数列求和问题专项讲义-2025届高考数学一轮复习

数列求和问题专项讲义-高考数学一轮复习专题 【高频考点】+【典型例题】+【跟踪训练】 ( 目录导航 ) 第一部分：高频考点 第二部分：典型例题 第三部分：跟踪训练 【第一部分】 ( 高频考点 ) 数列的求和 就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括： （1）公式法： ①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝ ②等比数列前n项和公式： ③几个常用数列的求和公式： （2）错位相减法： 适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列． （3）裂项相消法： 适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即＝（）． （4）倒序相加法： 推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）． （5）分组求和法： 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可． 【第二部分】 ( 典型例题 ) 1．（2024•肇庆模拟）已知数列{an}满足，数列{bn}满足bn＝a2n+1，记Sn为数列{bn}的前n项和． （1）是否存在λ，使{bn﹣λ}为等比数列？若存在，求出所有满足条件的λ；若不存在，请说明理由； （2）求Sn． 【解答】解：（1）假设存在λ，使{bn﹣λ}为等比数列， 可得b1﹣λ，b2﹣λ，b3﹣λ成等比数列，即为（b2﹣λ）2＝（b1﹣λ）（b3﹣λ）， 即（17﹣λ）2＝（5﹣λ）（65﹣λ）， 解得λ＝1． 下面证明：λ＝1时，{bn﹣λ}为等比数列． 由bn＝a2n+1，得，故，， 因为是非零常数，且b1﹣1＝4+1﹣1＝4， 所以{bn﹣1}为首项为4，公比为4的等比数列， 即存在λ＝1，使{bn﹣λ}为等比数列； （2）由（1）得， 所以Sn＝4+42+43+...+4n+n＝+n＝+n． 2．（2024•攀枝花二模）已知数列{an}满足a1＝﹣，an+1＝（n∈N*）． （1）证明：是等比数列； （2）求数列的前n项和Sn． 【解答】证明：（1）数列{an}满足， 整理得：， 所以，即， 又， 故是以为首项，为公比的等比数列； 解：（2）由（1）可知，， ， 所以 ＝ ＝． 3．（2024•宿迁模拟）在数列{an}中，a1＝2，． （1）求数列{an}的通项公式； （2）已知数列{bn}满足； ①求证：数列{bn}是等差数列； ②若b2＝3，设数列cn＝的前n项和为Tn，求证：Tn＜14． 【解答】解：（1）由a1＝2，， 可得•+＝， 可化为﹣1＝﹣（﹣1）， 又﹣1＝1﹣1＝0，即有﹣1＝0，即an＝2n； （2）①证明：由{bn}满足＝， 可得n＝1时，＝，解得b1＝2， 当n≥2时，＝， 化为2bn﹣2＝nbn﹣（n﹣1）bn﹣1，即（n﹣2）bn﹣（n﹣1）bn﹣1＝﹣2， 当n≥3时，﹣＝﹣＝﹣2（﹣）， 可得＝b2+（﹣）+（﹣）+...+（﹣） ＝b2﹣2（1﹣+﹣+...+﹣）＝b2﹣2（1﹣）， 化为bn＝b2（n﹣1）﹣2（n﹣2），对n＝1，n＝2也成立， 所以bn+1﹣bn＝b2﹣2，即数列{bn}是公差为b2﹣2的等差数列； ②证明：若b2＝3，可得bn＝n+1， 数列cn＝＝＝﹣， 前n项和为Tn＝14﹣11+11﹣8+...+﹣ ＝14﹣＝14﹣＜14． 【第三部分】 ( 跟踪训练 ) 一．选择题（共8小题） 1．（2024•湖北模拟）已知数列{an}，{bn}通项公式为an＝2n﹣1，bn＝3n﹣2，将数列{an}、{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn}，设数列{cn}的前n项和为Sn．则Sn＝（　　） A．3n2 B．3n2﹣n C．2n2﹣2n D．3n2﹣2n 2．（2024•迎泽区校级开学）设S＝+++⋯+，则4S的整数部分等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（2024•东海县校级模拟）已知数列{an}满足，a1＝a2＝1，（k∈N*），若Sn为数列{an}的前n项和，则S50＝（　　） A．624 B．625 C．626 D．650 4．（2024•梅河口市校级模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＝1，an+1＝则S100＝（　　） A．3×251﹣156 B．3×251﹣103 C．3×250﹣156 D．3×250﹣103 5．（2023秋•沙坪坝区校级期末）已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝2且，设bn＝1+log2an，则的值是（　　） A． B． C． D． 6．（2024•湖南开学）已知等差数列{an}中，a3＝3，a1+a4＝5，记bn＝[lgan]，其中[x]表示不大于x的最大整数，则数列{bn}的前2024项和为（　　） A．4965 B．4964 C．1893 D．1892 7．（2024秋•西山区校级月考）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足，设，将数列{bn}中的整数项组成新的数列{cn}，则c2024＝（　　） A．2022 B．2023 C．4048 D．4046 8．（2023秋•泸县校级期末）在数列{an}中，a1＝﹣60，an+1＝an+3，则|a1|+|a2|+…+|a30|＝（　　） A．﹣445 B．765 C．1080 D．3105 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2024春•辽宁月考）已知数列{bn}满足b1＝2，bn﹣bnbn+1＝1，记数列{bn}的前n项积为Sn，前n项和为Tn，则（　　） A．b2025＝﹣1 B．T6n+1﹣T6n＝﹣1 C． D． （多选）10．（2024春•潍坊期末）将一些数排成如图所示的倒三角形，其中第一行各数依次为1，3，5，…，2025．从第二行起，每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M，从上往下每一行的第一个数构成的数列记为{an}，则（　　） A．a4＝32 B．an+1＝an+2n C．M＝1013×21012 D．第n行的所有数之和为1013（1014﹣n）2n﹣1 （多选）11．（2023秋•天心区校级期末）欧拉函数φ（n）（n∈N*）的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：φ（3）＝2，φ（4）＝2，则（　　） A．φ（4）•φ（6）＝φ（8） B．当n为奇数时，φ（n）＝n﹣1 C．数列{φ（2n）}为等比数列 D．数列的前n项和小于 三．填空题（共3小题） 12．（2024秋•新乡月考）在数列{an}中，，且，则实数c的取值范围是　 　． 13．（2023秋•盐田区校级期末）若数列{an}的通项公式是，则该数列的前100项之和为 　 　． 14．（2023秋•哈尔滨期末）在各项均为正数的等差数列（an}中，a3＝13，a1，a2﹣2，a5成等比数列，保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak+1（k＝1，2，⋯）之间插入2k个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn}，记{bn}的前n项和为Tn，则T90＝　 　． 四．解答题（共5小题） 15．（2024•博白县模拟）已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），前n项和为Sn，且满足S10＝5（a10+1），a1，a2，a6成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn． 16．（2024•孝南区校级模拟）已知数列{an}满足：a1＝2，a2＝4，数列{an﹣n}为等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求和：Sn＝a1+a2+⋯+an． 17．（2024•西安模拟）设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝1， （1）证明：{a2n﹣2}是等比数列； （2）求满足S2n＞0的所有正整数n． 18．（2023秋•泰山区校级期末）已知等差数列{an}满足a2＝4，2a4﹣a5＝7，公比不为﹣1的等比数列{bn}满足b3＝4，b4+b5＝8（b1+b2）． （1）求{an}与{bn}通项公式； （2）设，求{cn}的前n项和Sn． 19．（2024•江西模拟）随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA的密钥长度较长，用于传输敏感数据．在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用．设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为φ（n）． （1）试求φ（1）+φ（9），φ（7）+φ（21）的值； （2）设p，q是两个不同的素数，试用p，k表示φ（pk）（k∈N*），并探究φ（pq）与φ（p）和φ（q）的关系； （3）设数列{an}的通项公式为（m∈N*），求该数列的前m项的和Tm． 数列求和问题专项讲义-高考数学一轮复习专题 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024•湖北模拟）已知数列{an}，{bn}通项公式为an＝2n﹣1，bn＝3n﹣2，将数列{an}、{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn}，设数列{cn}的前n项和为Sn．则Sn＝（　　） A．3n2 B．3n2﹣n C．2n2﹣2n D．3n2﹣2n 【解答】解：由an＝2n﹣1，bn＝3n﹣2，可得数列{an}，{bn}的公共项为1，7，13，19，…， 即数列{cn}是首项为1，公差为6的等差数列， 则Sn＝n+n（n﹣1）×6＝3n2﹣2n． 故选：D． 2．（2024•迎泽区校级开学）设S＝+++⋯+，则4S的整数部分等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】解：由于， 故S＝+++⋯+， 故4＜4S＜5； 故4S的整数部分等于4． 故选：A． 3．（2024•东海县校级模拟）已知数列{an}满足，a1＝a2＝1，（k∈N*），若Sn为数列{an}的前n项和，则S50＝（　　） A．624 B．625 C．626 D．650 【解答】解：依题意，由当n＝2k﹣1时，an+2＝an+2， 可得当n为奇数时，an+2﹣an＝2， ∵a1＝1， ∴数列{an}的奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列， 又当n＝2k时，an+2＝﹣an， 即当n为偶数时，an+2＝﹣an， 此时an+4＝﹣an+2＝﹣（﹣an）＝an， 故数列{an}的偶数项是以2为最小正周期的周期数列， ∵a2＝1，a4＝﹣a2＝﹣1， ∴数列{an}的偶数项为：1，﹣1，1，﹣1，… ∴S50＝a1+a2+…+a50 ＝（a1+a3+…+a49）+（a2+a4+…+a50） ＝25×1+×2+（1﹣1+1﹣1+…+1﹣1+1） ＝25+25×24+1 ＝626． 故选：C． 4．（2024•梅河口市校级模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＝1，an+1＝则S100＝（　　） A．3×251﹣156 B．3×251﹣103 C．3×250﹣156 D．3×250﹣103 【解答】解：根据题意，当n为奇数时，an+2＝2an+1＝2（an+1）⇔an+2＝2an+2⇔an+2+2＝2（an+2）， 可得a2n﹣1+2＝（a1+2）•2n﹣1，即a2n﹣1＝3•2n﹣1﹣2， 可得a2n＝a2n﹣1+1＝3•2n﹣1﹣1， 即有a2n﹣1+a2n＝3（2n﹣1），n∈N*， 则S100＝（a1+a2）+（a3+a4）+...+（a99+a100）＝3×（2﹣1+22﹣1+...+250﹣1）＝3×﹣150＝3×251﹣156． 故选：A． 5．（2023秋•沙坪坝区校级期末）已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝2且，设bn＝1+log2an，则的值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵a1＝2且， ∴数列{Sn}为等比数列，首项为2，公比为2， ∴Sn＝2n， n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣2n﹣1＝2n﹣1， n＝1时上式不成立， ∴an＝． ∴b1＝1+log22＝2； n≥2，bn＝1+log2an＝1+＝1+n﹣1＝n． ∴n≥2时，＝＝﹣， n＝1时，＝＝， 则＝+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝+﹣＝． 故选：D． 6．（2024•湖南开学）已知等差数列{an}中，a3＝3，a1+a4＝5，记bn＝[lgan]，其中[x]表示不大于x的最大整数，则数列{bn}的前2024项和为（　　） A．4965 B．4964 C．1893 D．1892 【解答】解：根据题意，设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，数列{bn}的前n项和为Sn， 则有，解可得a1＝1，d＝1，则an＝a1+（n﹣1）d＝n， bn＝[lgan]＝[lgn]， 当1≤n≤9时，bn＝[lgan]＝[lgn]＝0， 当10≤n≤99时，bn＝[lgan]＝[lgn]＝1， 当100≤n≤999时，bn＝[lgan]＝[lgn]＝2， 当1000≤n≤2024时，bn＝[lgan]＝[lgn]＝3， 故数列{bn}的前2024项和S2024＝90×1+900×2+1025×3＝4965． 故选：A． 7．（2024秋•西山区校级月考）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足，设，将数列{bn}中的整数项组成新的数列{cn}，则c2024＝（　　） A．2022 B．2023 C．4048 D．4046 【解答】解：令数列{an}的公比为q，∵an＞0，∴a1＞0，q＞0， 因为， 所以当n＝1时，，即a1＝1， 当n＝2时，，即q（1+q）＝6，解得q＝2（舍去q＝﹣3）， 所以，即， 因为数列{bn}中的整数项组成新的数列{cn}， 所以n＝2k2，k∈N*，此时，即cn＝2n， 可得c2024＝2×2024＝4048． 故选：C． 8．（2023秋•泸县校级期末）在数列{an}中，a1＝﹣60，an+1＝an+3，则|a1|+|a2|+…+|a30|＝（　　） A．﹣445 B．765 C．1080 D．3105 【解答】解：{an}是等差数列，an＝﹣60+3（n﹣1）＝3n﹣63， ∴＝ 由an≥0，解得n≥21． ∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30| ＝﹣（a1+a2+…+a20）+（a21+…+a30） ＝S30﹣2S20 ＝765 故选：B． 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2024春•辽宁月考）已知数列{bn}满足b1＝2，bn﹣bnbn+1＝1，记数列{bn}的前n项积为Sn，前n项和为Tn，则（　　） A．b2025＝﹣1 B．T6n+1﹣T6n＝﹣1 C． D． 【解答】解：已知数列{bn}满足b1＝2，bn﹣bnbn+1＝1，可得bn+1＝1﹣， 则， 所以数列{bn}是以3为一个周期的周期数列． 对于A项，b2025＝b3＝﹣1，A项正确； 对于B项，T6n+1﹣T6n＝b6n+1＝b1＝2，B项错误； 对于C项，任意相邻三项均在一个周期内，则，C项错误； 对于D项，，所以，D项正确． 故选：AD． （多选）10．（2024春•潍坊期末）将一些数排成如图所示的倒三角形，其中第一行各数依次为1，3，5，…，2025．从第二行起，每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M，从上往下每一行的第一个数构成的数列记为{an}，则（　　） A．a4＝32 B．an+1＝an+2n C．M＝1013×21012 D．第n行的所有数之和为1013（1014﹣n）2n﹣1 【解答】解：由a1＝1，a2＝4＝2a1+2，a3＝12＝2a2+22，a4＝32＝2a3+23，..可得an+1＝2an+2n，故A正确，B错误； 由＝+，＝，可得＝n，即有an＝n•2n﹣1，则M＝1013×21012，故C正确； 第n行由公差为2n，首项为n•2n﹣1，个数为1014﹣n的等差数列， 则第n行的所有数之和为（1014﹣n）•n•2n﹣1+（1014﹣n）（1013﹣n）•2n＝1013（1014﹣n）•2n﹣1，故D正确． 故选：ACD． （多选）11．（2023秋•天心区校级期末）欧拉函数φ（n）（n∈N*）的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：φ（3）＝2，φ（4）＝2，则（　　） A．φ（4）•φ（6）＝φ（8） B．当n为奇数时，φ（n）＝n﹣1 C．数列{φ（2n）}为等比数列 D．数列的前n项和小于 【解答】解：对于A，因为φ（4）＝2，φ（6）＝2，φ（8）＝4，所以φ（4）•φ（6）＝φ（8），故A正确； 对于B，由于φ（9）＝6≠8，故B错误； 对于C，因为小于2n的所有正奇数与2n均互质，且小于2n的所有正奇数有2n﹣1个， 所以φ（2n）＝2n﹣1，因此数列{φ（2n）}为等比数列，故C正确； 对于D，同理小于3n的所有3的倍数与3n均不互质，共有3n﹣1个， 因此小于3n的所有与3n互质的数共有2×3n﹣1个，即φ（3n）＝2×3n﹣1， 所以，令， 则，故D正确， 故选：ACD． 三．填空题（共3小题） 12．（2024秋•新乡月考）在数列{an}中，，且，则实数c的取值范围是　　． 【解答】解：由题意知，解得． 故答案为：． 13．（2023秋•盐田区校级期末）若数列{an}的通项公式是，则该数列的前100项之和为 　100　． 【解答】解：因为， 所以a1+a2＝2，a3+a4＝2，…，a99+a100＝2， 所以该数列的前100项之和为a1+a2+⋯+a100＝50×2＝100． 故答案为：100． 14．（2023秋•哈尔滨期末）在各项均为正数的等差数列（an}中，a3＝13，a1，a2﹣2，a5成等比数列，保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak+1（k＝1，2，⋯）之间插入2k个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn}，记{bn}的前n项和为Tn，则T90＝　317　． 【解答】解：设各项均为正数的等差数列（an}的公差为d＞0， ∵a3＝13，a1，a2﹣2，a5成等比数列， ∴a1+2d＝13，＝a1a5，即＝a1（a1+4d），d＞0， 解得a1＝1，d＝6， ∴an＝1+6（n﹣1）＝6n﹣5， ∴新的数列{bn}，a1，3，3，a2，3，3，3，3，a3，…，a6，3，3，…，3． a6之前已经插入了3的个数为2+22+…+25＝＝26﹣2＝62， 因此a6后面3的个数为90﹣（62+6）＝22． ∴{bn}的前90项和T90＝a1+a2+…+a6+3×84＝+252 ＝348． 