3.1.2椭圆的几何性质(第1课时)学案-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

选择性必修第一册问题导学单 第3章——圆锥曲线与方程 江苏省启东中学高二数学讲义 高二 班 姓名: 学号: A 第3章 圆锥曲线与方程 3.1 椭圆 3.1.2 椭圆的几何性质(第1课时) 【学习目标】 1.掌握椭圆的简单几何性质; 2.能根据几何条件求出椭圆方程,利用椭圆的方程研究它的性质并画出图形. 【温顾 习新】 一、椭圆的简单几何性质 思考 观察椭圆+=1(a>b>0)的形状,你能从图上看出它的范围吗?它具有怎样的对称性?椭圆上哪些点比较特殊? 填空 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 范围 顶点 轴长 长轴长= ,短轴长= 焦点 焦距 F1F2= = 对称性 对称轴: 对称中心: 离心率 e=∈ (其中c=) 做一做 若焦点在y轴上的椭圆+=1的离心率为,则m的值为_. 【研讨 拓展】 【例1】求椭圆25x2+y2=25的长轴和短轴的长及焦点和顶点坐标. 【变式1-1】已知椭圆C1:+=1,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上. (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率; (2)写出椭圆C2的方程,并研究其性质. 【变式1-2】椭圆(m+1)x2+my2=1的长轴长是( ) A. B. C. D.- 【变式1-3】(多选)已知点(3,2)在椭圆+=1(a>b>0)上,则( ) A.点(-3,-2)不在椭圆上 B.点(3,-2)在椭圆上 C.点(-3,2)在椭圆上 D.无法判断点(-3,-2),(3,-2),(-3,2)是否在椭圆上 二、离心率 思考 (1)观察图,我们发现,不同椭圆的扁平程度不同,扁平程度是椭圆的重要形状特征,你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗?这个定量对椭圆的形状有何影响? (2)椭圆的离心率是如何影响椭圆的扁圆程度的? (3)已知的值能求出离心率吗? 填空 (1)定义: 与长轴长的比叫作椭圆的离心率,e= ,e越大,椭圆越 ;e越小,椭圆越 . (2)范围:e=∈ . 做一做 若一个椭圆的长轴长与焦距的和等于短轴长的2倍,则该椭圆的离心率是( ) A. B. C. D. 【例2】分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程: (1)已知椭圆的中心在原点,焦点在y轴上,其离心率为,焦距为8; (2)已知椭圆的离心率为e=,短轴长为8. 【变式2-1】求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)椭圆过点(3,0),离心率e=; (2)经过点M(1,2),且与椭圆+=1有相同的离心率. 【变式2-2】如图,底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30 的平面所截,其截口是一个椭圆,则这个椭圆的长轴长为_,短轴长为_,离心率为_. 【变式2-3】设e是椭圆+=1的离心率,且e∈,则实数k的取值范围是( ) A.(0,3) B. C.(0,3)∪ D.(0,2) 【例3】已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B,若椭圆C的中心到直线AB的距离为F1F2,求椭圆C的离心率. 【变式3-1】设F1,F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点, F2PF1是底角为30 的等腰三角形,则E的离心率为( ) A. B. C. D. 【变式3-2】设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30 ,则椭圆C的离心率为_. 【变式3-3】设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆C上的点,∠PF2F1=75 ,∠PF1F2=45 ,则椭圆C的离心率为_. 【例4】椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1作直线与椭圆相交,被椭圆截得的最短的弦MN的长为,若 MF2N的周长为20,则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 【变式4-1】已知F1为椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,过椭圆长轴上一点M(不含端点)任意作一条直线l,交椭圆于A,B两点,且 ABF1的周长的最大值为5b,则该椭圆的离心率为_. 【例5】设椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1,F2,若在椭圆上存在一点P,使 =0,求椭圆的离心率e的取值范围. 【变式5-1】设椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1,F2,若在椭圆上存在一点P,使∠F1PF2为钝角,求椭圆的离心率e的取值范围. 【变式5-2】椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点是F1,F2,若P为其上一点,且|PF1|=5|PF2|,则此椭圆离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 【例6】(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆,如图所示,已知它的近地点A(离地心最近的一点)距地面m km,远地点B(离地心最远的一点)距地面n km,并且F,A,B三点在同一直线上,地球半径约为R km,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则( ) A.a-c=m+R B.a+c=n+R C.2a=m+n D.b= 【例7】已知椭圆E的中心为坐标原点O,两个焦点分别为A(-1,0),B(1,0),一个顶点为H(2,0). (1)求椭圆E的标准方程; (2)对于x轴上的点P(t,0),椭圆E上存在点M,使得MP⊥MH,求实数t的取值范围. 【例8】如图,已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B. (1)若∠F1AB=90 ,求椭圆的离心率; (2)若椭圆的焦距为2,且=2,求椭圆的标准方程. 【变式8-1】设F1,F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|F1B|. (1)若|AB|=4, ABF2的周长为16,求|AF2|; (2)若cos∠AF2B=,求椭圆E的离心率. 【总结提炼】 1.牢记椭圆的7个性质 2.掌握研究椭圆的几何性质的2种方法 (1)“先定型,再定量”求出椭圆方程,再研究几何性质. (2)求离心率的常用方法. 3.注意1个易错点:忽略对焦点在哪条坐标轴上的讨论. 【拓展强化】 完成练习册相关课时作业 6 1 学科网(北京)股份有限公司 $$