵点D在以A（0，4）为圆心半径为4的圆上， 连接AD，则AD＝4， ∴（）2+（﹣4）2＝42， 即（m+4）2+n2＝（4）2， ∴点E在以点H（﹣4，0）为圆心，4为半径的圆上，（到定点（﹣4，0）的距离是4的点的轨迹）， ∵以点A（0，4）为圆心，4为半径的圆交y轴于点B， ∴B（0，8）， ∴OB＝8， ∵C（4，0）， ∴OC＝4， ∴BC＝＝＝4， 过点H作HK⊥BC于K， 则∠HKC＝∠BOC＝90°， ∵∠HCK＝∠BCO， ∴△HCK∽△BCO， ∴＝，即＝， ∴HK＝， 设点E到BC的距离为h， ∴S△BCE＝BC•h＝×4h＝2h， ∴h最小时，S△BCE最小，而h最小＝HK﹣4＝﹣4， ∴S△BCE最小＝2×（﹣4）＝32﹣8， 故答案为：32﹣8． 14．【解答】解：设抛物线与x轴的另一个交点是Q， ∵抛物线的对称轴过点（1，0），与x轴的一个交点是P（4，0）， ∴与x轴的另一个交点Q（﹣2，0）， 把（﹣2，0）代入解析式得：0＝4a﹣2b+c， ∴4a﹣2b+c＝0， 故答案为：0． 15．【解答】解：∵m、n是方程x2﹣2x﹣2021＝0的两个根， ∴m+n＝2，mn＝﹣2021，m2﹣2m﹣2021＝0， ∴m2＝2m+2021， ∴m2+mn+2n ＝2m+2021+mn+2n ＝﹣2021+2×2+2021 ＝4． 故答案为：4． 16．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x＝﹣1 ∴﹣＝﹣1，解得b＝2a． 又∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点为（2，0）． 把（2，0）代入y＝ax2+bx+c得，0＝4a+4a+c 解得，c＝﹣8a． ∴y＝ax2+2ax﹣8a（a＜0） 对称轴h＝﹣1，最大值k＝＝﹣9a 如图所示， 顶点坐标为（﹣1，﹣9a） 令ax2+2ax﹣8a＝0 即x2+2x﹣8＝0 解得x＝﹣4或x＝2 ∴当a＜0时，抛物线始终与x轴交于（﹣4，0）与（2，0） ∴ax2+bx+c＝p 即常函数直线y＝p，由p＞0 ∴0＜y≤﹣9a 由图象得当0＜y≤﹣9a时，﹣4＜x＜2，其中x为整数时，x＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1 ∴一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）的整数解有5个． 又∵x＝﹣3与x＝1，x＝﹣2与x＝0关于直线x＝﹣1轴对称 当x＝﹣1时，直线y＝p恰好过抛物线顶点． 所以p值可以有3个． 故答案为3． 17．【解答】解：设A点坐标为（0，a），（a＞0）， 则x2＝a，解得x＝， ∴点B（，a）， ＝a， 则x＝， ∴点C（，a）， ∵CD∥y轴， ∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为， ∴y1＝（）2＝3a， ∴点D的坐标为（，3a）， ∵DE∥AC， ∴点E的纵坐标为3a， ∴＝3a， ∴x＝3， ∴点E的坐标为（3，3a）， ∴DE＝3﹣， ＝＝3﹣． 故答案为：3﹣． 三．解答题（共5小题） 18．【解答】（1）证明：连接DO，如图， ∵直径所对圆周角， ∴∠ADC＝90°， ∴∠BDC＝90°，E为BC的中点， ∴DE＝CE＝BE， ∴∠EDC＝∠ECD， 又∵OD＝OC， ∴∠ODC＝∠OCD， 而∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°， ∴∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°， ∴DE⊥OD且OD为半径， ∴DE与⊙O相切； （2）由（1）得，∠CDB＝90°， ∵CE＝EB， ∴DE＝BC， ∴BC＝5， ∴BD＝＝＝4， ∵∠BCA＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B， ∴△BCA∽△BDC， ∴＝， ∴＝， ∴AC＝， ∴⊙O直径的长为． 19．【解答】（1）证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG， ∵M是的中点， ∴MA＝MC， ∵＝， ∴∠A＝∠C， 在△MBA和△MGC中， ， ∴△MBA≌△MGC（SAS）， ∴MB＝MG， ∵MD⊥BC， ∴BD＝GD， ∴CG+GD＝AB+BD， 即CD＝AB+BD； （2）解：如图3，连接BD、CD，在CB上截取CM＝AB，连接AD、DM， ∵＝， ∴∠B＝∠C， 在△ABD和△MCD中， ， ∴△ABD≌△MCD（SAS）， ∴AD＝DM， ∵DE⊥AC， ∴AE＝ME， ∴AB+AE＝CM+ME＝CE＝AC﹣AE， ∵AB＝4，AC＝10， ∴AE＝3， 故答案为：3； （3）解：如图4，连接CD， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC， ∴＝， 由阿基米德折弦定理，可得BE＝ED+DC， ∵∠ABD＝45°，AB＝8，∠AEB＝90°， ∴BE＝AB＝4， 故△BDC的周长为：BC+BD+CD＝BC+BE+ED+DC＝BC+2BE＝8+8． 20．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y1得b＝﹣2， 把C（4，m）代入y2得，m＝5． 所以y1＝x2﹣2x﹣3． 答：y1的表达式为y1＝x2﹣2x﹣3和m的值为5． （2）如图： 根据图象可知：当y1＞y2时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞4． 答：自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞4． （3）设直线AC平移后的表达式为y＝x+k， 得：x2﹣2x﹣3＝x+k， 令Δ＝0，解得k＝﹣． 答：平移后的直线表达式为y＝x﹣． 21．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0）， 故点B的坐标为（﹣3，0）， 设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3）， 将点C坐标代入上式得：3＝a（﹣3），解得a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3； 由题意得B（﹣3，0）， 把B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝mx+n得：，解得， ∴直线的解析式为y＝x+3； （2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小． 把x＝﹣1代入直线y＝x+3得y＝2，故M（﹣1，2）， 即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）； （3）设P（﹣1，t），B（﹣3，0），C（0，3）， 则BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（t﹣3）2+1， 若点B为直角顶点时，则BC2+PB2＝PC2， 即18+4+t2＝（t﹣3）2+1， 解得t＝﹣2； 若点C为直角顶点时，则BC2+PC2＝PB2， 即4+t2＝18+（t﹣3）2+1， 解得t＝4， 若P为直角顶点时，则PB2+PC2＝BC2，则4+t2+（t﹣3）2+1＝18， 解得t＝， 综上，点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）． 22．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c， 得b＝﹣2，c＝﹣3； ∴y＝x2﹣2x﹣3． 将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3， 得y＝﹣3， ∴C（2，﹣3）； ∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1． （2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2）， 则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）； ∵P点在E点的上方，PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2， ∴当x＝时，PE的最大值＝． （3）存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4+，0），F4（4﹣，0）． ①如图，连接C与抛物线和y轴的交点， ∵C（2，﹣3），G（0，﹣3） ∴CG∥X轴，此时AF＝CG＝2， ∴F点的坐标是（﹣3，0）； ②如图，AF＝CG＝2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）； ③如图，此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1±，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y＝﹣x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y＝﹣x+4+．因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+，0）； ④如图，同③可求出F的坐标为（4﹣，0）； 综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点． 学科网（北京）股份有限公司 $$