3.3.1抛物线的标准方程学案-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

选择性必修第一册问题导学单·第3章——圆锥曲线与方程 江苏省启东中学高二数学讲义 高二 班 姓名： 学号： A 第3章 圆锥曲线与方程 3.3 抛物线 3.3.1 抛物线的标准方程 【学习目标】 1．掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程； 2．能根据抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程； 3．能利用抛物线的定义和标准方程求最值． 【温顾·习新】 一、抛物线的定义 思考　抛物线可以看成双曲线的一支对吗？ 填空　平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的 的点的轨迹叫作 ，定点F叫作抛物线的 ，定直线l叫作抛物线的 ． 【例1】(多选)下列命题是假命题的是(　　) A．到定点F(－1，0)和定直线x＝1的距离相等的动点P的轨迹为抛物线 B．到定点F(2，1)和定直线3x－2y－4＝0的距离相等的动点P的轨迹为抛物线 C．抛物线的焦点一定在y轴上 D．抛物线的标准方程中，p表示焦点到准线的距离，p的值永远大于0 【变式1-1】若动点P与定点F(1，1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 【研讨·拓展】 二、抛物线的标准方程 思考　比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可使所求抛物线的方程形式简单？ 填空　 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 做一做　抛物线y＝－x2的准线方程是(　　) A．x＝ B．x＝ C．y＝2 D．y＝4 【例1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)焦点为(－2，0)； (2)准线为y＝－1； (3)过点A(2，3)； (4)焦点到准线的距离为． 【变式1-1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点(3，－4)； (2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上． 【变式1-2】已知位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，求点M的轨迹方程． 【例2】已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，AF＝x0，则x0等于(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 【例3】已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点． (1)求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值； (2)若点A(3，2)，求PA＋PF的最小值； (3)直线l1：3x－4y＋＝0，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值． 【变式3-1】已知定长为3的线段AB的端点A，B在抛物线y2＝x上移动，求AB的中点M到y轴距离的最小值． 【例4】河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0．75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？ 【变式4-1】探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是(　　) A．11.25 cm B．5.625 cm C．20 cm D．10 cm 【例5】(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于D．若AF＝4，则以下结论正确的是(　　) A．p＝2 B．F为AD的中点 C．BD＝2BF D．BF＝2 【变式5-1】设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________． 【变式5-2】已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|等于(　　) A． B． C．3 D．2 【变式5-3】设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________． 【例6】2021年是中国传统的“牛”年，可以在平面直角坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象．已知抛物线Z：x2＝4y的焦点为F，圆F：x2＋(y－1)2＝4与抛物线Z在第一象限的交点为P，直线l：x＝t(0<t<m)与抛物线Z的交点为A，直线l与圆F在第一象限的交点为B，则m＝________；△FAB周长的取值范围为________． 【总结提炼】 1．牢记2个知识点：(1)抛物线的定义；(2)抛物线的标准方程． 2．掌握2种解决问题的方法：(1)求标准方程的方法． (2)运用定义解决有关距离的最值问题的方法． 3．注意1个易错点：忽视抛物线的开口方向而致误． 【拓展强化】 完成练习册相关课时作业 ·4· ·1· 学科网（北京）股份有限公司 $$