广西北海市北京市第八中学北海实验学校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷

数学试卷 考试范围：必修二 选择性必修一第一章；考试时间：120分钟；命题人：高二备课组 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上. 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的50百分位数为（ ） A. 8.4 B. 8.5 C. 8.6 D. 8.7 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，，若，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 4. 有两条不同的直线，，以及两个不同的平面，，下列说法正确的是（ ）． A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 5. 抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下： 行业名称 计算机 机械 营销 物流 贸易 应聘人数 215830 200250 154676 74570 65280 行业名称 计算机 营销 机械 建筑 化工 招聘人数 124620 102935 89115 76516 70436 若用同一行业中应聘人数和招聘人数的比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（ ） A. 计算机行业好于化工行业 B. 建筑行业好于物流行业 C. 机械行业最紧张 D. 营销行业比贸易行业紧张 7. 棱长为a的正四面体ABCD与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题 9. 已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，在棱长为1的正方体中，P、Q分别为线段、上的动点(不包括端点)，则下列说法正确的是( ) A. 存在点P、Q，使得 B. 三棱锥的体积不变 C. 直线和直线异面 D. 周长的最小值为 11. 如图，在三棱柱中，M，N分别是线段上的点，且．设，且均为单位向量，若，则下列说法中正确的是（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________. ①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤. 13. 在对某中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，若只知道抽取了男生24人，其平均数和方差分别为170.5和12.96，抽取了女生26人，其平均数和方差分别为160.5和36.96，则据此可得高一年级全体学生的身高方差的估计值为___________. 14. 设动点在棱长为1的正方体的对角线上，记，当为锐角时，的取值范围是__________． 四、解答题 15. 成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查（满分100分，最低分20分）.根据检查结果：得分在评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在评定为“差”，不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如图： （1）依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数； （2）学校用分层抽样的方法，从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取6个班级，再从这6个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，求所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率. 16. 某地家庭有甲、乙、丙三位小孩，他们是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为，甲、丙都需要照顾的概率为，乙、丙都需要照顾的概率为. （1）分别求甲、乙、丙在这一小时内需要照顾的概率； （2）求这一小时内至少有两位小孩需要照顾的概率. 17. 如图，在三棱柱中，底面，，，，，点，分别为与的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的平面角的正切值. 18. 如图，在正四棱锥S－ABCD中，底面边长为，点P在线段SD上，且△SAC的面积为1. （1）若点P是SD的中点，求证：平面SCD⊥平面PAC； （2）是否存在点P，使得直线SC与平面ACP所成角的余弦值为？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由． 19. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601—1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点M即为费马点，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.若M是的“费马点”，，. （1）求角A； （2）若，求bc的值； （3）在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数n的取值范围. 数学试卷 考试范围：必修二 选择性必修一第一章；考试时间：120分钟；命题人：高二备课组 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上. 第I卷（选择题） 一、单选题 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、多选题 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】BD 第II卷（非选择题） 三、填空题 【12题答案】 【答案】①④ 【13题答案】 【答案】50.4 【14题答案】 【答案】 四、解答题 【15题答案】 【答案】（1）分；（2）. 【16题答案】 【答案】（1），， （2） 【17题答案】 【答案】（1） 连结，因为点是的中点，则， 则点是的中点，且是的中点， 所以， 且平面，平面， 所以平面； （2） 【18题答案】 【答案】（1） 如图，连接交于点，连接， 则，且平面， ，， 故， 因为点P是SD的中点， 所以， 又因平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2） 假设存在， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则， 设， ， 则， 设平面的法向量， 则有，可取， 则， 即直线SC与平面ACP所成角的正弦值为， 所以直线SC与平面ACP所成角的余弦值为， 解得或（舍去）， 所以当点位于靠近点的三等分点时，直线SC与平面ACP所成角的余弦值为. 【19题答案】 【答案】（1） （2）8 （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $