专题1 空间向量及其应用常考题型归纳 专项训练-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

专题1 空间向量及其应用常考题型归纳 思维导图 核心考点聚焦 考点一、空间向量的加法、减法、数乘运算 考点二、空间共线向量与共面定理的应用 考点三、空间向量的数量积、夹角、模长运算 考点四、方向向量与法向量 考点五、利用空间向量证明平行、垂直问题 考点六、用空间向量研究距离、夹角问题 考点剖析 考点一、空间向量的加法、减法、数乘运算 1．已知A,B,C,D是空间中互不相同的四个点,则( ) A. B. C. D. 2．在四面体OABC中记,,,若点M、N分别为棱OA、BC的中点,则( ) A. B. C. D. 3．如图,在平行六面体中,E为的中点,若,则( ) A.,, B.,, C.,, D.,, 考点二、空间共线向量与共面定理的应用 4．已知空间中四点O，A，B，P，点B在直线上，且满足，则( ) A. B. C.1 D. 5．点M在平面ABC内，并且对于空间任意一点O，都有，则x为( ) A. B. C. D. 6．对空间任意一点和不共线三点，，，能得到，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D．， 7.在空间直角坐标系中,,,,若A,B,C三点共线,则 . 8．（多选）已知,,是空间中不共面的三个向量,则下列向量能构成空间的一个基底的有( ) A.,, B.,, C.,, D.,, 9．是空间的一个基底,向量,是空间的另一个基底,向量,则___________. 考点三、空间向量的数量积、夹角、模长运算 10．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是( ) A. B. C. D. 11．已知点,,O为坐标原点,且,则( ) A.36 B. C.6 D. 12．已知向量,,则与的数量积为 . 13．已知向量，，且，则 . 14．已知,,则 . 15．已知向量, （1）求与的夹角; （2）若与垂直,求实数t的值. 16．已知,. （1）若,求实数k的值; （2）若,求实数k的值. 17．如图，在三棱锥中，，，，，，，分别是，的中点，点在上，且，记，，． (1)试用基底表示向量，，；(2)求和的值． 考点四、方向向量与法向量 18．若，在直线l上，则直线l的一个方向向量为( ) A. B. C. D. 19．已知，，，则平面ABC的一个单位法向量是( ) A. B. C. D. 20．向量,,.若平面ABC,则x的值是 . 考点五、利用空间向量证明平行、垂直问题 21．（多选）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中,正确的有( ) A.若两条不重合的直线,的方向向量分别是,,则 B.若直线l的方向向量是,平面的法向量是,则 C.若直线l方向向量是,平面的法向量是,则 D.若两个不同的平面,的法向量分别是,,则 22．（2023·高二课时练习）在正方体中，若为中点，为中点.    求证：(1)；(2)平面；(3)平面平面． 23．（2023·天津·高二校联考期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，E是的中点，已知，．    (1)求证：； (2)求证：平面平面． 考点六、用空间向量研究距离、夹角问题 24．已知直线l经过，两点，则点到直线l的距离为 . 25．向量为平面的法向量,点在内,则点到平面的距离为 . 26．设直线l的一个方向向量为,平面的一个法向量为,则直线l与平面所成角的正弦值为 . 27．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，F为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是( ) A. B.向量与所成角的余弦值为 C.平面AEF的一个法向量是 D.点D到平面AEF的距离为 28.如图，已知四边形是矩形，平面且，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 29.如图，在棱长为2的正方体中， 为的中点．    (1) 求直线到平面的距离；(2)求直线与平面所成角的正弦值． 30．如图,在四面体中,平面,点M为棱的中点,,,. (1)证明：; (2)求平面和平面夹角的余弦值. 31．（2023·山东青岛·高二统考期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，． (1)求异面直线与所成角的大小．(2)求直线到平面的距离． 32．（2023·广东佛山·高二佛山市顺德区容山中学校考期中）如图，在长方体中，，，求： (1)点到直线BD的距离； (2)点到平面的距离； (3)异面直线之间的距离. 作业检测 一、选择题 1．已知平面的一个法向量，点在平面内，若点到的距离为，则( ) A.16 B.-4 C.4或-16 D.-4或16 2．设x,,向量,,且,,则( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3．已知，，且，则( ) A. B.1 C. D.2 4．如图，平行六面体，其中，，，，，，则的长为( ) A. B. C. D. 5．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点，，，则点O到平面ABC的距离是( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 6．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是( ) A. B.