四川天府新区实外高级中学2024-2025学年高三上学期入学考试数学试卷

四川川天府新区实外高级中学高2022级入学考试 数学试卷 命题：郭明 （时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（单选题）：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，集合，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A. x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=0 3. 记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ） A. 2n–1 B. 2–21–n C. 2–2n–1 D. 21–n–1 4. 故宫的角楼是中国古建筑艺术的巅峰之作，它被誉为故宫最美的建筑，角楼的建造者也将中国古代的阴阳观和吉数的思想融入在角楼的设计之中.中国古代常把奇数称为“阳数”，偶数称为“阴数”，9的整数倍称为“吉数”.若从1，3，5，7，9这五个阳数，2，4，6，8这四个阴数中各取一个数组成两位数，则这个两位数恰好是“吉数”的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数在处有极值10，则点为（ ） A. B. C. 或 D. 不存在 7. 已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点、，与直线交于点，若且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，记此人第日布施了子安贝（其中），数列的前项和为.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分. 9. 若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A. 的最小值为8 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10. （多选）某个班级共有学生40人，其中有团员15人．全班共分成4个小组，第一小组有学生10人，其中团员x人，如果要在班内选一人当学生代表，在已知该代表是团员的条件下，这个代表恰好在第一小组内的概率是，则x不可能的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有极小值 B. 函数在处切线的斜率为4 C. 当时，恰有三个实根 D. 若时，，则的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若命题：“，使”是假命题，则实数m的取值范围为______． 13. 在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为__________. 14. 已知，，，则下列结论中正确的是______________. ①当时，； ②当时，有1个元素； ③若有2个元素，则； ④若有4个元素，则无整数解； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知为等差数列，为公比的等比数列，且，，． （1）求与的通项公式； （2）设，求数列的前项和； 16. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，M，N分别是线段AB，PC的中点． （1）求证：MN平面PAD； （2）在线段CD上是否存在一点Q，使得直线NQ与平面DMN所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17. 自古以来，杭州就被称为“人间天堂”，无数文人墨客在此毫不吝啬地为之挥洒笔墨，留下千古诗篇名句，在宋代柳永的诗中这样描写到“东南形胜，三吴都会，钱塘自古繁华”，就连马可·波罗都称之为“世界上最美丽华贵之天城”．第19届亚运会将在被称为“人间天堂”的杭州举办，组委会计划采用志愿服务知识问答和技能考核的形式，从报名者中择优选取一部分成为正式的亚运会志愿者、 （1）已知报名者组人数之比为，将这3组报名者混在一起进行亚运会志愿服务知识问答，假设组中的每一个人答对某道题的概率分别为，从中任选一人，求此人答对该题的概率； （2）从4名女性报名者和3名男性报名者中随机选出3名进行亚运会服务技能考核，记为其中女性的人数，求的数学期望． 18. 已知椭圆的短轴长为，离心率． （1）求椭圆的标准方程； （2）若分别是椭圆的左､右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，求的面积的最大值． 19. 设函数 （1）分析的单调性和极值； （2）设，若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围； （3）若，且满足时，证明：. 四川川天府新区实外高级中学高2022级入学考试 数学试卷 命题：郭明 （时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（单选题）：本题共8小题，每小题5分，共40分. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】①②④ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）， （2） 【16题答案】 【答案】（1） 如图，取PB中点E，连接ME，NE． ∵M，N分别是线段AB，PC的中点，∴MEPA．又∵平面PAD，平面PAD， ∴ME平面PAD，同理得NE平面PAD． 又∵，∴平面PAD平面MNE． ∵平面MNE，∴MN平面PAD． （2）存在， 【17题答案】 【答案】（1）0.915； （2）． 【18题答案】 【答案】（1）；（2）3． 【19题答案】 【答案】（1）在单调递减，在单调递增，的极小值为，无极大值. （2） （3） 记，则， 记，，， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以，即， 所以函数在单调递减， 则为，注意到，不妨， 要证，只需证，即证：， 即证：，即证：， 记， 则，记， 则，所以在单调递增，所以， 即，所以在单调递减，所以， 所以，所以，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $