湖南省长沙市麓山外国语实验中学2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试卷

1 2024 年下学期初三暑假作业检测数学试卷 一.选择题(每小题 3分,共 30分) 1.下列说法中正确的是 ( ) A.样本 7,7,6,5,4 的众数是 2 B.样本 2,2,3,4,5,6 的中位数是 4 C.样本 39,41,45,45 不存在众数 D.样本 5,4,5,7,5 的众数和中位数相等 2.已知一元二次方程 2 6 15 0x x− − = 的两根分别为m , n ,则m n mn+ − 的值是 ( ) A.21 B. 9− C. 21− D.9 3.某企业今年 3 月份产值为 a万元,4 月份比 3 月份减少了10% ,5 月份比 4 月份增加了15% ,若这两个 月的平均增长率为 x ,则 x 满足的关系是 ( ) A. ( 10%)( 15%) 2(1 )a a x a− + = + B. 2(1 10%)(1 15%) (1 )a a x− + = + C. 2(1 10% 15%) (1 )a a x− + = + D. 2(1 10%)(1 15%) (1 )a a x− + = + 4.将抛物线 22( 3) 2y x= − + 向左平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位,平移后所得抛物线的解析式为 ( ) A. 22( 5) 5y x= − + B. 22y x= C. 22( 1) 5y x= − + D. 22( 1) 1y x= − − 5.若关于 y 的一元二次方程 2 4 3 3 4ky y y− − = + 有实根,则 k 的取值范围是 ( ) A. 7 4 k − B. 7 4 k − 且 0k C. 7 4 k − D. 7 4 k 且 0k 6.解方程 22(5 1) 3(5 1)x x− = − 的最适当的方法是 ( ) A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.分解因式法 7.已知抛物线 2 4y ax ax c= + + ( 0a )的图象上三个点的坐标分别为 1(3, )A y , 2( 1, )B y− , 3(2, )C y ,则 1y , 2y , 3y 的大小关系为 ( ) A. 3 1 2y y y B. 2 1 3y y y C. 1 3 2y y y D. 1 2 3y y y 8.如图,已知二次函数 2y ax bx c= + + 的图象关于直线 1x = − 对称,与 x 轴的一个交点在原点和 (1,0) 之间, 下列结论错误的是 ( ) A. 0abc B. 2b a= C. 4 2 0a b c− + D. ( )a b m am b− + (m 为任意实数) 9.当 0ab 时, y ax b= + 与 2y ax= 的图象大致是 ( ) 1-1 x=-1 O y x 2 A. B. C. D. 10.在平面直角坐标系中,如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数,则称该点为“优点”,例如 ( 1,1)− , (2023, 2023)− 都是“优点”,若抛物线 2 7y ax x c= − + ( a、c 为常数)上有且只有一个“优点”,当 3a 时, 则整数 c 的取值有 ( )个. A.1 B.2 C.3 D.4 二.填空题(每小题 3分,共 18分) 11.一组数据含有三个不同的数:3、8、7,它们的频数分别是 3、5、2,则这组数据的平均数是 . 12.如果一次函数 ( 2) 1y k x= + − 中, y 随 x 的增大而减小,那么 k 的取值范围是 . 13.将一元二次方程 2 8 10 0x x− + = 通过配方转化为 2( )x k h− = 的形式,则 k h+ 的值为 . 14.如图,某运动员推铅球,铅球行进高度 y (m)与水平距离 x (m)之间的关系是 2 6y x x= − + + ,则 此运动员将铅球推出的距离是 . (第 14 题图) (第 16 题图) 15.对于一个函数,自变量 x 取 a 时,函数值 y 也等于 a ,我们称 a 为这个函数的不动点.如果二次函数 22 4y x x c= − + + 有两个相异的不动点 1x , 2x ,且 1 21x x ,则 c 的取值范围是 . 16.如图,四边形 ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形,a ,b ,c 是Rt ABC 和Rt BED 边长,易 知 2AE c= ,这时我们把关于 x 的形如 2 2 0ax cx b+ + = 的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”,若 1x = − 是“勾系一元二次方程” 2 2 0ax cx b+ + = 的一个根,若四边形 ACDE 的周长是6 2 ,则 ABC 面积为 . 三.解答题(共 72分) 17.解方程(8 分): (1) 2( 2) 18x − = ; (2) 2 2 2 0x x− − = . x y O O y x O y x x y O y x 2c a b c c b a 3 18.