与是共线向量 C.和夹角的余弦值是1 D.与同向的单位向量是 7．已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数，的取值可能分别为( ) A.，2 B.2，2 C.，1 D.1，5 8．空间中三点，，，O是坐标原点，则( ) A. B. C.点C关于平面对称的点为 D.与夹角的余弦值是 三、填空题 9．已知空间向量，，，若，，共面，则 . 10．已知空间三点，，，则在上的投影向量的模是 . 四、解答题 11．已知空间三点,,,设, (1)求; (2)与互相垂直,求实数k的值. 12．如图，在直三棱柱中，，，，，点M在线段上，且. （1）求CM的长；（2）求二面角的大小. 13．如图，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直， . （1）求直线BF与平面的夹角；（2）求点A到平面的距离. 14．如图所示,在直三棱柱中,,,,. (1)求证：; (2)在上是否存在点D,使得平面,若存在,确定D点位置并说明理由,若不存在,说明理由。 专题1 参考答案 核心考点聚焦 考点一、空间向量的加法、减法、数乘运算 考点二、空间共线向量与共面定理的应用 考点三、空间向量的数量积、夹角、模长运算 考点四、方向向量与法向量 考点五、利用空间向量证明平行、垂直问题 考点六、用空间向量研究距离、夹角问题 考点剖析 考点一、空间向量的加法、减法、数乘运算 1．已知A,B,C,D是空间中互不相同的四个点,则( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：, 故选：D. 2．在四面体OABC中记,,,若点M、N分别为棱OA、BC的中点,则( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：由题意得：. 故选：B. 3．如图,在平行六面体中,E为的中点,若,则( ) A.,, B.,, C.,, D.,, 答案：B 解析：因为, 所以,, 故选:B. 考点二、空间共线向量与共面定理的应用 4．已知空间中四点O，A，B，P，点B在直线上，且满足，则( ) A. B. C.1 D. 答案：B 解析：因为A，B，P三点在同一直线上，所以，所以. 故选：B. 5．点M在平面ABC内，并且对于空间任意一点O，都有，则x为( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为M，A，B，C四点共面，且， 所以，解得.故选D. 6．对空间任意一点和不共线三点，，，能得到，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 答案B 解析A选项：，故A错； B选项：，故B正确； C选项：，故C错； D选项：，故D错. 故选：B. 7.在空间直角坐标系中,,,,若A,B,C三点共线,则 . 答案： 解析：由题得,, 因为A,B,C三点共线,所以存在实数,使得, 即, 所以解得所以. 8．（多选）已知,,是空间中不共面的三个向量,则下列向量能构成空间的一个基底的有( ) A.,, B.,, C.,, D.,, 答案：BC 解析：对于选项：因为, 所以,,三个向量共面, 故不能构成空间的一个基底,故A错误; 对于选项D：因为, 所以,,三个向量共面, 故不能构成空间的一个基底,故D错误; 因为,,是空间中不共面的三个向量, 对于选项B：设,显然不存在实数x,y使得该式成立, 所以,,不共面,可以作为基底向量,故B正确; 对于选项C：设, 则,方程无解,即不存在实数x,y使得该式成立, 所以,,不共面,可以作为基底向量,故C正确; 故选：BC. 是空间的一个基底,向量,是空间的另一个基底,向量,则 . 答案：3 解析:,且 . 故答案为:3 考点三、空间向量的数量积、夹角、模长运算 10．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：， 在上的投影向量是: 故选：A. 11．已知点,,O为坐标原点,且,则( ) A.36 B. C.6 D. 答案：C 解析：因为,, 所以,. 又,解得, 所以, 则,所以. 故选:C. 12． 已知向量,,则与的数量积为 . 答案：0 解析：. 故答案为:0. 13． 已知向量，，且，则 . 答案： 解析：因为向量，，且，所以，解得，，所以.故答案为：-24. 14．已知,,则 答案： 解析：, 故答案为：. 15．已知向量, （1）求与的夹角; （2）若与垂直,求实数t的值. 答案：（1） （2）1 解析：（1）,, ,, , 令与的夹角为, 则, 则与的夹角为. （2）,, 又与垂直,, 即,解得. 16．已知,. （1）若,求实数k的值; （2）若,求实数k的值. 答案：（1） （2）或 解(1),, 若,则,即,,,解得,. （2）,, 若,则,即, 化简可得,解得或. 17．如图，在三棱锥中，，，，，，，分别是，的中点，点在上，且，记，，． (1) 试用基底表示向量，，；(2)求和的值． 解析（1）因为，分别是，的中点， 所以， ， ， 又，所以， 则. （2）因为，，，，， 所以， 又， 所以 . 考点四、方向向量与法向量 18．若，在直线l上，则直线l的一个方向向量为( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：依题意，直线l的一个方向向量为，其他三个均不符合要求.故选C. 19．已知，，，则平面ABC的一个单位法向量是( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：依题意，，，设平面ABC的法向量为， 则令，得，于是得与n同向的单位向量为，与n反向的单位向量为，D满足，显然选项A，B，C中的向量与不共线，即A，B，C不满足.故选D. 