故答案为：348． 四．解答题（共5小题） 15．（2024•博白县模拟）已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），前n项和为Sn，且满足S10＝5（a10+1），a1，a2，a6成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn． 【解答】解：（1）S10＝5（a10+1），得，即a1＝1． 由a1，a2，a6成等比数列，得，，即d＝3a1． 所以d＝3，故an＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2． （2）， ∴Tn＝b1+b2+b3+⋯+bn ＝ ＝． 16．（2024•孝南区校级模拟）已知数列{an}满足：a1＝2，a2＝4，数列{an﹣n}为等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求和：Sn＝a1+a2+⋯+an． 【解答】解：（1）因为a1＝2，a2＝4，数列{an﹣n}为等比数列， 所以a1﹣1＝1，a2﹣2＝2，则， 即{an﹣n}是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，则． （2）Sn＝a1+a2+…+an ＝1+20+2+21+3+22+⋯+n+2n﹣1 ＝（1+2+3+⋯+n）+（20+21+22+⋯+2n﹣1） ＝． 17．（2024•西安模拟）设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝1， （1）证明：{a2n﹣2}是等比数列； （2）求满足S2n＞0的所有正整数n． 【解答】（1）证明：由题意， 可知a2n+2＝a2n+1+1＝＝＝， 两边同时减去2， 可得a2n+2﹣2＝﹣2＝（a2n﹣2）， ∵a1＝1，a2＝a1+1＝×1+1＝， ∴， ∴数列{a2n﹣2}是以为首项，为公比的等比数列． （2）解：由（1），可得＝﹣（）n， 则， ∵a2n﹣1+（2n﹣1）＝a2n﹣1+1＝a2n， ∴， ∴， ∴S2n＝a1+a2+…+a2n ＝（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n） ＝ ＝ ＝， ∵当n≥2时，{S2n}单调递减，且，，， ∴满足S2n＞0的所有正整数n为1，2． 18．（2023秋•泰山区校级期末）已知等差数列{an}满足a2＝4，2a4﹣a5＝7，公比不为﹣1的等比数列{bn}满足b3＝4，b4+b5＝8（b1+b2）． （1）求{an}与{bn}通项公式； （2）设，求{cn}的前n项和Sn． 【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q， 则， 解得a1＝1，d＝3，则an＝3n﹣2； ， 由于q≠﹣1，则b1+b2＝b1（1+q）≠0， 解得b1＝1，q＝2， 则． （2）， ∴． 19．（2024•江西模拟）随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA的密钥长度较长，用于传输敏感数据．在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用．设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为φ（n）． （1）试求φ（1）+φ（9），φ（7）+φ（21）的值； （2）设p，q是两个不同的素数，试用p，k表示φ（pk）（k∈N*），并探究φ（pq）与φ（p）和φ（q）的关系； （3）设数列{an}的通项公式为（m∈N*），求该数列的前m项的和Tm． 【解答】解：（1）易得φ（1）＝1， 不超过9且与9互素的正整数有1，2，4，5，7，8，则φ（9）＝6， 不超过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，则φ（7）＝6， 不超过21且与21互素的正整数有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，则φ（21）＝12， 所以φ（1）+φ（9）＝7，φ（7）+φ（21）＝18． （2）在不大于pk的正整数中，只有p的倍数不与pk互素，而p的倍数有pk﹣1个， 因此φ（pk）＝pk﹣pk﹣1＝（p﹣1）pk﹣1． 由p，q是两个不同的素数，得φ（p）＝p﹣1，φ（q）＝q﹣1， 在不超过pq﹣1的正整数中，p的倍数有q﹣1个，q的倍数有p﹣1个， 于是φ（pq）＝pq﹣1﹣（p﹣1）﹣（q﹣1）＝pq﹣p﹣q+1＝（p﹣1）（q﹣1）， 所以φ（pq）＝φ（p）•φ（q）． （3）根据（2）得， 所以， ， 两式相减，得， 所以， 故． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$