(6 分)如图,一次函数 1 : 2 2l y x= − 的图象与 x 轴交于点 D ,一次函数 2 :l y kx b= + 的图象与 x 轴交于 点 A,且经过点 (3,1)B ,两函数图象交于点 ( ,2)C m . (1)求一次函数 2 :l y kx b= + 的解析式; (2)根据图象,直接写出1 2 2kx b x + − 的解集. 19.(6 分)设 1x , 2x 是关于 x 的方程 2 21( 2) 1 0 4 x k x k− + + + = 的两个实数根. (1)求实数 k 的取值范围; (2)若 2 21 2 13 2 x x+ = ,求 k 的值. 20.(8 分)为了推动阳光体育运动的广泛开展,引导学生走向操场、走进大自然、走到阳光下,积极参加 体育锻炼,学校准备购买一批运动鞋供学生借用.现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号,绘制出如图所示 的统计图,请根据相关信息,解答下列 问题 (1)本次接受随机抽样调查的学生人 数为 ,图①中m 的值为 ; (2)求本次调查获取的样本数据的众 数和中位数; (3)根据样本数据,若学校计划购买 200 双运动鞋,建议购买 37 号运动鞋多 少双? 3 1 D C B A O y x m% 10% 20% 25% 30% 34号 35号36号 37号 38号 4 8 10 12 6 人数 12 10 8 6 4 2 0 鞋号38号37号36号35号34号 4 21.(8 分)已知二次函数 2 3y ax bx= + − 的图象经过点 ( 1,0)A − , (3,0)B . (1)求二次函数的解析式,并写出抛物线的对称轴及顶点坐标; (2)当0 3x 时,求 y 的取值范围. 22.(8 分)习近平总书记说:“读书可以让人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然之气”.某 市图书馆为推广全民阅读活动,决定加大图书购置经费的投入.一月份投入图书购置经费 50 万元,3 月份 投入 72 万元. (1)求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率; (2)如果按(1)中经费投入的平均增长率计算,该市计划 4 月份用不超过当月图书购置经费的5% 购买电 脑和实物投影仪共 15 台,捐赠给乡镇学校阅览室.若购买一台电脑需 3300 元,一台实物投影需 2400 元, 则最多可购买电脑多少台? 23.(8 分)直播带货已经成为一种热门的销售方式.某水果生产商在一销售平台上直播销售枇杷,已知枇 杷的成本价为 20 元 / 千克,每日销售量 y (千克)与销售单价 x(元 )满足一次函数关系,如下表记录的是 有关数据,出于营销考虑,要求枇杷销售单价不低于成本且不高于 32 元 / 千克.设销售枇杷的日获利为w (元). 销售单价 x (元) 22 27 日销量 y (千克) 200 150 (1)求日销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式; (2)当销售单价定为多少时,销售这种枇杷的日获利 w 最大?最大利润为多少元? 5 24.(10 分)数学来源于生活,数学之美无处不在,在几何图形中,最美的角是 45 ,最美的直角三角形是 等腰直角三角形,我们把 45 的角称为麓外美角,最美的等腰直角三角形称为麓外美三角.根据该约定,完 成下列问题: (1)如图 1,已知正方形 ABCD中O 是对角线 AC 上一动点,过O 作OP OD⊥ ,垂足为O ,交 BC 边于 P , POD 是否为麓外美三角,并说明理由; (2)如图 2,在平面直角坐标系中,点 ( 2,0)A − ,点 (0,2)B ,点 P 在第二象限内,且在直线 2 2y x= − − 上, 若 ABP恰好构成麓外美三角,求出此时 P 点的坐标; (3)如图 3,若二次函数 2 2 3y x x= − + + 的图象与 x 轴交于 A、 B 两点,与 y 轴交于点C , P 为第二象限 上的点,在直线 AC 上,且 OPB 恰好构成麓外美角;Q为 x 轴上方抛物线上的一动点,令Q点横坐标为m ( 0 3m ),当m 为何值时, PBQ 的面积最大,求出此时Q点坐标和最大面积. 图 1 图 2 图 3 P O D CB A y=2x-2 B A O y x Q P C BA O y x 6 25.(10 分)在平面直角坐标系中,二次函数 2y ax bx c= + + 的图象与 x 轴交于 A、 B 两点,与 y 轴交于点 (0,2)C ,且顶点 P 的坐标为 ( 1,3)− . (1)求二次函数的解析式; (2)如图 1,点 5 3 ( , ) 2 4 D − ,若点M 是二次函数图象上的点,且在直线CD的上方,连接MC ,MD .求 MCD 面积的最大值及此时点M 的横坐标; (3)如图 2,设点Q是抛物线对称轴上的一点,且在点C 的下方,连接QC ,将线段QC 绕点Q 逆时针旋转 90 ,点C 的对应点为 F ,直线 PF 交抛物线于点 E(点 E 与点 P 不重合),判断此时能否求出点 E 的坐标, 如能,求出点 E 的坐标,不能,说明理由. 图 1 图 2 P M D C BA O y x E F Q x y OA B C P