向量,,.若平面ABC,则x的值是 . 答案：5 解析：平面ABC, 存在事实m,n,使得, 解得. 故答案为5. 考点五、利用空间向量证明平行、垂直问题 21．（多选）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中,正确的有( ) A.若两条不重合的直线,的方向向量分别是,,则 B.若直线l的方向向量是,平面的法向量是,则 C.若直线l方向向量是,平面的法向量是,则 D.若两个不同的平面,的法向量分别是,,则 答案：BD 解析：对于A中,由直线,的方向向量分别是,, 设,可得,此时方程组无解,即与不平行, 所以与不平行,所以A错误; 对于B中,由直线l的方向向量是,平面的法向量是, 可得,所以,所以,所以B正确; 对于C中,由直线l的方向向量是,平面的法向量是, 可得,可得,所以或,所以C不正确; 对于D中,由两个不同的平面,的法向量分别是,, 可得,所以,则,所以D正确. 故选:BD. 22．（2023·高二课时练习）在正方体中，若为中点，为中点.    求证：(1)；(2)平面；(3)平面平面． 解析（1）以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1． 依题意知：，，，， ∴，， ∴， ∴，即. （2）设平面ACD1的法向量为， ∵，，，∴，， 由可得，，即， 令，则，∴， 又， ∴，∴， 又平面，∴平面． （3）设平面的法向量为 则即∴ 令，得，∴， 由（2）知平面ACD1的一个法向量， ∴，∴， ∴平面平面. 23．（2023·天津·高二校联考期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，E是的中点，已知，．    (1)求证：； (2)求证：平面平面． 【解析】（1）以A为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 所以，， 所以，所以． （2）连接，，如图所示， 因为面，面，所以， 又因为四边形为正方形，所以， 又因为，、面，所以面， 又因为面，所以平面平面． 考点六、用空间向量研究距离、夹角问题 24.已知直线l经过，两点，则点到直线l的距离为 . 答案： 解析：由题可知，，则，，， 故点P到直线l的距离为. 故答案为： 25.向量为平面的法向量,点在内,则点到平面的距离为 . 答案： 解析：,0,,点P到平面的距离为. 故答案为：. 26.设直线l的一个方向向量为,平面的一个法向量为,则直线l与平面所成角的正弦值为_____________. 答案： 解析：,所以直线l与平面所成角的正弦值为. 27．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，F为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是( ) A. B.向量与所成角的余弦值为 C.平面AEF的一个法向量是 D.点D到平面AEF的距离为 答案：BCD 解析：对于A，正方体中，，，， ，所以，故A错误； 对于B，，， ，故B正确； 对于C，设，则，，而， 所以平面的一个法向量是，故C正确； 对于D，，则点D到平面AEF的距离为，故D正确． 故选：BCD 28.如图，已知四边形是矩形，平面且，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 答案 解析 以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 所以. 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 29.如图，在棱长为2的正方体中， 为的中点．    (1)求直线到平面的距离；(2)求直线与平面所成角的正弦值． 解析（1）为正方体， , 平面,平面, 平面,则到平面的距离即为点B到平面的距离， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，， 则，，, 设平面的法向量为，由,得， 令，则，，则， 则到平面的距离， 则到平面的距离为； （2）, , 直线与平面所成角的正弦值为. 30．如图,在四面体中,平面,点M为棱的中点,,,. (1)证明：; (2)求平面和平面夹角的余弦值. 解析：(1)平面,又平面,. ,,,. 又,,平面,平面. 又平面,. （2）由题及（1）可知,,两两相互垂直,以,,所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则根据题意可得：,,,, ,,, 设平面和平面的法向量分别为,, 则,. 取,, 平面和平面夹角的余弦值为：. 31．（2023·山东青岛·高二统考期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，． (1)求异面直线与所成角的大小． (2)求直线到平面的距离． 解析（1）以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 因为底面为直角梯形，，，， 所以， 则，，，， ，， 设异面直线与所成角为，则， 所以异面直线与所成角大小为． （2），平面，平面，平面， 直线到平面的距离即为点到平面的距离． 设平面的法向量为，，， 则，取，得． ，点到平面的距离． 32．（2023·广东佛山·高二佛山市顺德区容山中学校考期中）如图，在长方体中，，，求： (1)点到直线BD的距离； (2)点到平面的距离； (3)异面直线之间的距离. 解析 （1）以点为原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，因为，，则，，，，， 所以，，所以在上的投影向量的大小为，又，所以点到直线BD的距离； （2）由(1) ，，， 设平面的法向量，则，所以， 取，可得，，所以是平面的一个法向量，向量在法向量上的投影为，所以点到平面的距离为； （3）由(1) ，，所以，所以，又平面，平面，所以平面，所以异面直线之间的距离与点到平面的距离相等，设平面的法向量，因为，则，所以， 取，可得，，所以是平面的一个法向量，向量在法向量上的投影为，所以点到平面的距离为；故异面直线之间的距离为. 作业检测参考答案 一、选择题 1．已知平面的一个法向量，点在平面内，若点到的距离为，则( ) A.16 B.-4 C.4或-16 D.-4或16 答案：C 解析：由点在平面内，点，可得.因为平面的一个法向量，且点到的距离为， 所以，即，解得或.故选C. 2．设x,,向量,,且,,则( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：A 解析：, , . 故选：A. 3．已知，，且，则( ) A. B.1 C. D.2 答案：A 解析：因为，，且， 所以，解得. 故选：A 4．如图，平行六面体，其中，，，，，，则的长为( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：，，， ， ， ， ， ， ， 故选B 5．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点，，，则点O到平面ABC的距离是( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：依题意可得，，，设平面ABC的法向量为， 则令，则可得，，即，所以点O到平面ABC的距离.故选B. 二、多项选择题 6．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是( ) A. B.与是共线向量 C.和夹角的余弦值是1 D.与同向的单位向量是 答案：AD 解析：对于A，，，A正确； 对于B，，，，所以不共线，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，所以其同向的单位向量为，D正确. 故选：AD. 7．已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数，的取值可能分别为( ) A.，2 B.2，2 C.，1 D.1，5 答案：AD 解析：因为，，三向量共面， 所以存在实数x,y，使得， 所以，解得， 故当,或,时满足条件. 故选：AD. 8．空间中三点，，，O是坐标原点，则( ) A. B. C.点C关于平面对称的点为 D.与夹角的余弦值是 答案：AB 解析：由题意可得：，，， 所以，故A正确； ，即，故B正确； 点C关于平面对称的点为，故C错误； ，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 9．已知空间向量，，，若，，共面，则________. 答案：0 解析：因为，，共面，所以，即， 则. 故答案为：0. 10．已知空间三点，，，则在上的投影向量的模是______. 答案： 解析：由题，，，故在上的投影向量的模. 故答案为：. 四、解答题 11．已知空间三点,,,设,. (1)求; (2)与互相垂直,求实数k的值. 答案：(1); (2)或. 解析：（1）由题设,, 所以. （2）由,,而, 所以, 可得或. 12．如图，在直三棱柱中，，，，，点M在线段上，且. （1）求CM的长； （2）求二面角的大小. 答案：（1）； （2） 解析：（1）以点C为坐标原点，CB，CA，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，，，， 所以，. 因为，所以， 所以，解得. 所以CM的长为. （2）因为是直三棱柱， 所以. 又，所以. 因为，即， 又，. 所以，即. 所以是平面AMC的一个法向量，. 设是平面BAM的一个法向量， ，. 由得 令，得，，所以. 因为，，所以. 据题意可知，二面角为锐角， 所以二面角的大小为. 13．如图，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，，. （1）求直线BF与平面的夹角； （2）求点A到平面的距离. 答案：（1）； （2） 解析：（1）设，因为菱形和矩形所在的平面互相垂直，所以易得平面，以O点为坐标原点，以OD所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，过O点且平行于AF的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系. 由已知得，， 因为z轴垂直于平面，因此可令平面的一个法向量为， 又，设直线BF与平面的夹角为， 则有，即， 所以直线BF与平面的夹角为. （2）由（1）空间直角坐标系，得，，所以，， 可设平面FBD的法向量为，则，得， 令，得，，即， 又因为，所以点A到平面FBD的距离为. 14．如图所示,在直三棱柱中,,,,. (1)求证：; (2)在上是否存在点D,使得平面,若存在,确定D点位置并说明理由,若不存在,说明理由. 答案：(1)证明见解析; (2)在上存在点D使得平面,且D为的中点. 解析：(1)因为,,,所以, 如图所示,在直三棱柱中,以C为坐标原点,直线、、分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系, 则,,,,, 因为,, 所以,,即. (2)若存在点使平面,则,, ,,,, 因为平面,所以存在实数m、n,使成立, 则,解得, 故在上存在点D使平面,此时点D为中点. 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$